高中数学绝对值不等式的解法

② a x + b c ( a x + b ) 2 c 2 a x + b c , 或 a x + b c
②
①
-m
-n 0 n
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0)不等式
| axb|n 等 价n 于 不a 等x ① 式b 组 m , |或 a xm b a |②x mb n
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式 |f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
题型5: |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式 含有多个绝对值的不等式的解法 －－－零点分段法
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.
构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
y2x3， x1,
1，
1x1,
2x3， x1.
作出函数的图象(如图).函数的零点是
3,3, 22
从图象可知当 x 或3 2
x时,y3 ≥0. 2
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
所以原不等式的解集为 (,3] [3,). 22
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
解：方法三：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么
A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式
的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数
轴上的 x 3 .. 2
三、例题讲解
例1、(1)不等式|x－1|＜2的解集是_____. 【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3. 答案：(－1,3)
(2)不等式|4－3x|≥2的解集是_____. 【解析】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2
或3x－4≥2，解得 x 或2 x≥2. 3
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法一：当x≤-1时,原不等式可以化为
-(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 . 2
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.
当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以 x 3 . 2
综上,可知原不等式的解集为 {x|x3或 x3}. 22
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
例6 (1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立， 求实数a的取值范围．
(2)关于x的不等形式如a>|x|x＋－m3||＋±|x|x＋＋2|n的|<解(或集>非)a空， 求实数a的取值恒范成围立．的问题
(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求 实数a的取值范围．
【思路点拨】 对(1)(2)(3)来说，问题的关键是 如何转化，求出函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最值, 则问题获解．
三、例题讲解
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解 3 ： 法 3 |3 2 x| 5 3|2x3|5
32 x 35 ， 或 5 2 x 3 3 3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
-1 0
34
三、例题讲解
例3、解不等式|2x－1|<2－3x.
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴
上的 x ,3 . 2
从数轴上可看到，
点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，
所以原不等式的解集是 (,3] [3,). 22
小结：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的_正__、__负__性，进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程 的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查 函数的增减性)是关键.
三、例题讲解
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解 2 ： 法 3 |3 2 x| 5 3|2x3|5
32x23x305，或3Βιβλιοθήκη Baidux3(2x03)5
x
3 2
，
或
x
3 2
，
3 x 4
1 x 0
3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
y
所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
－1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数，那么
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
题型2: 如果 c 是正数，那么
① a x + b c ( a x + b ) 2 c 2 c a x + b c
三、例题讲解
平方法
例4、解不等式 x9x1
解： x9x1
x 9 2 x 1 2
x5
1
5
9
三、例题讲解
题型：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【思路点拨】 可用零点分段讨论，可用图象法， 也可用绝对值几何意义求解．
解：原不等式等价为 3x－2<2x－1<2－3x， 即22xx－ －11<>23－x－3x2， ， 得5xx<<13，，
原不等式解集为{x|x<35}．
形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式. ①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x－x1|
x
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
－x ,x<0
1
－1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索：不等式|x|<1的解集。
3 4
方法一：利用绝对值的几何意义观察
四、小结
（1）解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对 值的符号，其基本思想是把含绝对值的不等式转 为不含绝对值的不等式。
（2）零点分段法解含有多个绝对值的不等式。
①
②
③
x1
x2
答案：
(,2) [2,) 3
三、例题讲解
例2、解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解 1 ： 3 法 |3 2 x| 5 3|2x3|5
|| 22xx33||53 2x5 32 x3 ， 3 或 25x33
即x13， x或 x40
-1 0
34
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，
需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1 ∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1 ∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
方法四：利用函数图象观察 这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
【解】 (1)问题可转化为对一切x∈R恒有 a<f(x)⇔a<f(x)min， ∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5， 即f(x)min＝5，∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min， 同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.