平方差和完全平方公式经典例题
平方差公式和完全平方公式(习题及答案)
平⽅差公式和完全平⽅公式(习题及答案)平⽅差公式和完全平⽅公式(习题)例题⽰范例1:计算:23(1)(1)2(1)a a a -+---+.【操作步骤】(1)观察结构划部分:23(1)(1)2(1)a a a -+---+①②(2)有序操作依法则:辨识运算类型,依据对应的法则运算.第⼀部分:a -和a -符号相同,是公式⾥的“a ”,1和-1符号相反,是公式⾥的“b ”,可以⽤平⽅差公式;第⼆部分:可以⽤完全平⽅公式,利⽤⼝诀得出答案.(3)每步推进⼀点点.【过程书写】解:原式2223()12(21)a a a ??=---++??223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =--巩固练习1. 下列多项式乘法中,不能⽤平⽅差公式计算的是()A .()()x y y x ---+B .()()xy z xy z +-C .(2)(2)a b a b --+D .1122x y y x --- ??2. 下列各式⼀定成⽴的是()A .222(2)42x y x xy y -=-+B .22()()a b b a -=-C .2221124a b a ab b ??-=++D .222(2)4x y x y +=+3. 若2222(23)412x y x xy n y +=++,则n =__________.4. 若222()44ax y x xy y -=++,则a =________.5. 计算:①112233m n n m --- ??;②22()()()y x x y x y -++;③22(32)4x y y ---;④2()a b c +-;⑤296;⑥2112113111-?.6. 运⽤乘法公式计算:①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+;②22(1)2(24)a a a +--+;③(231)(231)x y x y +--+;④3()a b -;⑤222233m m +-- ? ?;⑥2210199-.思考⼩结1. 在利⽤平⽅差公式计算时要找准公式⾥⾯的a 和b ,我们把完全相同的“项”看作公式⾥的“_____”,只有符号不同的“项”看作公式⾥的“_____”,⽐如()()x y z x y z +---,_______是公式⾥的“a”,_______是公式⾥的“b ”;同样在利⽤完全平⽅公式的时候,如果底数⾸项前⾯有负号,要把底数转为它的______去处理,⽐如22()(_______)a b --=2. 根据两⼤公式填空:+(_______)+(_______)b )22(2【参考答案】巩固练习1. C2. B3. ±34. -25. ①22149n m - ②44x y -+ ③2912x xy +④222 222a ab b bc ac c ++--+ ⑤9 216⑥1 6. ①242xy y --②267a a -+- ③224961x y y -+- ④322333a a b ab b -+- ⑤83m ⑥400 思考⼩结1. a ,b ,(x -z ),y ,相反数,a +b2. 2ab ,2ab ,4ab。
平方差、完全平方公式专项练习题 经典
平方差公式专项练习题有关配方问题(一)对于a2+2ab+b2=(a+b)2、a2-2ab+b2=(a-b)2的配方问题是,对于a2,2ab,b2这三项,认准特点,式子中缺哪项就补哪项,但要保证式子相等。
具体操作:先确定第一项,再确定第三项,最后确定中间项,并且要检验中间项与原式中的中间项相等。
(二)练习: 1.若x2+mx+9是完全平方式,则m=_____.2. 若x2+12x+m2是完全平方式,则m=_____.3. 若x2-mx+9=(x+3)2,则m=_____.4. 若4x2-mx+9是完全平方式,则m=_____.5.若4x2+12x+m2是完全平方式,则m=_____.6.若(mx)2+12x+9是完全平方式,则m=_____.7.若mx2+12x+9是完全平方式,则m=_____.8.已知x2-2(m+1)xy+16y2是一个完全平方式,那么m的值是_____.9.(1)化简(a-b)2+(b-c)2+(a-c).(2)利用上题的结论,且a-b=10,b-c=5,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.(3)已知a=2x-12,b=2x-10,c=2x+4,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值(4)已知a,b,c是三角形的三边且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,判断三角形的形状.10.已知x2-2x+y2+6y+10=0,求x=_____,y=_____,x+y=_____.11. 已知x2-4x+y2+6y+13=0,求x=_____,y=_____,xy=_____.12.试说明N=x2-4x+y2+6y+15永远为正值.平方差公式专项练习题一、基础题1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中字母a,b表示()A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.以上都可以2.下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是()A.(a+b)(b+a)B.(-a+b)(a-b)C.(13a+b)(b-13a)D.(a2-b)(b2+a)3.下列计算中,错误的有()①(3a+4)(3a-4)=9a2-4;②(2a2-b)(2a2+b)=4a2-b2;③(3-x)(x+3)=x2-9;④(-x+y)·(x+y)=-(x-y)(x+y)=-x2-y2.A.1个B.2个C.3个D.4个4.若x2-y2=30,且x-y=-5,则x+y的值是()A.5 B.6 C.-6 D.-5二、填空题5.(-2x+y)(-2x-y)=______.6.(-3x2+2y2)(______)=9x4-4y4.7.(a+b-1)(a-b+1)=(_____)2-(_____)2.8.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是_____.三、计算题9.利用平方差公式计算:2023×2113.10.计算:(a+2)(a2+4)(a4+16)(a-2).二、提高题1.计算:(1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22n +1)+1(n 是正整数);(2)(3+1)(32+1)(34+1)…(32008+1)-401632.2.利用平方差公式计算:2009×2007-20082.(1)利用平方差公式计算:22007200720082006-⨯.(2)利用平方差公式计算:22007200820061⨯+.3.解方程:x (x+2)+(2x+1)(2x -1)=5(x 2+3).三、实际应用题4.广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3米,东西方向要加长3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少?四、经典中考题5.下列运算正确的是()A.a3+a3=3a6B.(-a)3·(-a)5=-a8C.(-2a2b)·4a=-24a6b3D.(-13a-4b)(13a-4b)=16b2-19a26.计算:(a+1)(a-1)=______.拓展题型1.(规律探究题)已知x≠1,计算(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,(1-x)(•1+x+x2+x3)=1-x4.(1)观察以上各式并猜想:(1-x)(1+x+x2+…+x n)=______.(n为正整数)(2)根据你的猜想计算:①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=______.②2+22+23+…+2n=______(n为正整数).③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=_______.(3)通过以上规律请你进行下面的探索:①(a-b)(a+b)=_______.②(a-b)(a2+ab+b2)=______.③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=______.2.(结论开放题)请写出一个平方差公式,使其中含有字母m,n和数字4.3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后,•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形,如图1-7-1所示,然后拼成一个平行四边形,如图1-7-2所示,分别计算这两个图形阴影部分的面积,结果验证了什么公式?请将结果与同伴交流一下.完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+)( bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0,求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ,y x 、都是有理数,求y x 的值。
平方差和完全平方公式及经典例题
平方差和完全平方公式及经典例题专题一:平方差公式例1:计算下列各整式乘法。
①位置变化$(7x+3y)(3y-7x)$②符号变化$(-2m-7n)(2m-7n)$③数字变化$98\times102$④系数变化$(4m+n)(2m-n)-24$⑤项数变化$(x+3y+2z)(x-3y+2z)$⑥公式变化$(m+2)(m-2)(m^2+4)$变式拓展训练:变式1】$(-y-x)(-x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$变式2】$(2a-\frac{b}{3})^2-\frac{(b-4a)^2}{33}$变式3】$1002-992+982-972+\cdots+22-12$专题二:平方差公式的应用例2:计算$2004-2004^2\times2005\times2003$的值为多少?变式拓展训练:变式1】$(x-y+z)^2-(x+y-z)^2$变式2】$301\times(302+1)\times(302^2+1)$变式3】$(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)$变式4】已知$a$、$b$为自然数,且$a+b=40$。
1)求$a^2+b^2$的最大值;(2)求$ab$的最大值。
专题三:完全平方公式例3:计算下列各整式乘法。
①位置变化:$(-x-\frac{y}{2})(\frac{y}{2}+x)$②符号变化:$(-3a-2b)^2$③数字变化:$197^2$④方向变化:$(-3+2a)^2$⑤项数变化:$(x+y-1)^2$⑥公式变化$(2x-3y)^2+(4x-6y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$变式拓展训练:变式1】$a+b=4$,则$a^2+2ab+b^2$的值为()A.8B.16C.2D.4变式2】已知$(a-b)^2=4$,$ab=12$,则$(a+b)^2$=_____变式3】已知$x+y=-5$,$xy=6$,则$x^2+y^2$的值为()A.1B.13C.17D.25变式4】已知$x(x-1)-(x^2-y)=-3$,求$x^2+y^2-2xy$的值专题四:完全平方公式的运用例4:已知:$x+y=4$,$xy=2$。
平方差公式与完全平方公式
(1) 103 X 97(2) 118X 122(3) 19- 203 3(a+b ) ( a — b ) =a 2 — b 2应用1、平方差公式的应用: 例1、利用平方差公式进行计算:(1) ( 5+6x )( 5 — 6x )( 2)(x + 2y ) (x — 2y )(3) (— mi + n ) (— m- n ) 解:21) ( 2x — 3)1(3 ) (— x y )21(5 ) ( — x+ y )22 ) ( 4x+5y 4 ) ( — x — 2y例2、计算:1 1(1) ( x y ) ( x y )4 4(2) ( — m — n ) ( m — n )2(3) ( m + n ) ( n — m ) +3m2 2(4) ( x+y ) ( x — y ) ( x — y ) 解:例5、利用完全平方公式计算: 2 2 2(1) 102(2 ) 197 (3) 19999 — 19998 X 20002解:a+b ) a- b )2+2ab+b 2=a 2— 2ab+b 解:应用2、 完全平方公式的应用:例4、计算:平方差公式与完全平方公式例3、计算:试一试:计算:9 X 7—82= _____________应用3、乘法公式的综合应用:例6、计算:2(1)(x+5) —( x+2) (x —2)(2)(a+b+3) (a+b—3)(3)(a —b+1) (b—a+1)2(4)(a+b—c)解:1111、(1) (1-2)(1 2 )(1 2 )(1 —2)23410(2) (21)(221)(241)(281) (232 1)解:例10、证明:x2+y2+2x —2y+3的值总是正的。
1 2例7、( 1)若一x ax 4是完全平方式,则:4a= _______________(2 )若4X2+1加上一个单项式M使它成为一个完全平方式,则M= _______________例18、( 1 ) 已知:a 3 , 则:a21a 2 -a_(2) 已知:a15,则:a 2a a(3) 已知:a+b=5, ab=6,则:a2+b2=(4 ) 已知 : 2 2(a+b ) =7 , ( a —b ) =3 , 则:2 2a +b=,ab=例9、计算:【模拟试题】一、耐心填一填1、计算:(2+3x) (—2+3x) = _____________ ; (—a —b) 2= _____________ .*2、一个多项式除以a2—6b2得5a2+b2,那么这个多项式是 __________________ .23、若ax +bx+c= ( 2x—1) (x —2),则a= _______ , b= ______ , c= ________ .2 24、已知(x—ay) (x + ay ) = x —16y ,那么a = _____________ .5、多项式9x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是 .(填上一个你认为正确的即可)6、计算:(a—1) (a+1) (a2—1) = _________ .7、已知x —y=3, x —y =6,贝U x+y= _____ .8、若x+y=5, xy=6,贝V x +y = ________ .9、利用乘法公式计算:1012= __________ ; 1232—124X 122= __________ .10、若A= (2—1) (2+ 1) (22+ 1) (24+ 1 )……(232+ 1) +1,贝U A的个位数字是二、精心选一选(每小题3分,共30分)1、计算结果是2x2—x —3的是( )A. (2x —3) (x+1)B. (2x —1)(x —3)C. (2x+3) (x—1)D. (2x—1) (x+3)2、下列各式的计算中,正确的是( )2 2A. (a+5) (a—5) =a —5B. (3x+2) (3x —2) =3x —42 2 2C. ( a+2) (a—3) =a —6D. (3xy+1) ( 3xy —1) =9x y—13、计算(—a+2b) 2,结果是, ( )2 2 2 2A. —a +4ab+bB. a—4ab+4b2 2C. —a —4ab+bD. a 2 2—2ab+2b4、设x+y=6, x —y=5,则x2—y2等于( )A. 11B. 15C. 30D. 605、如果(y+a) 2=y2—8y+b,那么a、b的值分别为()A. a=4 , b=16B. a= —4, b=—16C. a=4 , b= —16D. a= —4, b=166、若(x —2y) 2= (x+2y) 2+m,则m等于( )A. 4xyB. —4xyC. 8xyD.—8xy7、下列式子中,可用平方差公式计算的式子是()a b2、对于任意有理数a、b、c、d,我们规定=adc d(x y) 2x—be,求的值。
平方差和完全平方公式经典例题word版本
典例剖析专题一:平方差公式例1:计算下列各整式乘法。
①位置变化(73)(37)x y y x +- ②符号变化(27)(27)m n m n ---③数字变化98102⨯ ④系数变化(4)(2)24n n m m +-⑤项数变化(32)(32)x y z x y z ++-+⑥公式变化2(2)(2)(4)m m m +-+◆变式拓展训练◆【变式1】2244()()()()y x x y x y x y ---+++【变式2】22(2)(4)33b b a a ---【变式3】22222210099989721-+-++-…专题二:平方差公式的应用例2:计算22004200420052003-⨯的值为多少?◆变式拓展训练◆【变式1】22()()x y z x y z -+-+- 【变式2】2301(3021)(3021)⨯+⨯+【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++ 【变式4】已知a 、b 为自然数,且40a b +=,(1)求22a b +的最大值;(2)求ab 的最大值。
专题三:完全平方公式例3:计算下列各整式乘法。
①位置变化:22()()x y y x --+②符号变化:2(32)a b --③数字变化:2197④方向变化:2(32)a -+⑤项数变化:2(1)x y +-⑥公式变化22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++◆变式拓展训练◆【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为( )A.8B.16C.2D.4 【变式2】已知221() 4.,()_____2a b ab a b -==+=则 【变式3】已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为( )A.1B.13C.17D.25 【变式4】已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-,求的值专题四:完全平方公式的运用例4:已知:4,2x y xy +==,求:①22x y +;②44x y +; ③2()x y -◆变式拓展训练◆【变式1】2242411310,;x x x x x x -+=++已知求①②【变式2】225,2,4xy x y x y x y x y ++=++已知满足求的值。
平方差公式与完全平方公式试题含答案
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:① 位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化,(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化,(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化,[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2= x 2y 2-(z 2+2zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化,(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化,(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化,(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。
解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。
解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 例3:计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。
平方差公式与完全平方公式试题(含答案)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,x y y x x 2y 2 ② 符号变化,x y x yx2y 2 x 2y 2③ 指数变化,x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化,2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化,xy zmxyzmxy 2zm 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zmzm m 2x 2y 2z 22zmm 2 ⑥ 增项变化,x yz xyzx y 2z 2 x y xy z 2 x 2xyxy y 2z 2x 22xyy 2z 2 ⑦ 连用公式变化,x yxy x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化,xy z 2x y z 2xyzxyzx y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。
解:∵=+2)(b a222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。
解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3:计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。
解:19992-2000×1998 =19992-(1999+1)×(1999-1) =19992-(19992-12)=19992-19992+1 =1例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值。
平方差公式与完全平方公式试题含答案
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:① 位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化,(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化,(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化,[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2= x 2y 2-(z 2+2zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化,(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化,(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化,(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。
解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。
解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 例3:计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。
平方差公式与完全平方公式
文案大全平方差公式与完全平方公式(a+b )2 = a 2+2ab+b 2(a -b )2=a 2-2ab+b 2(a+b )(a -b )=a 2-b 2应用1、平方差公式的应用:例1、利用平方差公式进行计算:(1)(5+6x )(5-6x ) (2)(x +2y )(x -2y )(3)(-m +n )(-m -n )解:例2、计算: (1)(y x 41--)(y x 41+-) (2)(-m -n )(m -n )(3)(m +n )(n -m )+3m 2(4)(x+y )(x -y )(x 2-y 2)解:例3、计算:(1)103×97 (2)118×122 (3)32203119⨯ 解:应用2、完全平方公式的应用:例4、计算:(1)(2x -3)2 (2)(4x+5y )2 (3)(y x 21-)2 (4)(-x -2y )2(5)(-x+y 21)2解:例5、利用完全平方公式计算:(1)1022 (2)1972 (3)199992-19998×20002解:试一试:计算:123456789×123456787-1234567882=_______________文案大全应用3、乘法公式的综合应用: 例6、计算:(1)(x+5)2-(x+2)(x -2) (2)(a+b+3)(a+b -3) (3)(a -b+1)(b -a+1)(4)(a+b -c )2解: 例7、(1)若4ax x 412++是完全平方式,则:a=________________(2)若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平方式,则M=_______________ 例8、(1)已知:3a1a =+,则:__________a1a 22=+(2)已知:5a 1a =-,则:__________a 1a 22=+(3)已知:a+b=5,ab=6,则:a 2+b 2=_______(4)已知:(a+b )2=7,(a -b )2=3,则:a 2+b 2= ,ab=例9、计算:(1))1011()411)(311)(211(2222---- (2))12()12)(12)(12)(12(32842+++++解:例10、证明:x 2+y 2+2x -2y+3的值总是正的。
平方差公式与完全平方公式试题(含答案)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,x y y x x 2y 2 ② 符号变化,x y x yx2y 2 x 2y 2③ 指数变化,x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化,2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化,xy zmxyzmxy 2zm 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zmzm m 2x 2y 2z 22zmm 2 ⑥ 增项变化,x yz xyzx y 2z 2 x y xy z 2 x 2xyxy y 2z 2x 22xyy 2z 2 ⑦ 连用公式变化,x yxy x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化,xy z 2x y z 2xyzxyzx y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。
解:∵=+2)(b a222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。
解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3:计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。
解:19992-2000×1998 =19992-(1999+1)×(1999-1) =19992-(19992-12)=19992-19992+1 =1例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值。
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)
§13.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;名称:平方差公式。
2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19;(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2;(a+b+π)( a+b -π)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2;(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。
(3)注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式1、公式:(a±b)2=a2±2a b+b2;名称:完全平方公式。
2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:(2+3)2=(2)2+2×2×3+32=2+62+9=11+62;(mn-a) 2=(mn)2-2m n·a+ a2= m2n2-2m n a+ a2;( a+b -π)2=( a+b)2-2( a+b)π+π2= a2+2a b+b2-2πa-πb +π2;(2)注意公式运用时的对位“套用”;(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式:(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒:利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:“一看二套三计算”。
完全平方和平方差公式习题一. 选择题:1. 下列四个多项式:22b a +,22b a -,22b a +-,22b a --中,能用平方差公式分解因式的式子有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. )23)(23(y x y x -+-是下列哪个多项式分解因式的结果( )A. 2249y x -B. 2249y x +C. 2249y x --D. 2249y x +-3. 下列各式中,能运用完全平方公式分解因式的是( ) A. 22b a + B. 2242b ab a ++ C. 422b ab a +- D. 22412b ab a +- 4. 如果k x x +-322是一个完全平方公式,则k 的值为( ) A. 361 B. 91 C. 61 D. 31 5. 如果22259b kab a ++是一个完全平方式,则k 的值( )A. 只能是30B. 只能是30-C. 是30或30-D. 是15或15-6. 把9)6(6)6(222+---x x 分解因式为( )A. )3)(3(-+x xB. 92-xC. 22)3()3(-+x xD. 2)3(-x 7. 162-a 因式分解为( )A. )8)(8(+-a aB. )4)(4(+-a aC. )2)(2(+-a aD. 2)4(-a8. 1442+-a a 因式分解为( )A. 2)2(-aB. 2)22(-aC. 2)12(-aD. 2)2(+a9. 2222)(4)(12)(9y x y x y x ++-+-因式分解为( )A. 2)5(y x -B. 2)5(y x +C. )23)(23(y x y x +-D. 2)25(y x -10. 把2222)())((2)(c a b c b c a ab c b a -++--+分解因式为( )A. 2)(b a c +B. 22)(b a c -C. 2)(b a c +D. 22)(b a c +二. 填空题:1. 把36122+-x x 因式分解为______。
完全平方公式和平方差公式综合应用
完全平方公式和平方差公式综合应用对于任意实数a和b,有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
平方差公式如下:对于任意实数a和b,有(a-b)² = a² - 2ab + b²。
一、应用问题1:求解方程2x²+8x+8=0。
解析:我们可以将方程进行变形,以便使用完全平方公式。
首先,将方程两边同时减去8,得到:2x²+8x=-8再将方程两边同时除以2,得到:x²+4x=-4观察到该方程中,系数b等于4,我们可以看到b的两倍是4*2=8、因此,我们可以使用完全平方公式。
根据完全平方公式,我们知道这个方程可以写成:(x+2)²=-4+4=0由此可得x+2=±√0x=-2±√0由于根号0等于0,所以x=-2为方程的唯一实数解。
二、应用问题2:求证正整数(n+1)³-n³-1是一个完全平方数。
解析:我们需要证明的是(n+1)³-n³-1是一个完全平方数,即证明存在一个整数x,使得:(n+1)³-n³-1=x²通过平方差公式,我们可以简化上式为:(n+1)³-n³-1=(3n²+3n+1)=(n+1)²因此,我们可以看出,(3n²+3n+1)是一个完全平方数。
三、应用问题3:Rectangle1的长是Square1的边长的2倍,它们的面积相差180平方米。
如果将Square1的边长减少2米,而Rectangle1的长增加5米,则两个图形的面积相等。
求Rectangle1和Square1的边长。
解析:设Square1的边长为x,则Rectangle1的长为2x。
根据题意,可列方程:(2x)^2-x^2=180(相差180平方米)(2x-2)^2=(x+5)^2(面积相等)通过求解上述方程组,我们可以得到Square1的边长为10米,Rectangle1的长为20米。
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典例剖析
专题一:平方差公式
例1:计算下列各整式乘法。
①位置变化(73)(37)x y y x +- ②符号变化(27)(27)m n m n ---
③数字变化98102⨯
④系数变化(4)(2)24n n m m +-
》
⑤项数变化(32)(32)x y z x y z ++-+
⑥公式变化2(2)(2)(4)m m m +-+
◆变式拓展训练◆
…
【变式1】2244()()()()y x x y x y x y ---+++
【变式2】22
(2)(4)33b b a a ---
【变式3】22222210099989721-+-++-…
、
专题二:平方差公式的应用
例2:计算
22004200420052003-⨯的值为多少
,
◆变式拓展训练◆
【变式1】22()()x y z x y z -+-+- 【变式2】2301(3021)(3021)⨯+⨯+
【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++ 【变式4】已知a 、b 为自然数,且40a b +=,
(1)求22
a b +的最大值;(2)求ab 的最大值。
(
专题三:完全平方公式
例3:计算下列各整式乘法。
①位置变化:22()()x y y x --+
②符号变化:2
(32)a b --
&
③数字变化:2197
④方向变化:2(32)a -+
⑤项数变化:2(1)x y +-
⑥公式变化22
(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++
\
◆变式拓展训练◆
【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为( )
【变式2】已知221() 4.,()_____2
a b ab a b -==+=则 【变式3】已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为( )
【变式4】已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-,求的值
/
专题四:完全平方公式的运用
例4:已知:4,2x y xy +==,求:①22x y +;
②44x y +; ③2()x y -
◆变式拓展训练◆
~
【变式1】2242411310,;x x x x x x -+=+
+已知求①②
【变式2】225,2,4xy x y x y x y x y ++
=++已知满足求的值。
三、创新探究
1.=-+=+-++b
a b b a b a ,0524a 22则
2.26(1)x x -+展开后得1211121110a x a x a x a ++++,则121086420_____a a a a a a a ++++++=
3.(1)(2)(3)(4)P x x x x =++++,(1)(2)(3)(4)Q x x x x =----, \
则Q P -的结果为
4.如果41224|11|a -++-=--++b a c b ,那么=-+c b 32a
5.如果,则 ; .
6. =+++++++++++++++
n
432114321132112111
7.19971997199719972222,,b a y x
b a y x b a y x +=++=++=+求证:且若
8.方数。
,则证明是一个完全平若22221996199619951995+•+=a
9. 已知a =9,b =5,c=3,求a 2+b 2+c 2-ab -b c-c a 的值.。