2016年石家庄市数学二模理科试卷及答案

2016年石家庄市第二次模拟考试试题答案（数学理科）一、选择题1-5 BAACB 6-10CABBA 11-12CC二、填空题13. 54 14. 240 15. -6 16. 1或9三、解答题17.（I ）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可得： 2s i n =32s i n c o R A R B C ⨯…………………1分A B C π++= sin sin()=3sin cos A B C B C ∴=+， -------------------------3分即sin cos cos sin =3sin cos B C B C B C +cos sin =2sin cos B C B C ∴ c o s s i n =2sin cos B C B C ∴故tan =2tan C B． -------------------------5分 （II ）（法一）由A B C π++=，得tan()tan()3B C A π+=-=-, 即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯, 将tan 2tan C B =代入得：23tan 312tan B B=--，-------------------------7分 解得tan 1B =或1tan 2B =-， 根据tan 2tanC B =得tan tan C B 、同正， 所以tan 1B =,tan 2C =. …………………8分 则tan 3A =，可得sin sin sin B C A ===，∴b =10分所以11sin 3322ABC S ab C ∆==⨯=.-------------------------12分 （法二）由A B C π++=得tan()tan()3B C A π+=-=-, 即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯, 将tan 2tan C B =代入得：23tan 312tan B B=--，-------------------------7分所以tan 1B =,tan 2C =．………………8分又因为3cos 3a b C ==，所以cos 1b C =，∴cos 3ab C =cos tan 6ab C C ∴=． -------------------------10分11sin 6322ABC S ab C ∆∴==⨯=．-------------------------12分 18.D AB E CP解析：（1）在矩形ABCD中，:AB BC =，且E 是AB 的中点，∴tan ∠ADE =tan∠CAB =……………1分 ∴∠ADE =∠CAB ,∵∠CAB +∠DAC 90= ,∴∠ADE +∠DAC 90= ,即AC ⊥DE .…………3分 由题可知面PAC ⊥面ABCD ，且交线为AC ，∴DE ⊥面PAC .∴…………5分(2) 解法一：令AC 与BD 交于点O ，∵PA PC =,且O 是AC 的中点，∴PO AC ⊥. ∵面PAC ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD .取BC 中点F ,连接,OE OF ,因为底面ABCD 为矩形，所以OE OF ⊥.建立如右图所示的空间直角坐标系：(1,(1(1,),(0,0,),A B D P a -(1)AP a =- ……………6分设PBD面的法向量为111(,,)c x y z =，DB = ,(0,0,)OP a =由11102000c DB x az c OP ⎧⎧∙=+=⎪⎪⇒⎨⎨=∙=⎪⎪⎩⎩ ,111x y ==-令则 ∴PBD 面的法向量为1,0)c =-由1c AP a c AP∙=⇒= …………8分 设平面PAD 的法向量为222(,,),(2,0,0)m x y z AD ==-，(1AP =-由222220000x m AD x z m AP -=⎧⎧∙=⎪⎪⇒⎨⎨-+=∙=⎪⎪⎩⎩221,y z ==令则(0,1,m ∴=设平面PAB 的法向量为333(,,)n x y z = ，(1AB AP ==-由3333333001,0, 1.00n AB x y z n AP x z ⎧⎧=∙=⎪⎪⇒⇒===⎨⎨∙=-++=⎪⎪⎩⎩令则 (1,0,1)n ∴= ……………………………10分cos m n m nθ∙===∴二面角D PA B --的余弦值为 ……………12分∵PA PC =,且O 是AC 的中点，∴PO AC ⊥.∵面PAC ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD . DA B E C OPHF∴PO AH ⊥，∵AH BD ⊥，∴AH ⊥面PBD .∴∠APH 为PA 与面PBD 所成的角. …………………7分∴sin ∠AH APH PA ==，∵AH = ∴2PA PB PC PD ====.……………8分取PA 的中点F ，连结,FD FE .∵2PA AD PD ===,∴PA FD ⊥在AB △P中，2PA PB ==，AB =222PA PB AB +=,即PA PB ⊥ ∵,E F 分别是,AB AP 的中点，∴EF ∥PB ,∴PA FE ⊥.所以∠DFE 是二面角D PA B --的平面角.……………10分在DFE △中，∵FD =,ED =,1FE =.∴cos ∠3DFE =∴二面角D PA B --的余弦值为3-12分 19.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户， 三阶的有2户。

第二阶梯水量的户数X 的可能取值为0,1,2,3 ………………1分30463101(0)30C C P X C ⋅=== 21463103(1)10C C P X C ⋅=== 12463101(2)2C C P X C ⋅=== 03463101(3)6C C P X C ⋅=== 所以X 的分布列为………………………5分 EX=13110123301026⨯+⨯+⨯+⨯95= ……………………………6分 (2)设Y 为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y ～B 3(10)5，, 所以101032()()()55k k k P Y k C -==，其中0,1,2,,10k =L ………………8分 设101011111032()()()3(11)5532(1)2()()55k k k k k k C P Y k k t P Y k kC ----=-====- …………………10分 若1t >，则 6.6k <，(1)()P Y k P Y k =-<=；若1t <，则 6.6k >，(1)()P Y k P Y k =->=。

所以当6k =或7，()P Y k =可能最大，664107731032()()(6)755132(7)6()()55C P Y P Y C ===>= 所以n 的取值为6。

………………12分20.解析：（1）120000(,)(,)DF DF c x y c x y ∙=----- 22222220002c x c y x b c a=-+=+-，………2分 因为2200x a ≤≤，所以当220x a =时，12DF DF ∙ 得最大值2b .………………………………3分 所以224a b =,故离心率e =4分 （2）由题意知1b =，可得椭圆方程为：2214x y +=， 设1122(,),(,),(,)B x y C x y H x y由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 122814kmx x x k -+=+，21224(1)14m x x k-=+ ……………………………6分 由0AB C ∙= A 得：1212(1)(1)0x x y y +--=即221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=，……………………………8分 将韦达定理代入化简可得：35m =-……………………………10分 所以直线BC 的方程为：35y kx =-，即直线BC 恒过定点3(0,)5D - 由AH ⊥DH 可知，点H 的轨迹为以AD 为直径的圆，圆心1(0,)，半径为4故动点H 的轨迹方程为22116()(1)525x y y +-=≠……………………………12分 21. 解析：（Ⅰ）当1k =时，()(1)(1)x f x e x =--，(1)0f =，(1)1f e '=- 所以在(1,(1))f 处的切线方程是(1)(1)y e x =--………………………2分所证问题等价于(1)(1)(1)(1),(1)x e x e x x -->--≠…………………………3分 即()(1)0,(1)x e e x x -->≠当1x >时，0,10,()(1)0x x e e x e e x ->->-->当1x <时0,10,()(1)0x x e e x e e x -<-<-->命题得证！…………………………5分（Ⅱ）当2k =时，2()(1)(1)x f x e x =--，(2,)x ∈+∞2()(1)2(1)(1)(1)[(1)2]x x x f x e x e x x e x '=-+--=-+-……………………6分因为(2,)x ∈+∞(1)0,(1)2,()0x x e x f x '->+->> 即函数在(2,)x ∈+∞单调递增………………………8分设3213322112),(),,(),,(x x x y x C y x B y x A <<<，且，∴123()()()f x f x f x <<．∵)),()(,()),()(,(23232121x f x f x x x f x f x x --=--= ∴))()())(()(())((23212321x f x f x f x f x x x x BC BA --+--=⋅． ············ 10分 ∵,0)()(,0)()(,0,023212321>-<->-<-x f x f x f x f x x x x ∴B B ∠<∴<⋅,0cos ,0为钝角. 故△ABC 为钝角三角形．…………12分 (注意：利用图象说明，需画图准确，说明充分,可给四分；只画图，不说明，给2分) 选做题22．（I ）证明： 在O 中，弦AC BF 、相交于E ，FE EB AE EC ∴⋅=⋅，又E 为AC 的中点，所以2FE EB AE ⋅=，-------------------------2分又因为OA AD ⊥,OE AE ⊥，根据射影定理可得2AE DE EO =⋅,-------------------------4分 ∴DE EO FE EB ⋅=⋅， ------------------------5分（II ）因为AB 为直径，所以0=90C ∠，又因为o 45CBE ∠=，所以BCE ∆为等腰直角三角形． ………………6分 2AC BC ∴=，根据勾股定理得222580AC BC BC +==，解得4BC =，-------------------------8分所以AD ==． ------------------------10分23解：（I）由2cos ρθθ=，得22cos sin ρθθ=，………………2分∴曲线1C的直角坐标方程为2x =， -----------------------------------4分（II ）将=3πα代入22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩得(1P ，由题意可知切线AB 的倾斜角为56π， --------------------------6分 设切线AB的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2x得：21(1))2t =，即232042t --=， --------------------------8分 设方程的两根为1t 和2t可得：12t t +=所以12||||2t t MP +==分 24解：（I ）()|||||()()|f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，--------------------------2分所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=,--------------------------4分（II ）当x a ≥时，()||||=()3f x x a x b x a x b a b =--+--+=--=-， --------------------------6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，max ()3g x <-成立，()g x 的对称轴为2a x a =-<， ∴()g x 在[,)x a ∈+∞为减函数，()g x ∴的最大值为222()23g a a a b a a =---=-+-，--------------------------8分2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<．--------------------------10分。