第2讲 量子力学的基本假设

第一章 量子力学基础
2、一些微观粒子的波函数
（）单粒子一维运动的波函数 1
Ψ = A exp ( i 2π / h )( xpx − Et )
z
（2）氢原子1s态(电子)的波函数
ϕ1s =
1
πa
3 0
exp[ −r / a0 ]
θ
原子核
e
r
o
A H原子模型
y
r :电子距原子核的距离
a0：波尔半径（a0 = 52.92pm）
ϕ ( x, y , z )
x = − x, y = − y , z = − z
ϕ ( x, y , z ) = ϕ ( − x, − y , − z )
x = − x, y = − y , z = − z
ϕ ( x, y, z ) = −ϕ (− x, − y, − z )
ϕ (x, y, z )称为偶函数
功绩
发现原子理论新的有效形式
第一章 量子力学基础
薛定谔方程
h2 ∂ 2 ∂2 ∂2 ˆ - 2 2 + 2 + 2 + V Ψ = E Ψ 8π m ∂x ∂y ∂z
说明
（）描述微观粒子运动状态的方程(粒子运动的基本规律) 1
（2）粒子运动速度小于光速下适用
经典力学
1687年，牛顿发表了他的名著——《自然哲学的数学原 年 牛顿发表了他的名著 《 提出了经典力学的基本要领， 理》，提出了经典力学的基本要领，叙述了运动的基本定 即牛顿力学三定律和万有引力定律。 律，即牛顿力学三定律和万有引力定律。牛顿的力学三定 律和万有引力定律把天体运动的定律与地上运动定律统一 起来，建立了经典力学的理论大厦。 起来，建立了经典力学的理论大厦。 描述宏观物体的运动规律， 描述宏观物体的运动规律，自然界的基本规律之一
ϕ (x, y, z )称为奇函数
第一章 量子力学基础
(4)共扼函数
ϕ的函数形式
ϕ = f + gi
实部
虚部
ϕ的共扼函数
ϕ = f + （-i ) g
∗
则： ∗ ϕ ϕ = ( f − gi )( f + gi )
( f − gi )( f + gi ) = f 2 − ( gi ) 2 = ( f + gi ) 2
态叠加原理
第一章 量子力学基础
假设V
泡利 (Wolfgang Ernst Pauli，1900～1958) ， ～ 瑞士籍奥地利理论物理学家。 瑞士籍奥地利理论物理学家。 1900年4月25日 年 月 日 生于奥地利维也纳。 生于奥地利维也纳。 1922～1923年 ～ 年 泡利在哥本哈根理论物理研究所在N.玻 泡利在哥本哈根理论物理研究所在 玻 尔指导下进行氢分子模型和反常塞曼效应的 研究工作． 研究工作．这段工作导致了他对不相容原理 的发现。 的发现。 1923～1928年 在汉堡大学担任教师。 ～ 年 在汉堡大学担任教师。 1924年 发表泡利不相容原理。 年 发表泡利不相容原理。 泡利 1945年 诺贝尔物理学奖。 年 诺贝尔物理学奖。 (Wolfgang Ernst Pauli，1900～1958) ， ～ 瑞士籍奥地利理论物理学家
薛定谔方程
薛定谔，理论物理学家， 薛定谔，理论物理学家，量子力学的重要奠基人 之一，同时在固体的比热、统计热力学、 之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光 谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。 谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。 在德布罗意提出的物质波的基础上， 在德布罗意提出的物质波的基础上，把物质波表 示成数学形式， 示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力 学波动方程。 学波动方程。
表示
例如
ˆ X
d d2 、 2 、sin、log、ln等 dx dx
（3）线性算苻
若
ˆ ˆ ˆ A(ϕ1 + ϕ2 ) = Aϕ1 + Aϕ2
ˆ 则A称为线性算苻
第一章 量子力学基础
设有函数
f = f ( x)、g = g ( x)
d d2 、 2 、sin、log、ln dx dx
对于函数f 和g，下列算苻哪一个为线性算苻
∂2 ∂2 ∂2 （1） + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z
三维空间三个方向(x, y, z)的二次微分(二阶导数)之和算苻
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
（2）h ——普朗克常数
（3）m ——粒子的质量
Laplace算苻
ˆ （4）V为势能算苻
第一章 量子力学基础
薛定谔方程
d dx
d df dg (f + g )= + dx dx dx
d 为线性算苻 dx
ln 不是线性算苻
ln
ln(f + g ) ≠ lnf + ln g
d2 ？ 2 dx sin ？ log
？
第一章 量子力学基础
（4）自扼算苻
算苻 A →ˆ
函数：ϕ1 ← ϕ1∗，ϕ 2 ← ϕ 2 → → ∗
时间
4
粒子3，x3 , y3 , z3
粒子4，x4 , y4 , z 4
Ψ = Ψ ( x, y , z , t )
四粒子体系
体系
Ψ ( x, y, z , t ) = Ψ ( x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , x4 , y4 , z4 , t )
量子力学的基 本假设
复
习
复
1，能量的量子化
习
−1 2π hv 3 nhv / kT Ev = ( e − 1) 2 c
微观粒子运动的量子力学性质
2，爱因斯坦光子电子能 3，波、粒二象性
ε = hv
h λ= P
4，位置和动量的不确定度——测不准原理
∆x∆Px ≥ h
第一章 量子力学基础
量子力学的基本假定
第一章 量子力学基础
1、关于函数Ψ(x, y, z, t )的说明
（1）因粒子具有波的性质 函数Ψ = Ψ(x, y, z, t ) Ψ称为波函数 →
（2）若体系的状态与时间无关
函数Ψ Ψ = ϕ(x, y, z) →
ϕ(x, y, z )称为定态波函数
ϕ ( x, y , z )
（3）函数的奇偶性
第一章 量子力学基础
（4）电子云与电子出现的几率
记录电子出现几率的图形
s、p、d轨道电子云图
3d轨道电子云图
第一章 量子力学基础
假设II
对一个微观体系的每个可观测的力学量都对应着一个线性自扼算苻
（1）力学量
动能( E )、势能(V )、动量( P )等
（2）算苻
对某一函数进行操作，规定运算操作性质的符号称为算苻
（3）Ψ为描述微观粒子状态的波函数
h2 ∂ 2 ∂2 ∂2 ˆ （4） - 2 2 + 2 + 2 + V 为一自扼算苻 8π m ∂x ∂y ∂z ˆ 哈密顿(Hamilton)算苻(H)
（5）E为方程的本征值，对应粒子的能量
第一章 量子力学基础
h2 ∂ 2 ∂2 ∂2 ˆ ˆ H = − 2 2 + 2 + 2 +V 8π m ∂x ∂y ∂z
ϕ ϕ =ϕ
∗
2
结论：ϕ为虚数，ϕϕ ∗为实数
第一章 量子力学基础
（5）合格波函数（品优波函数）
（1）波函数必须为单值函数
条件 （2）波函数必须为连续函数
（3）波函数必须是平方可积的函数（归一函数）
归一化的函数 函数ϕ
共扼函数ϕ ∗
若
ϕ *ϕ dτ = 1 ∫
整个空间
则 函数ϕ 称为平方可积函数和归一化函数
若有
ˆ ϕ dτ = ϕ (Aϕ )* dτ ˆ ϕA 1 ∫ ∫ 1 1
* 1
ˆ ϕ dτ = ϕ (Aϕ )* dτ ˆ ϕA 2 ∫ ∫ 2 1
* 1
则
ˆ 算苻A称为自扼算苻
第一章 量子力学基础
（5）常用的力学量
（a）粒子坐标x, y, z的算苻
x 坐标 y
对应算苻
ˆ X ˆ Y
对ϕ 作用
对应算苻
第一章 量子力学基础
假设V
在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子， 在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两 个电子的自旋状态必须相反。 个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能 占据相同的轨道。 占据相同的轨道。 1924年 年 发表在《关于原子中电子群闭合与光谱复杂结构的联系》 发表在《关于原子中电子群闭合与光谱复杂结构的联系》一文中
第一章 量子力学基础
假设IV
若ϕ1，ϕ 2，ϕ3， ϕn为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的ϕ也是 ⋯ 该体系可能存在的状态
ϕ = c1ϕ1 + c2ϕ2 + c3ϕ3， cnϕn = ∑ ciϕi ⋯
式中c1，c2，c3， cn为任意常数 ⋯
ci 越大， ϕ i 相应的贡献越大
i
系数 c1， c2， c3， cn 等数值的大小，反映了 ϕ的性质中各函数的贡献的大小。 ⋯
x
ϕ
第一章 量子力学基础
3、波函数的意义
（）波函数Ψ ( x, y, z, t )表示某一时刻微观粒子的状态 1
（2）对于原子中的电子，ϕ 表示电子在原子( x, y, z )点出的状态 对于分子中的电子，ϕ 表示电子在分子( x, y, z )点出的状态
z
e
原子核
z
( x, y , z )
e
原子实
( x, y , z )
原子核
dz
原子核
r
y
e dx r dy
y
o
x
o
x
原子或分子中的电子
ϕ *ϕ dτ = 1 ∫
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原子或分子中的电子
波函数归一化性
空间(dx, dy, dz )出现的几率
整个空间
ϕ ∗ϕ dτ
空间中任一点( x, y, z )电子出现
ϕ ϕ =ϕ
∗
2
出现几率
dτ = dxdydz 体积元
ˆ 若某一力学量A的算苻A作用于某一状态函数ϕ后，等于某一常数a乘以ϕ
即：
ˆ Aϕ = aϕ
那么这一微观体系的力学量A对所描述的状态就具有确定的数值a，a称为 ˆ ˆ ˆ 力学量算苻A的本征值，ϕ称为A的本征状态或本征函数，方程称为A的 本征方程
量子力学中的一个重要结论
自扼算苻的本征值一定为实数
第一章 量子力学基础
( x, y , z )
r
y
r
y
o
x
o
x
原子中的电子
Ψ ( x, y, z , t )称为原子轨道
分子中的电子 Ψ ( x, y, z , t )称为分子轨道
第一章 量子力学基础
（3）ϕ ∗ϕ 表示电子在空间(x, y, z )点处出现的几率 z z (x , y , z )
e
(dx, dy, dz )
h2 ∂ 2 ∂2 ∂2 ˆ - 2 2 + 2 + 2 + V Ψ = E Ψ 8π m ∂x ∂y ∂z
1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理 年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理 学奖。 学奖。 薛定谔 (Erwin chrödinger, 1887–1961， 奥地利 ) ，
牛顿 (1643-1727)
量子力学
1900年，Plank提出量子化，1932年， Heisenberg测不准原理等 年 提出量子化， 提出量子化 年 描述微观粒子的运动规律， 描述微观粒子的运动规律，自然界的基本规律之一 E. Shröodingger、W.Heisenberger、M.Born、P.A.M.Dirac 、 、 、 薛定萼方程、 薛定萼方程、测不准原理等
对应算苻
对ϕ作用
对ϕ作用
对ϕ作用
对ϕ作用
h ∂ϕ ˆ Px = Pxϕ = 2π i ∂x h ∂ϕ ˆ Py = Pyϕ = 2π i ∂y h ∂ϕ ˆ Pz = Pϕ z = 2π i ∂z
第一章 量子力学基础
假设III
第一章 量子力学基础
假设I
对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数Ψ(x, y, z , t )表示。
Ψ是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间的函数。
某一时刻各个 粒子的位置
体系的状态
函数Ψ
1
3
2
粒子1，x1 , y1 , z1
粒子2，x2 , y2 , z 2
粒子的位置（坐标）
对ϕ作用
ˆ Xϕ =xϕ ˆ Yϕ =yϕ
ˆ Zϕ =zϕ
ˆ z Z （b）粒子动量P的分量Px、Py、Pz 算苻
h ∂ Px Px = →ˆ 2π i ∂x h ∂ Py Py = →ˆ 2π i ∂y h ∂ →ˆ Pz Pz = 2π i ∂z
h2 ∂ 2 ∂2 ∂2 ˆ - 2 2 + 2 + 2 + V Ψ = E Ψ 8π m ∂x ∂y ∂z
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
ˆ H=-
h2 8π 2 m
ˆ ∇2 + V
ˆ Ψ = EΨ H