数列基础知识归纳

必修5数列础知识归纳

一、数列的有关概念：

1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．

(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)，记作a n ．

(2) 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记作{a n }．

2．通项公式的定义：如果数列{a n }的第n 项及n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．

说明：(1) {a n }表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f (n )表示数列的通项公式；

(2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，a n = (- 1)n =；

(3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…．

(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，…．通常用a n 来代替f (n )，其图象是一群孤立的点．

3．数列的分类：

(1)按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；

(2)按数列项及项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列．

4．递推公式的定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 及它的前一项

a n - 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

5．数列{a n }的前n 项和的定义：S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1n

k k a =∑称为数列{a n }的前n 项和．要

理解S n 及a n 之间的关系．

6．等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项及它的前一项的差等于同一个常数．．，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．

即：{a n }为等比数列⇔ a n + 1-a n = d ⇔ 2a n + 1=a n + a n + 2⇔a n = kn + b ⇔S n = An 2 + Bn ．

7．等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项及它的前一项的比等于同一个常数．．

，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即：{a n }为等比数列⇔a n + 1 ：a n = q (q ≠0) ⇔212n n n a a a ++=．

注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零． 等差数列(AP ) 等比数列(GP )

通项公式 a n = a 1 + (n - 1)d

a n = a 1q n - 1 (a 1≠0，q ≠0) 前n 项和 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+

性质 ①a n = a m + (n -m )d ①a n = a m q n -m

②m + n = s + t ，则a m + a n = a s +

a t

②m + n = s + t ，则a m ⋅a n = a s ⋅a t ③S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m ，…成AP ③S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m ，…成GP

(q 1或m 不为偶数)

④a k ，a k + m ，a k +2m ，…成AP ，d = md ④a k ，a k + m ，a k +2m ，…成GP ，q =

q m

n 2．三个数成等差的设法：a -d ，a ，a +d ；四个数成等差的设法：a - 3d ，a -d ，a +d ， a +3d ；

3．三个数成等比的设法：a /q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a /q 3，a /q ，aq ，aq 3 (为什么？)

4．{a n }为等差数列，则{}n

a c (c >0)是等比数列．

5．{b n } (b n >0)是等比数列，则{log c b n } (c >0且c ≠1) 是等差数列．

6．公差为d 的等差数列{a n }中，若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；若d < 0，则{a n }是递减数列．

7．等比数列{a n }中，若公比为q ，则

(1) 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列；(2) 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；

(3) 当q < 0时为摆动数列；(4)当q = 1时为常数列．

8．等差数列前n 项和最值的求法：

(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值．

(2) S n 最值的求法：

①若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n ∈N *)；

②若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n ∈N *)可如下确定：S n 最大值(或S n 最小值)．

三、常见数列通项的求法：

1．定义法(利用AP ，GP 的定义)．

2．累加法(a n + 1-a n =c n 型)：a n = a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)= a 1 + c 1 + c 2 + … + c n -

1(n

2)． 3．公式法：．

4．累乘法(型)：a n = a 1= a 1c 1c 2…c n - 1(n 2)．

5．待定系数法：a n + 1 = qa n + b (q 0，q 1，b 0)型，转化为a n + 1 + x = q (a n + x )．可以将其改写变形成如下形式：