圆周运动的临界问题

圆周运动的临界问题 【例1】如图所示，质量为0.1kg 的木桶内盛水0.4kg ，用50cm 的绳子系桶，使它在竖直面内做圆周运动。

如图通过最高点为9m/s ，求绳子的拉力和水对桶底的
压力。

（g 取10N/kg ）
【答案】拉力105N 方向向下 压力84N ，方向向下
【练习1】如图甲所示，一长为l 的轻绳，一端穿在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动．小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v 2的关系如图乙所示，重力加速度为g ，下列判断正确的是
A ．图象函数表达式为mg l
v m F +=2
B ．重力加速度l
b g = C ．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D ．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线B 点的位置不变
答案:BD
【例2】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在
转盘上，A 到竖直筒中心的距离为r .物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才能随盘转动.
【正解】由于A 在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A 所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.
当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即
F＋F m′＝m21ωr ①
由于B静止，故
F＝mg ②
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即
F m′＝μF N＝μmg ③
由①②③式解得ω1＝r
（μ
+
1
g/）
当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为
F－F m′＝m22ωr ④
由②③④式解得ω2＝r
（μ
-要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足
1
g/）
g/）
1
（μ
+
-≤ω≤r
r
g/）
1
（μ
【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力.
【例3】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长L=0.1m 的细线相连接的A、B两小物块．已知A距轴心O的距离r l =0.2m，A、B的质量均为m =1kg，它们与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.3倍（g 取10m/s2)．试求：
ω为多大？
（1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度
（2）当A、B与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力为多大？
【练习2】如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO'转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A到OO'轴的距离为物块B到OO'轴距离的两倍。

现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（）A．B受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力是先增大后减小
C．A受到的静摩擦力是先增大后减小
D．A受到的合外力一直在增大
答案：D
【练习3】(2014·安徽高考)如图10所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。

物体与盘面间的动摩擦因数为32
(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2。

则ω的最大值是( )
图10
A ． 5 rad/s
B ． 3 rad/s
C ．1.0 rad/s
D ．5 rad/s
选C 物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律可知，μmg cos 30°－mg sin 30°＝mrω2，求得ω＝1.0 rad/s ，C 项正确，A 、B 、D 项错误。

【例4】如图所示，小球质量 m =0.8kg ，用两根长L =0.5m 的细绳拴住并系在竖直杆上的A 、B 两点，AB =0.8m ．当直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω=40rad /s 的角速度匀速转动时，求上、下两根绳上的张力．
【例5】如图所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC ⊥AB ，θ=30°，一条不计质量、长L 且平行于圆锥体的绳一端固定在顶点O 点，另一端拴一质量为m 的物体，物体以速度v 绕圆锥体的轴线OC 在水平面内做匀速圆周运动．当 6gl v =
和32
gl v =时，分别求出绳对物体的拉力
答案：(1)T 1=1.03mg (2)T 2=2mg
【练习4】用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示。

设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为，则随的变化的图象是（）
答案：C
【练习5】（2016•兰州模拟）如图所示，转动轴垂直与光滑水平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端栓接一质量为m的小球B，绳长l>h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动，当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是（）A．小球始终受三个力的作用
B．细绳上的拉力始终保持不变
g
C．要使球不离开水平面角速度的最大值为
h
g
D．若小球飞离了水平面则角速度为
l
答案：C
【例6】(2015·德州联考)如图12所示，水平放置的圆盘上，在其边缘C点固定一个小桶，桶的高度不计，圆盘半径为R＝1 m，在圆盘直径CD的正上方，与CD平行放置一条水平滑道AB，滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，且B点距离圆盘圆心的竖直高度h＝1.25 m，在滑道左端静止放置质量为m＝0.4 kg的物块(可视为质点)，物块与滑道的动摩擦因数为μ＝0.2，现用力F＝4 N的水平作用力拉动物块，同时圆盘从图示位置，以角速度ω＝2πrad/s，绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用在物块一段时间后撤掉，最终物块由B点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内。

重力加速度取10 m/s2。

图12
(1)若拉力作用时间为0.5 s，求所需滑道的长度；
(2)求拉力作用的最短时间。

解析：(1)物块平抛：h ＝12
gt 2； t ＝ 2h g
＝0.5 s 物块离开滑道时的速度：v ＝R t
＝2 m/s 拉动物块的加速度，由牛顿第二定律：
F －μmg ＝ma 1；得：a 1＝8 m/s 2
撤去外力后，由牛顿第二定律：
－μmg ＝ma 2；
得：a 2＝－2 m/s 2
物块加速获得速度：v 1＝a 1t 1＝4 m/s
则所需滑道的长度
L ＝x 1＋x 2＝12a 1t 12＋v 2－v 122a 2
＝4 m (2)盘转过一圈时落入，拉力时间最短；
盘转过一圈时间：T ＝2πω
＝1 s ； 物块在滑道上先加速后减速，最终获得：v ＝a 1t 1＋a 2t 2
物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：t 1＋t 2＋t ＝T
由上两式得：t 1＝0.3 s 。

答案：(1)4 m (2)0.3 s
课后作业
1、如图所示，圆盘上叠放着两个物块A 和B ，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )
A ．物块A 不受摩擦力作用
B ．物块B 受5个力作用
C ．当转速增大时，A 受摩擦力增大，B 受摩擦力减小
D ．A 对B 的摩擦力方向沿半径指向转轴
答案：B
解析：物块A 受到的摩擦力充当其向心力；物决B 受到重力、支持力、A 对物块B 的
压力、A对物块B的沿半径向外的摩擦力和圆盘对物块B的沿半径向里的静摩擦力，共5个力的作用；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大；A对B的摩擦力方向沿半径向外。

2、如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有()
A．线速度v A>v B
B．运动周期T A>T B
C．它们受到的摩擦力F fA>F fB
D．筒壁对它们的弹力F N A>F N B
答案：AD
解析：由于两物体角速度相等，而r A>r B，所以v A＝r Aω>v B＝r Bω，A项对；由于ω相等，则T相等，B项错；因竖直
方向受力平衡，F f＝mg，所以F fA＝F fB，C项错；弹力等于向心力，所以F N A＝mr Aω2>F N B ＝mr Bω2。

D项对。

3、球A和球B可在光滑杆上无摩擦滑动，两球用一根细绳连接如右图所示，球A的质量是球B的两倍，当杆以角速度ω匀速转动时，两球刚好保持与杆无相对滑动，那么() A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力
B．球A转动的半径是球B转动半径的一半
C．当A球质量增大时，球A向外运动
D．当ω增大时，球B向外运动
答案：BC
解析：因为杆光滑，两球的相互拉力提供向心力，所以F A＝F B，A错误；由F＝mω2r，m A＝2m B，得r B＝2r A，B正确；当A球质量增大时，球A向外运动，C正确；当ω增大时，球B不动，D错误。

4、(2015·忻州一中检测)如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为()
A．3mg B．2mg
C．3mg D．4mg
选A当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，有mg＝m v2
r；当小球
到达最高点时速率为2v，设每段线中张力大小为F，应有2F cos 30°＋mg＝m(2v)2
r；解得F
＝3mg，选项A正确。

5．(2015·山东省桓台模拟)如图，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m 的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内作圆周运动。

A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D 点是与圆心O同一水平线上的点。

小滑块运动时，物体M在地面上静止不动，则物体M对地面的压力N和地面对M的摩擦力有关说法正确的是()
A．小滑块在A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．小滑块在B点时，N＝Mg，摩擦力方向向右
C．小滑块在C点时，N＝(M＋m)g，M与地面无摩擦
D．小滑块在D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左
选B因为轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。

小滑块在A点时，与轨道的作用力在竖直方向上，水平方向对轨道无作用力，所以轨道相对于地面没有相对运动趋势，即摩擦力为零；当小滑块的速度v＝gR时，对轨道的压力为零，轨道对地面的压力N＝Mg，当小滑块的速度v＞gR时，对轨道的压力向上，轨道对地面的压力N＜Mg，故选项A错误；小滑块在B点时，对轨道的作用力沿水平方向向左，所以轨道对地有向左运动的趋势，地面给轨道向右的摩擦力；竖直方向上对轨道无作用力，所以轨道对地面的压力N＝Mg，故选项B正确；小滑块在C点时，在水平方向对轨道无作用力，所以地面对轨道没有摩擦力；小滑块做圆周运动，轨道对小滑块的支持力大于其重力，其合力提供向上的向心力，所以滑块对轨道的压力大于其重力，所以轨道对地面的压力N＞(M＋m)g，故选项C错误；小滑块在D点时，对轨道的作用力沿水平方向向右，所以轨道对地有向右运动的趋势，地面给轨道向左的摩擦力；竖直上方向对轨道无作用力，所以轨道对地面的压力N＝Mg，故选项D 错误。

6．如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则() A．绳的张力可能为零
B．桶对物块的弹力可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
解析当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，A、D项错误，C项正确；当绳的水平分力提供向心力
的时候，桶对物块的弹力恰好为零，B 项正确。

答案 BC
7．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。

不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )
A ．A 的速度比
B 的小
B ．A 与B 的向心加速度大小相等
C ．悬挂A 、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等
D ．悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小
解析 A 、B 绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ωA ＝ωB ，但r A <r B ，根
据v ＝ωr 得，A 的速度比B 的小，选项A 正确；根据a ＝ω2r 得，A 的向心加
速度比B 的小，选项B 错误；A 、B 做圆周运动时的受力情况如图所示，根据
F 向＝mω2r
及tan θ＝F 向mg ＝ω2r g
知，悬挂A 的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C 错误；由图知F T ＝mg cos θ，所以悬挂A 的缆绳受到的拉力小，选项D 正确。

答案 AD
8、图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动。

在框架上套着两个质量相等的小球A 、B ，小球A 、B 到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止。

下列说法正确的是( )
A ．小球A 的合力小于小球
B 的合力
B ．小球A 与框架间可能没有摩擦力
C ．小球B 与框架间可能没有摩擦力
D ．圆形框架以更大的角速度转动，小球B 受到的摩擦力一定增大
答案 C
9．（2015•朔州校级一模）如图，水平放置的匀质圆盘可绕通过圆心的竖直轴OO ′转动．两个质量均为lkg 的小木块a 和b 放在圆盘上，a 、b 与转轴的距离均为1cm ，a 、b 与圆盘间的动摩擦因数分别为0.1和0.4（设虽大静摩擦力等于滑动摩擦力）．若圆盘从静止开始绕OO ′缓慢地加速转动，用m 表示网盘转动的角速度，则（取g=10m/s 2）（ ）
A ．a 一定比b 先开始滑动
B ．当ω=5rad/s 时，b 所受摩擦力的大小为1N
C ．当ω=10rad/s 时，a 所受摩擦力的大小为1N
D ．当ω=20rad/s 时，继续增大ω，b 相对圆盘开始滑动
答案 ACD ．
10、如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L ＝0.8 m 的轻杆，一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝0.2 kg 的小球，沿斜面做圆周运动，取g ＝10 m/s 2，若要小球能通过最高点A ，则小球在最低点B 的最小速度是( )（注意杆的特点）
A ．4 m/s
B ．210 m/s
C ．2 5 m/s
D ．2 2 m/s 答案 C
11、如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动．现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v x 随时间t 的变化关系如图乙所示．不计空气阻力．下列说法中正确的是( )
A ．t 1时刻小球通过最高点，图乙中S 1和S 2的面积相等
B ．t 2时刻小球通过最高点，图乙中S 1和S 2的面积相等
C ．t 1时刻小球通过最高点，图乙中S 1和S 2的面积不相等
D ．t 2时刻小球通过最高点，图乙中S 1和S 2的面积不相等
解：过最高点后，水平分速度要增大，经过四分之一圆周后，水平分速度为零，可知从最高点开始经过四分之一圆周，水平分速度先增大后减小，可知t1时刻小球通过最高点．根据题意知，图中x 轴上下方图线围成的阴影面积分别表示从最低点经过四分之一圆周，然后再经过四分之一圆周到最高点的水平位移大小，可知S1和S2的面积相等．故A 正确，B 、
C 、
D 错误．
故选：A ．
12、如图所示叠放在水平转台上的小物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动，
A 、
B 、
C 的质量分别为3m 、2m 、m ，A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为μ，
B 、
C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r 。

设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

以下说法中不正确的是（ ）
A ．
B 对A 的摩擦力一定为3μmg
B ．
C 与转台间的摩擦力等于A 与B 间的摩擦力的一半
C ．转台的角速度一定满足：ω≤r
g 32
D ．转台的角速度一定满足：ω≤
r
g 3 答案：AD
13、(多选)(2014·全国卷Ⅰ)如图436，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l 。

木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。

若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A ．b 一定比a 先开始滑动
B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等
C ．ω＝
kg 2l 是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝
2kg 3l
时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案：AC
14、如图，长为R =0.9m 的轻杆，在其一端固定一物块（看成质点），物块质量m =0.9kg ，以O 点为轴使物块在竖直平面内做圆周运动，其右端有一倾斜的传送带正在以速度v 0=16m/s 顺时针方向转动，传送带顶端与圆周最高点相距3R/2，忽略传送带圆弧部分的影响．当物块经过最高点时，（g 取10m/s 2）
（1）若物块刚好对杆没有作用力，则物块速度v x 为多大？
（2）在第（1）问的情况下，若物块从最高点脱出做平抛运
动，要使物块刚好从传送带顶端与传送带相切进入传送带，则
传送带的倾角θ应该为多大？
（3）在第（2）问的情况下，若传送带长为L =11m ，物块与
传送带之间的动摩擦因数为μ=2
3，则物块从传送带顶端运动到底端的时间是多少？
11。