第十一章 分形结构和分数维

s
定义2： 记Hs (F) inf{ |Vi | :{Vi}为F的 覆盖}
i1
随着 减小，能覆盖F的集类也减小，故下确界Hs (F )随着增不加减。 当 0时趋向
lim 于一极限(对n中的子集该极限都存在,但可以是零或无穷)，记H s (F )
H
s
(
F
)，
0
容易证明H s (F )是一测度，事实上： (1)若是空集，则H s ()＝0；
欧式空间中开（闭）集 合的可数并或交
(2)若E F,则H s (E) H s (F );
(3)若{Fi}为任何可数不交波雷尔序列，则
H s ( Fi ) H s (Fi )
i 1百度文库
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则称H s (F )为F的s维豪斯道夫测度。可证明，n中任何子集的n维豪斯道夫测度与
n维勒贝格测度（n维体积）仅相差一常数倍。
分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述其 性质的。
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分形几何的创始人
Benoit Mandelbrot
Oxford的Newton博物馆 4
博学多才的大师
1924年出生于波兰华沙; 1936年移居法国巴黎; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践讲 座”教授,IBM公司的研究员.
分形(Fractals)
内容提要
• 分形的例子 • 分形的定义及分维 • 产生分形的数学模型 • 产生分形的物理模型
芒德罗布(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’和 ‘枯燥无味’的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木 的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并 不光滑、闪电更不是沿直线传播的……。
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分形－西兰花
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分形－树林
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分形－烟灰
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分形－DLA（扩散限制凝聚）
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分形－DBM （电介质击穿模型）
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分形－蕨类植物
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分形－雪山山岭
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分形－闪电
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最大的特点：自相似性 理想的自相似结构：如Cantor set、Sierpinski gasket、Menger sponge
dB
lim
0
ln N ( ,F ln(1/ )
)
,
称为计盒维数。
数值计算和实验中广泛采用
一些无规分形的维数 （1）海岸线和边界线(Ruler)
20世纪20年代，英国科学家 L.F.Richardson 研究海岸线的长
度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺 测r得的长度
不同。N (r) 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍然 是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形
二、分形及分维
定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。 Fractal一词是B.B.Mandelbrot 1975年提出的。
Koch曲线
Sierpinski 地毯
分形三要素
• 形状 • 维数（随尺度变化的一个有限、定量描述） • 随机性（随机产生、动力学）
维数 (1) 相似维
N (1/ 4) 41
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Sierpinski gasket
dH ln 5 / ln 2 2.3219
23
Sierpinski gasket
dH ln 20 / ln 3 2.7268
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（2）豪斯道夫(hausdorff)维数
定义1： 称{Vi}为分形F的一个 覆盖，若Vi是直径小于的集合
（即0<|Vi|<）,且 Vi F.
若用N( , F)表示覆盖F的盒子数目，则根据豪斯道夫测度定义
s
Hs (F) inf{ |Vi | :{Vi}为F的 覆盖}
i1
s
此时有：Hs (F) inf{ | | :{i}为F的有限覆盖}＝N( , F) S
i1
且 0时，
lim
0
N
(
,
F
)
S＝0
若s<dB 若s>dB
故只有： lim N( , F)～ －dB时，该极限才有限。故定义： 0
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理想的自相似结构！
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不是严格规则的自相似性称为统计相似性或者无规相似性——无规分形 （1）无规凝聚：电解溶液时，金属例子向阴极靠近，沉淀。金属离 子沉淀到那一点是完全随机的；结晶；溅射生长等等
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（2）无规界面网络。界面结构如金属表面的晶粒无规排列；磁铁材 料表面的磁畴排列；某些合金，物理、化学吸附涂层。 （3）多孔材料。某些岩石，煤和陶器。 （4）粗表面。月球表面；地球上的各种地貌（山峦起伏，沙丘……） （5）逾渗集团。 （6）粘性指进。
若F是Rn中波雷尔子集，则
n CnVol n (F )
其中常数：
Cn
1 2
n
/
2n
(
1 2
n)!
为直径为1的n维球的体积。
（K.Falconer 《分形几何－数学基础与应用》）
Ht (F )关于t不增：
若t>s，且{Ui}为F的 -覆盖，有 |Ui|t ts |Ui|s .
i
i
取下确界得，Ht
(F)
t
s
H
s
(
F
).令
0，可见
对t>s，若H
s
(F
)
,
则H
t
(
F
)
0.
H s(F)
所以，存在dimH F，使得
H s (F)＝0
若s<dimHF 若s>dimHF
0
dimH F
dimH F称为F的豪斯道夫维。
s
计盒(box-counting)维数
• 改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。
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❖用不同的尺子测量科赫曲线的长度:
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（3）box-counting
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（4） general box-counting
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计盒维数非常简单，但反映的信息不多（稠密情 况）。更广义的维数有：
(4)分维谱
定义：设 {Ci} (i=1,…,N)为D维欧氏空间对某一个集合（如吸引 子）的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷，可以遍历该集合 的除一个零Lebesgue测度外的所有点，我们称该轨道是典型的。 设从x0出发的一条典型轨道，其在T时间内在Ci内度过的时间为 η(ci,x0,T),则定义该Ci的自然测度为：
N (1/ 4) 42
D
log 4 log3
1.26
D
lim
0
log N ( ) log(1/ )
Cantor三分集
D
log 2 log3
0.63
Koch曲线
D
log 4 log3
1.26
Sierpinski 地毯
D
log3 log 2
1.58
Sierpinski地毯
dH ln 8 / ln 3 1.8928