函数的极限讲解
函数的极限(数学分析)
第二讲 函数极限一、定义：1、00lim ()0,0:(,)|()|x x f x A x U x f x A εδδε→=⇔∀>∃>∈⇒-<；2、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→+=⇔∀>∃><-<⇒-<；3、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→-=⇔∀>∃><-<⇒-<；4、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→+∞=⇔∀>∃>>⇒-<；5、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→-∞=⇔∀>∃><-⇒-<；6、lim ()0,0:|||()|x f x A M x M f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<；7、000lim ()(,)0,0:(,)()((),|()|)x x f x M x U x f x M f x M f x M δδ→=+∞-∞∞⇔∀>∃>∈⇒><->；8、00lim ()(,)0,0:0()((),|()|)x x f x M x x f x M f x M f x M δδ→+=+∞-∞∞⇔∀>∃><-<⇒><->；9、00lim ()(,)0,0:0()((),|()|)x x f x M x x f x M f x M f x M δδ→-=+∞-∞∞⇔∀>∃><-<⇒><->；10、lim ()(,)0,0:()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →+∞=+∞-∞∞⇔∀>∃>>⇒><->；11、lim ()(,)0,0:()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →-∞=+∞-∞∞⇔∀>∃><-⇒><->；12、lim ()(,)0,0:||()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →∞=+∞-∞∞⇔∀>∃>>⇒><->。
函数的极限知识点总结
函数的极限知识点总结一、函数极限的定义1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x自变量趋于x0时，函数f(x)以A为极限（或者以A收敛），记作lim(x→x0)f(x)=A。
2. 函数极限概念解释：函数的极限就是描述了当自变量趋于某一特定的常数时，函数的值随之趋于的一个确定的常数。
3. 极限的图像解释：函数f(x)的极限lim(x→x0)f(x)=A，表示当x自变量在点x0的邻域内取值时，函数图像与直线y=A的距离可以任意小。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
二、函数极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值是唯一的。
即如果lim(x→x0)f(x)=A1，又有lim(x→x0)f(x)=A2，那么A1=A2。
2. 有界性：若函数f(x)在x0附近有极限，那么它在x0附近是有界的。
即存在一个正数M>0，使得当x自变量在点x0的邻域内取值时，总有|f(x)|<M。
3. 保序性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值保持不变。
即如果lim(x→x0)f(x)=A，且f(x)≤g(x)，那么lim(x→x0)g(x)也存在，并且lim(x→x0)g(x)≤A。
4. 逼近性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在x0附近与它的极限可以任意接近。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
三、函数极限的运算规律1. 四则运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且A，B存在，那么有lim(x→x0)[f(x)± g(x)]=A±B，lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B，lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。
函数的极限定义及性质
思考与练习
1. 若极限
存在,
2. 设函数
且
存在, 则
是否一定有
？
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
3. 函数极限的性质
保号性. 若
且 A > 0 ,
则存在
( A < 0 )
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
推论 若在
的某去心邻域内
, 且
则
思考: 若条件改为
是否必有
不能!
如
定义. 设函数
大于某一正数时有定义,
若
则称常数
时的极限,
几何解释:
记作
直线 y = A 为曲线
的水平渐近线 .
A 为函数
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
两种特殊情况 :
当
时, 有
当
时, 有
几何意义 :
例如，
都有水平渐近线
都有水平渐近线
又如，
内容小结
1. 函数极限的
或
定义
2. 函数极限的性质:
保号性定理
一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数极限的定义
或
时, 有
当
几何解释
2. 左极限与右极限
左极限 :
当
时, 有
右极限 :
当
时, 有
结论：
例. 给定函数
讨论
时
的极限是否存在 .
解: 利用结论 .
因为
显然
所以
不存在 .
3. 函数极限的性质
保号性. 若
且 A > 0 ,
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
极限的概念解释
极限的概念解释极限是数学中的一个重要概念，用于描述函数在逼近某个值时的行为。
在数学分析中，极限可以通过严格的定义和符号来描述，也可以通过直观的图像和例子来理解。
本文将详细解释极限的概念，从简单的定义开始，逐步深入，以便读者全面理解和掌握。
在数学中，极限是指当一个变量趋近于某个确定值时，函数的值逐步接近这个确定值的过程。
通常，我们将自变量无限接近某个值时对应的函数值称为极限。
函数的极限可以是无穷大、有限或不存在，取决于函数在逼近过程中的性质。
数学家用严格的定义来描述极限的概念。
设函数f(x)定义在某个区间内，x趋近于某个数a时，如果对于任意给定的大于零的数ε，总存在另一个大于零的数δ，当0 < x - a < δ时，则有f(x) - L < ε成立。
其中L为一个常数，称为极限。
这个定义表明，当自变量x无限接近a时，函数值f(x)无限接近L。
为了更直观地理解极限，我们可以借助图像和例子。
考虑函数f(x) = 1/x，其中x不等于0。
当x越来越接近0时，1/x 的值趋近正无穷或负无穷。
我们可以画出这个函数的图像，可以看到当x接近0时，函数的值变得越来越大（正无穷）或越来越小（负无穷）。
这就是函数f(x) = 1/x 在x趋近于0时的极限。
极限还可以是有限值。
考虑函数f(x) = x^2 - 1，当x趋近于2时，函数的极限是3。
我们可以绘制出这个函数的图像，可以看到函数值在x=2附近逐步接近于3。
这就是函数f(x) = x^2 - 1在x趋近于2时的极限。
另一种情况是函数的极限不存在。
考虑函数f(x) = sin(1/x)，其中x不等于0。
当x趋近于0时，函数值在不断振荡，没有明确的趋势。
无论我们如何接近0，函数值都不会趋近于一个确定的值。
因此，这个函数在x趋近于0时极限不存在。
为了更精确地计算和处理极限，数学家还引入了一些重要的极限性质和运算法则。
这些性质和法则提供了一些简化计算的方法。
第二节函数的极限
lim f ( x) A
x
设 f (x)在 ( , a ) 内有 定义, A为常数.若当x无 限减小时, 函数f (x)无 限趋近常数A, 则称函数 f (x) 当 x 以 A 为 极限.
定理 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
x
09:38
09:38
15
再考察函数 g ( x ) x 1 当自变量 x 1 的变化趋势.
仿上例可以得到下表.
x 0.5 0.9 0.99 g(x) 1.5 1.9 1.99
1.01 1.1 1.5 2.01 2.1 2.5
从上述图表中可以看出,当自变量 x 1 时, g ( x ) 2
上述两例说明：f ( x)在 x0 1 处没有定义.g ( x )在 x0 1 处有定义.而当x 1 时，f ( x )与 g ( x ) 都有相同的变化趋
证明 0 ， , 当 0 x 1 时 ， 有
2
2x2 2
x1 4 2(x 1) 4 2 x 1
所以
2x2 2
lim
4
x1 x 1
09:38
22
例 证明 lim x sin 1 0
x0
x
证明 0 ， , 当 0 x 1 时 ， 有
x sin 1 0 x sin 1 x
x
09:38
3
极限定义的几何意义：对任意给定的正数 ， 在直
线 y的上A 、下方各作一直线 ，y 则A存在
X 使0 得在区间 (与, X ) 内(函X 数,的) 图形全部落在
这两条直线
之间y. A
09:38
4
lim f ( x) A 0, M 0,x :| x | M有 | f ( x) A |
极限的概念及性质
极限的概念及性质极限是数学中的重要概念之一，它具有深刻的内涵和广泛的应用。
本文将介绍极限的定义、性质以及在数学和物理等领域的应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指一个函数或序列在自变量逼近某个确定值时，其函数值或序列项无限接近于一个确定的值。
正式地说，对于函数而言，当自变量趋于某个指定的值时，函数的值趋于某个确定的值；对于序列而言，当项数趋于无穷大时，序列的项趋于某个确定的值。
二、极限的性质1. 唯一性：极限是唯一的，即一个函数或序列只能有一个极限值。
2. 有界性：如果一个函数或序列存在极限，那么它一定是有界的，即其函数值或序列项在一定范围内。
3. 保号性：如果一个函数在某个点的左、右两边的极限存在且不相等，那么这个点就是函数的间断点。
4. 夹逼准则：如果一个函数在某点的左、右两边的极限存在，并且存在另一个函数作为中间函数，这个中间函数在这个点的函数值介于两个边界函数在该点的函数值之间，那么这个点的函数极限也存在且相等。
三、极限的应用极限在数学和物理等领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 微积分微积分是极限的重要应用领域之一。
通过极限的概念，可以定义导数和积分，进而研究函数的变化率、曲线的斜率以及曲线下的面积等重要问题。
微积分的发展对于数学和物理学的发展起到了重要的推动作用。
2. 物理学在物理学中，极限的概念被广泛应用于研究物体的运动、变化以及物理定律的推导等问题。
例如，研究物体的速度、加速度等与时间的关系时，需要使用到极限的概念，从而得出重要的物理方程。
3. 统计学在统计学中，极限定理是统计推断的重要基础。
中心极限定理是指当独立随机变量的和趋于无穷大时，这些随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这一理论在统计推断中起到了重要的作用，使得通过样本数据对总体进行推断成为可能。
4. 工程学在工程学领域，极限的概念被应用于结构力学、电路分析、信号处理等问题中。
例如，通过极限分析结构的荷载承载能力，进行结构设计和优化；在电路分析中，通过极限分析电路的稳定性和性能；在信号处理中，通过极限分析信号的频谱特性等。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
函数的24种极限总结
函数的24种极限总结极限是微积分的核心概念之一，它在数学和物理等学科中具有重要的应用价值。
本文将对24种极限进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、极限的基本概念极限是指当自变量趋于某一特定值时，取值逐渐接近于一个确定的值。
可以用数列逼近的思想进行理解。
极限常用的符号表示是“lim”。
二、一元极限1.常数函数极限常数极限是其本身的值，即 lim(a) = a。
2.幂函数极限幂极限取决于指数的大小关系。
当指数小于1时，函数趋于无穷大；当指数等于1时，函数趋于1；当指数大于1时，函数趋于有限值或无穷大。
3.指数函数极限指数极限是通过不同的底数和指数，对数值进行无穷逼近得到的。
例如，底数为e时，指数极限是e；底数为2时，指数极限是2。
4.对数函数极限对数极限是自然对数的极限。
当自变量趋于无穷大时，对数极限趋近于无穷大。
5.三角函数极限三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。
对于正弦函数和余弦函数，它们的极限是区间[-1,1]内的一系列值。
6.反三角函数极限反三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。
对于正切函数和余切函数，它们的极限不存在；而对于正割函数和余割函数，它们的极限是一系列值。
7.指数对数函数极限指数对数极限取决于底数和自变量之间的关系。
当自变量趋于无穷大时，指数对数极限趋近于无穷大。
8.复合函数极限复合极限是通过两个或多个极限运算得到的。
根据复合特性，可以通过分解成多个简单函数，再对每个极限进行计算。
三、多元极限9.二元函数极限二元极限是自变量趋于某个点时，取值逐渐接近于一个确定的值。
常用的符号表示是“lim(f(x,y))”。
10.多元函数序列极限多元函数序列的极限是对每个变量的极限进行运算得到的。
可以通过求极限的方法，得到多元极限。
11.多元孤立点多元孤立点是指在某个点上极限值不存在或无法确定的情况。
针对这种情况，需要进行特殊处理或进行极限的推导。
四、变限积分的极限12.定积分极限定积分的极限是指当积分区间的长度趋于无穷大时，函数在区间上的取值逐渐接近于极限值。
§1 函数极限的概念
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0; x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
x x0
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A.
lim f ( x ) A 0, 时刻, 从此时刻以后 , 恒有 f ( x ) A .
(见下表)
过 时
程 刻
从此时刻以后
n x x x N n N x N x N x N
x 0
o
1
x
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
三、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下 , f ( x ) 有极限 , 则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
x x0 0 ( x x0 )
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
x 例6 验证 lim 不存在. x0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
y
1
lim (1) 1
lim 1 1,
n
1 sin 不存在. 二者不相等, 故 lim x 0 x
四、小结
函数极限的统一定义
lim f ( n) A;
函数的极限与连续性的定义
函数的极限与连续性的定义函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
而函数的极限和连续性则是深入理解函数性质的基础。
本文将会介绍函数的极限和连续性的定义，帮助读者更好地理解这两个概念的数学含义。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近某一特定值时，函数输出值的趋势。
具体而言，对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一实数a时，函数的极限表示为：lim(x→a) f(x) = L其中L为函数f(x)在自变量趋近a时的极限值。
这个定义可以用下面的方式来解释：无论自变量x在a的哪一侧无限接近，只要自变量趋近a的时候函数值都无限接近L，那么函数f(x)在x趋近a时就具有极限L。
需要注意的是，函数对于自变量趋近a的极限可能存在或者不存在。
当极限存在时，我们可以通过一些特定的定理来计算极限值。
常用的计算极限的方法有代数运算法则、夹逼定理、拉'Hospital法则等。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点或某个区间内没有突变或跳跃，它的图像没有断裂。
具体而言，对于函数f(x)，如果满足以下条件就称为连续函数：1. 函数f(x)在某一点x=a处有定义；2. 函数f(x)在x=a处的极限lim(x→a) f(x)存在；3. 函数f(x)在x=a处的极限等于函数f(x)在x=a处的值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
换言之，连续函数的图像是一条连续的曲线，没有断点或跳跃。
我们可以通过连续函数的性质来进行函数的运算、计算其极限以及求解方程等。
需要注意的是，连续函数是极限存在的一个特殊情况。
如果函数在某一点的极限不存在，则该函数在该点不连续。
三、函数极限与连续性的关系函数的极限与连续性是密切相关的。
事实上，连续函数是极限存在的函数，也就是说，连续函数的每一个点都有极限。
具体而言，当函数f(x)在某一点x=a处连续时，它必然满足函数在该点的极限存在，并且极限值与函数的输出值相等。
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
1-4_函数的极限(讲稿)
sin x 明 = 0. 例1 证 lim x→∞ x
1 sin x sin x < 1 证 ∵ < = ε, −0 = x X x x
1 ∀ε > 0, 取 X = , 则 x > X时 有 当 恒 ε
sin x − 0 < ε, x
sin x 故lim = 0. x→∞ x
X与 意 定 正 ε有 任 给 的 数 关
x→x0 −0 − ( x→x0 )
右极限
, ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使 x0 < x < x0 + δ时 当 有 恒 f ( x) − A < ε.
作 记 lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A.
x→x0 +0 + ( x→x0 )
{x 0 < x − x0 < δ} ={x −δ < x − x0 < 0}∪{x 0 < x − x0 < δ}
3
1 1 ⇒| x |> 3 ⇒ 只要 | x | > 2ε 2ε
1 故 取X = 3 , 则 | x |> X 时, 2ε
3
1+ x 1 − < ε 成立， 3 2 2x
3
1+ x 1 即lim = . 3 x→∞ 2x 2
2、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 过程中,对应 问题:函数y = f (x)在x → x0 的过程中 对应 数 值A. 函 值f (x)无 趋 于 定 限 近 确 值
பைடு நூலகம்
理 定 : lim f ( x) = A ⇔ x→ ∞
→ ∞
x→+∞
高等数学：第三节 函数的极限
21/41
例5 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x) A x2 1 2 x 1 ,
x1 任给 0, 要使 f ( x) A , 只要取 ,
则当0 x 1 时,就有
x2 1 2 ,
x1
x2 1
lim
2.
x1 x 1
类比数列极限的定义，可用如下的数学语言刻画 “自变量无限增大”、 “函数无限接近于A”: x X 表示x 的过程;
f ( x) A 表示 f ( x) A 可任意小.
4/41
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
24/41
例6
证明 lim
x2
1 .
x2 x2 4 4
条件放大法
证 因为x 2，故不妨假设 x 2 1,即1 x 3,
x2 1 1 x2 1 x2 x2
x2 4 4 4 x 2 4 1 2 12
第三节 函数的极限
一、自变量趋向无穷时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结、思考题、作业
1/41
数列极限：un f (n), n N un a : n 时，f (n) a 函数极限：y f ( x) y A :自变量x的某个变化过程中时，
相应函数值f ( x)无限接近于A 自变量无限变化方式的差异：
6/41
20. x 情形 : lim f ( x) A x
定义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
函数极限的定义
定义 2 设函数 f(x)在 x0 的某去心邻域内有定义，如
果存在常数 A，对于任意给定的正数ε,总存在正数δ
使得满足0 < x − x0 < δ的一切 x,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) − A < ε,那末常数 A就叫
函数 f ( x)当 x → x0时的极限,记作
lim f ( x) =
x→ x0
注：(1)
ε反映
A f(
x
或 f ( x) → A(当x )与A的接近程度，
→ x0 )
δ反映在
x无限
接近 x0的过程中， x与x0接近到什么程度就能
使f ( x)与A的距离小于 ε，δ依赖于 ε .
(2)由定义可知极限 lim f ( x) = A存在与否与 x→ x0
x≥0
y
lim f ( x) = lim x = 0
x → 0+
x → 0+
f(x)=-x
f(x)=x
lim f ( x) = lim (− x) = 0
x → 0−
x → 0−
0
x
所以 lim | x |= 0. x→0
x −1 例3. 设 f ( x) = 0 x + 1
x<0 x=0 x>0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
说明
高三数学函数的极限
( D )
x lim 10 0 B. x
1 x C. lim ( ) 0 x 2
D. lim 2 x 0
x
例1（优化Ｐ206）例１求下列各极限
4 1 (1) lim( 2 ) x2 x 4 x2 (2) lim( ( x a)( x b) x)
0
x x 0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a 。 的右极限，记作 xlim x
0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 lim f ( x) C .
x x0
注意： （1）lim f ( x ) 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即 x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
f(x) lim x
=a时，才
函数在一点处的极限与左、右极限 1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0 时，函数f(x)的极限是a，记作 lim f ( x) a 或当x→x0时 x x f(x)→a。 2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 左极限，记作 lim f ( x) a。
第三节 函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函 数
y f(x)
的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数 记作
y f(x)
的极限是a，
函数的极限
趋于 1，所以
limxBiblioteka 11 x21．
1.1 函数极限的概念
例 2 考察函数 f (x) arctan x 当 x 和 x 时的极限，并说明它在 x 时的极限是否存在．
解 如图所示，当 x 时，函数 f (x) arctan x 无限趋于常数 ， 2
所以 lim arctan x ．
x 时， f (x) 极限的 M 定义． 定 义 1 设 f (x) 在 (a ， ) 上 有 定 义 ， A 为 实 常 数 ， 若 对 0 ，
M 0 (M | a |) ，当 x M 时，有 | f (x) A | ，则称函数 f (x) 当 x 趋于 时， 以 A 为极限，记为
1.1 函数极限的概念
定 义 1' 设 f (x) 在 ( ，a) 上 有 定 义 ， A 为 实 常 数 ， 若 对 0 ， M 0 (M a) ，当 x M 时，| f (x) A| ，则称函数 f (x) 当 x 时，以 A
为极限，记为
lim f (x) A或 f (x) A (x ) ．
lim f (x) lim 3x 3 ， lim f (x) lim(x 2) 3，
x1
x1
x1
x1
因为左、右极限各自存在且相等，所以 lim f (x) 存在，且 lim f (x) 3 ．
x1
x1
综上，我们讨论了当 x ，x ，x ，x x0 ，x x0 ，x x0 六 种情况时，函数 f (x) 的极限．
x M ，即 | x | M 时，同时有| f (x) A| ，所以 lim f (x) A ． x
1.1 函数极限的概念
例1
求
lim
x
1
函数极限拐点,最大值
函数极限拐点，最大值函数极限、拐点和最大值是高中数学中重要的概念，常常出现在数学竞赛以及各种考试中。
下面将为大家详细讲解这三个概念，并介绍如何求解函数的极限、拐点和最大值。
一、函数极限函数极限指函数在无穷接近某一点时的取值趋势，用符号“$\lim_{x \to x_0} f(x)$”表示。
其中，$x_0$表示自变量$x$无限接近的点，$f(x)$表示函数的值。
有如下两种情况：1. 当$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在时，称$f(x)$在$x_0$处有极限。
2. 当$\lim_{x \to x_0} f(x)$不存在时，称$f(x)$在$x_0$处无极限。
求解函数极限的方法有很多，常用的方法有代入法、夹逼法、洛必达法等。
二、函数拐点函数拐点指函数图像上的凸曲性突变的点，也就是函数在该点处的变化方向发生改变。
例如，图像从上凸转为下凸或从下凸转为上凸，都会在拐点处发生。
如何求解函数的拐点呢？首先，我们需要求出函数的二阶导数。
若在某一点处，函数的一阶导数为零且二阶导数为正，则在该点处函数图像上凸；若一阶导数为零且二阶导数为负，则在该点处函数图像上凹。
拐点就是从上凸转为下凸或从下凸转为上凸的点，即函数图像上凸曲性突变的点。
三、函数最大值函数最大值指函数在某一区间内取得的最大值。
求解函数最大值的方法也有很多，常见的方法有画图法、解方程法、取导数法等。
1. 画图法通过画出函数的图像，可轻松地找出函数的最大值。
具体做法如下：先求出函数的定义域和值域，再根据函数的性质画出函数的图像，最后在图像上找出最高点即可。
2. 解方程法将函数一阶导数等于零的$x$值带入函数中，计算出对应的$y$值，即可得到函数的最大值。
3. 取导数法求解函数最大值时，可根据其导数的性质来求解。
具体做法是先求出函数的一阶导数和二阶导数，然后再化为$f''(x) > 0$或$f''(x) < 0$，即可快速找到函数的最大值。
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一、自变量趋于无穷大时函 数的极限
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1.当 x 时函数的极限
让我们观察一下函数 y 1 当自变量 x 的绝
x
对值 x 无限增大时, 其函数值的变化情况.
正在演示
yy
yy 11 xx
xx oo
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
如 lim 3x 0 x
lim 1 0
x 2 x
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自变量趋于无穷大时函T数eac的hin极g Pl限an o(n分Ad析vanc定ed 义Mat)hematics
定义2 .3P54 设函数
大于某一正数时有定义, 若
0, M 0, 当
时有
定义2.3中 作用与数列极限中 作用相同，衡量
f (x)与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义
中Ｎ相类似，表明 x 充分大的程度;但这里所考虑的
是比Ｍ大的所有实数 x ，而不仅仅是正整数n。
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yy
yy 11 xx
oo
演 示 结 xx 束
从该例可见:当 x 趋于无穷大时, 1 趋于常数
0, 此时我们称0是函数
y 1 x
当
x
趋x于无穷大时
的极限.
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补充:函数f (x)当x→∞时的T极eac限hing(描Plan述on 定Adv义ance)d Mathematics
因此
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例2. 证明
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证: f (x) A
故 0, 取 , 当 x2 1 2
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时 , 必有
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例3. 证明
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2.当 x x0 时函数的极限 先观察函数 f (x) x 1 和函数 g( x) x 2 1当
x1
x 1 时的变化趋势
正
在 演
y
f (x) x 1
y
示
2
2
x2 1 g(x)
x1
x
x
x
o
1
x
o
1
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x x0
x
x0
o x x0
x
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注: 1. f ( x) 在 x x0 时的极限是否存在,与 f ( x) 在 点 x0 处有无定义以及在点 x0 处的函数值无关．
2 在定义中，x 是以任意方式趋近于 x的0 ，但在有些 问题中，往往只需要考虑点x 从 的x一0 侧趋近于 时，函
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2.当 x x0时函数的极限 先观察函数 f (x) x 1 和函数 g(x) x 2 1 当
x1
x 1 时的变化趋势
y
f (x) x 1
开 始
y
演
示
2
2
x2 1 g(x)
x1
xx
x
x
x
o
1
x
o
1
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2.当 x x0时函数的极限
先观察函数 f (x) x 1 和函数g( x) x 2 1 当
x1
x 1 时的变化趋势
正
在 演
y
f (x) x 1
y
示
2
2
x
x
x
o
1
x2 1 g(x)
x1
x
x
x
o
1
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2.当 x x0 时函数的极限 先观察函数 f (x) x 1 和函数 g( x) x 2 1 当
x1
x 1 时的变化趋势
正
在 演
y
f (x) x 1
y
示
2
2
x
x
x
o
1
x2 1 g(x)
x1
x
x
x
o
1
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例2. 证明
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证:
f (x) A
故 0, 可取M为任何正数任意的 当
时,
总有
因此
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两种特殊情况： （1）当x→+∞
lim f (x) A
x
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如何用定义2.3证明当 x 时函数 f (x) 的极限为所给已知值A？
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例1. 证明
lim 1 0.
x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
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y
y
1
x
ox
即
取 M1,
因此
就有
注:
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0, M 0,当 f (x) A
时, 有
( 2 )当x→-∞的极限
0, M 0, 当 x M 时, 有
f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如， 又如，
都有水平渐近线 y 0;
都有水平渐近线 y 1.
y 1
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1.当 x 时函数的极限
让我们观察一下函数 y 1 当自变量 x 的绝
x
对值 x 无限增大时, 其函数值的变化情况.
易见,随着 x 的无 限增大, 小红球愈来愈 靠近于 轴x , 即其函数 值逐渐趋于零.
如图
y
ox
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当 x x时0 函数极限的分析定义:(p58)
定义2.4 . 设函数
在点 的某去心邻域内有定义 ,
若 0, 0, 当 0 x x0 时, 有 f (x) A
则称常数 A 为函数 当
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§2.2函数的极限
第二章
本节内容 :
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、自变量趋于有限值时函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
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2.当x x0 时函数的极限 先观察函数 f (x) x 1 和函数 g( x) x 2 1 当
x1
x 1 时的变化趋势
y
f (x) x 1
正 在
y
演
示
2
2
x2 1 g(x)
x1
xx
x
x
x
o
1
x
o
1
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2.当 x x0 时函数的极限
先观察函数 f (x) x 1 和函数 g( x) x 2 1 当
x1
x 1 时的变化趋势 演示
f (x) x 1
y
y
2
2
x
o
1
x x
x2 1 g(x)
x1
x
x
x
o
1
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如 lim 3x 0 x
lim 1Teach0ing Plan on Advanced Mathematics x 2 x
时的极限, 记作
lim f (x) A 或
xx0
即
当
时, 有 几何解释:
y
A
A
A
y f (x)
x0 x0 x
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例1. 证明
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证:
2 x 1
0, 欲使
只要
取 2 , 则当 0 x 1 时 , 必有
如 lim x 1 2, x1 lim x2 1 2 x1 x 1
注意 x x0 意思是x 无限靠近于 x0 ,但x x0 , 因此
点有无极限与函数在该点有无定义毫无关系.
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例. 用观察求