竖直平面内的圆周运动
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动基本概念1、竖直平面内的圆周运动，明确绳子型、杆子型还是桥型，特别注意最高点的受力变化情况．2、一般在竖直面内的圆周运动，均要结合机械能守恒来做。
3、一些中间结论要明确。
（如：绳子型中，小球在最高点的速度，绳子型中小球在最高点和最低点时对绳子拉力的差值等于恒量6mg ）重点、难点突破1、如图所示，长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点的速度v ，下列叙述中正确的是 A ．v 极小值为gL B ．v 由零增大，向心力也逐渐增大 C ．当v 由gL 逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D ．当v 由gL 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小2、如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M ，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m ，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动。
以下说法正确的应是 A ． 在释放瞬间，支架对地面压力为（m+M ）g B ． B 、在释放瞬间，支架对地面压力为MgC 、摆球到达最低点时，支架对地面压力为（m+M ）g D.摆球到达最低点时，支架对地面压力为（3m+M ）g 。
3．如图所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，问： （１）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？ （２）若盒子以第（１）问中周期的12做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O 点位于同一水平面位置时，小球 对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？4、如图所示，半径R=0.9m 的光滑的半圆轨道固定在竖直平面内，直径AC 竖直，下端A 与光滑的水平轨道相切。
一个质量m=1kg 的小球沿水平轨道进入竖直圆轨道，通过最高点C 时对轨道的压力为其重力的3倍。
高中物理重要方法典型模型突破11-模型专题(3) -竖直平面内圆周运动 (解析版)
专题十一模型专题（3）竖直面上的圆周运动【典型模型解读】1.竖直面内匀速圆周运动：注意匀速圆周运动的条件2.竖直平面内非匀速圆周运动的两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向指向圆心重力、弹力，弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+F N=mrv2mg±F N=mrv2临界特征F N=0,v min=gr竖直向上的F N=mg,v=0过最高点条件v≥gr v≥0速度和弹力关系讨论分析①能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mrv2，绳、轨道对球产生弹力F N②不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动①当v=0时，F N=mg，F N为支持力，沿半径背离圆心②当0<v<gr时，-F N+mg=mrv2，F N背离圆心，随v的增大而减小③当v=gr时，F N=0④当v>gr时，F N+mg=mrv2，F N指向圆心并随v的增大而增大【典例讲练突破】【例1】（2019高考江苏卷物理6）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（）A.运动周期为2πRω B.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为m ω2R【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2πTω=，解得：2πT ω=，故A 错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v R ω=，故B 正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg ，故C 错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：2F m R ω=合，故D 正确。
【答案】BD【练1】在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸型桥面设计的坡道。
20竖直平面内的圆周运动模型
竖直平面内的圆周运动模型考点规律分析(1)竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。
一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接，小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
(2)三种模型对比典型例题例1长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到()A．6.0 N的拉力B．6.0 N的压力C．24 N的拉力D．24 N的压力[规范解答]设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg ＝m v 20L得v 0＝gL ＝10×0.50 m/s ＝ 5 m/s 。
由于v ＝2.0 m/s< 5 m/s ，可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球为支持力，如图所示，为小球的受力情况图。
由牛顿第二定律mg －N ＝m v 2L ，得N ＝mg －m v 2L ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3.0×10－3.0×2.020.50 N ＝6.0 N 由牛顿第三定律知，细杆OA 受到6.0 N 的压力。
[完美答案] B例2 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm ，g 取10 m/s 2。
求：(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小。
[规范解答] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。
圆周运动中的临界问题
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
如图所示，固定在竖直平点为轨道最高点，DB为竖
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
B、的压力 D、24N的压力
例3：长L＝，质量可以忽略的的杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小 球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过 最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B，球心到轴O的距离分别为，。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动一.竖直平面内的圆周运动属于圆周运动二.两种情况：1、没有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动①临界条件：小球到达最高点时绳的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球重力提供其圆周运动的向心力，即mg=mv02/R∴刚过最高点的临界速度（最小速度）v=②当v≥v0时小球通过最高点③当v＜v0时小球不能到达最高点。
2、有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动v=0弹力的大小b图中的弹力a图中的弹力速度范围课堂练习1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长=0.4m.求（1）桶在最高点水不流出的最小速率？（2）水在最高点速率=3m/s时水对桶底的压力？(g取10m/s2)2、细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力作业1.长度为0.5m的轻质细杆，A端有一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时轻杆OA将（）A．受到6.0N的拉力B．受到6.0N的压力C．受到24N的拉力D．受到54N的拉力2.一轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端以O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是()A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于0B、小球过最高点时的最小速度为√gRC、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度值为V，当小球以2V的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（）（A）0 （B）mg (C)3mg (D)5mg4.一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）5. 如图，质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度是v，当小球以3v 的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是多少？6.用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列两种情况下球对管壁的作用力. 取g=10m/s2(1) A的速率为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s。
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动专题一、竖直平面内的圆周运动的特点竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，其合外力一般不指向圆心， 它产生两个方向的效果：因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F 1提供向心力．但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态． 二、圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周动物，其合外力一般不指向圆心，但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态，下面对临界状态进行分析：1． 没有物体支撑的小球（绳类约束）讨论在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图所示：①临界速度0v ：小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知mg=m Rv 2，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为0v =gR ，它是小球能过圆周最高点的最小速度．②当mg<m Rv 2，即v>gR ，小球能过圆周的最高点，此时绳和轨道分别对小球产生拉力和压力．③当mg>m Rv 2，即v<gR ，小球不能过圆周的最高点，小球在达到最高点之前就已经脱离了圆轨道．小球脱离圆周的临界条件是弹力为零．【例题1】如图所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s 时，细线的拉力是多少？（2）当小球在圆上最低点的速度为6m/s ，细线的拉力是多少？（g=10m/s 2）练1.用长为l 的细线拴一个小球使其绕细线的加一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的2倍，已知重力加速度为g ，则球此时的速度大小为___ ，角速度大小为_ _，加速度大小为_ __。
2． 有物体支撑的小球（杆类约束）讨论在竖直平面内做圆周运动的情况，如图所示．①临界速度0v ：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球在最高点的速度可以为零，不存在“掉下来”的情况．小球恰能达到最高点的临界速度0v =0．②小球过最高点时，所受弹力情况：A ．小球到达最高点的速度v=0，此时轻杆或管状轨道对小球的弹力N=mg ．B ．当小球的实际速度v>gR 时，产生离心趋势，要维持小球的圆周运动，弹力方向应向下指向圆心，即轻杆对小球产生竖直向下的拉力，管状轨道对小球产生竖直向下的压力，因此N F =m Rv 2-mg ，所以弹力的大小随v 的增大而增大。
专题_竖直平面内的圆周运动详解
(1).当V1＝1m/s时,F1＝？ (2).当V2＝4m/s时,F2＝？ (3).通过最低点时,情况又如何呢? (4).如果和小球相连的是细绳而 不是细杆,情况又如何呢?
V
.
O
例2.一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在竖 直平面内做圆周运动,如右图所示,水的质量是m＝0.5kg,水 的重心到转轴的距离L＝50cm. (1).若在最高点时水不流出来,求桶的最小速度; (2).若在最高点时水桶的速率V＝3m/s,求水对桶底的压力.
二.小球有支撑(在竖直平面内过最高点的情况)
V
V
r杆
丙
丁
1.临界条件: 由于轻杆和管壁的支撑作用,小球恰好能到达 最高点的临界速度V临界＝0
2.如图丙所示,小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况:
(1).V＝0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,且FN＝mg
(2).0＜V＜ gr 时, 轻杆对小球有竖直向上的支持力FN, 大小随速度的增大而减小,取值范 围:0＜FN＜mg
施力 特点
拉力
v gr v gr v gr
不可 通过
T=0
恰好通过 最高点
拉力
拉力
支持力 N=0
支持力
拉力
支持力
安全过 桥
N=0 恰好离 开桥
离开桥
三.例题
例1.长L＝0.5m、质量可以忽略的杆,其下端固定于O点,上 端连有质量＝2㎏的小球,它绕O点在竖直平面内做匀速圆周 运动.当通过最高点时,如图所示,在下列情况下,求杆受到 的力.(g＝10m/s2)
o B
2.如图所示,一个人用一根长为1m、只能承受46N拉力的绳子拴着 一个质量为1kg的小球在竖直平面内做圆周运动.已知圆心O离地 面的高度H＝6m,转动中,小球在最低点时绳子断了,g＝10m/s2,求: (1).绳子断时小球运动的角速度 (2).绳子断后小球落地点与抛出点的水平距离
竖直平面内的圆周运动
２
ｍ ｇ十Ｆ 』 ｖ ＝ｍ
②
一
＝
＋， ， ｍ ｇ 。２ Ｒ＋
物块能通过最高点 的条件是 Ｆ Ｎ １０ ③ ＞
由②③式得 ≥ ④ 由① ④ 式得 ｈ ＞ ｔ２ ． ５ Ｒ ⑤ 由题 意 可 知 ， Ｆ ＝５ ａｇ ｒ ， 由 ② 式 得 ＜
，
１
删
然后 沿圆形轨 道运 动． 要 求 物块 能通过 圆形轨 （ １ ）当 ＝ ０时 ， 轻 杆对 小 球 有竖 直 向上 道最高点 ， 且在 该最 高点与轨 道 间的压 力不 能 的支 持 力 （ 如 图 ２所 示 ） ， 其 大小 等 于 小球 重 超过 ５ ｍ ｇ （ ｇ为重 力加 速度 ） ． 求物块 初 始位 置
叮
Ｄ ：ｈ
ｈ≤ ５ Ｒ．
心 等高 ， Ｄ 点 为 轨 道 最 高 点， Ｄ Ｂ为 竖 直 线 ， Ａ Ｃ为 水
平线 ， Ａ Ｅ为水 平 面 ， 今 使 小 球 自Ａ点 正 上方 某 处 由 图６ 静 止 释放 ， 且 从 Ａ点 进入 圆形 轨 道运 动 ， 通过 适 当调整 释 放 点 的 高 度 ， 总 能 保 证 小 球 最 终
１ ．轻 绳 类
２
，
如 图 １所 示 ， 小 球 在一 轻绳 的 作 用 下 绕 中心 ０ 点 做 变 速 圆周运 动 ． 由于 绳 子 只能 提 供 拉 力 而 不 能 提 供
Ｆ ＝ ｍ ， 支持 力随速 度 的增大 而减 小．
，
（ ４ ）当 ＞ ｇ ｒ 时， 小球 的重 力不 足 以提 供 向心 力 ， 杆 对小球有指 向圆心的拉力 （ 如
周 运 动
钱秋 艳
竖直 平面 内 的圆周 运动一 般是 变速 圆周 力 ， 即Ｆ Ⅳ＝Ｇ ；
竖直平面内的圆周运动速度变化
竖直平面内的圆周运动速度变化1. 引言大家好！今天我们来聊聊一个有趣的话题，那就是竖直平面内的圆周运动。
听起来好像有点复杂，但其实就是我们在生活中经常遇到的那些事情，比如过山车、旋转木马，甚至是我们小时候玩的“转转乐”。
相信我，别跑，咱们慢慢聊，这里面可有不少好玩的知识等着你呢！2. 圆周运动的基本概念2.1 什么是圆周运动？首先，咱得弄明白什么叫圆周运动。
简单说，就是物体沿着一个圆形轨迹转动的运动方式。
就像咱们在广场上转圈，转得头晕脑胀，但还是不想停下来。
圆周运动在咱们的生活中无处不在，就像空气一样，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
2.2 速度的变化说到圆周运动，咱得提到一个关键词，那就是“速度”。
在圆周运动中，速度可不是什么固定不变的东西。
咱常说“人无千日好，花无百日红”，同样，在转动的过程中，速度也是忽高忽低的。
比如，过山车在下坡的时候，速度就像开了挂一样，而在上坡时，又慢得像蜗牛，真是让人心情大起大落，刺激得不行。
3. 竖直平面内的速度变化3.1 高点与低点的对比想象一下，你坐在过山车的高点，周围一片风景如画，心里还想着“哇，这儿真不错！”可是，下一秒，过山车开始下滑，那速度就上来了，瞬间感觉像是被风吹到了天上去，真是心惊肉跳。
这里的秘密在于重力。
重力就像是一个不太好相处的朋友，给你推了一把，让你突然加速。
在高点时，速度慢，重力的拉力小，而在低点时，速度快，重力的作用显得尤为明显，真是让人叫绝的物理现象！3.2 动能与势能的转化再说说动能和势能。
动能就是你跑得快时的感觉，而势能就像你站在高处，准备跳下去的那种忐忑。
过山车上升时，势能增加，动能减少；而当它下滑时，势能减少，动能增加，完美的循环！这就好比咱们的人生，有时候得攒点势能，才能在关键时刻大放异彩。
4. 生活中的应用4.1 趣味的应用你知道吗，很多运动员在比赛时都在利用这种速度变化。
比如说，跳水运动员在跳跃前要先蓄势待发，等到一跃而下的时候，速度瞬间提升，那才叫一个帅气。
竖直平面内的圆周运动
分析：
F2
A
最高点:
V1(V2)
v mg F1 m R
2 1
v mg F2 m R
2 2
F1 G
;
R
F3
V3 G
v 最低点： F3 mg m R
思考：小球在最高点的最小速度 可以是多少？什么时候外管壁对 小球有压力，什么时候内管壁对 小球有支持力?什么时候内外管 壁都没有压力？
要通过最高点，此时轻杆的拉力需要大 于等于5mg，速度 V 5gR
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑竖直放 置的管型轨道半径为R，内 有一质量为m的小球，沿其 竖直方向上的做变速圆周运 动，小球的直径刚好与管的 内径相等
（1）小球在运动到最高点的时候速度与受力 的关系是怎样的？ （2）小球运动到最低点的时候速度与受力的 关系又是怎样？
练习5
杆长为 L ，球的质量为 m ，杆连球在竖直平面内绕 轴 O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小 为F=1/2mg，求这时小球的速度大小。 解：小球所需向心力向下，本题中 F=1/2mg＜mg， 所以弹力的方向可能向上，也可能向下。
⑴若F 向上，则
mv 2 mg F , L
⑵若F 向下，则
v vmin gr
，
当质点的速度小于这一值时，质点将运动不到最
2、最低点： 最低点的向心力方程：
mV FN mg R
2
V
可知此时绳子的拉力不可能为零，其最小值为 mg，速度为零，但不能通过最高点。 要通过最高点，此时绳子的拉力需要大于等 于6mg，速度 V 5gR
拓展：物体沿竖直内轨运动
练习1
绳系着装有水的桶，在竖直平面内做圆周运动， 水的质量为0.5Kg，绳长60Cm，求： （1）最高点水不流出的最小速率； （2）水在最高点速率为3m/s时，水对桶底的压力。
口算竖直平面内的圆周运动
口算竖直圆问题•力径减半得动能如图1所示，细绳拴住小球在竖直面内做圆周运动.(1)处理思路：瞬时位置：列牛顿第二定律初末过程：列动能定理(2)口诀推导：A 处的动能：E k A =12mv A 2A 处的向心力：F 向=mv A 2r口诀1：力径减半得动能即12F 向r =E k1 3mgR C.12mgRB.•最高点与最低点拉力之差如图3所示，只有重力做功.(1)处理思路：瞬时位置：列牛顿第二定律初末过程：列动能定理(2)口诀推导：牛顿第二定律：A 处：T A −mg =mv A 2rB 处：T B +mg =mv A 2rA →B 动能定理：−mg ·r =12mv B 2−12mv B 2联立解得：T A −T B =6mg口诀2：最低点和最高点的拉力之差为定值:6mg即T 低−T 高=6mg注意：口诀中的力为拉力，即默认最低点力的方向向上，最高点力的方向向下，若题目中的力的方向与默认方向相反，注意口诀中力需要加负号.mg C.5mgR−W) mR B.a=2O答案ACO解析根据口诀1以及动能定理有：mgR−W=12F R解得向心力大小为：F=2(mgR−W)R则向心加速度大小为a=Fm=2(mgR−W)mR支持力大小为N=F+mg=3mgR−2WR例题2（$$$）如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上的质量为m的小环（可视为质点），从大圆环的最高处由静止滑下，重力加速度为g，当小圆环滑到大圆环的最低点时，大圆环对轻杆拉力的大小为().A.Mg−5mgB.Mg+mgC.Mg+5mgD.Mg+10mgO答案CO解析在最高点时，小环受到的支持力大小为N1=mg，方向竖直向上设小环在最低点时受到的支持力大小为N2，方向竖直向上，则由口诀2可知N2−(−N1)=N2+N1=6mg解得N2=5mg最低点时，大圆环对轻杆拉力的大小为F=Mg+5mg但在P点不受轻杆对它的作且在P点受到轻杆对它向上且在P点受到轻杆对它向下习题2（$$$）如图所示，水平地面上有一光滑弧形轨道与半径为r的光滑圆轨道相连，且固定在同一个竖直面内。
专题：竖直平面内圆周运动的问题分析
1、如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m，MPQ是一半径为R＝1.6 m的半圆，QOM在同一竖直
面上，在恒力F作用下，质量m＝1 kg的物体A从L点由静
止开始运动，当达到M时立即停止用力．欲使A刚好能通
过Q点，则力F大小为多少？(取g＝10 m/s2)
[自主解答] 物体A经过Q点时，其受力 情况如图所示，由牛顿第二定律得： mg＋FN＝m 物体A刚好过Q点时有F N＝0 解得v＝＝4 m/s 对物体从L到Q全过程，由动能定理得 FsLM－2mgR＝mv2 解得F＝8 N.
mv2 当 v≥ 5gR时，小球在最低点所受轨道压力 F1＝mg＋ ，由最低 R 1 2 1 2 mv2 1 点运动到最高点，2mgR＋ mv1＝ mv ，小球所受轨道压力 F2＝ － 2 2 R mv2 mg，F2＝ －5mg，F1－F2＝6mg，再根据牛顿第三定律，可见小球 a R 对轨道最低点压力比小球 b 对轨道最高点压力都大 6mg，D 项正确．
a
R
b
3. 长度均为L的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为m的小球, 它们各自在竖 直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点 时, 杆、绳所受拉力之比为（ A ） A. 5 : 6 B. 1 : 1 C. 2 : 3 D. 1 : 2
4、质量为0.2kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一 端，杆可绕O点的水平轴在竖直平面内转动。 （g取10m/s2）求： （1）当小球在最高点的速度多大时，球对杆的作 用力为零？ （2）当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s 时，球对杆的作用力大小和方向
物理建模系列(七) 竖直平面内圆周运动的两种模型
物理建模系列(七)竖直平面内圆周运动的两种模型1．模型构建在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．2．模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动．(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑．3．常用模型面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g .当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )A ．Mg －5mgB ．Mg ＋mgC ．Mg ＋5mgD ．Mg ＋10mg【解析】 解法一：以小环为研究对象，设大环半径为R ，根据机械能守恒定律，得mg ·2R ＝12m v 2，在大环最低点有F N －mg ＝m v 2R ，得F N ＝5mg ，此时再以大环为研究对象，受力分析如图，由牛顿第三定律知，小环对大环的压力为F ′N ＝F N ，方向竖直向下，故F ＝Mg ＋5mg ，由牛顿第三定律知C 正确．解法二：设小环滑到大环最低点时速度为v ，加速度为a ，根据机械能守恒定律12m v 2＝mg ·2R ，且a ＝v 2R，所以a ＝4g ，以整体为研究对象，受力情况如图所示．F －Mg －mg ＝ma ＋M ·0 所以F ＝Mg ＋5mg ，C 正确． 【答案】 C[高考真题]1．(2016·上海卷，16)风速仪结构如图(a)所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r ，每转动n 圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt 内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片( )A ．转速逐渐减小，平均速率为4πnr ΔtB ．转速逐渐减小，平均速率为8πnrΔtC ．转速逐渐增大，平均速率为4πnrΔtD ．转速逐渐增大，平均速率为8πnrΔt【解析】 据题意，从b 图可以看出，在Δt 时间内，探测器接收到光的时间在增长，圆盘凸轮的挡光时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在Δt 时间内可以从图看出有4次挡光，即圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n 周，风轮叶片转过的弧长为l ＝4n ×2πr ，叶片转动速率为：v ＝8n πrΔt，故选项B 正确．【答案】 B2．(2016·浙江卷，20)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( )A ．在绕过小圆弧弯道后加速B ．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s【解析】 赛车用时最短，就要求赛车通过大、小圆弧时，速度都应达到允许的最大速度，通过小圆弧时，由2.25mg ＝m v 21r 得v 1＝30 m/s ；通过大圆弧时，由2.25mg ＝m v 22R得v 2＝45 m/s ，B 项正确．赛车从小圆弧到大圆弧通过直道时需加速，故A 项正确．由几何关系可知连接大、小圆弧的直道长x ＝50 3 m ，由匀加速直线运动的速度位移公式：v 22－v 21＝2ax得a ≈6.50 m/s 2，C 项错误；由几何关系可得小圆弧所对圆心角为120°，所以通过小圆弧弯道的时间t ＝13×2πrv 1≈2.79 s ，故D 项错误．【答案】 AB3．(2015·课标卷Ⅰ，22)某物理小组的同学设计了一个粗测玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验．所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径为R ＝0.20 m)．完成下列填空：(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图(a)所示，托盘秤的示数为1.00 kg.(2)将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图(b)所示，该示数为 ________ kg.(3)将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m ；多次从同一位置释放小车，记录各次的m 值如下表所示.(4)N ；小车通过最低点时的速度大小为 ________ m/s.(重力加速度大小取9.80 m/s 2，计算结果保留2位有效数字)【解析】 (2)由题图(b)可知托盘秤量程为10 kg ，指针所指的示数为1.40 kg.(4)由多次测出的m 值，利用平均值可求m ＝1.81 kg.而模拟器的重力为G ＝m 0g ＝9.8 N ，所以小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为F N ＝mg －m 0g ≈7.9 N ；根据径向合力提供向心力，即7.9 N －(1.40－1.00)×9.8 N ＝0.4v 2R，解得v ≈1.4 m/s.【答案】 (2)1.40 (4)7.9 1.4[名校模拟]4．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，水平圆盘可以绕竖直转轴OO ′转动，在距转轴不同位置处通过相同长度的细绳悬挂两个质量相同的物体A 、B .不考虑空气阻力的影响，当圆盘绕OO ′轴匀速转动达到稳定状态时，下列说法正确的是( )A ．A 比B 的线速度小B ．A 与B 的向心加速度大小相等C ．细绳对B 的拉力大于细绳对A 的拉力D ．悬挂A 与B 的细绳与竖直方向夹角相等【解析】 物体A 、B 绕同一轴转动，角速度相同，由v ＝ωr 知，v A <v B ，由a ＝ω2r 知，a A <a B ，由T sin θ＝ma ，T cos θ＝mg 及a A <a B 得T A <T B ，θA <θB ，故A 、C 正确．【答案】 AC5．(2018·广东惠州市高三上学期第二次调研)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等直径约为30 cm 的感应玻璃盘起电的．其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮链接如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min 的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm ，从动轮的半径约为2 cm ，P 和Q 是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )A ．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反B ．P 、Q 的线速度相同C ．P 点的线速度大小约为1.6 m/sD ．摇把的转速约为400 r/min【解析】 若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故A 正确；线速度也有一定的方向，由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由图可知，P 、Q 两点的线速度的方向一定不同，故B 错误；玻璃盘的直径是30 cm ，转速是100 r/min ，所以线速度：v ＝ωr ＝2n πr ＝2×10060×π×0.32m/s ＝0.5π m/s ≈1.6 m/s ，故C 正确；从动轮边缘的线速度：v c ＝ωr c ＝2×10060×π×0.02m/s ＝115π m/s ，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即v z ＝v c ，所以主动轮的转速：n z ＝ωz 2π＝v z r z 2π＝115π2π×0.08＝12.4r/s ＝25 r/min.故D 错误．【答案】 AC6.(2018·华中师大第一附中高三上学期期中)如图所示，ABC 为在竖直平面内的金属半圆环，AC 连线水平，AB 为固定的直金属棒，在金属棒上和圆环的BC 部分分别套着两个相同的小环M 、N ，现让半圆环绕对称轴以角速度ω做匀速转动，半圆环的半径为R ，小圆环的质量均为m ，棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为g ，小环可视为质点，则M 、N 两环做圆周运动的线速度之比为( )A.gR 2ω4－g 2B ．g 2－R 2ω4gC.g g 2－R 2ω4D ．R 2ω4－g 2g【解析】 AB 杆倾角45°，对于M 环：mg ＝mrω2＝m v 2Mr2v M ＝g ω.对于N 环：mg tan θ＝mR sin θ·ω2＝mωv N v N ＝R sin θ·ω＝Rω1－g 2R 2ω4 所以v M ∶v N ＝g ∶R 2ω4－g 2，A 对，B 、C 、D 错． 【答案】 A课时作业(十二) [基础小题练]1．如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O 匀速转动，a 和b 是轮上质量相等的两个质点，则偏心轮转动过程中a 、b 两质点( )A ．角速度大小相同B ．线速度大小相同C ．向心加速度大小相同D ．向心力大小相同【解析】同轴转动角速度相等，A 正确；由于两者半径不同，根据公式v ＝ωr 可得两点的线速度不同，B 错误；根据公式a ＝ω2r ，角速度相同，半径不同，所以向心加速度不同，C 错误；根据公式F ＝ma ，质量相同，但是加速度不同，所以向心力大小不同，D 错误．【答案】 A2．(2018·甘肃河西五市联考)利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，如图所示，用两根长为L 的细线系一质量为m 的小球，两线上端系于水平横杆上，A ，B 两点相距也为L ，若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，则小球运动到最低点时，每根细线承受的张力为( )A ．23mgB ．3mgC ．2.5mgD ．732mg【解析】 小球恰好过最高点时有mg ＝m v 21R，解得v 1＝32gL ，根据动能定理得mg ·3L ＝12m v 22－12m v 21，由牛顿第二定律得3T －mg ＝m v 2232L ，联立得T ＝23mg ，故A 正确，B 、C 、D 错误．【答案】 A3．如图为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n 1，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮边缘线速度大小为r 22r 1n 1D ．从动轮的转速为r 2r 1n 1【解析】 主动轮沿顺时针方向转动时，传送带沿M →N 方向运动，故从动轮沿逆时针方向转动，故A 错误，B 正确；由ω＝2πn 、v ＝ωr 可知，2πn 1r 1＝2πn 2r 2，解得n 2＝r 1r 2n 1，从动轮边缘线速度大小v ＝2πn 2r 2＝2πn 1r 1，故C 、D 错误．【答案】 B4.(2018·山东青岛市即墨一中高三上学期期中)如图所示，甲、乙圆盘的半径之比为1∶2，两水平圆盘紧靠在一起，乙靠摩擦随甲不打滑转动．两圆盘上分别放置质量为m 1和m 2的小物体，m 1＝2m 2，两小物体与圆盘间的动摩擦因数相同．m 1距甲盘圆心为r ，m 2距乙盘圆心为2r ，此时它们正随圆盘做匀速圆周运动．下列判断正确的是( )A ．m 1和m 2的线速度之比为1∶4B ．m 1和m 2的向心加速度之比为2∶1C ．随转速慢慢增加，m 1先开始滑动D ．随转速慢慢增加，m 2先开始滑动【解析】 甲、乙两轮子边缘上的各点线速度大小相等，有：ω1R ＝ω22R ，则得ω1∶ω2＝2∶1，所以物块相对圆盘开始滑动前，m 1与m 2的角速度之比为2∶1.根据公式：v ＝ωr ，所以：v 1v 2＝ω1r ω2·2r ＝11，故A 错误．根据a ＝ω2r 得：m 1与m 2的向心加速度之比为 a 1∶a 2＝(ω21r )∶(ω222r )＝2∶1，故B 正确．根据μmg ＝mrω2＝ma 知，m 1先达到临界角速度，可知当转速增加时，m 1先开始滑动，故C 正确，D 错误．【答案】 BC5.如图所示，水平放置的圆筒可以绕中心轴线匀速转动，在圆筒上的直径两端有两个孔A 、B ，当圆筒的A 孔转到最低位置时，一个小球以速度v 0射入圆筒，圆筒的半径为R ，要使小球能够不碰到筒壁首次离开圆筒，则圆筒转动的角速度可能为(已知重力加速度大小为g )( )A.n πgv 0，n ＝1,2,3，… B.(2n －1)πg 2v 0，n ＝1,2,3，…C.2n πg v 0－v 20－4Rg ，n ＝1,2,3，…D.2n πg v 0＋v 20－4Rg，n ＝1,2,3，… 【解析】 若小球上升最大高度小于圆筒直径，小球从A 孔离开，则竖直上抛时间为t ＝2v 0g ＝2n πω，n ＝1,2,3，…，ω＝n πgv 0，A 正确；若小球上升最大高度小于圆筒直径，从B 孔离开，则有t ＝2v 0g ＝(2n －1)πω，n ＝1,2,3，…，ω＝(2n －1)πg 2v 0，B 正确；若小球上升最大高度大于直径，从B 孔离开，小球经过圆筒时间为t ，则有2R ＝v 0t －gt 22，圆筒转动时间为t ＝2n πω，n ＝1,2,3，…，解得ω＝2n πgv 0－v 20－4Rg ，C 正确；若小球上升最大高度大于直径，从A 孔离开，则圆筒转动时间为t ＝(2n －1)πω，n ＝1,2,3，…，解得ω＝(2n －1)πgv 0－v 20－4Rg，D 错误． 【答案】 ABC6．(2018·开封高三模拟)在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径为R ，则管状模型转动的最低角速度ω为( )A.gR B ． g 2R C.2g RD ．2g R【解析】 最易脱离模型内壁的位置在最高点，转动的最低角速度ω对应铁水在最高点受内壁的作用力为零，即mg ＝mω2R ，得：ω＝gR，A 正确． 【答案】 A[创新导向练]7．生活实际——圆周运动中的自行车问题雨天在野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”．如果将自行车后轮撑起，并离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来．如图所示，图中a 、b 、c 、d 为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则( )A ．泥巴在图中a 、c 位置的向心加速度大于b 、d 位置的向心加速度B ．泥巴在图中的b 、d 位置时最容易被甩下来C ．泥巴在图中的c 位置时最容易被甩下来D ．泥巴在图中的a 位置时最容易被甩下来【解析】 当后轮匀速转动时，由a ＝Rω2知a 、b 、c 、d 四个位置的向心加速度大小相等，A 错误．在角速度ω相同的情况下，泥巴在a 点有F a ＋mg ＝mω2R ，在b 、d 两点有F bd＝mω2R ，在c 点有F c －mg ＝mω2R ，所以泥巴与轮胎在c 位置的相互作用力最大，容易被甩下，故B 、D 错误，C 正确．【答案】 C8．生活实际——通过“过山车”考查圆周运动最高点的临界问题如图所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R ，下列说法正确的是( )A ．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力B ．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力C ．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力D ．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR【解析】 在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得，mg －F N ＝m v 2R，即座椅给人施加向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg ＋F N ＝m v 2R，即座椅给人施加向下的力，故A 错误；在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带给人一定是向上的力，故B 正确；在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故C 正确；在丁图中，由于轨道车有安全锁，可知轨道车在最高点的最小速度为零，故D 错误．【答案】 BC9．高新科技——圆周运动中的运动学问题应用实例某计算机读卡系统内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A 、B ，A 盘固定一个信号发射装置P ，能持续沿半径向外发射红外线，P 到圆心的距离为28 cm.B 盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q ，Q 到圆心的距离为16 cm.P 、Q 转动的线速度均为4π m/s.当P 、Q 正对时，P 发出的红外线恰好进入Q 的接收窗口，如图所示，则Q 每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为( )A．0.42 s B．0.56 s C．0.70 s D．0.84 s【解析】P的周期T P＝2πr Pv＝2π×0.284πs＝0.14 s，同理Q的周期T Q＝2πr Qv＝2π×0.164πs＝0.08 s，而经过的时间应是它们周期的整数倍，因此B项正确．【答案】 B10．科技生活——汽车后备箱升降学问汽车后备箱盖一般都配有可伸缩的液压杆，如图甲所示，其示意图如图乙所示，可伸缩液压杆上端固定于后盖上A点，下端固定于箱内O′点，B也为后盖上一点，后盖可绕过O 点的固定铰链转动，在合上后备箱盖的过程中()A．A点相对O′点做圆周运动B．A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等C．A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等D．A点与B点相对于O点转动的向心加速度大小相等【解析】在合上后备箱盖的过程中，O′A的长度是变化的，因此A点相对O′点不是做圆周运动，A错误；在合上后备箱盖的过程中，A点与B点都是绕O点做圆周运动，相同的时间绕O点转过的角度相同，即A点与B点相对O点的角速度相等，但是OB大于OA，根据v＝rω，所以B点相对于O点转动的线速度大，故B错误，C正确；根据向心加速度a＝rω2可知，B点相对O点的向心加速度大于A点相对O点的向心加速度，故D错误．【答案】 C[综合提升练]11.物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定，若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需＞F供，物体将做离心运动；若F需<F供，物体将做近心运动．现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O 点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10 m/s2，则：(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A 点至少应施加给小球多大的水平速度？(2)在小球以速度v 1＝4 m/s 水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？(3)在小球以速度v 2＝1 m/s 水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．【解析】(1)小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供最高点时小球做圆周运动的向心力，即mg ＝m v 20L，解得v 0＝gL ＝10 m/s. (2)因为v 1＞v 0，故绳中有张力．根据牛顿第二定律有F 1＋mg ＝m v 21L，代入数据得绳中张力F 1＝3 N.(3)因为v 2<v 0，故绳中无张力，小球将做平抛运动，其运动轨迹如图中实线所示，有L 2＝(y －L )2＋x 2，x ＝v 2t ，y ＝12gt 2，代入数据联立解得t ＝0.6 s. 【答案】 (1)10 m/s (2)3 N (3)无张力，0.6 s12．(2018·山东潍坊高三上学期期中)如图所示，圆形餐桌中心有一半径为R 的圆盘，可绕穿过中心的竖直轴转动，圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计．当圆盘的角速度为 g 2R时，放置在圆盘边缘的小物体恰好滑上餐桌．已知小物体与餐桌间的动摩擦因数为0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.求：(1)小物体与圆盘的动摩擦因数；(2)小物体恰好不从餐桌滑落时餐桌的最小半径．【解析】(1)设小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1，小物体恰好滑到餐桌上时圆盘的角速度为ω0μ1mg＝mω20R代入数据解得：μ1＝0.5.(2)小物体从圆盘甩出时的速度v1＝ω0R设小物体与餐桌间的动摩擦因数为μ2，小物体在餐桌上滑动距离x1恰不滑出桌面，0－v21＝2ax1a＝－μ2g餐桌的最小半径R min＝R2＋x21联立解得：R min＝2R【答案】(1)0.5(2)2R。
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速度放置在球的最高点,现在 给其一扰动，则物体将（ ）
A、沿球面下滑至M点 B、沿球面下滑至某一点N，
便离开球面做斜下抛运动 C、立即离开半球面做平抛运
动 D、以上说法都不正确
m
R O
N M
动.(1)若过小球恰好能通过最高
N
点，则小球在最高点和最低点的
速度分别是多少？小球的受力情
mg O
况分别如何？(2)若小球在最低
R
点受到管道的力为6mg，则小球
在最高点的速度及受到管道的力
是多少？
例题3、如图所示，支架的质量
为M，转轴O处用长为L的轻绳悬
挂一质量为m的小球.若小球在
竖直平面内做圆周运动，到达
最高点时，恰好支架对地面无 O
m
压力.设M=3m.求：（1）小球在 M
最高点时的速度大小是多少？
（2）支架对地面的最大压力是
多少？
练习3、如图所示，支架的质量
为M，转轴O处用长为L的轻绳悬
挂一质量为m 的小球.若小球在
竖直平面内做圆周运动，到达最
高点时，恰好支架对地面的压力 O
m
mg.设M=3m.求：（1）小球在最 M
a v2 2 r
r
二、竖直平面内圆周运动的临界问题
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、 轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条 件不同.
1、无物体支持小球圆周运动临界问题（绳和轨道圆周运动问题）
（1）过最高点临界条件： mg=mv2/R v临界 gR
（2）能过最高点条件:v≧ v临界 （3）不能过最高点条件：v＜v临界
（如图5）
火车转弯
火车能在高出路面的工字型轨道滚滚向前而不越轨 一寸，这是为什么？火车能安全的通过弯道，这又 是为什么？
介绍火车车轮的特殊构造； 直道行使时，火车受力情况：重力、铁轨的支持力、机车
的牵引力、空气及铁轨的阻力。轮缘并不与铁轨相互作用。 那么当火车转弯时需要的向心力是靠外轨对轮缘的挤压力。 则：F=mv2 /r。
其在竖直面内作圆周运动.(1)若
N
过小球恰好能通过最高点，则小
mg
球在最高点和最低点的速度分别
O
是多少？小球的受力情况分别如
何？(2)若小球在最低点受到杆
子的拉力为5.5mg，则小球在最
高点的速度及受到杆子的力是多
少？
练习2：如图所示，一质量为m的
小球，放在一个内壁光滑的封闭
管内，使其在竖直面内作圆周运
mg
O 绳
mg
O 轨道
2、有支持物体的小球圆周运动的临界条件（杆或管道类的问题）
N
N
mg O 杆 （1）过最高点临界条件：
mg 管道O
mg=FN v临界=0 （2）当0＜v＜ gR 时，FN虽v的增大而减小，且mg>FN>0. （3）当v= gR 时，FN =0 （4）当v＞ gR 时， FN虽v的增大而增大，且FN>0。（FN为拉力）
火车质量和速率都相当大，F 也相当大，根据牛顿第三定律， 轮缘对外轨的作用力F’与力F大 小相等，方向相反，外轨在这个 力的挤压下很容易损坏
火车能在高出路面的工字型轨道滚滚向前而不越 轨一寸，这是为什么？火车能安全的通过弯道， 这又是为什么？
FN
F合
G
汽车过拱桥
❖ 一辆载重汽车的质量为4m，通过半径为R的拱形桥，
例题1：如图所示，一质量为m
的小球，用长为L细绳系住，使
其在竖直面内作圆周运动.(1)
若过小球恰好能通过最高点，
则小球在最高点和最低点的速
mg
度分别是多少？小球的受力情
O
况分别如何？(2)若小球在最低
点受到绳子的拉力为10mg，则
小球在最高点的速度及受到绳
子的拉力是多少？
练习1：如图所示，一质量为m的
若桥顶能承受的最大压力为 F 3，m为g 了安全
行驶，汽车应以多大速度通过桥顶？
❖
解析：如图所示，由向心力公式得
v2
❖
4mg FN 4m R
❖
FN
4mg
4m
v2 R
①
❖ 为了保证汽车不压坏桥顶，同时又不飞离桥 面，根据牛顿第三定律支持力的取值范围为
❖ 0 FN 3mg
❖ 将①代入②解得
例题5：如图所示，半径为R
的光滑半圆球固定在水平面上，
顶部有一小物体A。今给它一
m
v0
个水平初速度 v0 gR ,则
物体将（ ）
R
N
O
M
A、沿球面下滑至M点
B、沿球面下滑至某一点N，
便离开球面做斜下抛运动
C、立即离开半球面做平抛运
动
D、以上说法都不正确
练习5：如图所示，半径为R
的光滑半圆球固定在水平面上，
这就涉及到了有关竖直面内圆周运动的临界问题讨论： 首先就需要了解竖直面内的圆周运动如何分析。
一、竖直面的圆周运动
一般竖直面内的圆周运动，物体所受的合 外力除了具有与速度垂直的法向力以外， 还有与速度平行的切向力，那么物体的速 度不仅方向变化，大小也会变化.(对此，高
考只要求解决在最高点和最低点这两个特殊位置 上的动力学问题.关系式依然适用，只是不同位 置对应不同的v或ω而已.)
竖直面 内的圆周运动
下列物体做匀速圆周运动时，向心力分别由什么提供？ 1、人造地球卫星绕地球运动时。 2、小球在光滑的水平桌面上运动。 （如图1） 3、小球在水平面内运动。（如图2） 4、玻璃球沿碗（透明）的内避在水平面内运动。 （如图3）
（如图1）
（如图2）
（如图3）
5、使转台匀速转动，转台上的物体也随之做匀速圆周运动， 转台与物体间没有相对滑动。（如图5）
小球，在半径为R 光滑轨道上，
使其在竖直面内作圆周运动.(1)
若过小球恰好能通过最高点，则
小球在最高点和最低点的(2)若小球在最低点受到 轨道
轨道的弹力为8mg，则小球在最
高点的速度及受到轨道的弹力是
多少？
例题2：如图所示，一质量为m的
小球，用长为L轻杆固定住，使
②
1 Rg v Rg 2
杂技表演的“水流星”
“水流星”就是把总质量为M的盛有水的桶，系在长 L的绳子一端，使桶在竖直平面内绕绳另一端做圆 周运动，要使桶运动到最高点时水不流出。表演 过程中不管演员怎样抡，水都不会从杯里洒出， 甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口 朝下，水也不会从杯子里洒出。这是为什么？
的加速度大小为______，刚滑
过B点时的加速度大小为_____.
练习4:如图中圆弧轨道AB是
在竖直平面内的1/4圆周，在
B点，轨道的切线是水平的. A h
一质点自A点上方高h处从静
止开始下落，不计滑块与轨
B
道间的摩擦和空气阻力，则
在质点刚要到达B点时的加速
度大小为______，刚滑过B点
时的加速度大小为_____.
高点时的速度大小是多少？（2）
改变小球的速度，在保证小球仍
能作圆周运动的前提下，当小球
运动到最低点时，支架对地面的
最小压力是多少？
例题4:如图中圆弧轨道AB是在
竖直平面内的1/4圆周，在B点，
轨道的切线是水平的.一质点 A
自A点从静止开始下滑，不计
滑块与轨道间的摩擦和空气阻
B
力，则在质点刚要到达B点时