沪科版八年级数学上册第14章全等三角形单元复习(第1单元)
沪科版八年级数学上册第14章 全等形和全等三角形 专题复习(解析版)
八年级数学全等形和全等三角形专题复习考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.特征：①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。
书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
1．（2017·四川中考模拟）已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD．则PE的长为（）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】D【详解】∵四边形OPEF≌四边形ABCD∴PE=BC=10，故选D.2．（2019·福建中考模拟）如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【详解】∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．3．（2018·广西中考模拟）下列说法中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的面积相等C．全等三角形能重合D．全等三角形一定是等边三角形【答案】D【详解】根据全等三角形的性质可知A，B，C命题均正确，故选项均错误；D.错误，全等三角也可能是直角三角，故选项正确.故选D.考查题型一利用全等三角形性质求线段与角1．（2019·武冈市第七中学中考模拟）如图，三角形纸片ABC，AB＝10CM，BC＝7CM，AC＝6CM，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．9CM B．13CM C．16CM D．10CM【答案】A【解析】解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7CM．∵AB=10CM，BC=7CM，∴AE=AB﹣BE=3CM．△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（CM）．故选A．2．（2017·江苏南京溧水孔镇中学中考模拟）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC=5CM，BF=7CM，则EC长为（）A．1CM B．2CM C．3CM D．4CM【答案】C【详解】解：∵△ABC≌△BAD，∴EF=BC=5CM，∵BF=7CM，BC=5CM，∴CF=EF-CF=3 CM，故选C．3．（2016·广东中考模拟）如图，△ACB≌△A′CB′,∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为()A．20°B．30°C．35°D．40°【答案】B【详解】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′C′B′，∴∠ACB-∠A′CB=∠A′C′B′-∠A′CB，即∠BCB′=∠ACA′，又∠ACA′=30°，∴∠BCB′=30°，故选：B．4．（2019·沂源县中庄中学初一月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积.【答案】（1）24；（2）50【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE∴AC=CE∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24（2）∵△ABC≌△CDE∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE又∠B=90°∴∠ACB+∠BAC=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°×AC×CE=50∴△ACE的面积=12考查题型二利用全等三角形性质证明线段、角相等1．（2019·湖北黄石十四中初二期中）如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．【答案】见解析【详解】∵△ABC≌△DEC，∴∠B=∠DEC，BC=EC，∴∠B=∠BEC，∴∠BEC=∠DEC，∴CE平分∠BED．2．（2018·颍上县第五中学初二期中）若△ABC≌△DCB，求证：∠ABE=∠DCE.【答案】见解析【详解】证明：∵△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB即∠ABE=∠DCE知识点2：全等三角形的判定（重点）注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形周长、面积相等．证题的思路（重点）：考查题型三 已知一边一角（若边为角的对边，找任意角AAS ）1．（2018·四川中考模拟）如图，AB=AE ，∠1=∠2，∠C=∠D ．求证:AC=AD ．【答案】见解析【解析】详解：∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC∴∠BAC=∠EAD在ΔABC 和ΔAED 中{∠BAC =∠EAD∠C =∠D AB =AE∴ΔABC ≌ΔAED （AAS)∴AC=AD2．（2014·北京中考模拟）已知：如图，E 是AC 上一点，AB=CE ，AB ∥CD ，∠ACB =∠D ．求证：BC =ED ．【答案】证明见解析.【详解】∵AB∥CD，∴∠A=∠ECD.在△ABC和△ECD中，∵∠A＝∠ECD，∠ACB＝∠D，AB＝CE，∴△ABC≌△ECD（AAS）.∴BC=DE．3．（2018·四川中考模拟）已知，如图，E、F分别为□ABCD的边BC、AD上的点，且∠1=∠2,.求证：AE=CF.【答案】详见解析【详解】∵四边形ABCD为平行四边形∴∠B=∠D，AB=CD在△ABE与△CDF中，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=CD∴△ABE≌△CDF∴AE=CF4．（2016·福建中考模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△CBE．【答案】证明详见解析.【详解】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∵∠B+∠BCE=90°，∴∠B=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠ADC=∠E=90°，∠B=∠ACD，AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）．考查题型四已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边SAS））1．（2016·四川中考真题）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．【答案】见解析【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，∵AC=CB，∠ACD=∠B，CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠D=∠E．2．（2018·云南中考模拟）如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF．求证：∠C＝∠D．【答案】证明见解析【详解】证明：∵AE＝BF，∴AE+EF ＝BF+EF ，∴AF ＝BE ，在△ADF 与△BCE 中，AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△BCE （SAS ），∴∠C ＝∠D ．3．（2019·辽宁中考真题）如图，点E ，F 在BC 上，BE =CF ，AB =DC ，∠B =∠C ，求证：AF =DE ．【答案】见解析；【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，在ΔABF 和ΔDCE 中，{AB =DC∠B =∠C BF =CE，∴ΔABF ≌ΔDCE (SAS)∴AF =DE ．考查题型五 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角AAS ））1．（2013·浙江中考真题）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A=∠D ，AB=DC ．（1）求证：△ABE ≌DCE ；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数。
八年级数学上册 第14章 全等三角形本章复习课件沪科沪科级上册数学课件
2. 如图，AC∥ DB，AC=2DB，E是AC的中 点(zhōnɡ diǎn)，求证：BC=DE.
第十二页，共十七页。
证明 ∵AC=2DB，AE=EC (已知) ∴DB=EC 又∵ AC∥ DB(已知) ∠DBE=∠CEB (两直线平行,内错角相等) ∵BE=EB(公共(gōnggòng)边) ∴ ΔDBE≌ΔCEB(SAS) ∴ BC=DE (全等三角形的对应边相等)
全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.
第九页，共十七页。
直角三角形全等判定(pàndìng)：HL
A
A′
B
C
B′
C′
第十页，共十七页。
练习
1. 如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使ΔABC≌ΔABD.可补充
(bǔchōng)的一个条件是
.
∠C=∠D 或AD=AC
或∠CBE=∠DBE
或∠CBA=∠DBA
边”或“SAS”)
CF
B
E
第五页，共十七页。
用符号语言表达(biǎodá)为：
在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF
∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
第六页，共十七页。
三角形全等判定(pàndìng)方法3
有两角和它们夹边对应(duìyìng)相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.
AB=DE(已知) ∠A=∠D(已证) AC=DF (已知) ∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)
第十五页，共十七页。
（2）解:根据”全等三角形的对应(duìyìng)边(角 )相等”可知: ①BC=EF, ②∠C=∠F, ③∠ABC=∠ DEF, ④ EF∥BC, ⑤AE=DB等.
2020年沪科版八年级数学上册第14章全等三角形单元同步试卷附答案
第14章全等三角形一、选择题(每小题4分，共36分)1．下列四组图形中，是全等图形的一组是()图12．如图2，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为()图2A．65°B．70°C．75°D．85°3．如图3，∠1＝∠2，∠B＝∠D，则下列结论错误的是()图3A．△ABC≌△CDA B．∠1＝∠CADC．AD∥BC D．AB＝CD4．如图4所示，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为()图4A．145°B．130°C．110°D．70°5．如图5，点A，C，D，B在同一直线上，△ADF≌△BCE，BC＝5 cm，CD＝1 cm，则AC的长为()图5A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．5 cm6．在△ABC和△DEF中，已知AC＝DF，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是()A．∠A＝∠D B．∠C＝∠FC．∠B＝∠E D．∠C＝∠D7．如图6所示，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H.已知EH＝2，AD＝5，则CH的长是()图6A．1 B．2 C．3 D．48．如图7，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，若∠1＝38°，则∠BDE的度数为()图7A．71°B．76°C．78°D．80°9．已知：如图8，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6.延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______时，△ABP和△DCE全等．()图8A．1 B．1或3C．1或7 D．3或7二、填空题(每小题4分，共16分)10．如图9，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是____________________．图911．如图10，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝________°.图1012．如图11所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使钢条AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是________．图1113．如图12，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C，D，E，F共线．有下列结论：①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC.其中正确的是____________．(填上正确结论的序号)图12三、解答题(共48分)14．(10分)如图13，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD ＝140°，求∠EDF的度数．图1315．(12分)如图14，点B，F，C，E在直线l上(点F，C之间不能直接测量距离)，点A，D在l异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若BE＝10 m，BF＝3 m，求FC的长度．图1416．(12分)如图15所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC.求证：(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF.图1517．(14分)如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点，将一块锐角为45°的三角尺按图所示放置，三角尺斜边的两个端点刚好分别与点A，D重合，连接BE，CE.试猜想线段BE和CE的数量及位置关系，并证明你的猜想．图16答案1．[解析] C 由全等形的概念可知A ，B 项中的两个图形大小不同，D 项中的两个图形形状不同，C 项中两个图形则完全相同．故选C.2．[解析] A ∵△ABC ≌△ADE ，∠B ＝40°，∠C ＝75°，∴∠B ＝∠D ＝40°，∠E ＝∠C ＝75°.∴∠EAD ＝180°－∠D －∠E ＝65°.故选A. 3．[解析] B 在△ABC 和△CDA 中，∵⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠D ，AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA .∴A 项正确；∴AB ＝CD ，∠ACB ＝∠CAD .∴D 项正确；∴AD ∥BC .∴C 项正确．故选B.4．C 5.C 6.B 7.C8．[解析] A ∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE . 在△AOD 和△BOE 中，∵∠A ＝∠B ，∴∠BEO ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO .∴∠AEC ＝∠BED . 在△AEC 和△BED 中，∵⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED .(ASA ) ∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE . 在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝38°，∴∠C ＝∠EDC ＝71°. ∴∠BDE ＝∠C ＝71°.故选A.9．[解析] C 因为AB ＝CD ，若∠ABP ＝∠DCE ＝90°，BP ＝CE ＝2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE .由题意，得BP ＝2t ＝2，所以t ＝1.因为AB ＝CD ，若∠BAP ＝∠DCE ＝90°，AP ＝CE ＝2，根据SAS 证得△BAP ≌△DCE .由题意，得AP ＝16－2t ＝2，解得t ＝7，所以当t 的值为1或7时，△ABP 和△DCE 全等．故选C.10．三角形具有稳定性11．[答案] 30[解析] ∵△ABC ≌△A 1B 1C 1， ∴∠C 1＝∠C .又∵∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－110°－40°＝30°， ∴∠C 1＝∠C ＝30°. 12．SAS13．[答案] ①②③[解析] ∵∠EAF ＝∠BAC ，∴∠BAF ＝∠CAE .又∵AF ＝AE ，AB ＝AC ， ∴△F AB ≌△EAC .(SAS )故①正确；∴BF ＝CE .故②正确；∴∠ABF ＝∠ACE . ∵∠BDF ＝∠ADC ，∴∠BFD ＝∠DAC ，∴∠BFD ＝∠EAF . 故③正确；无法判定AB ＝BC .故④错误．故答案为①②③. 14．解：∵∠AFD ＝140°， ∴∠DFC ＝40°. ∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， ∴∠DEB ＝∠FDC ＝90°. 在Rt △BDE 和Rt △CFD 中，∵⎩⎨⎧BD ＝CF ，BE ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CFD .(HL ) ∴∠BDE ＝∠CFD ＝40°.∴∠EDF ＝180°－∠FDC －∠BDE ＝50°. 15．解：(1)证明：∵AB ∥DE ， ∴∠ABC ＝∠DEF . 在△ABC 与△DEF 中，∵⎩⎨⎧∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，∴△ABC ≌△DEF .(ASA ) (2)∵△ABC ≌△DEF ， ∴BC ＝EF .∴BF ＋FC ＝EC ＋FC . ∴BF ＝EC .∵BE ＝10 m ，BF ＝3 m ， ∴FC ＝10－3－3＝4(m)．16．证明：(1)∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， ∴∠BAE ＝∠CAF ＝90°.∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAF ＋∠BAC ， 即∠EAC ＝∠BAF . 在△AEC 和△ABF 中，∵⎩⎨⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAF ，AC ＝AF ，∴△AEC ≌△ABF .(SAS ) ∴EC ＝BF .(2)如图，根据(1)可得△AEC ≌△ABF , ∴∠AEC ＝∠ABF . ∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°. ∴∠AEC ＋∠ADE ＝90°. 又∵∠ADE ＝∠BDM ， ∴∠ABF ＋∠BDM ＝90°.∴在△BDM 中，∠BMD ＝180°－(∠ABF ＋∠BDM )＝180°－90°＝90°.∴EC ⊥BF .17．解：BE ＝CE ，BE ⊥CE .证明：∵AC ＝2AB ，D 是AC 的中点， ∴AB ＝AD ＝CD .∵∠EAD ＝∠EDA ＝45°， ∴∠EAB ＝∠EDC ＝135°. 在△EAB 和△EDC 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠EAB ＝∠EDC ，AE ＝DE ，∴△EAB ≌△EDC .(SAS ) ∴∠AEB ＝∠DEC ，BE ＝CE . ∴∠BEC ＝∠AED ＝90°， 即BE ＝CE ，BE ⊥CE .1、三人行，必有我师。
2023八年级数学上册第14章全等三角形14.1全等三角形教案(新版)沪科版
发放预习材料，引导学生提前了解全等三角形的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习全等三角形内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确全等三角形教学目标和全等三角形重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保全等三角形教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习全等三角形的积极性。
2. 掌握全等三角形的性质：学习全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 学会使用全等三角形解决几何问题：通过实际例题，引导学生运用全等三角形的性质解决几何问题，提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
4. 培养学生的合作学习和探究能力：在教学过程中，教师组织学生进行小组合作学习，引导学生主动探究全等三角形的性质和判定方法，培养学生的合作学习和探究能力。
5. 教学工具：准备投影仪、计算机、白板等教学工具，以便教师能够清晰地展示教学内容，并与学生进行互动。
6. 学习任务单：设计一份学习任务单，列出本节课的学习目标、任务和要求。学生可以通过完成学习任务单，巩固所学内容并进行自我评估。
7. 课堂练习题：准备一份课堂练习题，包括一些与全等三角形相关的实际问题。这些练习题应能够帮助学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
3. 数学建模：培养学生运用全等三角形的性质解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。
4. 数学交流：在小组合作学习和探究过程中，培养学生运用数学语言表达全等三角形的性质和判定方法，提高学生的数学交流能力。
5. 数学思维：通过解决几何问题，培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
b. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两组对应边和它们夹的对应角分别相等，那么这两个三角形全等；
八年级数学上册-第14章 全等三角形 复习课件-沪科版
D
C
证明：在△ABO和△CDO中
O
A
B
OA=OC ∠AOB= ∠COD OB=OD
∴△ABO≌△CDO（SAS）
∴∠A=∠C
∴DC∥AB
练习2：已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点 B，C，D在一条直线上求证：BE=AD。
证明：
E
∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
A
∴AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
A
证明：∵AD是角平分线
DE⊥AB，DF⊥AC
E
F
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°
B
C
在RT△BED和RT△CFD中
D
DE=DF
BD=CD
∴RT△BED≌RT△CFD（HL）
∴EB=FC
例4：如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C， 试问AD=AE吗？为什么？
A
D
E
B
C
解：AD=AE
A
D
B
1
2
C
证明：在△ABC和△DCB中， AC=DB ∠1=∠2 BC=CB
∴△ABC≌△DCB（SAS） ∴∠A=∠D
练习5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那 么AC等于AD吗？为什么？
C
3
AE
1 2
4
D
解：AC=AD
B
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴△EBC≌△EBD（AAS） ∴BC=BD 在△ABC和△ABD中， AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴△ABC≌△ABD（SAS） ∴AC=AD
B
练习
沪科版(安徽)数学八年级上册第14章知识点总结
∵ ∠B=∠E
BC=EF
3、“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
在△ABC和△DEF中
∵ ∠B=∠E
∠C=∠F
AB=DE
∴△ABC≌△DEF
4、“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）
在△ABC和△DEF中
∵ AB=DE
BC=EF
AC=DF
∴△ABC≌△DEF
另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法。
“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∵ AB=DE
AC=DF
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF
沪教版八年级数学上册复习要点
第十四章全等三角形
全等三角形
一、性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等。
二、判定：
1、“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）
在△ABC和△DEF中
∵ AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF
2、“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）
【沪科版】2019年秋八年级数学上册第14章《全等三角形》单元试卷附解析
2019年秋八年级数学上册第14章《全等三角形》单元试卷班级姓名一、选择题1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE二、填空题4．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE= ．三、解答题7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．8．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．9．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．10．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．11．已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．12．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．14．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．15．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．16．如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．参考答案与试题解析一、选择题1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选A．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．2．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA=60°，∴∠AMC=120°，∴∠AMC+∠PBQ=180°，∴P、B、Q、M四点共圆，∵BP=BQ，∴，∴∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．【解答】解：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．二、填空题4．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，∴∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，∴A、B、E三点共线，过C作CM⊥AE于M，∵AC=CE，∴AM=EM=×（5+3）=4，在Rt△AMC中，AC===；解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵点C为弧BD的中点，∴=，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，设BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC==，故答案为：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE= 15°．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】根据正方形、等边三角形的性质，可得AO=BO，OE=OF，根据SSS可得△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°．∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2=（90°﹣60°）÷2=15°，故答案为15°．【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形、等边三角形的性质，利用SSS证明三角形全等得出∠AOE=∠BOF是解题的关键．三、解答题7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．【解答】解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．8．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．【解答】证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF （SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．9．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；新定义．【分析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．【解答】证明：∵在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．10．庆）如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等式的性质得出BD=CE，再利用SAS得出：△ABD与△FEC全等，进而得出∠ADB=∠FCE．【解答】证明：∵BC=DE，∴BC+CD=DE+CD，即BD=CE，在△ABD与△FEC中，，∴△ABD≌△FEC（SAS），∴∠ADB=∠FCE．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE，再利用全等三角形的判定和性质解答．11．已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DFB中，，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：，MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=， =，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．12．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．【解答】解：如图，∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AB=DE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．14．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AB=CD；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，BE=CF，∵AB=CF，∠B=30°，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠D=．【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．15．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】AC与BD垂直，理由为：利用SSS得到三角形ABD与三角形CBD全等，利用全等三角形对应角相等得到BD为角平分线，利用三线合一性质即可得证．【解答】解：AC⊥BD，理由为：在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABO=∠CBO，∵AB=CB，∴BD⊥AC．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．16．如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质，证明AB=CD，AB∥CD，进而证明∠BAC=∠DCF，根据ASA即可证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∴△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．。
沪科版八年级上册数学第14章 全等三角形单元测试卷及解析
沪科版八年级上册数学第14章全等三角形单元测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题( )A. 形状相同的两个图形B. 周长相等的两个图形C. 面积相等的两个图形D. 能够完全重合的两个图形2.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A. 0根B. 1根C. 2根D. 3根3.已知如图所示的两个三角形全等，则∠1=（）A. 72∘B. 60∘C. 50∘D. 58∘4.如图，已知∠ADB＝∠ADC，欲证△ABD≌△ACD，还必须从下列选项中选一个补充条件，则错误的选项是( )A. ∠BAD＝∠CADB. ∠B＝∠CC. BD＝CDD. AB＝AC5.如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，∠A=∠DCE，∠ACB=∠E，CD=AB.若BC=8，BE=1，则AC的长为（）A. 8B. 9C. 10D. 116.如图，AC=CD，∠B=∠E=90∘,AC⊥CD，则下列结论不正确的是（）A. ∠A与∠D互为余角B. ∠A=∠2C. ΔABC≅ΔCEDD. ∠1=∠27.如图，∠A=∠D，OA=OD，∠DOC=50∘，∠DBC的度数为（）A. 50∘B. 30∘C. 45∘D. 25∘8.如图，AD=AE，BD=CE，∠ADB=∠AEC=100∘,∠BAE=65∘,下列结论错误的是（）A. ΔABE≅ΔACDB. ΔABD≅ΔACEC. ∠DAE=60∘D. ∠C=35∘9.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF、CE，且∠FBD=35°，∠BDF=75°，下列说法：①△BDF≌CDE；②ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④∠DEC=70°，其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，已知线段AB=18米，MA ⊥AB 于点A ，MA=6米，射线BD ⊥AB 于点B ，P 点从B 点出发向A 运动，每秒走1米，Q 点从B 点向D 点运动，每秒走2米，P ，Q 同时从B 出发，则出发x 秒后，在线段MA 上有一点C ，使△CAP 与△PBQ 全等，则x 的值为（ ）A. 4B. 6C. 4或9D. 6或9第II 卷（非选择题）二、解答题（题型注释）AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：∠BAC ＝∠DAC ．12.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABD=∠CAE ，点E 在DA 的延长线上，AE=BD ，求证：EC//BD13.如图， //AB CD E ，是CD 上一点，BE 交AD 于点.F EF BF =，求证： AF DF =．14.如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．15.如图，点C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE.（1）求证：ΔACD≅ΔBCE（2）若∠D=53∘，求∠B的度数.16.如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证：BC=AB+CD17.学习了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情况进行研究.（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角，钝角，锐角”三种情况进行探索. （深入探究）（1）当∠B是直角时，如图①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90∘，根据可以知道RtΔABC≅RtΔDEF.（2）当∠B是钝角时，如图②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B,∠E 都是钝角，求证：ΔABC ≅ΔDEF .（3）当∠B 是锐角时，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B =∠E ，且∠B,∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等（不写做法，保留作图痕迹）三、填空题ABC 的周长为100cm ，DE ＝30cm ，DF ＝25cm ，那么BC ＝ ．19.如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=20.如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ．21.如图，在△ABC 中，∠ABC =45∘,CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 相交于点F，DH ⊥BC 于点H ，交BE 于点G.下列结论：①BD=CD ；②AD+CF=BD ；③CE =12BF ；④AE=CF.其中正确的是____________（填序号）A B CDEF参考答案1.D【解析】1.根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、形状相同的两个图形大小不一定相等，所以，不是全等图形，故本选项错误；B、周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误；C、面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误；D、能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项正确．故选：D．2.B【解析】2.三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B3.D【解析】3.利用三角形的内角和等于180°求出边b所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等解答．如图, ∠2=180°−50°−72°=58°，∵两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°.故答案为：D.4.D【解析】4.全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．解：A、符合ASA定理，即根据ASA即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；B、符合AAS定理，即根据AAS即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；C、符合SAS定理，即根据SAS即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；故选：D．5.B【解析】5.只要证明△ACB≌△CED，即可推出AC=CE，由此即可解决问题．在△ACB和△CED中，{∠A=∠DCE ∠ACB=∠E AB=CD∴△ACB≌△CED，∴ AC=CE，∵CE=EB+BC=8+1=9，∴ AC=EC=9．故选B．6.D【解析】6.根据全等三角形的判定与性质，可得答案．∵AC⊥CD∴∠ACD=90°,∴∠1+∠2=90°∵∠1+∠A=90°,∴∠A=∠2.∵∠2+∠D=90°,∴∠A+∠D=90°，故A正确；∵AC⊥CD,∠ACD=90°,∴∠1+∠2=90°.∵∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，故B正确；在△ABC和△CED中,{∠A=∠2∠B=∠E AC=CD∴△ABC≌△CED(AAS)，故C正确；∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∴∠1+∠2=90°，故D错误；故选：D.7.D【解析】7.由题中条件易证得△AOB≌△DOC，可得∠ACB=∠DBC，由三角形外角的性质可得∠DOC=∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度数．∵∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC（ASA），∴∠ACB=∠DBC，∵∠DOC=∠ACB+∠DBC，∴∠DBC=12∠DOC=25°．故选D．8.C【解析】8.此题需要结合已知条件与相关知识用排除法来对第一结论进行验证从而确定最终答案．A、正确．∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵BD=CE∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD∴△ABE≌△ACD（SAS）B、正确．∵△ABE≌△ACD∴AB=AC，∠B=∠C∵BD=CE∴△ABD≌△ACE（SAS）C、错误．∵∠ADB=∠AEC=100°∴∠ADE=∠AED=80°∴∠DAE=20°D、正确．∵∠BAE=65°∴∠BAD=45°∵∠ADB=∠AEC=100°∴∠B=∠C=35°故选C．9.D【解析】9.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD的面积=△ACD的面积，在△BDF和△CDE中,{BD CD BDF CDE DF DE=∠=∠=，∴△BDF≌△CDE(SAS)，故①②正确∴∠F=∠CED，∠DEC=∠F，∴BF∥CE，故③正确，∵∠FBD=35°,∠BDF=75°，∴∠F=180°−35°−75°=70°，∴∠DEC=70°，故④正确；综上所述，正确的是①②③④4个。
沪科版八年级数学上册 第14章 全等三角形 复习课件 (共22张PPT)
复习题
要点梳理
一、全等三角形的性质 能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的边叫做对应边， 重合的角叫做对应角.
D B和 点E ，点C和_点F _是对应顶点. 其中点A和 点 ，点 AB和 DE ，BC和EF ，AC和 DF 是对应边.
∠BAO =∠CAO吗？为什么？
解： ∠BAO=∠CAO， 理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC，
B A C O
∴ ∠B=∠C=90°.
在Rt△ABO和Rt△ACO中，
OB=OC，AO=AO，
∴ Rt△ABO≌Rt△ACO ，（HL）
∴ ∠BAO=∠CAO.
热点四 利用全等三角形解决实际问题
例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂 直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离 相等吗？ 【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题 就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，
D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
3.如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB 添加 或∠AOC=∠BOD ， 所以 条件 ∠C=∠D △AOC≌△BOD 理由是 AAS . 或ASA
C O A D
B
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
例3 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC 交AC于点F, 求证：∠DEC=∠FEC.
A
D
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知）， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
沪科版八年级数学上册第14章 全等三角形单元复习讲义(含答案)
第14章全等三角形14．1全等三角形01基础题知识点1认识全等形1．下列图形是全等形的是(B)2．(芜湖无为县期末)下列说法正确的是(C)A．两个面积相等的图形一定是全等形B．两个长方形是全等形C．两个全等形形状一定相同D．两个正方形一定是全等形知识点2全等三角形及对应元素3．(合肥长丰县期末)下列说法正确的是(D)A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．两个等边三角形是全等三角形D．全等三角形是指两个能完全重合的三角形4．如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌△ADC，AB的对应边是AD，AC的对应边是AC，∠BCA的对应角是∠DCA.5．(教材P95练习T2变式)如图，△ABC≌△CDA，AB与CD是对应边，请回答下列问题：(1)找出对应角和另外两组对应边；(2)用对应边找对应角，用对应角找对应边有何规律？解：(1)对应角：∠BAC与∠DCA，∠ACB与∠CAD，∠B与∠D.其他对应边：BC与DA，AC与CA.(2)对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边．知识点3全等三角形的性质6．(淮南期中)△ABC≌△DEF，下列结论中不正确的是(D)A ．AB ＝DE B ．BE ＝CFC ．BC ＝EFD ．AC ＝DE7．(马鞍山当涂县期末)如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A ＝36°，∠C ′＝24°，则∠B ＝120°．第7题图 第8题图8．如图所示，点C 为直线BE 上一点，△ABC ≌△ADC ，∠DCF ＝∠ECF ，则AC 和CF 的位置关系是互相垂直．9．(蚌埠期末)一个三角形的三边长为6，10，x ，另一个三角形的三边长为y ，6，12.如果这两个三角形全等，那么x ＋y ＝22．【变式】 变式点：对应边确定→对应边不确定已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x －2，2x －1.若这两个三角形全等，则x 等于(C )A .73B ．4C ．3D ．3或73易错点 忽略全等三角形中的对应关系10．(池州石台县期末)已知图中的两个三角形全等，则∠1等于(C)A ．70°B ．50°C ．60°D ．120°11．(合肥庐江县期中)已知△ABC ≌△FED ，若△ABC 的周长为32，AB ＝8，BC ＝12，则FD 的长为12．02 中档题12．如图，△ABC ≌△EBD ，AB ＝4 cm ，BD ＝7 cm ，则CE 的长度为(B) A ．2 cm B ．3 cm C ．3.5 cm D ．4 cm第12题图 第13题图13．(合肥肥东县期末)如图，△ABC ≌△DBE ，点D 在线段AC 上，线段BC 与DE 交于点F.下面各项中，不能推导出的结论是(D)A ．∠EBF ＝∠ABDB ．∠EBF ＝∠FDC C ．∠ABD ＝∠FDC D ．∠ABD ＝∠FBD14．(安庆期末)如图所示，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于点F ，交DE 于点G.若∠ACB ＝105°，∠CAD ＝15°，∠B ＝30°，则∠1的度数为60°．15．如图所示，已知△ABC ≌△DEF ，且B ，E ，C ，F 在同一条直线上． (1)BE ＝CF 吗？试说明理由；(2)如果∠A ＝50°，求∠D 和∠EGC 的度数．解：(1)BE ＝CF.理由：∵△ABC ≌△DEF ， ∴BC ＝EF.∴BC －EC ＝EF －EC ，即BE ＝CF.(2)∵△ABC ≌△DEF ，∴∠D ＝∠A ＝50°，∠B ＝∠DEF.∴AB ∥DE.∴∠EGC ＝∠A ＝50°.16．(教材P 96习题T 4变式)如图，△ABC ≌△ADE ，∠DAC ＝60°，∠BAE ＝100°，BC ，DE 相交于点F ，求∠DFB 的度数．解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B ＝∠D ，∠BAC ＝∠DAE.又∵∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE.∵∠DAC ＝60°，∠BAE ＝100°， ∴∠BAD ＝12(∠BAE －∠DAC)＝20°.∵在△ABG 和△FDG 中，∠B ＝∠D ，∠AGB ＝∠FGD ， ∴∠DFB ＝∠BAD ＝20°.03 综合题17．如图所示，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3 cm /s 的速度由点B 向点C 运动．同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm /s 的速度运动，设运动的时间为t s .(1)求CP 的长；(用含t 的式子表示)(2)若以C ，P ，Q 为顶点的三角形和以B ，D ，P 为顶点的三角形全等，且∠B 和∠C 是对应角，求a 的值．解：(1)∵BP ＝3t cm ，BC ＝8 cm ，∴CP ＝(8－3t)cm .(2)①若△BDP ≌△CPQ ，则BD ＝CP ，BP ＝CQ. ∵AB ＝10 cm ，D 为AB 的中点，∴BD ＝5 cm .∴5＝8－3t ，解得t ＝1.∵BP ＝CQ ，∴3t ＝at ，解得a ＝3；②若△BDP ≌△CQP ，则BP ＝CP ，BD ＝CQ ， ∴3t ＝8－3t ，解得t ＝43.∵BD ＝CQ ，∴5＝a ×43，解得a ＝154.综上所述，a 的值为3或154.14．2 三角形全等的判定14．2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形(SAS )01 基础题知识点1 用SAS 判定三角形全等1．下图中全等的三角形有(D )A ．图1和图2B ．图2和图3C ．图2和图4D ．图1和图32．如图，AC ，BD 相交于点O ，若OA ＝OD ，用“SAS ”证明△AOB ≌△DOC ，还需添加条件(B) A ．∠AOB ＝∠DOC B ．OB ＝OC C ．∠C ＝∠D D ．AB ＝CD第2题图 第3题图3．(教材P112习题4变式)已知：如图，点E ，A ，C 在同一条直线上，AB ∥CD ，AB ＝CE ，AC ＝CD ，可利用“SAS ”来判定△ABC ≌△CED ．4．(南充中考)如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC.求证：∠C ＝∠E.证明：∵∠BAE ＝∠DAC ，∴∠BAE －∠CAE ＝∠DAC －∠CAE ， 即∠BAC ＝∠DAE.在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS )．∴∠C ＝∠E.5．(合肥瑶海区期末)已知：如图，AB ＝DE ，AB ∥DE ，BE ＝CF ，且点B ，E ，C ，F 都在一条直线上，求证：AC ∥DF.证明：∵AB ∥DE ， ∴∠B ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS )． ∴∠ACB ＝∠F. ∴AC ∥DF.知识点2 SAS 的应用6．【关注社会生活】如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成1、2两部分，现需配成同样大小的一面镜子．为了方便起见，需带上1号部分，其理由是有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．第6题图 第7题图7．把两根钢条AC ，BD 的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．如图，若测得AB ＝5厘米，则槽宽CD 为0.05米．易错点1 考虑问题不全面而出错8．(合肥庐阳区校级月考)如图，AC ，BD 相交于点O ，且AO ＝CO ，BO ＝DO ，则图中全等的三角形有(A )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对易错点2 忽略两边一角中的角是两边的夹角这一特征而致错9．(铜陵义安区期末)如图，已知AB ＝DE ，BE ＝CF ，添加下列条件中哪一个能使△ABC ≌△DEF(B)A ．∠A ＝∠DB ．AB ∥DEC ．BE ＝ECD ．AC ∥DF02 中档题10．(教材P 100练习T 2变式)如图所示，O 为AC 的中点，如果要利用“SAS ”来判定△AOB ≌△COD ，那么应补充的一个条件是(D )A ．∠A ＝∠CB ．AB ＝CDC ．∠B ＝∠CD ．OB ＝OD11．(淮南潘集区期中)如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝50°，AK ＝BN ，AM ＝BK ，则∠MKN 的度数是(A )A ．50°B ．60°C ．70°D ．100°12．(宜昌中考)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB ＝DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE.(1)求证：△ABE ≌△DBE ；(2)若∠A ＝100°，∠C ＝50°，求∠AEB 的度数．解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠DBE.在△ABE 和△DBE 中，⎩⎨⎧AB ＝DB ，∠ABE ＝∠DBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE(SAS )．(2)∵∠A ＝100°，∠C ＝50°， ∴∠ABC ＝180°－∠A －∠C ＝30°. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBE ＝12∠ABC ＝15°.∴∠AEB ＝180°－∠A －∠ABE ＝180°－100°－15°＝65°.13．(教材P111习题T3变式)如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，且EF ＝DE .求证：(1)BD ＝FC ； (2)AB ∥CF .证明：(1)∵E 为AC 的中点， ∴AE ＝EC .在△AED 和△CEF 中，⎩⎨⎧AE ＝CE ，∠AED ＝∠CEF ，ED ＝EF ，∴△AED ≌△CEF (SAS)． ∴AD ＝CF .又∵点D 为AB 的中点， ∴AD ＝BD .∴BD ＝CF .(2)由(1)知△AED ≌△CEF ，∴∠ADE ＝∠F .∴AB ∥FC .14．(亳州期末)如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD ＝CE. (1)求证：△ACD ≌△BCE ；(2)若∠D ＝50°，求∠B 的度数．解：(1)证明：∵点C 是线段AB 的中点， ∴AC ＝BC.又∵CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ， ∴∠ACD ＝∠DCE ，∠DCE ＝∠BCE. ∴∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧CD ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∴△ACD ≌△BCE(SAS )．(2)∵∠ACD ＋∠DCE ＋∠ECB ＝180°， ∠ACD ＝∠DCE ＝∠ECB ， ∴∠ACD ＝∠DCE ＝∠ECB ＝60°. ∵△ACD ≌△BCE ，∴∠E ＝∠D ＝50°.∴∠B ＝180°－∠E －∠ECB ＝70°.03综合题15．(内江中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC.证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC(SAS)．∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠AEB＋∠BED＝∠DEC＋∠BED.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.16．(淮南谢家集区期末)如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1＋∠2的度数为90°．14．2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形(ASA)01 基础题知识点1 用ASA 判定三角形全等1．如图，已知△ABC 的三条边和三个角六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是(D )A ．只有乙B ．只有丙C ．甲和乙D ．乙和丙2．下列能判定△ABC ≌△DEF 的条件是(D ) A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E3．如图所示，已知∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，若以“ASA”为依据说明△ABC ≌△DEF ，还需添加的一个条件为(A)A ．∠A ＝∠DB ．∠ACB ＝∠DFEC ．BC ＝EFD ．BE ＝CF第3题图 第4题图4．如图，点P 在∠AOB 的平分线上，∠APO ＝∠BPO ，则根据ASA 就可判定△AOP ≌△BOP. 5．(教材P 112习题T 5变式)(福州中考)如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝AD.证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD.在△ABC 和△ABD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ，∴△ABC ≌△ABD(ASA )． ∴AC ＝AD.6．(教材P 102练习T 1变式)如图，∠1＝∠2，∠ABC ＝∠DCB.求证：AB ＝DC.证明：∵∠ABC ＝∠DCB ，∠1＝∠2， ∴∠ABC －∠1＝∠DCB －∠2， 即∠DBC ＝∠ACB.在△ABC 和△DCB 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝CB ，∠ABC ＝∠DCB ，∴△ABC ≌△DCB(ASA )．∴AB ＝DC.知识点2 ASA 的应用7．(教材P112习题T6变式)如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带________去(D)A ．①B ．②C ．③D ．④ 8．【关注热点信息】某同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下：如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD 相交于点O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝25m ．根据上述信息，标语CD 的长度为25m .9．(教材P 102例4变式)如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，为什么？解：在测量过程中，∵AC ⊥AB ， ∴∠CAB ＝∠CAB′＝90°. 在△ACB 和△ACB′中，⎩⎨⎧∠CAB ＝∠CAB′，AC ＝AC ，∠ACB ＝∠ACB′，∴△CAB ≌△CAB ′(ASA )．∴AB ＝AB′.易错点 弄错全等三角形中对应元素而出错10．如图，∠B ＝∠ACD ，∠ACB ＝∠D ＝90°，AC 是△ABC 和△ACD 的公共边，所以就可以判定△ABC ≌△ACD.你认为正确吗？答：不正确．因为AC 虽是两三角形公共边但不是它们的对应边，所以不能全等．02 中档题11．如图，AB ∥CD ，点C 是BE 的中点，利用“ASA ”证明△ABC ≌△DCE ，还需要的条件是(C ) A ．AB ＝DC B ．∠A ＝∠D C ．AC ∥DE D ．AC ＝DE第11题图 第12题图 12．如图，AC ＝AE ，∠C ＝∠E ，∠CDE ＝55°，则∠ABE ＝125°．13．(池州石台县期末)如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.求证：△AEC ≌△BED.证明：∵∠AOD ＝∠BOE ，∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO. ∴∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED(ASA )．14．(淮南谢家集区期中)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线l 上(点F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在直线l 的异侧，测得AB ＝DE ，AB ∥DE ，AC ∥DF.(1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE ＝14 m ，BF ＝5 m ，求FC 的长度．解：(1)证明：∵AB ∥DE ， ∴∠ABC ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ， ∴∠ACB ＝∠EFD. ∴∠A ＝∠D.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )． (2)∵△ABC ≌△DEF ， ∴BC ＝EF.∴BF ＋FC ＝EC ＋FC. ∴BF ＝EC.∵BE ＝14 m ，BF ＝5 m ，∴FC ＝14－5－5＝4(m )．15．(陕西中考)如图，已知：AB ＝AC ，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，且AD ＝AE ，求证：△BDF ≌△CEF.证明：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )． ∴∠B ＝∠C.∵∠BDF ＝∠A ＋∠C ，∠CEF ＝∠A ＋∠B ， ∴∠BDF ＝∠CEF.∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BD ＝CE. 在△BDF 和△CEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∠BDF ＝∠CEF ，∴△BDF ≌△CEF(ASA )．03 综合题16．(亳州涡阳县期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2 cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF ＝5 cm ，求AE 的长．解：∵EF ⊥AC ，∴∠FEC ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠FEC ，∠ECF ＋∠BCD ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°. ∴∠ECF ＝∠B.在△FCE 和△ABC 中，⎩⎨⎧∠ECF ＝∠B ，EC ＝CB ，∠FEC ＝∠ACB ，∴△FCE ≌△ABC(ASA )． ∴EF ＝AC.∵BC ＝2 cm ，EF ＝5 cm ， ∴AE ＝AC －CE ＝EF －BC ＝3 cm .14．2.3 三边分别相等的两个三角形(SSS )01 基础题知识点1 用SSS 判定三角形全等1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EB ＝EC ，则由“SSS ”可以直接判定(B )A ．△ABD ≌△ACDB ．△ABE ≌△ACEC ．△BDE ≌△CDED ．以上答案都不对2．如图，AD ＝BC ，AC ＝BD ，用三角形全等的判定“SSS”可证明△ADC ≌△BCD 或△ABD ≌△BAC ．第2题图 第3题图3．(教材P105练习T3变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 两点在BC 上，且有AD ＝AE ，BD ＝CE .若∠BAD ＝30°，∠DAE ＝50°，则∠BAC 的度数为110°．4．(蒙城六中段考)如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF.求证：∠A ＝∠D.证明：∵BE ＝CF ，BC ＝BE ＋EC ，EF ＝EC ＋CF. ∴BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF(SSS )． ∴∠A ＝∠D.5．(六安月考)如图，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE.求证：AD ⊥AE.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS )． ∴∠EAC ＝∠DAB. ∴∠DAE ＝∠BAC.∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°. ∴∠DAE ＝90°，即AD ⊥AE.6．(教材P112习题T8变式)思考：一个平分角的仪器如图1所示，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是这个角的平分线，请说明理由．操作：如图2，利用直尺和圆规作已知角平分线的作法如下：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N .②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧在∠AOB 的内部相交于点C .③画射线OC ，射线OC 即为所求．根据以上作法可知，△OMC ≌△ONC 的依据是SSS ．应用：工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图3，∠AOB 是一个任意角，在边AO ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ，求证：∠MCD ＝∠NCD .解：思考：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)． ∴∠BAC ＝∠DAC .∴AE 是∠BAD 的平分线．应用：证明：在△OMC 和△ONC 中，⎩⎨⎧OM ＝ON ，MC ＝NC ，OC ＝OC ，∴△OMC ≌△ONC (SSS)． ∴∠MCO ＝∠NCO .∵∠MCO ＋∠MCD ＝180°，∠NCO ＋∠NCD ＝180°， ∴∠MCD ＝∠NCD .知识点2 三角形的稳定性7．(合肥包河区期末)空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性．第7题图 第8题图8．(安徽期中)如图，要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上的木条的根数为1条．02 中档题9．(蚌埠怀远县期末)如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，∠B ＝30°，∠BAD ＝50°，则∠BCD 的度数是(A ) A ．110° B ．100° C ．120° D ．80°第9题图 第10题图10．(蒙城段考)如图，AB ＝CD ，BC ＝DA ，点E ，F 在AC 上，且AE ＝CF ，则图中的全等三角形有(C) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对11．(合肥庐阳区校级月考)如图，在①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③∠B ＝∠C ；④BD ＝CE 四个条件中，能证明△ABD 与△ACE 全等的条件顺序是(C)A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．③②④12．(安庆望江期末)如图，AC ＝BD ，AB ＝DC.求证：∠B ＝∠C.证明：连接AD ，在△ABD 和△DCA 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，AC ＝DB ，AD ＝DA ，∴△ABD ≌△DCA(SSS )． ∴∠B ＝∠C.13．(合肥长丰县期末)已知，如图，A ，D ，C ，B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，求证： (1)DF ∥CE ； (2)DE ＝CF.证明：(1)∵AD ＝BC ， ∴AC ＝BD.又∵AE ＝BF ，CE ＝DF ， ∴△ACE ≌△BDF(SSS )． ∴∠FDC ＝∠ECD. ∴DF ∥CE.(2)由(1)可得△ACE ≌△BDF ， ∴∠A ＝∠B.又∵AD ＝BC ，AE ＝BF ， ∴△ADE ≌△BCF(SAS )． ∴DE ＝CF.03 综合题14．(阜阳十九中月考)如图，在一个风筝ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，分别在AB ，AD 的中点E ，F 处挂两根彩线EC ，FC.求证：EC ＝FC.证明：连接AC.在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )． ∴∠EAC ＝∠FAC.∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴AE ＝12AB ，AF ＝12AD.∵AB ＝AD ，∴AE ＝AF.在△AEC 和△AFC 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAC ＝∠FAC ，AC ＝AC ，∴△AEC≌△AFC(SAS)．∴EC＝FC.15．(蚌埠淮上区期末)如图，已知△ABC(AC＞AB)，DE＝BC，以D，E为顶点作三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出4个．14．2.4其他判定两个三角形全等的条件(AAS)01基础题知识点1用SSA和AAA不能判定三角形全等1．(马鞍山当涂县期末)如图，已知∠1＝∠2，下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是(B)A．AB∥DC B．AB＝CDC．AD＝BC D．∠B＝∠D第1题图第2题图2．(蚌埠期末)如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(C)A．AB＝DE B．AC＝DFC．∠A＝∠D D．BF＝EC3．(宣城期末)如图，在△ABC和△DEC中，AB＝DE.若添加条件后使得△ABC≌△DEC，则在下列条件中，不能添加的是(D)A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠DD．BC＝EC，∠A＝∠D知识点2用AAS判定三角形全等4．(百色中考)如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD相交于点O，则能直接运用“AAS”判定全等的三角形是(D)A．△AOD≌△AOB B．△AOD≌△CODC．△ADC≌△DAB D．△AOB≌△DOC第4题图第5题图5．(阜阳颍上县期末)如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7 cm，AC＝3 cm，则BD的长为(B)A．3 cm B．4 cmC．1 cm D．2 cm6．如图，∠1＝∠2，由“AAS”判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是∠B＝∠C.第6题图 第7题图7．(合肥庐阳区校级月考)如图，AE ＝AD ，∠B ＝∠C ，BE ＝6，AD ＝4，则AC ＝10．8．(合肥包河区期末)如图，点F ，C 在BE 上，BF ＝CE ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E.求证：AB ＝DE.证明：∵BF ＝CE ， ∴BF ＋CF ＝CE ＋CF ， 即BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(AAS )． ∴AB ＝DE.9．(益阳中考)已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB ＝70°，∠D ＝110°，求证：△ABC ≌△EAD.证明：∵∠ECB ＝70°， ∴∠ACB ＝110°. 又∵∠D ＝110°， ∴∠ACB ＝∠D. ∵AB ∥DE ，∴∠CAB ＝∠E.在△ABC 和△EAD 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠D ，∠CAB ＝∠E ，AB ＝EA ，∴△ABC ≌△EAD(AAS )．02 中档题10．如图所示，∠CAB ＝∠DBA ，∠C ＝∠D ，AC ，BD 相交于点E ，下列结论不正确的是(B )A ．∠DAE ＝∠CBEB ．△DEA 与△CEB 不全等C ．CE ＝DED ．EA ＝EB11．(安徽模拟)如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是(A )A .50B .62C .65D .6812．(教材P110练习T2变式)(阜阳期末)如图所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF .给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN .其中正确的结论是①②③．(将你认为正确的结论的序号都填上)13．(芜湖期中)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，过C 作AB 的平行线交AD 的延长线于E 点． (1)求证：AB ＝EC ；(2)若AB ＝6，AC ＝2，试求中线AD 的取值范围．解：(1)证明：∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD. ∵AB ∥CE ，∴∠BAD ＝∠E.在△ABD 和△ECD 中，⎩⎨⎧∠BAD ＝∠E ，∠BDA ＝∠CDE ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(AAS )．∴AB ＝EC.(2)由(1)得：△ABD ≌△ECD ， ∴AB ＝EC ＝6，AD ＝DE.在△ACE 中，CE －AC ＜AE ＜CE ＋AC ，即6－2＜2AD ＜6＋2.∴4＜2AD ＜8. ∴2＜AD ＜4.14．(教材P113习题T12变式)(淮北烈山区期末)已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC ＝OD ，E ，F 为AB 上两点，且AE ＝BF .求证：CE ∥DF .证明：∵AC ∥BD ， ∴∠A ＝∠B .在△ACO 和△BDO 中，⎩⎨⎧∠AOC ＝∠BOD ，∠A ＝∠B ，OC ＝OD ，∴△ACO ≌△BDO (AAS)．∴OA ＝OB . ∵AE ＝BF ，∴OE ＝OF .在△COE 和△DOF 中，⎩⎨⎧OC ＝OD ，∠COE ＝∠DOF ，OE ＝OF ，∴△COE ≌△DOF (SAS)． ∴∠OEC ＝∠OFD .∴CE ∥DF .03 综合题15．(芜湖期中)已知：如图，在锐角△ABC 中，BE ，CF 是高，在BE 的延长线上截取BQ ＝AC ，在CF 上截取CP ＝AB ，再分别过点P 作PM ⊥BC 于M 点，过点Q 作QN ⊥BC 于N 点．求证：(1)∠Q ＝∠ACB ； (2)PM ＋QN ＝BC.证明：(1)∵BE 是△ABC 的高， ∴∠ACB ＋∠EBC ＝90°. ∵QN ⊥BC ，∴∠Q ＋∠EBC ＝90°. ∴∠Q ＝∠ACB.(2)过点A 作AH ⊥BC 于点H.∵QN ⊥BC ，AH ⊥BC ，PM ⊥BC ，∴∠QNB ＝∠CHA ＝∠CMP ＝90°.∴∠BAH ＋∠ABC ＝90°，∠BCF ＋∠ABC ＝90°. ∴∠BAH ＝∠BCF.在△QNB 和△CHA 中，⎩⎨⎧∠Q ＝∠ACB ，∠QNB ＝∠CHA ，BQ ＝AC ，∴△QNB ≌△CHA(AAS )．∴QN ＝CH.在△PCM 和△BAH 中，⎩⎨⎧∠PCM ＝∠BAH ，∠CMP ＝∠AHB ，CP ＝AB ，∴△PCM ≌△BAH(AAS )．∴PM ＝BH. ∴PM ＋QN ＝BH ＋CH ＝BC.14．2.5 两个直角三角形全等的判定第1课时 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形(HL )01 基础题知识点1 用HL 判定直角三角形全等1．(淮南田家庵区期中)如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“HL ”．第1题图 第2题图2．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°.若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要添加条件AC ＝AD 或BC ＝BD.3．如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF ＝CE.求证：∠B ＝∠C.证明：∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ， ∴∠DFB ＝∠DEC ＝90°. ∵点D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD.在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧BD ＝CD ，BF ＝CE ，∴Rt △BDF ≌Rt △CDE(HL )． ∴∠B ＝∠C.知识点2 直角三角形全等判定的综合4．(淮南谢家集期中)下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是(D ) A ．两条直角边对应相等 B ．斜边和一锐角对应相等 C ．斜边和一直角边对应相等 D ．两个直角三角形的面积相等5．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，ED ⊥AB 于点D ，BC ＝BD.如果AC ＝3 cm ，那么AE ＋DE 等于(B)A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm6．(蚌埠期末)如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D ，E.若AD ＝5 cm ，DE ＝3 cm ，则CD ＝2_cm _．7．(合肥庐江县期末)如图，点C ，E ，B ，F 在一条直线上，AB ⊥CF 于点B ，DE ⊥CF 于点E ，AC ＝DF ，AB ＝DE.求证：CE ＝BF.证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ， ∴∠ABC ＝∠DEF ＝90°. 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，⎩⎨⎧AC ＝DF ，AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL )． ∴BC ＝EF.∴BC －BE ＝EF －BE ，即CE ＝BF.知识点3 直角三角形全等的实际应用8．如图所示，要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使点A ，C ，E 在一条直线上，利用△EDC ≌△ABC ，得ED ＝AB ，因此测得ED 的长度是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 的理由是(B)A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL第8题图 第9题图9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的宽度DF 相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB 与∠DEF 的度数和为(C)A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°02 中档题10．如图，MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，点A ，D 在直线MN 上，点B ，C 在直线PQ 上，点E 在AB 上，AD ＋BC ＝7，AD ＝EB ，DE ＝EC ，则AB ＝7．11．(教材P109练习T3变式)如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有BF ＝AC ，FD ＝CD ，则BF 与AC 有何位置关系？请说明理由．解：BF ⊥AC ，理由如下： ∵AD 为△ABC 的高， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 在Rt △BDF 和Rt △ADC 中，⎩⎨⎧BF ＝AC ，DF ＝CD ，∴Rt △BDF ≌Rt △ADC (HL)． ∴∠EBC ＝∠DAC .∵∠DAC ＋∠C ＝90°，∴∠EBC ＋∠C ＝90°. ∴BF ⊥AC .12．(淮南潘集区校级月考)如图所示，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，且AB ＝CD.(1)AB 与CD 平行吗？若平行，请说明理由；(2)求证：BD 平分EF.解：(1)AB 与CD 平行． 证明：∵AE ＝CF ， ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即AF ＝CE.∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠BFA ＝∠DEC ＝90°.在Rt △BFA 和Rt △DEC 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △BFA ≌Rt △DEC(HL )．∴BF ＝DE ，∠A ＝∠C. ∴AB ∥CD.(2)在△BFG 和△DEG 中，⎩⎨⎧∠BGF ＝∠DGE ，∠BFG ＝∠DEG ，BF ＝DE ，∴△BFG ≌△DEG(AAS )． ∴FG ＝EG. ∴BD 平分EF.03 综合题13．(教材P 110例9变式)如图所示，△ABC 与△DEF 中，AB ＝DE ，AC ＝DF ，AH ，DG 分别是△ABC 和△DEF 的高，且AH ＝DG.(1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)你认为“有两边和第三边上的高分别对应相等的两个三角形全等”这句话对吗？为什么？解：(1)证明：在Rt △ABH 和Rt △DEG 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，AH ＝DG ，∴Rt △ABH ≌Rt △DEG(HL )． ∴BH ＝EG.在Rt △ACH 和Rt △DFG 中，⎩⎨⎧AC ＝DF ，AH ＝DG ，∴Rt △ACH ≌Rt △DFG(HL )． ∴CH ＝FG.∴BH ＋HC ＝EG ＋GF ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SSS )．(2)这句话不对，如图所示，在△ABC 和△ABD 中，AC ＝AD ，AB ＝AB ，AE ＝AE ，两个三角形同样具备两边及第三边上的高对应相等，但这两个三角形不全等，其中一个是锐角三角形，一个是钝角三角形．14．(合肥肥东县期末)如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝10或20时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．第2课时 灵活运用全等三角形的性质与判定定理01 基础题知识点1 全等三角形的性质1．如图，△ABC ≌△DCB ，点A 和点D 是对应点．若AB ＝3 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，则CD 的长为(D) A ．6 cm B ．5 cm C ．4 cm D ．3 cm第1题图 第2题图2．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝65°，△DBE ≌△ECF ，则∠DEF 的度数是(C) A ．75° B ．70° C ．65° D ．60°3．如图，点D ，A ，E 在一条直线上，△ADC ≌△AEB ，∠BAC ＝40°，∠D ＝45°.求： (1)∠B 的度数； (2)∠BMC 的度数．解：(1)∵△ADC ≌△AEB ， ∴∠BAE ＝∠CAD.∵D ，A ，E 在一条直线上，∴∠BAD ＝12(180°－∠BAC)＝12×(180°－40°)＝70°.∴∠CAD ＝∠BAD ＋∠BAC ＝70°＋40°＝110°.在△ACD 中，∠C ＝180°－∠CAD －∠D ＝180°－110°－45°＝25°. 又∵△ADC ≌△AEB ，∴∠B ＝∠C ＝25°.(2)由三角形的外角性质，得∠BMC ＝∠BAC ＋∠C＝40°＋25°＝65°.知识点2 全等三角形的判定4．(淮南潘集区期中)在△ABC 与△DEF 中，给出下列四组条件： (1)AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ； (2)AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ； (3)∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ； (4)AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，AC ＝DF.其中能使△ABC ≌△DEF 的条件共有(C ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组5．(邵阳中考)如图，已知AD ＝AE ，请你添加一个条件，使得△ADC ≌△AEB ，你添加的条件是AB ＝AC 或∠ADC ＝∠AEB 或∠ABE ＝∠ACD ．(不添加任何字母和辅助线)第5题图 第6题图6．(教材P106例6变式)如图，已知AB ∥DE ，AB ＝DE ，以下四个条件：①AC ＝DF ；②∠A ＝∠D ；③AC ∥DF ；④BF ＝CE ，其中能判定△ABC ≌△DEF 的条件是②③④(请填写序号)．知识点3 全等三角形的性质、判定的综合7．如图所示，D 是BC 的中点，AD ⊥BC ，那么下列结论中不一定成立的是(D) A ．△ABD ≌△ACD B ．∠B ＝∠C C ．AD 平分∠BAC D ．△ABC 的三边相等第7题图 第8题图8．(蚌埠月考)如图，AB 与CD 交于点O ，OA ＝OC ，OD ＝OB ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠D 的度数为(B) A ．50° B ．30° C ．80° D ．100°9．(六安裕安区期末)如图，已知在△ABC 和△AEF 中，AB ＝AC ，AE ＝AF ，∠CAB ＝∠EAF ，BE 交FC 于O 点．(1)求证：BE ＝CF ；(2)当∠BAC ＝70°时，求∠BOC 的度数．解：(1)证明：∵∠CAB ＝∠EAF ， ∴∠CAB ＋∠CAE ＝∠EAF ＋∠CAE ， 即∠BAE ＝∠CAF.在△BAE 和△CAF 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ，AE ＝AF ，∴△BAE ≌△CAF(SAS )． ∴BE ＝CF.(2)∵△BAE ≌△CAF ，∴∠EBA ＝∠FCA.∵∠BDA ＝∠ODC ，∴∠BOC ＝∠BAC ＝70°.02 中档题10．(淮北濉溪县期末)如图，AD ＝AE ，BE ＝CD ，∠ADB ＝∠AEC ＝100°，∠BAE ＝70°，下列结论错误的是(C )A ．△ABE ≌△ACDB ．△ABD ≌△ACEC ．∠DAE ＝40°D ．∠C ＝30°第10题图 第11题图11．(安徽月考)如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，则B 点的坐标是(B)A ．(2，4)B ．(1，4)C ．(3，6)D ．(1，5)12．(蚌埠淮上区期末)如图，AD ＝AE ，∠ADC ＝∠AEB ，BE 与CD 相交于点O.(1)在不添加辅助线的情况下，由已知条件可以得出许多结论，例如：△ABE ≌△ACD ，∠DOB ＝∠EOC ，∠DOE ＝∠BOC 等．请你动动脑筋，再写出3个结论(所写结论不能与题中举例相同，且只要写出3个即可)．①△DBC ≌△ECB ，②∠ACD ＝∠ABE ，③BD ＝CE ；(答案不唯一) (2)请你从自己写出的结论中，选取一个说明其成立的理由．解：选择③BD ＝CE.理由：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∠AEB ＝∠ADC ，∴△ABE ≌△ACD(ASA )．∴AB ＝AC. ∴AB －AD ＝AC －AE.∴BD ＝CE. (答案不唯一)．03 综合题13．(芜湖期中)已知：如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AD ＝AE ，BE ，CD 相交于点F ，且∠DFE ＝120°.在BE 的延长线上截取ET ＝DC ，连接A T.(1)求证：∠ADC ＝∠AET ； (2)求证：AT ＝AC ；(3)设BC 边上的中线AP 与BE 相交于Q.求证：∠QAB ＝∠QBA.证明：(1)∵∠BAC ＝60°，∠DFE ＝120°， ∴∠AEF ＋∠ADC ＝360°－60°－120°＝180°. ∵∠AEF ＋∠AET ＝180°，∴∠ADC ＝∠AET.(2)在△AET 和△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠AET ＝∠ADC ，ET ＝DC ，∴△AET ≌△ADC(SAS )．∴AT ＝AC.(3)延长AP 至点G ，使得GP ＝AP ，连接BG. ∵AP 为BC 边上的中线，∴CP ＝BP.在△APC 和△GPB 中，⎩⎨⎧AP ＝GP ，∠APC ＝∠GPB ，CP ＝BP ，∴△APC ≌△GPB(SAS )．∴AC ＝GB. ∵AC ＝AT ，∴GB ＝AT.∵△AET ≌△ADC ，∴∠TAE ＝∠CAD ＝60°. ∴∠TAB ＝120°. ∵△APC ≌△GPB ，∴∠CAP ＝∠BGP.∴AC ∥BG.∴∠ABG ＝180°－∠BAC ＝180°－60°＝120°＝∠TAB.在△ABG 和△BAT 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，∠ABG ＝∠BAT ，BG ＝AT ，∴△ABG ≌△BAT(SAS )．∴∠QAB ＝∠QBA.小专题6 证明三角形全等的解题思路思路一：找边边相等呈现的方式：①公共边(包括全部公共和部分公共)；②中点． 类型1 已知两边对应相等，找第三边相等1．如图，已知AB ＝ED ，AD ＝EC ，点D 是BC 的中点，求证：△ABD ≌△EDC.证明：∵点D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD.在△ABD 和△EDC 中，⎩⎨⎧AB ＝ED ，AD ＝EC ，BD ＝DC ，∴△ABD ≌△EDC(SSS )．类型2 已知两角对应相等，找一边相等2．如图，∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠DBC ，求证：△ABD ≌△CDB.证明：在△ABD 和△CDB 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CDB ，BD ＝DB ，∠ADB ＝∠CBD ，∴△ABD ≌△CDB(ASA )．3．两块完全相同的三角形纸板ABC 和DEF ，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O 为边AC 和DF 的交点，不重叠的两部分△AOF 与△DOC 是否全等？为什么？解：全等．理由：∵两三角形纸板完全相同，∴BC ＝BF ，AB ＝BD ，∠A ＝∠D. ∴AB －BF ＝BD －BC ， 即AF ＝DC.在△AOF 和△DOC 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，∠AOF ＝∠DOC ，AF ＝DC ，∴△AOF ≌△DOC(AAS )．类型3 已知直角三角形的直角边(或斜边)相等，找斜边(或直角边)相等4．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DF ，BE ＝CF.求证：△ABC ≌△DFE.证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ， 即BC ＝EF.在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，⎩⎨⎧AB ＝DF ，BC ＝FE ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DFE(HL )．思路二：找角角相等呈现的方式：①公共角；②对顶角；③角平分线；④垂直；⑤平行．类型4 已知两边对应相等，找夹角相等5．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE.求证：△ABC ≌△ADE.证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ， 即∠BAC ＝∠DAE.在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS )．6．(安庆太湖县期末)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，其中AB ＝AC ，AE ＝AD ，∠BAC ＝∠EAD ＝90°，∠ABC ＝∠ACB ＝∠AED ＝∠ADE ＝45°，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC.(1)请在图2中找出与△ABE 全等的三角形并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)求证：DC ⊥BE.证明：(1)∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°， ∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠EAD ＋∠CAE ， 即∠BAE ＝∠CAD.在△ABE 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )． (2)∵△ABE ≌△ACD ， ∴∠ACD ＝∠ABE ＝45°.∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°. ∴DC ⊥BE.类型5 已知一边一角对应相等，找另一角相等7．如图，D 是AC 上一点，AB ＝DA ，DE ∥AB ，∠B ＝∠DAE ，求证：△ABC ≌△DAE.证明：∵DE ∥AB ， ∴∠CAB ＝∠EDA.在△ABC 和△DAE 中，⎩⎨⎧∠CAB ＝∠EDA ，AB ＝DA ，∠B ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△DAE(ASA )．8．如图，已知∠BDC ＝∠CEB ＝90°，BE ，CD 相交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证： (1)△ADO ≌△AEO ； (2)△BDO ≌△CEO.证明：(1)∵AO 平分∠BAC ， ∴∠DAO ＝∠EAO.∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠ADO ＝∠AEO.在△ADO 和△AEO 中，⎩⎨⎧∠ADO ＝∠AEO ，∠DAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ADO ≌△AEO(AAS )． (2)∵△ADO ≌△AEO ， ∴DO ＝EO.在△BDO 和△CEO 中，⎩⎨⎧∠BDO ＝∠CEO ，DO ＝EO ，∠DOB ＝∠EOC ，∴△BDO≌△CEO(ASA)．小专题7 全等三角形的基本模型类型1 平移模型模型分析 此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．1．(南充中考)如图，点O 是线段AB 的中点，OD ∥BC 且OD ＝BC. (1)求证：△AOD ≌△OBC ；(2)若∠ADO ＝35°，求∠DOC 的度数．解：(1)证明：∵点O 是线段AB 的中点， ∴AO ＝BO. ∵OD ∥BC ， ∴∠AOD ＝∠OBC.在△AOD 和△OBC 中，⎩⎨⎧AO ＝OB ，∠AOD ＝∠OBC ，OD ＝BC ，∴△AOD ≌△OBC(SAS )． (2)∵△AOD ≌△OBC ， ∴∠ADO ＝∠OCB ＝35°. ∵OD ∥BC ，∴∠DOC ＝∠OCB ＝35°. 类型2 对称模型模型分析 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．2．(桂林中考)如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，点E 在AC 上．求证： (1)AC 平分∠BAD ； (2)BE ＝DE.证明：(1)在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )． ∴∠BAC ＝∠DAC ， 即AC 平分∠BAD.(2)由(1)知∠BAE ＝∠DAE.在△BAE 和△DAE 中，⎩⎨⎧BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△DAE(SAS )． ∴BE ＝DE.类型3 旋转模型3．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AB ∥CD ，O 是BD 的中点． (1)求证：△ABO ≌△CDO ；(2)若BC ＝AC ＝4，BD ＝6，求△BOC 的周长．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO ，∠ABO ＝∠CDO. ∵O 是DB 的中点， ∴BO ＝DO.在△ABO 和△CDO 中，。
沪科版八年级上册数学第14章 全等三角形 全等三角形(1)
解：（1）∵△ABC≌△EDF， ∴DF=BC. ∴DF-CF=BC-CF，即DC=BF. （2）∵△ABC≌△EDF， ∴∠ACB=∠EFD.∴AC∥EF.
总结
知3－讲
全等三角形的对应边（对应角）相等，由此可 得两条线段（两个角）相等，从而进一步说明 线段（或角）的相等关系、和差关系或求线段 的长度、角的大小.
知1－讲
例1如图中是全等形的是____①__和__⑨__、__②__和__③__、__④__和__⑧__、__⑪__和__⑫ ．
导引：上述图形中，⑤和⑦形状相同，但大小不同，⑥和⑩ 大小、形状都不同；①和⑨、②和③、⑪和⑫尽管方 向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形， ④和⑧都是五角星，大小、形状都相同，是全等形．
总结
知3－讲
证线段位置关系的方法：证线段与线段的 位置关系通常考虑平行、垂直两种特殊关 系，证平行的方法是转化为证明同位角相 等、内错角相等或同旁内角互补；证垂直 的方法是转化为证明它们的夹角为90°或 三角形的两内角互余．
例8如图，四边形ABCD是梯形，AD ∥BC，若DE∥AC交BC的延长线 于点E，且△ADC≌△ECD.试问： 梯形ABCD的面积和△BDE的面积相等吗？谈谈 你的看法．
知3－讲
(2)在应用全等三角形性质时，要先确定两 个条件： ①两个三角形全等；②找对应元素； (3)全等三角形的性质是证明线段、角相等 的常用方法． 2.易错警示：周长相等的两个三角形不一定 全等，面积相等的两个三角形也不一定全等．
知3－讲
例5如图，已知△ABC≌△EDF. （1）试说明：DC=BF； （2）试说明：AC∥EF.
总结
知2－讲
(全优)沪科版八年级上册数学第14章 全等三角形含答案
沪科版八年级上册数学第14章全等三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，用尺规作图作已知角平分线，其根据是构造两个三形全等，它所用到的判别方法是（）A.SASB.AASC.ASAD.SSS2、如图,在平面直角坐标系中，A(-3,0),B(0,3),DA⊥x轴，点C在OA上且∠CDB=∠ OBD，则∠CBD的度数是（）A.72°B.60°C.45°D.36°3、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD 和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.4C.5D.64、如图，C是∠AOB的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC≌△BOC的是（）A.OA =OBB.AC=BCC.∠A=∠BD.∠1=∠25、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数有（）①DF⊥A B；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S= ﹣1.四边形BFGCA.1B.2C.3D.46、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A.75°B.60°C.45°D.30°7、如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE+DE等于（）A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm8、如图所示，，，，有下列结论①；②；③；④；其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，若BE=2，DF=4，则EF的长为（）A.2B.2C.6D.810、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF =2S△ABE，其中正确结论有（）个．A.2B.3C.4D.511、如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足,连结DF，则∠CDF等于（）A.80°B.70°C.65°D.60°12、如图，矩形ABCD，沿对角线BD翻折△BCD，点E是点C的落点，BE交AD 于点F，若CD＝4，EF＝3，则BD的长为（）A.5B.5C.4D.1013、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②14、如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③MD=2AM=4EM；④AM= MF.其中正确结论的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个15、如图，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是( )A.（7，3）B.（4，5）C.（7，4）D.（3，7）二、填空题(共10题，共计30分)16、如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是________.17、如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点(不与点B，C重合)，△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE 边始终经过点4，设EF与AC相交于点G．当△AEG是等腰三角形时，BE的长为________．18、已知Rt△ABC与Rt△DEC中∠ACB=∠ECD=90°,CD=CE= ，CB=CA=，且点E、D、A在同一直钱上，连接BE，则△ABE的面积为________.19、下图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=________．20、如图，，，分别为，的中点，若，，则的长是________.21、等腰直角△ABO在平面直角坐标系中如图所示，点O为坐标原点，直角顶点A的坐标为(2，4)，点B在反比例函数y= (x>0)的图象上，则k的值为________．22、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直线L于D，CE⊥直线L于E，若BD=5cm，CE=4cm，则DE=________．23、如图，方格纸上有一个格点三角形和一条格点线段AB．在这个格点纸上找一点C，使得△ABC与这个格点三角形全等，这样的C点可以找到________个．24、如图，C为线段AE上一点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CDP≌△CEQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°．一定成立的结论有________（把你认为正确结论的序号都填上）．25、如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是________（填入正确结论的序号）.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC27、如图，已知AE=DE，AB⊥BC，DC⊥BC，且AB=EC．求证：BC=AB＋DC．28、如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？29、如图，AE是△ABC的角平分线，D是AE上一点，∠DBE＝∠DCE.求证：BE ＝CE.30、如图，已知：AB=CD，AC=BD，试说明∠A=∠D.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、C3、A4、B5、C6、D7、C8、C9、C10、C11、D12、C13、C14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、。
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第1单元
知识点一：全等图形、全等三角形
【知识要点】 1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作“△ABC全等于△DEF”.
记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上
【典型例题】
1、已知:如图，(1)△ABD≌△ACE, ∠B=∠C,指出其他的对应角和对应边；
(2)△OBE≌△OCD,指出这一对全等三角形中所有的对应角和对应边。
2、若△ABC≌△DEF，AB=3cm，EF=5cm，∠A=43°，∠E=67°，则DE=_______，BC=______，∠C=______，∠D=______.
3、如图所示，△ABC≌△DEF，BF=3cm，∠A=64°，∠B=29°，求CE的长度和∠DFE 的度数.
知识点二：两个三角形全等的第1种方法
【知识要点】两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 简记为“边角边”或“SAS”. 【典型例题】 1：已知：如图，AD∥BC，AD=CB.求证：△ADC≌△CBA.
2、如图，点C E B F
，，，在同一直线上，C F
∠=∠，AC DF
=，EC BF
=．ABC
△与DEF
△
全等吗？说明你的结论．
知识点三：两个三角形全等的第2种方法
【知识要点】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”【典型例题】 1、已知：如图，∠1=∠2,∠3=∠4.求证：DB=CB
2、已知：如图所示，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求证：AB=DE.
3、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD 相交于点O，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE.
ＣＥＦ
B
Ａ
知识点四：两个三角形全等的第3种方法
【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS”.
【典型例题】 1、已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF. 求证：AB∥DE，AC∥DF.
2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD.则∠A与∠C相等吗？为什么？
3、如图所示，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：∠E=∠F.
知识点五：两个三角形全等的第4种方法
【知识要点】
1、三个角分别相等的两个三角形不一定全等；
2、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
证明:只要举一个反例即可.如图:
在△ ABC与△ ABD满足条件AB=AB,AC=AD, ∠ ABC= ∠ ABD,但它们不全等。
3、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为“角角边”或“AAS”.
【典型例题】等腰直角△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝90°，过B、C作经过A点直线L 的垂线，垂足分别为M、N
（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．
（2）BM，CN，MN之间有何关系？
巩固练习：
一、选择题
1、若△ABC≌△MNP，∠A=∠M，∠C=∠P，AB=4㎝，BC=2㎝，则NP= （）
A.6㎝
B.4㎝
C.3㎝
D.2㎝
2、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）
A.已知两边和夹角
B.已知两角和夹边
C.已知两边和其中一边的对角
D.已知三边
3、如图（1），在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则下列结论.①△ABD≌△ACD，
②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC。
其中正确的个数有（）
A.1个 B .2个 C.3个 D.4个
(1) （2）（3）（4）
4、如图（2）,EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，则只要（）
A.AB=CD
B.EC=BF
C.∠A=∠D
D.AB=BC
5、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图（3），则说明∠A′O′B′＝∠AOB的
依据是（）
A．（SSS）B．（SAS．）C．（ASA）D．（AAS）
6、如图（4）,△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，
且AB=6㎝，则△DEB的周长是（）
A.6㎝
B.4㎝
C.10㎝
D.以上都不对
二．填空题
1、已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC的周长为23，AB=8，BC=6，则A′C′=________.
2、在一个三角形的三边长为
3、
4、x，另一个三角形的三边长为y、3、6，若这两个三角形全等，则x y
=__________.
3、工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图（5）所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的
4、如图（6）,在∠AOB的两边截取OA=OB，OC=OD，连接AD，BC交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上。
正确的是；
5、如图（7）,AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是；
（5）（6）（7）（8） (9)
6、如图（8），AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABE≌△，理由是 .
7、如图（9）的△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形对。
三、解答题：
1、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，
(1)以D ，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的
三角形最多可以画出个。
(2)用直尺和圆规作△DEF,使△DEF≌△BC A。
(3)你作图的依据是“”。
2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BD=AD，FD=CD。
求证：BE⊥AC。
A
B C D E
C
F
E
B
D
A
图1
图2
3、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，
图2是由它抽象出的几何图形， B C E ，，在同一条直线上，连结DC ． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明 （说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．
4、已知：如图，AD =BC ,AC =BD ,求证：∠C =∠D .
5、如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
6、如图，AC=BC,AD=BD,M 、N 分别是AC 、BC 的中点。
求证：DM=DN
O D
C
B
A
N M D
C
B A
C
A。