初中数学教程等积变形和行程问题
七年级数学上册3.2一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题学案无答案新版沪科版
3.2一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题【学习目标】1、理解等积变形前后不变的量，速度、时间、路程三个基本量之间的关系．会列一次方程解行程问题。
2、在解决行程问题的过程中，进一步掌握列一元一次方程解简单应用题的方法和步骤。
等积变形和行程问题：等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间.（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝r2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc行程问题基本量之间的关系路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题快行距－慢行距＝原距（3）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．【自主学习】1、还记得小学学过的行程问题中的路程 时间和速度三个量之间关系吗？注意：（1）“同时”、“同地”、“相向”、“同向”关键字的含义。
（2）行程问题一般从时间、路程找等量关系。
（3）注意单位的统一。
2、慢车每小时行驶48千米，x 小时可行驶 千米，快车每小时行驶72千米，如果快车先开5/12小时，那么在慢车开出x 小时后快车行驶 千米。
3、(1) 如图甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，相遇时他们走的时间的关系是_________________ ______，走的路程关系是_______ __ __.4、(2)如果甲从A 、乙从B 同时出发同向而行，甲追乙，在C 点追击，那么他们走的路程关系是_ ____________，时间关系是______ ___________4、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？相遇乙走的甲B A甲走的路程C B乙甲A5、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？【合作探究】问题1：小明与小兵的家分别在相距20千米的甲、乙两地，星期天小明从家出发骑自行车去小兵家，小明骑车的速度为每小时13千米．两人商定到时候小兵从家里出发骑自行车去接小明，小兵骑车速度是每小时12千米。
七上数学(沪科版)课件-等积变形问题与行程问题
甲比乙每小时多行 2.5km，则乙的速度为( B )
A．12.5km/h
B．15km/h
C．17.5km/h
D．20km/h
5．一辆慢车每小时行驶 48km，一辆快车每小时行驶 55km.慢车在前，快
车在后，且相距 14km，则快车追上慢车所需时间是 2 小时．
知识点三：其他问题 6．杭州与嘉兴两地相距 120 千米，一辆汽车从杭州出发，速度为 45 千米/ 时，一辆货车从嘉兴出发，速度为 35 千米/时， 几小时两车相遇 ？请你将 这道题补充完整，并列出方程为 (45＋35)x＝120 . 7．王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝， 如果每人分 5 袋，还余 3 袋；如果每人分 6 袋，还差 3 袋，则王经理带回 孔明菜 33 袋．
8．甲队有 28 人，乙队有 20 人，现从乙队抽调 x 人到甲队，使甲队的人数
是乙队人数的 2 倍．依题意列出的方程是( D )
A．28＝2(20－x)
B．28＋x＝20－x
C．28＋x＝2×20
D．28＋x＝2(20－x)
9．甲仓库存煤 200 吨，乙仓库存煤 70 吨．若甲仓库每天运出 15 吨煤，乙
知识点一：等积变形问题
等积变形问题：变形前的面积(体积)＝ 变形后 的面积(体积)．
1．用直径为 120 毫米的圆钢锻造成 59 克的工件，1 立方厘米钢重 7.8 克，
问需截取圆钢的长是多少毫米？若设需截取圆钢的长为 x 毫米，那么下面
的方程中正确的是( D )
A．7.8×1202·πx＝59
B.170.080×1202·πx＝59
11．A、B 两地相距 600km，甲车以 60km/h 的速度从 A 地驶向 B 地，2h 后乙车以 100km/h 的速度沿着相同的道路从 A 地驶向 B 地．设乙车出发 x 小时后追上甲车，根据题意可列方程为( A ) A．60(x＋2)＝100x B．60x＝100(x－2) C．60x＋100(x－2)＝600 D．60(x＋2)＋100x＝600
等积变形和行程问题
3.2一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题【学习目标】1、理解等积变形前后不变的量，速度、时间、路程三个基本量之间的关系．会列一次方程解行程问题。
2、在解决行程问题的过程中，进一步掌握列一元一次方程解简单应用题的方法和步骤。
等积变形和行程问题：等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间.（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc行程问题基本量之间的关系路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题快行距－慢行距＝原距（3）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．【自主学习】1、还记得小学学过的行程问题中的路程 时间和速度三个量之间关系吗？注意：（1）“同时”、“同地”、“相向”、“同向”关键字的含义。
（2）行程问题一般从时间、路程找等量关系。
（3）注意单位的统一。
2、慢车每小时行驶48千米，x 小时可行驶 千米，快车每小时行驶72千米，如果快车先开5/12小时，那么在慢车开出x 小时后快车行驶 千米。
3、(1) 如图甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，相遇时他们走的时间的关系是_________________ ______，走的路程关系是_______ __ __.4、 (2)如果甲从A 、乙从B 同时出发同向而行，甲追乙，在C 点追击，那么他们走的路程关系是_ ____________， 时间关系是______ ___________4、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？5、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？【合作探究】问题1：小明与小兵的家分别在相距20千米的甲、乙两地，星期天小明从家出发骑自行车去小兵家，小明骑车的速度为每小时13千米．两人商定到时候小兵从家里出发骑自行车去接小明，小兵骑车速度是每小时12千米。
初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
一元一次方程应用之等积变形篇
物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．
一元一次方程解航行问题
要解航行问题，就要所有量之间的关系。
首先，要弄清几个速度之间的关系：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
其次，要弄清速度、时间和路程的关系：
顺流路程＝顺流速度×顺流时间
逆流路程＝逆流速度×逆流时间
弄清这些关系后，就应该考虑怎样列方程了。
为了方便，我把列方程的规律编成了顺口溜儿：
航行问题找三量，
静速水速和路程，
一个已知一设元，
余下一个列方程；
若遇三量都具体，
时间关系列方程。
针对上面的问题，下面文章举例说明！。
初一等积变形题解题方法
初一等积变形题解题方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初一等积变形是初中数学中的一个重要知识点，也是中考中常考的内容之一。
等积变形是指在等式两侧同时乘以（或除以）相同的数（非零）得到新的等式，等式依然成立。
初一等积变形题目一般比较简单，但是要掌握一些解题方法才能高效解题。
下面就给大家介绍一下初一等积变形题解题方法。
要熟练掌握等式的性质。
等式的性质有交换性、结合性、分配律等。
通过这些性质可以将等式进行变形，从而更好地解题。
要能够灵活运用等性变形规律。
在等式中，常见的等式变形规律有消去规律、配方规律等。
要能够根据题目的要求，合理运用这些规律进行等式变形。
接着，要注意等式的两侧同时进行变形。
等式的两侧必须同时进行变形，不能只对一侧进行操作，否则等式就会不成立。
在进行等积变形题目时，一定要保持等式的平衡性。
要善于利用未知数进行代入。
有些等积变形题目中会涉及到未知数，此时可以通过代入的方法，将未知数代入到等式中，从而更好地解题。
要注意化简过程中的乘法运算。
在进行等积变形题解题时，常常会涉及到乘法运算，要注意运算的准确性和顺序，避免出现计算错误。
要进行检验答案。
在解完等积变形题目之后，一定要进行答案的检验。
将得到的答案代入原等式中进行验证，确保答案正确，避免因计算错误而导致答案不准确。
初一等积变形题目在解题过程中需要注意一些方法和技巧。
只有掌握了这些方法和技巧，才能更好地解答等积变形题目，提高解题效率。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地掌握初一等积变形题解题方法，取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：初一的数学学习主要围绕着数学的基础知识展开，其中等积变形是其中一个比较重要的知识点。
等积变形是数学中的一个重要概念，它是指通过对等式两边进行一些操作，使得等式的两边仍然等积的过程。
初一阶段的数学学习主要是帮助学生建立数学思维和分析问题的能力，等积变形题是一个很好的训练这些能力的题型。
今天我们就来探讨一下初一等积变形题解题方法。
列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点
列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点列一元一次方程解应用题是初一数学教学中的一大重点，而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学后第一次接触到用代数的方法处理应用题。
因此，认真学好这一知识，对于今后学习整个中学阶段的列方程（组）解应用题大有帮助。
（1）和、差、倍、分问题。
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。
审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。
类似于：甲乙两数之和56，甲比乙多3（乙是甲的1/3），求甲乙各多少？这样的问题就是和倍问题。
问题的特点是，已知两个量之间存在合倍差关系，可以求这两个量的多少。
基本方法是：以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的关系列出方程。
（2）等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。
（3）调配问题。
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
（4）行程问题。
要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
航行问题：速度关系是：①顺水速度＝静水中速度＋水流速度；②逆水速度＝静水中速度－水流速度。
飞行问题、基本等量关系：①顺风速度＝无风速度＋风速②逆风速度＝无风速度－风速行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。
（5）工程问题。
基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。
(完整版)初一数学列方程解应用题归类含答案
应用题提高练习训练一、等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝πr2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc1．把一段铁丝围成长方形，发现长比宽多2cm；围成正方形时，边长刚好为4cm．求所围成的长方形的长和宽各是多少？2．用一个底面半径为40mm，高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm，大玻璃杯的高度是多少？3．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成．现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？4．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）．5．在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm、高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水还剩多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．二、打折销售问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量(4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如打8折出售，即按原标价的80%出售．1．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格大幅度下降，某品牌电脑今年每台售出价格为4200元，比去年降低了30%，问去年该品牌电脑每台售出价为多少元？2、东方商场把进价为1890元的某商品按标价的8折出售，仍获利10%，则该商品的标价为多少？3、某种商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润不低于5%，那么商店最多降多少元出售此商品。
七年级数学上册第3章 第1课时等积变形和行程问题教案新版沪科版
3.2 一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题【知识与技能】1.通过一元一次方程解决实际问题，进一步体会方程这一数学模型的重要作用，增强数学的应用意识.2.掌握一元一次方程解应用题的一般步骤，能根据问题的意义，检验结果的合理性.【过程与方法】从学生熟悉的一元一次方程及一元一次方程的解法的基础上，引出利用一元一次方程解决实际问题.通过各种师生活动加深学生对“列一元一次方程解应用题的一般步骤”的理解；让学生在经历知识的获得过程中，体会数学模型思想.过程中还培养了学生的运算能力，提高了教学效率.【情感态度】经历将数学问题实际化的过程，感受数学在生活中的应用，进一步体会方程模型的重要性.【教学重点】重点是掌握列一元一次方程解决实际问题.【教学难点】难点是灵活运用一元一次方程解等积变形和行程问题.一、情境导入，初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：如图，用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm，300mm和90mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时π取3.14，结果精确到1mm）？【情境2】实物投影，并呈现问题：为了适应经济发展，铁路运输再次提速，如果客车行驶的平均速度增加40km/h，提速后由合肥到北京1 110km的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每小时行驶多少千米?【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出方程，在列方程时，注意等量关系的确定及未知数的设法.在解决问题的过程中，让学生总结列方程解应用题的一般步骤，并能根据问题的意义，检验结果的合理性.情境1中设应截取的圆柱体钢长为x mm.根据题意，得3.14×22002⎛⎫⎪⎝⎭x=300×300×90，解这个方程得x≈258.检验：x≈258适合方程，且符合题意.答：应截取约258mm长的圆柱体钢.情境2中设提速前客车平均每小时行驶x km，那么提速后客车平均每小时行驶（x+40）km.客车行驶路程1 110km，平均速度是（x+40）km/h，所需时间是10h.根据题意，得：10（x+40）=1 110.解方程，得x=71.检验：x=71适合方程，且符合题意.答：提速前这趟客车的平均速度是71km/h.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会到实际生活中的数学问题，并使学生体验数学知识与生活实际的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知列方程解应用题的方法步骤问题1列方程解应用题的方法步骤是什么？问题2寻找等量关系的方法有哪些？【教学说明】学生通过回顾列方程解应用题的过程，再经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】列方程解应用题的方法步骤：（1）审：审题，弄清题意，明确各数量之间的关系；（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数，通常题目问什么，就可以设什么为未知数；（4）列：根据这个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程；（5）解：解所列出的方程，求出未知数的值；（6）答：检验是否符合题意，答题.列方程解应用题的关键是寻找题目中的等量关系，一般有下列三种方法：①从有关数量比较的关键词语中发现等量关系，如大、小、多、少、倍、分等；②借助基本数量关系，探讨数量之间的等量关系，如路程＝平均速度×时间；③注意变化中的不变量，寻找隐含的等量关系，如行程问题中，静水速度不变等.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两站相距1200千米，一列慢车从甲站开出，每小时行80千米，一列快车从乙站开出，每小时行120千米，两车同时开出，出发后（）小时两车相距200千米.A.5B.7C.5或7D.62.一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，圆柱的高是多少？3.小亮与小莹在运动场上跑步，跑道一圈的长为400米，小亮与小莹的速度分别为5米/秒与4米/秒.（1）如果二人从跑道上某一位置同时相背起跑，那么经过多少秒二人第一次相遇？（2）如果二人从跑道上某一位置同时同向起跑，那么经过多少分钟小亮第一次追上小莹？【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对一元二次方程有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.C2.解：设圆柱的高是x cm，根据题意，得4×3×2=π×1.52x，解得x=323πcm.答：圆柱的高是323πcm.5.解:（1）设经过x秒二人第一次相遇.根据题意，得5x+4x=400，解这个方程，得x=4009.所以经过4009秒二人第一次相遇.(2)设经过y秒小亮第一次追上小莹.根据题意，得5y-4y=400，解这个方程，得y=400. 40020 603=.所以经过203分钟小亮第一次追上小莹.四、师生互动，课堂小结1.列方程解应用题的一般步骤是什么？2.如何运用一元一次方程解决等积变形问题和行程问题？3.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第94页“练习”和第97页“习题3.2”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要是列方程解决等积变形与行程问题，列方程解应用题的过程实际上就是将问题“数学化”的过程.也就是先将实际问题化为数学问题，即方程，也就是“数学模型”，然后解这个数学问题，即解方程，再将这个数学问题的解转化为实际问题的解.。
等积变形和行程问题ppt课件
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程的运用
第1课时 等积变形和行程问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目的
1.会用一元一次方程处理等积变形和行程问题. 〔重点、难点〕 2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程根据 的主要等量关系.(难点〕 3.掌握用一元一次方程处理实践问题的根本过程. (重点)
解方程，得 x=71.
答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.
例3 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站 开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出， 每小时行140千米．
(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而 行．问快车开出多少小时后两车相遇？
解：(1)设快车开出x小时后两车相遇．
根据题意，得 2(x+3)=2.5(x-3)
解方程，得 x=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时.
课堂小结
1.设未知数；
步
2.找等量关系 ；3.列方程；
直接设元
用一元一
ห้องสมุดไป่ตู้
骤
4.解方程；
简接设元
次方程处
5.检验作答.
理问题
等积变形：变形前后的
运
面〔体)积相等
用 行程问题：
路程=时间×平均速度
课堂小结
根据等量关系列出方程，得： 等积变形就是无论物体
怎样变化都存在一个等
（ 20） 2 0x300 300 90. 量关系，即物体变化前
2
后面积或体积不变
解方程，得： x25.8
答：应截取258mm长的圆柱体钢.
归纳总结
列方程解运用题的普通步骤： 1:弄清题意和题中数量关系，用字母〔如 x,y)表示问题中的未知数；
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3.2一元一次方程的应用
第1课时 等积变形和行程问题
教学目标
1.通过学习列方程解决实际问题，进一步感知数学在生活中的作用；
2.通过分析等积变形，追及问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。
进一步发展分析问题，解决问题的能力。
教学重难点
【教学重点】
列一元一次方程解决等积变形和行程问题。
【教学难点】
找出问题中的等量关系。
课前准备
课件、教具等。
教学过程
一、情境导入
一种牙膏出口处直径为5mm ，子昂每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次．该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6mm ，子昂还是按习惯每次挤出1cm 的牙膏，这样，这支牙膏能用多少次呢？
二、合作探究
探究点一：等积变形问题
例1 用直径为90mm 的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭．问需要截取多长的一段圆钢？(结果保留π)
解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变．
解：设截取圆钢的长度为x mm.
根据题意，得π⎝ ⎛⎭
⎪⎫9022
x ＝131×131×81， 解方程，得x ＝686.44π
. 答：截取圆钢的长度为686.44π
mm. 方法总结：列方程解应用题首先要审题，本题中圆钢由圆柱体变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变．“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”． 例2 将一个长、宽、高分别为15cm 、12cm 和8cm 的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12cm 的正方形的长方体钢坯．试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较．
解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高．再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可．
解：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.
锻造前长方体钢坯的表面积为2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(cm2)，
锻造后长方体钢坯的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768(cm2)．
因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大．
方法总结：本题的解题关键是根据等积变形中的等量关系确定变化后长方体的高．
探究点二：行程问题
【类型一】相遇问题
例3 小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一．
解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解得x＝10.
答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．
方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系．
【类型二】追及问题
例4 敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程．
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的．根据题意，得8x－5x＝25－1.解得x＝8.
答：战斗是在开始追击后8小时发生的．
方法总结：追及问题中的等量关系：追及距离＝速度差×追及时间．
【类型三】环形问题
例5 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
解析：(1)题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者比慢者多跑一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米；(2)题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米．
解：(1)设x 分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x －240x ＝400.解得x ＝103
. ⎝ ⎛⎭
⎪⎫103×360＋103×240÷400＝5(圈)． 答：两人一共走了5圈；
(2)设x 分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x ＋240x ＝400.解得x ＝23
(分钟)＝40(秒)． 答：40秒后两人第一次相遇．
方法总结：环形问题中的等量关系：两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)，甲的行程－乙的行程＝一圈周长．
三、板书设计
1．等积变形问题
2．行程问题
(1)相遇问题；
(2)追及问题；
(3)环形问题．
教学反思
教学过程中，通过对开放性问题的探讨与交流，体验生活中数学的应用与价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识、团队精神和克服困难的勇气．。