大学物理学 孙厚谦 第2章 习题
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由题图可知
sin
1 0.8 1.25
解得
T2 10N
根据牛顿第二定律有
T1 cos T2 cos ml cos 2
34
解得
T1 T2 3.74rad/s ml
由受力分析得
mg sin mg cos ma
l 1 1 at 2 g (sin cos )t 2 ，得 cos 2 2
（2）质点作初速度为零的匀加速直线运动， 3
3 3a (4.5i 10.5 j ) m/s
质点做初速度为零的匀加速直线运动，运动方程
1 r at 2 (0.75t 2i 1.75t 2 j ) m 2
取 m 为研究对象，受力分析如解用图，有
T1 sin T2 sin mg 0
dt
0
t
dy 1 [( g k0 sin )e kt g ] dt k y t 1 kt 由式（5）积分并考虑初始条件有 0 dy 0 k [( g k0 sin )e g ]dt g k0 sin g y (1 e kt ) t 2 k k 式（4） 、 （6）即为物体的运动方程，从中消去时间 t ，得运动轨迹为
解得
tan 2
1
1 ， 不取负值(第四象限角),所以 2 1800 arctan 0.14
48.980 ,代入 t 的表达式,求得
t 0.99s
选整个绳子为研究对象，当下垂部分为 y 时，绳所受合外力为
m d yg m L dt
而
m yg ，由牛顿第二定律 L
31
如图，轻绳跨过具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮，绳的两端分别系有质量 m1 、 m2 的 物体（ m1 。绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，求物体 m1 和 m2 的加速度 m2 ）
和滑轮两侧绳中的张力。
如图，质量 m1
5 kg 的木块，可沿倾角 30 的斜面滑动。现在木块由绕过定滑轮的轻 10 kg 的重物，设滑轮质量均匀分布的圆盘，质量 M 20 kg ，
0 t
（2）
积分式（1）
x
0 cos
x
x
由式（3）并考虑初始条件有 得
dx 0e kt cos dt
t 0
（3）
x
0
dx 0 e kt cos dt
x
0 cos
k
0 sin
(1 e kt )
（4）
由式（2）得
y
y
d y g k y
绳栓着， 绳子的另一端吊着质量 m2 半径 R
0.2 m ，并设绳子与滑轮间无相对滑动，求重物的加速度和滑轮两侧绳子中的张力。 （g取
10m/s2 )
m1
M
m2
32
d2r a 2 12i 6 j m/s 2 dt
力的大小
F ma 24i 12 j N
1 2 3 3 1 3 R m ' R 2 π( R)2 R 2 πR 4 2 8 8 2 32 13 13 4 m 13 J J 0 J1 πR 4 πR 4 mR 2 2 32 32 3πR 24
电枢初始时的角速度 末角速度
0 20r/s 40πrad/s
所述情况如解用图
a b c d 所示。
y
y
ay
a
ax
x
O
O
ay
b)
ax a
y
x
a)
a
ay
y
ax
特 况 殊 情 :
O
x
ax a
ax 0, ay 0
, 则
c)
ay d)
O
x
π π ; ax 0, ay 0 ,则 。 2 2
mg k m
变形并整理得
d dt
d dt mg k m
积分，并应用初始条件 t
0,0 0 ，得
解得
0
t dt d 0 m mg k k t mg (1 e m ) k
以子弹为研究对象，分析子弹的受力。上抛时子弹受两个力的作用：重力 G 、阻力 小球做直线运动，取向下的方向为正方向，根据牛顿第二运动定律
f 竖直向下
mg c 2 m
d dt
分离变量得
c ) d m m dt c 2 c c g ( g )2 ( )2 m m d(
t 0, 0 ,在最高点时 0 ，设所需时间为 t ，则
c ) m c 2 2 ( g ) ( ) m d(
对上式积分得
（5）
（6）
y
g k0 sin x
k0 cos
g kx ln(1 ) 2 k 0 cos
圆板的面积是 π(R
2
1 3 4m R 2 ) πR 2 ，质量密度为 4 4 3πR 2
。若将带孔的圆板用质量密度
相同的匀质圆板填满，则填满后的完整匀质木板对经过圆心的转轴的转动惯量
m 0 0 dt c 0
t
m c arctan( ) gc mg
0 0
解得
t
m c arctan(0 ) gc mg
36
以抛出点为原点建立直角坐标系，则抛体的运动微分方程为
m
d x km x dt
（1）
m
d y dt
mg km y
d x k dt ，得
加速度的大小和方向； （2）3 秒末物体的速度； （3）物体的运动方程。 如图，质量 m 4 kg 的物体，用两根长度均为 l 1.25 m 的细绳系在竖直杆上相距为 2 米的两点
A 、 B 。当上边绳中的张力为 60 牛顿，系统的转动角速度是多大？此时下边绳子的张力是多大？。
倾角为 的斜面其底边
1 1 J 0 πR 2 R 2 πR 4 2 2 设用来填充的小圆板的质量为 m ，则它对轴 O ' 的转动惯量 1 1 1 J O' m ' R 2 m ' R 4 2 2 8 根据平行轴定理，填充的小圆板对转轴 O 的转动惯量为
37
J1 J 0' m '
所求圆板的转动惯量
30
物体质量和速度成正比（
，求物体运动的轨迹。 f km ）
如图所示，在均质大圆板内挖一个直径为大圆板半径的圆孔。设大圆板的半径为 R ，剩余部 分的质量为 m ，求 m 对经过圆心 O ，且与圆板平面垂直的轴的转动惯量。
电机的电枢在达到 20 r / s 的转速时关闭电源，若它仅在摩擦力作 用下减速度，需要时间 240s 才停止下来；若加上阻滞力矩 500 40s 内停止下来，试求该电机电枢的转动惯量。 转动惯量为 J 的圆盘绕固定轴转动，起初角速度为 0 ，设它所受阻力矩为 M 中 k 为正常量，负号表示阻力矩与转动角速度方向相反，求圆盘的角速度从
d d dy d dt dy dt dy
m ygdy m d L L m L0 L ygdy 0 md
代入上式得
积分
得速度
g 2 2 (L -L0 ) L
35
以小球为研究对象，分析小球的受力。小球受两个力的作用：重力 G 竖直向下，阻力 f 竖直向 上,小球做直线运动，取向下的方向为正方向，根据牛顿第二运动定律
加速度
加速度的大小
a 1.52 (3.5)2 3.81(m/s2 )
设加速度与 x 轴正方向之间的夹角为
tan
ay ax
3 . 5 6 6 . 0 8 2 . 3 3 1.5
在二维直角坐标系中,通常用与 x 轴正方向之间的夹角 来表示矢量的方向.如 a
ax i ay j
tan
ay ax
, 不能简单地说 arctan
ay ax
, 因为反正切的主值在
π π , 之间,而对于加 2 2
速度, 可以在四个象限。
π π ( a ) 当 ax 0, ay 0, 0, , 在第 1 象限,如 ax 3, a y 1, ; 6 2 π π 当 ax 0, a y 0, , 0 , 在第 4 象限,如 ax 3, a y 1, ;( 本题中即 (b) 6 2
N m ，则在 k ，式
0 变为 0 所需的时间。
飞轮的质量为
1 2
60 kg ，直径为 0.5 m ，转速为 1000 r/min ，现要求在
5 秒内使其停转，
求制动力。 （假设闸瓦与飞轮之间摩擦系数 示，制动力 F 作用在杆端点。 ）
0.4 ，飞轮的质量全部分部在轮的外周上，尺寸如图所
由刚体定轴转动定律
M J J
d dt
得
k J
t
d dt
分离变量并积分得
0 k 1 2 d t 0 J 0 d
解得
t
J ln 2 k
38
如解图 1， 飞轮受力如解用图 1 （因为轴处光滑， 轴处受力未画出） 闸瓦与飞轮间摩擦力 取 0 方向为转动正方向，摩擦力矩为常力矩,飞轮做匀减速运动。 摩擦力矩
质
量源自文库
m2 k 的 g
质
点
的
运
动
方
程
为
r (6t 2 1)i (3t 2 3t 1) j
质量
，求该质点所受力的大小和方向。
m 4 k g的 物 体
同时 受力
F1 ( 2i 3 j ) 和 N
（1）物体 F2 (4i 11 j ) N 的作用，当 t 0 时物体静止于原点。试求：
f k ，式
中 k 为正常量， 负号表示阻力与速度方向相反， 试推导物体任意时刻的速度方 程。 竖直向上发射一颗质量为 m 的子弹，其初速度为 0 ，若空气阻力
f c 2 ，其中 c 为比例常数。求子弹到底最高点所需要的时间。
质量为 m 的物体在重力作用下以 0 的初速度沿和水平方向成 角的方向抛出，空气的阻力与
0
（取 0 方向为转动正方向） 。
仅在摩擦力作用下角加速度
1
2
0
t1
π rad/s2 6 πrad/s2
在摩擦力矩和阻滞力矩共同作用下
0
t2
根据刚体定轴转动定律有
M1 J1
解得
M 2 J 2
M 2 M1 J (2 1 )
J
M 2 M1 500 600 kg m2 191.1 kg m2 2 1 -π- - π 6 π
AB 的长 l 2.1 m ，质量为 m 的物体从
斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦系数
0.14 。试问当 为何值
L 。开始
时,物体在斜面上下滑的时间最短？最短时间是多少？ 质量分布均匀的绳子，一部分置于光滑水平桌面，另一部分子桌边下垂，绳全长为 时下垂部分为 L0 ，绳初速度为零，试用牛顿第二定律求整个绳全部离开桌面 时的速度（设绳不伸长） 。 物体在液体中由静止下落，该液体对物体的阻力为
F 242 122 12 5(N)
tan Fy Fx 0.5
设力与 x 轴正方向之间的夹角为
a r c t a n 0 .5
20 6.57
（1）物体所受的合力
F F1 F2 6i 14 j N
F a 1.5i 3.5 j m/s 2 m
为此种情况);
5π π 当 ax 0, a y 0, , π , 在第 2 象限,如 ax 3, a y 1, ; (c) 6 2
33
5π π 当 ax 0, a y 0, π, , 在第 3 象限,如 ax 3, a y 1, (d) 6 2
t 2l g cos (sin cos )
考虑到斜面的长度 物体所需时间
当 t 表达式中的分母取极大时,则时间 t 取最小值，令
y g cos (sin cos ) ，
dy 0 ，即 dt
sin (sin cos ) cos (cos sin ) 0
sin
1 0.8 1.25
解得
T2 10N
根据牛顿第二定律有
T1 cos T2 cos ml cos 2
34
解得
T1 T2 3.74rad/s ml
由受力分析得
mg sin mg cos ma
l 1 1 at 2 g (sin cos )t 2 ，得 cos 2 2
（2）质点作初速度为零的匀加速直线运动， 3
3 3a (4.5i 10.5 j ) m/s
质点做初速度为零的匀加速直线运动，运动方程
1 r at 2 (0.75t 2i 1.75t 2 j ) m 2
取 m 为研究对象，受力分析如解用图，有
T1 sin T2 sin mg 0
dt
0
t
dy 1 [( g k0 sin )e kt g ] dt k y t 1 kt 由式（5）积分并考虑初始条件有 0 dy 0 k [( g k0 sin )e g ]dt g k0 sin g y (1 e kt ) t 2 k k 式（4） 、 （6）即为物体的运动方程，从中消去时间 t ，得运动轨迹为
解得
tan 2
1
1 ， 不取负值(第四象限角),所以 2 1800 arctan 0.14
48.980 ,代入 t 的表达式,求得
t 0.99s
选整个绳子为研究对象，当下垂部分为 y 时，绳所受合外力为
m d yg m L dt
而
m yg ，由牛顿第二定律 L
31
如图，轻绳跨过具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮，绳的两端分别系有质量 m1 、 m2 的 物体（ m1 。绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，求物体 m1 和 m2 的加速度 m2 ）
和滑轮两侧绳中的张力。
如图，质量 m1
5 kg 的木块，可沿倾角 30 的斜面滑动。现在木块由绕过定滑轮的轻 10 kg 的重物，设滑轮质量均匀分布的圆盘，质量 M 20 kg ，
0 t
（2）
积分式（1）
x
0 cos
x
x
由式（3）并考虑初始条件有 得
dx 0e kt cos dt
t 0
（3）
x
0
dx 0 e kt cos dt
x
0 cos
k
0 sin
(1 e kt )
（4）
由式（2）得
y
y
d y g k y
绳栓着， 绳子的另一端吊着质量 m2 半径 R
0.2 m ，并设绳子与滑轮间无相对滑动，求重物的加速度和滑轮两侧绳子中的张力。 （g取
10m/s2 )
m1
M
m2
32
d2r a 2 12i 6 j m/s 2 dt
力的大小
F ma 24i 12 j N
1 2 3 3 1 3 R m ' R 2 π( R)2 R 2 πR 4 2 8 8 2 32 13 13 4 m 13 J J 0 J1 πR 4 πR 4 mR 2 2 32 32 3πR 24
电枢初始时的角速度 末角速度
0 20r/s 40πrad/s
所述情况如解用图
a b c d 所示。
y
y
ay
a
ax
x
O
O
ay
b)
ax a
y
x
a)
a
ay
y
ax
特 况 殊 情 :
O
x
ax a
ax 0, ay 0
, 则
c)
ay d)
O
x
π π ; ax 0, ay 0 ,则 。 2 2
mg k m
变形并整理得
d dt
d dt mg k m
积分，并应用初始条件 t
0,0 0 ，得
解得
0
t dt d 0 m mg k k t mg (1 e m ) k
以子弹为研究对象，分析子弹的受力。上抛时子弹受两个力的作用：重力 G 、阻力 小球做直线运动，取向下的方向为正方向，根据牛顿第二运动定律
f 竖直向下
mg c 2 m
d dt
分离变量得
c ) d m m dt c 2 c c g ( g )2 ( )2 m m d(
t 0, 0 ,在最高点时 0 ，设所需时间为 t ，则
c ) m c 2 2 ( g ) ( ) m d(
对上式积分得
（5）
（6）
y
g k0 sin x
k0 cos
g kx ln(1 ) 2 k 0 cos
圆板的面积是 π(R
2
1 3 4m R 2 ) πR 2 ，质量密度为 4 4 3πR 2
。若将带孔的圆板用质量密度
相同的匀质圆板填满，则填满后的完整匀质木板对经过圆心的转轴的转动惯量
m 0 0 dt c 0
t
m c arctan( ) gc mg
0 0
解得
t
m c arctan(0 ) gc mg
36
以抛出点为原点建立直角坐标系，则抛体的运动微分方程为
m
d x km x dt
（1）
m
d y dt
mg km y
d x k dt ，得
加速度的大小和方向； （2）3 秒末物体的速度； （3）物体的运动方程。 如图，质量 m 4 kg 的物体，用两根长度均为 l 1.25 m 的细绳系在竖直杆上相距为 2 米的两点
A 、 B 。当上边绳中的张力为 60 牛顿，系统的转动角速度是多大？此时下边绳子的张力是多大？。
倾角为 的斜面其底边
1 1 J 0 πR 2 R 2 πR 4 2 2 设用来填充的小圆板的质量为 m ，则它对轴 O ' 的转动惯量 1 1 1 J O' m ' R 2 m ' R 4 2 2 8 根据平行轴定理，填充的小圆板对转轴 O 的转动惯量为
37
J1 J 0' m '
所求圆板的转动惯量
30
物体质量和速度成正比（
，求物体运动的轨迹。 f km ）
如图所示，在均质大圆板内挖一个直径为大圆板半径的圆孔。设大圆板的半径为 R ，剩余部 分的质量为 m ，求 m 对经过圆心 O ，且与圆板平面垂直的轴的转动惯量。
电机的电枢在达到 20 r / s 的转速时关闭电源，若它仅在摩擦力作 用下减速度，需要时间 240s 才停止下来；若加上阻滞力矩 500 40s 内停止下来，试求该电机电枢的转动惯量。 转动惯量为 J 的圆盘绕固定轴转动，起初角速度为 0 ，设它所受阻力矩为 M 中 k 为正常量，负号表示阻力矩与转动角速度方向相反，求圆盘的角速度从
d d dy d dt dy dt dy
m ygdy m d L L m L0 L ygdy 0 md
代入上式得
积分
得速度
g 2 2 (L -L0 ) L
35
以小球为研究对象，分析小球的受力。小球受两个力的作用：重力 G 竖直向下，阻力 f 竖直向 上,小球做直线运动，取向下的方向为正方向，根据牛顿第二运动定律
加速度
加速度的大小
a 1.52 (3.5)2 3.81(m/s2 )
设加速度与 x 轴正方向之间的夹角为
tan
ay ax
3 . 5 6 6 . 0 8 2 . 3 3 1.5
在二维直角坐标系中,通常用与 x 轴正方向之间的夹角 来表示矢量的方向.如 a
ax i ay j
tan
ay ax
, 不能简单地说 arctan
ay ax
, 因为反正切的主值在
π π , 之间,而对于加 2 2
速度, 可以在四个象限。
π π ( a ) 当 ax 0, ay 0, 0, , 在第 1 象限,如 ax 3, a y 1, ; 6 2 π π 当 ax 0, a y 0, , 0 , 在第 4 象限,如 ax 3, a y 1, ;( 本题中即 (b) 6 2
N m ，则在 k ，式
0 变为 0 所需的时间。
飞轮的质量为
1 2
60 kg ，直径为 0.5 m ，转速为 1000 r/min ，现要求在
5 秒内使其停转，
求制动力。 （假设闸瓦与飞轮之间摩擦系数 示，制动力 F 作用在杆端点。 ）
0.4 ，飞轮的质量全部分部在轮的外周上，尺寸如图所
由刚体定轴转动定律
M J J
d dt
得
k J
t
d dt
分离变量并积分得
0 k 1 2 d t 0 J 0 d
解得
t
J ln 2 k
38
如解图 1， 飞轮受力如解用图 1 （因为轴处光滑， 轴处受力未画出） 闸瓦与飞轮间摩擦力 取 0 方向为转动正方向，摩擦力矩为常力矩,飞轮做匀减速运动。 摩擦力矩
质
量源自文库
m2 k 的 g
质
点
的
运
动
方
程
为
r (6t 2 1)i (3t 2 3t 1) j
质量
，求该质点所受力的大小和方向。
m 4 k g的 物 体
同时 受力
F1 ( 2i 3 j ) 和 N
（1）物体 F2 (4i 11 j ) N 的作用，当 t 0 时物体静止于原点。试求：
f k ，式
中 k 为正常量， 负号表示阻力与速度方向相反， 试推导物体任意时刻的速度方 程。 竖直向上发射一颗质量为 m 的子弹，其初速度为 0 ，若空气阻力
f c 2 ，其中 c 为比例常数。求子弹到底最高点所需要的时间。
质量为 m 的物体在重力作用下以 0 的初速度沿和水平方向成 角的方向抛出，空气的阻力与
0
（取 0 方向为转动正方向） 。
仅在摩擦力作用下角加速度
1
2
0
t1
π rad/s2 6 πrad/s2
在摩擦力矩和阻滞力矩共同作用下
0
t2
根据刚体定轴转动定律有
M1 J1
解得
M 2 J 2
M 2 M1 J (2 1 )
J
M 2 M1 500 600 kg m2 191.1 kg m2 2 1 -π- - π 6 π
AB 的长 l 2.1 m ，质量为 m 的物体从
斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦系数
0.14 。试问当 为何值
L 。开始
时,物体在斜面上下滑的时间最短？最短时间是多少？ 质量分布均匀的绳子，一部分置于光滑水平桌面，另一部分子桌边下垂，绳全长为 时下垂部分为 L0 ，绳初速度为零，试用牛顿第二定律求整个绳全部离开桌面 时的速度（设绳不伸长） 。 物体在液体中由静止下落，该液体对物体的阻力为
F 242 122 12 5(N)
tan Fy Fx 0.5
设力与 x 轴正方向之间的夹角为
a r c t a n 0 .5
20 6.57
（1）物体所受的合力
F F1 F2 6i 14 j N
F a 1.5i 3.5 j m/s 2 m
为此种情况);
5π π 当 ax 0, a y 0, , π , 在第 2 象限,如 ax 3, a y 1, ; (c) 6 2
33
5π π 当 ax 0, a y 0, π, , 在第 3 象限,如 ax 3, a y 1, (d) 6 2
t 2l g cos (sin cos )
考虑到斜面的长度 物体所需时间
当 t 表达式中的分母取极大时,则时间 t 取最小值，令
y g cos (sin cos ) ，
dy 0 ，即 dt
sin (sin cos ) cos (cos sin ) 0