第十一章分形结构和分数维

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分维与分形

• 思考： 1 数的扩张过程：整数→有理数→实数→复数 2 图形维数的扩张过程：现实世界的1，2，3维→更高的整数维→分数维/其他方法定义的维数
• 数与形作为数学研究的对象的发展都沿着以下的方向：
简单→复杂简单复杂粗略→精细粗略精细易被人类所观察到的→不易被易被人类所观察到的不易被人类所观察到的
• 二、分维的概念 • 1. 整数维（拓扑维或传统的维数）整数维（ • a. 点 —— 零维 • b. 线 —— 一维 • c. 面 —— 二维 • d. 体 —— 三维
• 2. 分数维 • 现在我们从测量的角度引入了维数概念，现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数。将维数从整数扩大到分数。即： • 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似个图形所组成，：ｋ= 的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D • D即维数 D = logｋ/logλ logｋ • 其中： λ 为线度的放大倍数其中： • 体积” ｋ为“体积”的放大倍数
• 易见，这样定义的维数包括规整的对象易见，的整数维。（线、面、体）的整数维。 • D线=log2/log2=1 • D面=log4/log2=2 • D体=log8/log2=3 对于Sierpinski三角形我们有：对于Sierpinski三角形我们有：三角形我们有
D=log3/log2 =1.58…
3、分形几何和欧几里得集合的对比
• • • • • • 欧几里得几何经典的（2000多年的历史）基于特征长度和比例图形规则图形的层次结构有限局部一般不具有整体的信息图形越复杂，背后的规则也越复杂 • • • • • • • 分形几何现代数学的怪物（30多年的历史）无特征长度之比实用于大自然现象图形不规则图形的结构层次无限局部往往具有整体的信息图形越复杂，其背后的规则经常越简单

分形维数基本概念

分形维数基本概念：
形维数是分形几何理论及应用中最为重要的概念和内容,它是度量物体或分形体复杂性和不规则性的最主要的指标,是定量描述分形自相似性程度大小的参数。

欧氏几何中,维数一般有两种含义:
(1)欧氏空间中的4个维数(D=0、1、2、3);
(2)—个动力系统所含的变量的个数。

整数维数是被包含在分数维数中的。

相对于整数维数反映对象的静态特征,分数维数则表征的是对象动态的变化过程。

将其扩展到自然界的动态行为和现象中,那么分数维数就是自然现象中由细小局部特征构成整体系统行为的相关性的一种表征,即:对于一个对象,只有通过使用非整数数值的维数尺度去度量它,才能准确地反映其所具有的不规则性和复杂程度,那么这个非整数数值的维数就称为分形维数。

公式：N(r)～r-DH
D H=LnN(r)／Ln(1/f)
D
为豪斯多夫维数，
H
分形维数种类：
1.Hausdorff 维数（最基本）
2.相似维数
3.盒维数
4.容量维数
5.关联维数
6.信息维数
计算分形维数的具体方法：（1）基于二值图像的BC算法
1.计盒算法（简易性和可计算性）（2）基于灰度图像的DBC算法
（3）基于三维图像的3D分形维数算
2.分形布朗运动方法
3.面积测量法。

分形几何的特征及其维数

分形几何的特征及其维数
分形几何，这一诞生于二十世纪的数学领域瑰宝，以其独特的美学与科学魅力在2024年的今天依然引人入胜。

它的核心特征可以概括为以下几点：
1. 自相似性：这是分形最直观也最具代表性的特点，即不论是在整体还是局部，乃至无限次放大的微小部分，都能发现与整体形态相似或等比例缩小的结构。

比如著名的科赫雪花和谢尔宾斯基三角形。

2. 不规则性和复杂性：传统几何形状如圆形、方形等具有明显的边界和规则性，而分形则呈现出无规律、不规则的复杂结构，难以用传统的欧几里得几何来描述。

3. 维数的非整数性：分形维数是衡量分形结构复杂程度的一个重要概念，它突破了经典欧氏空间中一维、二维、三维等整数维的界限。

例如，科赫曲线虽然看似占据了一维空间，但实际上其分形维数大于1但小于2，这体现了它在有限空间内展现出了超越常理解的空间复杂度。

分形维数的计算通常采用盒计数法，通过将分形划分为多个大小相等的小区域（盒子），统计不同尺度下被分形所覆盖的盒子数量随尺度改变的关系，从而得到描述分形复杂度的维数值。

总之，在我们所处的2024年，分形几何已经广泛应用于艺术、自然科学、社会科学等多个领域，并以其深邃的内涵和无穷的变化，持续启发着人们对自然界及宇宙奥秘的认识探索。

数学的分形几何

数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。

分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。

本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。

一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。

简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。

与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。

分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。

1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。

传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。

分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。

2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。

其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。

此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。

3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。

分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。

分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。

二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。

以下列举了几个典型的应用领域。

1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。

例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。

通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。

2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。

金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。

分形学pdf

分形学
分形学（Fractal Geometry）是一门研究分形（fractal）对象的几何学。

分形是一种复杂的几何形态，它们在局部和整体上具有自相似性，通常无法用传统的欧几里得几何（Euclidean geometry）来描述。

分形学的研究对象包括自然界中的许多不规则形状，如云彩、山脉、河流、海岸线等，以及人工设计的分形图案。

分形学的核心概念是自相似性（self-similarity）和分数维（fractional dimension）。

自相似性意味着分形对象在不同尺度上呈现出相似的形态，而分数维则是用来描述分形对象占据空间的方式，它们通常不是整数维，如零维的点、一维的线段、二维的平面或三维的立体。

分形学的基础是分形几何学，它由法国数学家伯纳德·曼德尔布罗特（Benoît Mandelbrot）在20世纪70年代提出。

曼德尔布罗特通过研究英国海岸线的长度发现，随着测量尺度的减小，海岸线的长度会无限增长，这种现象无法用传统的几何学来解释。

他提出了分形的概念，并定义了分形的维数。

分形学在多个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、地理学、环境科学、计算机科学、经济学等。

在计算机图形学中，分形学用于生成复杂的自然现象和纹理。

在金融学中，分形市场理论（fractal market hypothesis）用于解释股票市场等金融现象的不规则性和复杂性。

在地质学中，分形学用于分析地貌和地质结构。

在生物学中，分形学用于研究生物体的生长和形态。

1。

分形几何中的分形维数和分形拓扑

分形几何是一门研究自相似性和自恶化性质的数学分支。

分形几何的基本思想是运用递归和迭代方法来构造并研究具有特殊性质的几何对象，这些几何对象被称为分形。

在分形几何中，分形维数和分形拓扑是两个重要的概念。

分形维数描述了分形对象的尺度特征和空间填充性质。

对于一般的几何图形，维数可以用整数来描述，比如点的维数是0，线的维数是1，平面的维数是2。

然而，对于分形对象来说，用整数维度来描述是不合适的，因为分形对象通常具有非整数维的特点。

分形维数是一种介于整数维和分数维之间的维数概念，它可以帮助我们理解和揭示分形对象的尺度特性。

常见的分形维数包括Hausdorff维数、盒维数等。

Hausdorff维数描述了分形对象的自相似性，而盒维数则描述了分形对象的空间填充性。

分形拓扑研究的是分形对象如何在拓扑空间中进行组合和分解。

传统的拓扑学主要研究整体性质和连续性，无法很好地描述分形对象的自相似性和分布特点。

分形拓扑通过引入分形维度和分形结构等概念，对分形对象进行了全面而深入的研究。

在分形拓扑中，分形对象可以通过分形维度和分形结构来分解成多个部分，并且这些部分之间仍然表现出自相似性。

通过分形拓扑的方法，人们可以更好地理解分形对象的组合特性、变换特性以及拓扑空间中的分形结构。

分形维数和分形拓扑的研究不仅在纯数学领域中具有重要意义，而且在物理学、生物学、地理学、经济学等多个学科中也有广泛的应用。

在物理学中，分形维数被用来描述复杂系统的几何特征，如分形海岸线、分形粉末的填充性等；在生物学中，分形维数被用来研究生物体的形态特征和生存策略；在地理学中，分形维数被用来描述地形形状的复杂性和多样性；在经济学中，分形拓扑可以用于模拟金融市场的波动性和奇异性。

总之，分形维数和分形拓扑是分形几何中的两个重要概念，它们描述了分形对象的尺度特性和空间组织特性。

分形维数和分形拓扑的研究不仅在数学领域具有重要意义，而且在其他学科中也发挥着重要作用。

通过对分形维数和分形拓扑的深入研究，我们可以更好地理解和揭示自然界和人类社会中的复杂系统的结构和行为规律。

分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用

分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用华北科技学院常浩宇1分形、分形几何学和分形维数1.1 分形分形是指自然界中的一些形体，它们具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次，也就是说适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。

一些经典的分形如：一、三分康托集1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集，或称康托尔集。

三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。

它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程三分康托集的构造过程构造出来的(如右图)。

其详细构造过程是：第一步，把闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的1/3部分段，则只剩下两个闭区间［0，1/3］和［2/3，1］。

第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：［0，1/9］，［2/9，1/3］，［2/3，7/9］和［8/9，1］。

第三步，重复删除每个小区间中间的1/3段。

如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。

二、Koch曲线1904年，瑞典数学家柯赫构造了一维，具有无限的长度，但是又小于分形。

根据分形的次数不同，生成的线，四次Koch曲线等。

下面以三次法，其它的可依此类推。

“Koch曲线”几何图形它和三分康托集一样，是一个典型的曲线也有很多种，比如三次Koch曲曲线为例，介绍Koch曲线的构造方。

Koch曲线大于日二维。

KochKoch曲线的生成过程三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形――一条线段；第二步，将这条线段中间的1/3处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的1/3处向外折起。

这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。

其图例构造过程如右图所示（迭代了5次的图形）。

自然界中如生长得枝枝岔岔的树木，高低不平的山脉，弯弯曲曲的河流与海岸线。

分形与分数维

2915.6 分形与分数维教学要求要求了解简单分形图形与朴素的分数维概念,并从中欣赏数学的美.知识点1.几个常见的分形图2.分数维数的概念5.6.1. 几个常见的分形图在近代数学的发展长河中, 与混沌密切相关的一门新的几何学诞生和发展起来了, 这就是分数维几何学. 1982年, 美国科学家曼德布罗特(B. Mandelbrot)出版了“自然界的分数维几何”一书, 从此, 分形或分数维就成了科学家们的一个热门话题.我们熟悉经典的维数概念, 知道点、直线、平面、立体分别是0 , 1 , 2 , 3 维的. 如果把时间变量添入我们生活的空间, 那么就出现了4维空间. 更一般地, 具有n 个自由度的对象, 就是n 维的. 这些维数都是非负整数. 但是在自然界又充满着许多人们熟悉的但又十分变幻莫测的现象, 它们涉及的几何图形无法用整数维数去解释. 比如天上多变的云彩, 地上河网水系,复杂形状的海岸线, 人体内的血管分布等等. 因此, 不要以为分数维概念是数学家头脑中凭空产生的, 它也是在人类生产实践、科学实验与艺术实践的推动下出现的.从数学本身来说, 经典的欧几里德几何研究圆规与直尺画的图形. 自牛顿~莱布尼兹创建微积分以来, 微分几何学研究光滑的即可微分的图形. 这些图形都具有特征长度, 如圆的半径, 正方形的边长, 可微曲线的弧长等等. 但是许多复杂的图形没有这样的特征长度, 但又有着明显的自相似或扩展对称性结构. 例如从集合论奠基者康托(Cantor)命名的康托集, 你将会看到, 它的长度为0, 但这个集合的点又与1维的实数集一样多. 你说它是0维呢, 还是1维呢? 无法解释. 只有分数维的理论才能给以科学的说明.我们不打算也不可能介绍纯理论的分数维概念, 只是从若干常见的分形图形初步了解分形或分数维几何的基本思想, 而且从中也将获得有趣的艺术欣赏, 体会数学的美感, 还可了解计算机对于艺术的强大功能.实验5.6.1 经典康托集.在区间 [ 0, 1 ]上, 截去中间的1 / 3,即开区间 32,31,得两个闭区间 ∪ 1,3231,0,其总长度为2/3; 在留下的两段中, 再截去它们各自中间的 1 / 3, 即两个开区间 ∪ 38,3732,31,得四个闭区间∪ ∪ ∪ 39,3837,3633,3231,0,其总长度为(2/3) 2; 如此继续, 一般地, 在第n 步, 截去2n -1开区间−− n n n n n n n 313 , 323 , , 38 , 37 , 32,31n L ,得2n 个闭区间, 其总长度为(2/3) n .当∞→n 时, 最后所留下的极限集称为康托集, 记作F . 简单地说, F 是从[0 , 1]减去无穷多个开区间得到的. 显然F 的长度等于032lim =∞→n n .另一方面,可以作出F 与实数集之间的一一对应来,也就是说, F 与实数集有同样多的点. 现在要问, F 的维数是多少? 是0, 还是1? 你再把康托292 集的构造过程用图表示出来.实验5.6.2 Weierstrass 函数.德国数学家K. Weierstrass ( 1815 ~ 1897 ) 在1872年发现了一个处处连续而又处处不可微的函数. 我们通常作函数的图象, 即使是分段连续的, 各段上也是光滑的, 即可微的. Weierstrass 函数的发现, 在数学史上具有重大意义, 它使人们确信, 直观的结论, 必须用严格的数学逻辑来论证, 直观只是为理性思维提供启迪, 当然这种启迪是十分必要的. 目前Weierstrass 函数常用的一种形式是())cos(1)()2(x b b x w kk k d −=∑+∞−∞=− , b > 1 , 1< d < 2 . (5.6.1) 对b = 1.5 , d = 1.2 , 1.5 , 1.8, 请你作出w (x )的图象.注意, (5.6.1)是极限函数, 作图时可取有限和. 例如可按下述程序作图:f [b_ , d_ ] := Sum [ b^( (d-2) k ) ( 1-Cos [b^k * x] ) , {k, -100, 100} ]f1 [x_ ] := f [ 1.5 , 1.8 ] ;Plot [ N [ f1 [ x ] ] , { x, 0, 1 } ]将得到图 5.24. 然后取定一组参数 ( b , d ) , 对同样的和, 但对不同的区间作图, 比如]1,0[∈x , [0, 0.2 ], [0, 0.04]. 你将看到这些图形的相似性, 后者是从前者截取的一部分, 这正是Weierstrass 函数图象的自相似性.图5.24实验5.6.3 Koch 雪花曲线Weierstrass 函数的构造过于复杂, 数学家们沿着这个方向继续深入的研究,V on Koch 于1904年用简单的初等方法构造出一种同样是处处连续又处处不可微的曲线, 封闭起来形状像雪花, 称为Koch ( 雪花 ) 曲线. 其构造过程如下:取定一条线段E 0 (不妨设为单位长), 以中间的 1/3 线段A 为边作正三角形,然后截去A , 得到由四条长1/3 的线段组成的折线E 1, 再对E 1的每一线段施行同样的手术, 得到折线E 2, 如此继续 ( 即用E 1代替E 0 ), 直至无穷. 则极限曲线k k E lim E ∞→=就是Koch 曲线. 用Mathematica 形成Koch 曲线 ( E k )的程序是:Clear[LSystem]LSystem[atom_,rules_,angle_,k_:3] :=Module[{g ={},x0,x1,y0,y1,a =0,ps ={},str,i},293 {x0,y0}={x1,y1}={0,0};str =atom;Do[str =StringReplace[str,rules],{k}];For[i =1,i<=StringLength[str],i++,c =StringTake[str,{i}];Switch[c,"F",(* Line one step forward *){x1,y1}={x0,y0}+{Cos[a],Sin[a]};AppendTo[g,Line[{{x0,y0},{x1,y1}}]];{x0,y0}={x1,y1},"f",(* Move one step forward *) {x0,y0}={x1,y1}={x0,y0}+{Cos[a],Sin[a]},"B",(* Line one step backward *){x1,y1}={x0,y0}-{Cos[a],Sin[a]}; AppendTo[g,Line[{x0,y0},{x1,y1}]];{x0,y0}={x1,y1}, "b",(* Move one step backward *){x0,y0}={x1,y1}-{x0,y0}-{Cos[a],Sin[a]},"T",(*Turn angle CCW *) a=a+angle, "t",(*Turn angle CW *)a =a-angle, "[",(* Save current state *)AppendTo[ps,{x1,y1,a}],"]",(* Restore saved state *) {x0,y0,a}={x1,y1,a}=Last[ps]; ps=Drop[ps,-1] ] ];Return[Graphics[g]]]Show[LSystem["F",{"F"->"FTFttFTF"},Pi/3]]例如 k = 1 , 2 , 3 , 4 时, 我们分别得到图5.25 ~ 5.28.图 5.25 : E 1 图5.26 : E 2图5.27 : E 3 图 5.28 : E 4294你能否从一个正三角形或正方形的边界封闭折线出发，运用E 1代替E 0的步骤，作出Koch 曲线来？我们已经看到，产生Koch 曲线这种分形图形的决定性因素是图 5.25中的图形E 1. 因此我们把E 1称为这种分形的生成元. 如果采用生成元F 1( 见图5.29 ) , 则产生康托集.F 0F 1图5.29实验5.6.4 Minkowski 香肠若取生成元为图图5.30的M 1 , 则产生的分形图形称为Minkowski 香肠.图5.30 : M 1用Mathematica 作M k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"FTFtFtFFTFTFtF"},Pi/2]]即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图 5.30 ~ 5.33.图5.31 : M 2 图5.32 : M 3 图5.33 : M 4实验5.6.5 Peano 曲线若取生成元为图5.34的P 1 , 则产生的分形图形称为Peano 曲线, 这也是近代数学史上的一个十分著名的曲线.295图5.34 : P 1用Mathematica 作P k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"FTFtFtFtFTFTFTFtF"},Pi/2]]即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图 5.34 ~5.37.图5.35 : P 2 图5.36 : P 3图5.37 : P 4实验5.6.6 树木花草图若取生成元为图5.38的T 1 , 则产生的分形图形称为树木花草图.用Mathematica 作T k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"F[TF]F[tF]F"},Pi/10]]同时，将a = 0改成a = Pi/2即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图5.38~5.41.296图5.38 : T 1图5.39 : T 2 图5.40 : T 3 图5.41 : T 4通过对上述几个分形图形的观察研究, 我们大致可以看到它们的一些典型性质, 比如: 具有无限精细的结构, 比例自相似性质, 可以由非常简单的方法定义并由迭代产生.5.6.2. 分数维数的概念我们熟悉的维数都是非负整数，在物理学中反映了自由度的数目. 但Cantor 集与Peano 曲线的出现，使人们不得不要突破这种经典观念的束缚. 以Peano 曲线为例，k k P lim P ∞→= ，P 与正方形，作为点集，它们之间可以做出1-1对应来. 于是平面上的点就可以不用两个有序实数（横坐标与纵坐标）表示，而只需用一个实数就可表示出来. 那么我们就很难说P 究竟是1维还是2维. 实际上，对任何有限的正整数n ，Peano 曲线可以填满n 维立方体.为了克服上面的困难，必须从根本上重新考虑维数的意义. 目前考虑的方法有多种多样，但较易理解的一种是相似性维数的概念.我们从上面几个分形图形已经看到，它们的结构都有内在的几何规律性，特别是比例自相似性. 为理解相似性维数的意义, 先从最简单的线段、正方形与立方体的经典维数开始. 把线段、正方形与立方体的边二等分，于是线段是其一半长的2倍，正方形是边长为一半的小正方形的4倍，而立方体则是边长为1 ⁄ 2 的立方体的8倍. 换言之, 线段、正方形与立方图5.42297体分别是由2个、4个与8个相似形组成的. 把2、4、8分别写成21，22，23，即 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23. (5.6.2)其中的指数1, 2, 3恰是对应图形的经验维数, 底数2则是分割边长的等分数, 或其倒数1/ 2是所占原长度的分数. 于是我们就可突破经验维数必须是整数的观念. 现在我们对(5.6.2)各式取对数, 得三个图形的维数分别是2ln 2ln 1=, 2ln 4ln 2=, 2ln 8ln 3=. 一般地说，如果一个集合F 可分成k 个与原集相似且尺寸大小为1/r 倍的子集, 则F 的相似性维数是r k d ln ln = , (5.6.3) 例如, 康托集的维数是 6309.03ln 2ln ≈. 请你写出Koch 曲线, Minkowshi 香肠与树木花草图的维数. 实验5.6.7 Sierpinski 三角垫. 从一个正三角形S 0出发, 连接相邻两边中点的联线, 构成一个小正三角形, 从原三角形中挖掉这个小三角形, 得到的图形( 由三个小正三角形组成, 见图 5.43) S 1, 就是Sierpinski 三角垫的生成元. 则Sierpinski 三角垫m m S S ∞→=lim 的维数是5850.12ln 3ln ≈. 作S m 的程序是 :Clear[Sp]Sp[nn_Integer]:=Module[{lt,lt1,k,t,n =nn},lt ={{{0,0},{1.,0},{0.5,Sqrt[3.]/2}}};While[ -- n >0 ,lt1={};For[k =1,k<=Length[lt],k++,t =lt[[k]];lt1=Append[lt1, {t[[1]],(t[[1]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[1]])/2}];lt1=Append[lt1, {t[[2]],(t[[1]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[2]])/2}];lt1=Append[lt1, {t[[3]],(t[[3]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[1]])/2}]];lt = lt1];Return[Graphics[Map[Polygon,lt]]]]Sp[m+1]//Show图5.43：S 1 图5.44：S 2298图5.45：S 3 图5.46：S 4 请你计算Sierpinski 三角垫m m S S ∞→=lim 的维数是多少？。

分形维数浅释

分形维数(Fractal Dimension)浅释笔者：喻麟佑博士(美国亚利桑那大学物理学博士)2012年3月于广州.、八、-刖言：最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。

简化以后，大意可以由下图描述：三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那么，1 + 1不就等于.2 了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。

其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。

现在，我们来了解一下分形的原理。

正文：分形(Fractal)，又称“碎形”或“残形”。

这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。

自从20世纪80年代开始［注一］，“混沌(chaos) ”，“奇异吸引子(strangeattractors) ”，“分形(fractal) ” ,还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。

无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。

分形几何，有若干特性，例如“自相似性(self-similarity )”等等。

本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数(Fractal Dimension)。

并且，也借此讨论过程，得以对分形(碎形)有更深入的了解。

首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度（Dime nsio n）是整数，如一个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为 3维然而，分形，却具有非整数的维数。

这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们先看看一条线段（如图一）：1 -------------- L —1t£A11 —!L --------------- 1N、一1q -飞" £L一Ti T jd JC* -■11 ■ ----------- 1 ---- ——1=4 cj ■‘—11~<—1_<—*~*—*—M 二£ 是=—38**图一如果我们把此线段分割一次，则n 1，NI2，i -L2式中L是一个常数，n是分割的次数，N n乃分割n次后的总碎片数，第二次分割（每个线段再分割一次）：第三次分割（每个线段再分割一次）：3 n 3，N3 8 2，L L 8 23是分割n次后的每碎片的长度n 2，N2 4 22，L22因此，我们不难知道，分割 n 次后, 总碎片数：心2n, 每一碎片大小:现在，让我们来定义一个维数 D:式一也可写成（先暂不管 n ）:L D-D n等式两边取自然对数：Dln — In N nnD In — In N nnD 哼或D In —In L In 丄nn严格来说，分割的次数n 为无穷大（n ）因为In 寸》In L ,我们也不难得到InN nIn 丄n..In N n Iim n0 I n =nnIi m I n n o I nL n N nIn n（式二） N n n (n ) （式一）式中，L 的D 次方（即维数）等于，分割 n 次后的总碎片数，乘上每一碎片长度的D 次方。

分形的量化——分数维

1. 欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效——如何研究分形？维数是几何学和空间理论的基本概念。

欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。

Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。

2. 维数观念的历史回顾（1）传统的欧氏维数欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念点---0维；线---1维；面---2维；体---3维。

在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。

要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。

相应地，直线的维数为1，点的维数为0。

这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。

它的值为整数。

（2）传统维数观念的危机（1890年）（3）维数研究的重要成果——拓扑维数这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。

拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。

比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。

画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。

对于任何一个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。

在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。

可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。

拓扑维数Dt的值也为整数。

（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。

为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分形几何

• 分数维的研究对象是不平滑的，不可微分的。从这个意义上来说，分数维否定(通常意义下的)微分，这是一个划时代的革命。另一方面，分数维并没有对时空给出一个实验性的新概念，并且在动力学意义上给系统行为的理解获益不多。后者对我们在座年青学者去建立一个全新的理论体系倒是存在很多的自由空间 • 先看两个典型的由数学方法产生的分形
• 下面介绍三种分维的计算方法
2.相似维数
• 如上图，对于一条单位长度线段（DT=1）,若将它等分成N=2段，则每段的长度为R=1/2；若将它等分成N=3段，则每段的长度为R=1/3，显然有 N*R=1.从测量角度理解，相当于用长为R的尺子去测量线段的长度，那么测得的尺度数N(R)与尺度之间有下列关系 • N(R)=R^-1 • 对于一条单位面积的二维正方形平面（DT=2），将其等分成N=4份，则分割的小正方形面积为 R^2=1/4; 将其等分成N=9份，则分割的小正方形面积为R^2=1/27. 显然有N*R^2=1.那么二维平面的小正方形测量数目N(R)为 • N(R)=R^-2
分形几何
• 分形几何学产生于20世纪70年代末80年代初，是一门以非规则几何形态为研究对象的新兴学科。由于在自然界中普遍存在不规则的对象或现象，因此分形几何又称为大自然的几何学。 • 分形是具有自相似性的一类形状，也就是说，这类形状在不同的放大倍率下看起来一样
• 分形对象在自然界中普遍存在，海岸线、山脉、河流、炊烟、云彩、树干、闪电、血管等都是分形。 • 分数维图形最大的特点是——无特征长度，或者是它的自相似性。于是，他们可以从局部发现整体，不论你从哪一个层次看问题都会获得同样的变化规律。非整数维数，早在100多年前即有人探索，为什么只有到近几十年才崭露头角呢？最重要的是因为computer的飞速发展，它不仅把原先不能计算的问题变成完全可算，而且种类繁多，漂亮的分形图形使人们真正从直观上认识了 Fractal。

分形和分维分形的定义几何图形的维数-固体微结构研究室

§3 分形和分维3.1 分形的定义分形（fractal ）这个名词是Mandelbrot [1,2]在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先引入自然科学领域的，它的原意是不规则的、支离破碎的物体。

分形可以分为规则分形和不规则分形。

在分形名词使用之前，一些数学家就提出过不少复杂和不光滑的集合，如Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 垫片、地毯和海绵等。

这些都属于规则的分形图形，它们具有严格的自相似性。

而自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线；变换无穷的布朗运动轨迹等。

这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超出标度不变区域，自相似性不复存在。

这类曲线为不规则分形。

迄今为止，分形还没有一个严格的定义。

1982年Mandelbrot 将分形定义为Hausdorff （豪斯道夫）维数大于拓扑维数的集合。

此定义强调维数，而其中的豪斯道夫维数一般不是整数，下面将介绍如何计算它。

这里需要简单介绍拓扑维数。

拓扑学是研究可以连续变化的图形的学科，而几何学是研究刚性图形的学科。

在几何学中圆和正方形是不同的，但在拓扑学中两者是等价的，因为它们可以连续地相互变换，并且它们都将平面上的点分成三个集合：图形内、图形外和图形上的三个集合，所以它们具有共性。

类似地，一条十分曲折但连续的折线和一条直线是等价的，因为它们可以连续地相互变换，而且两者的拓扑维数都是 1。

下面我们将结合具体的规则分形的实例说明分形的这个定义。

1986年Mandelbrot 给出了一个更广泛、更通俗的定义：分形是局部和整体有某种方式相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way ）[3]。

该定义强调图形中局部和整体之间（包括小的局部和大的局部之间，如下面的DLA 模型产生的图形中小枝杈和大枝杈）的自相似性。

分形维数范围

分形维数范围分形是一种数学概念，它描述了自相似性和无限细节的特征。

而分形维数则是用来衡量分形对象复杂度的一种指标。

在分形维数的研究中，我们可以观察到不同的分形对象具有不同的维数范围。

1. 0维分形：0维分形是一种极为简单的分形对象，它只包含一个点。

这种分形对象的维数范围为0，因为它在空间中没有任何延展或曲线。

0维分形在数学上没有太多的实际应用，但在理论研究中有其重要性。

2. 1维分形：1维分形是一种具有长度但没有宽度的分形对象。

它可以是一条直线、一条曲线或者一个曲线的集合。

1维分形的维数范围通常在1到2之间，取决于分形对象的形状和复杂度。

例如，一条直线的维数为1，而一条曲线的维数可能介于1和2之间。

3. 2维分形：2维分形是具有长度和宽度的分形对象，通常在平面上进行观察和研究。

2维分形的维数范围通常在2到3之间，取决于分形对象的形状和复杂度。

例如，一个正方形的维数为2，而一个具有复杂边界的图形的维数可能介于2和3之间。

4. 3维分形：3维分形是具有长度、宽度和高度的分形对象，通常在立体空间中进行观察和研究。

3维分形的维数范围通常在3到4之间，取决于分形对象的形状和复杂度。

例如，一个立方体的维数为3，而一个具有复杂表面的立体图形的维数可能介于3和4之间。

除了以上几种常见的分形维数范围，还存在一些更高维度的分形。

例如，4维分形具有长度、宽度、高度和时间的特征，它在动力系统和混沌理论中具有重要的应用。

而更高维度的分形则在数学研究和理论物理中发挥着重要作用。

分形维数的研究不仅仅是对分形对象形态的描述，它还涉及到分形对象的生成和演化过程。

通过分析分形维数的变化规律，我们可以更好地理解分形对象的特性和行为。

此外，分形维数在图像处理、数据压缩和模式识别等领域也有广泛的应用。

总结起来，分形维数范围描述了不同类型分形对象的复杂度。

从0维到高维，分形维数的变化展示了分形对象形态的多样性和复杂性。

通过深入研究分形维数的范围和变化规律，我们可以更好地理解分形结构的特性，并将其应用于各个领域的实际问题中。

分维、分形

分维、分形分维的概念（一）我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。

将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。

其线段、正方形、立方体分别被等分为2、4、8个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。

（线段一分为二；正方形一分为四；立方体一分为八）一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。

（二）当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。

那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1Koch曲线整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。

Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714…Koch雪花线的维数是1.26分形的定义曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：（1）满足条件Dim(A)>dim(A) 的集合A，称为分形集。

其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。

一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。

实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，人们通常是列出分形的一系列特性来加以说明分形的特性（i）分形集具有精细的结构，“精细结构”指放大任意小的部分，里面总有更细小的结构。

分形维数算法

分形维数算法分形包括规则分形和无规则分形两种。

规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。

这些分形图形具有严格的自相似性。

无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。

这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。

对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。

不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。

因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。

分形维数D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。

对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。

不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。

（1）尺码法用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。

不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。

如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系N～λ-D（2-21）上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。

Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。

海岸线绝对长度L被表示为：L=Nλ～λ1-D（2-22）他得到挪威东南部海岸线的分维D ≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D ≈1.3。

续写缠论动力学5-分形与分数维

续写缠论动力学5-分形与分数维前面讲了那么多新的概念，很多人估计都懵逼了，其实没必要刨根问底式的去做数学推导，只需要能大体理解就可以了。

如果说前面的东西比较难理解，那么今天就来讲讲与缠论级别相关的概念：分形1967年，法国有个叫曼德布罗特大数学家，在《科学》杂志上发表了一篇论文《英国的海岸线有多长》,这篇论文不仅改变了他的人生，也改变了人类对大自然的认识。

在论文中他指出，由于海岸线并非是直线，而是由一条条曲线构成，如果用公里作为测量单位，那么从几米到几百米的一些曲折就会被忽略，如果用米作为测量单位，得到的长度大于用公里作为测量单位的长度，但厘米级的曲折也会被忽略，那么得出一个结论：随着测量尺度的缩小，所测得的长度总会不断增加，所以，海岸线的长度不能用传统的测量方法得到准确值。

这结论和人们的传统思维截然不同，“给我一把尺子我能量宇宙”的思维被彻底颠覆，能把岛国的海岸线量明白了就不错了。

于是，为了彻底弄清楚岛国海岸线的长度，分形学诞生了。

大自然中还有很多分形的案例，比如树根、树叶、树冠、西兰花、山川、闪电、云、海浪、星系、大脑皮层等等等等，还有木根的断裂口，这些分形的案例都有一些共同的特点：1. 结构的精细性，分形具有在任意小尺度下的比例细节。

2. 无法用传统的几何描述，也就是无法用欧式几何描述，处处连续但不可微3. 具有自相似性，局部和整体看起来相似4. 生成的迭代性，就像非线性动力系统中的微分方程一样，设定好了规则，剩下的就全部是建立在该规则上的迭代。

5. 维数的非整数性。

除了最后一条，前面四个特点都容易理解，可以简化为一个公式：分形＝原型+生成元+迭代是不是和动力学系统的原理类似？原型＝a0，生成元＝微分方程，迭代就是方程递归，这简直和非线性动力学系统的原理一样嘛！事实上，非线性动力系统和分形往往是密不可分的，但最后这个维度的非整数性就超出一般人的想象了。

因为按照我们的理解，0维是一个点，一维是一条直线，二维是平面，三维是立体，那么分数维度是什么？我们来这么通俗地理解：在平面中有一个边长为a的正方形，那么它的面积是a^2，如果将其边长放大b倍，则新的正方形面积为(ab)^2，即在边长放大b倍之后面积变为了b^2倍，占据原先图形b^2的面积，那么这个正方形的维度就是2；同样的如果是在空间中有一个边长为a的立方体，其边长放大b倍后得到的新立方体，体积为原来的b^3倍，占据相当于b^3个原先的立方体叠放在一起的空间，那么立方体的维度就是3。

8.19111分维结构中医形态学

分形的特征
①不能用长度、面积、体积这类规则几何对象的特征量来描述，分形的特征量为分维数。分维是对分形对象内部不均匀性、层次结构性数量特征的刻画，对分形复杂性程度的度量。
分形的特征
②分形是一种无标度性对象，在不同的尺度上观察它，看到的是相同的图形。这种局部与整体的相似，局部的局部也与整体相似的特征，是分形最本质的几何特征。
中医认识的分形
早在两千年前的《黄帝内经》时期，人体的自相似结构就被用于疾病的诊治。如耳、目、舌、面部、头皮、寸口、尺肤等，每一相对独立的器官都有反映整个人体的代表点。
中医认识的分形
通过观察这些代表点的变化和施以恰当治疗，可用以诊治相应内脏的疾病，于是发展出耳针、五轮学说、舌诊、头针、面诊、脉诊、尺肤诊等诊疗方法。
“天人相应”原理
“天”是指自然界，“人”是指人体，“相应”是指相互感应，相互适应，相互对应。
“天人相应”原理
➢ 自然界不断影响人体，人体不断改造和适应自然界。 ➢ 自然界与人体在关系结构和运动规律上相互对应，具
有相似性。
“天人相应”原理
人(小宇宙)作为自然界(大宇宙)的组成部分，在关系结构和运动规律上与自然界相似，可被看做部分与整体的自相似。这种自相似现象在人体及自然界普遍存在且受分形几何和混沌理论的支持。
实验一 Koch曲线
取单位长线段，去掉中间的1/3，并用去掉的线段补齐以去掉线段为底边的等边三角形的另外两边为第一次变换，对变换后的每一线段进行同一操作为第二次变换。变换无限进行所得曲线称科和(Koch)曲线。
实验一 Koch曲线
实验一 Koch曲线
实验一 Koch曲线
谢谢！
复杂的人体结构
心的血管