ch上极限与下极限

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上极限和下极限

n
n
聚点, 所以存在 { ynk },
lim
k
ynk
B.
又 { xnk } 有界，
故存在 { xnk } 旳一种收敛子列{ xnk j },
lim
j
xn
k
j
A.
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又因 xnk j ynk j ,
取 j 旳极限,便得A B. 因为 A 也是 { xn } 旳聚点, 它与{ xn } 旳最小聚点 A 理应满足
二、上(下)极限旳基本性质
由上、下极限旳定义, 立即得出:
定理7.5 对任何有界数列 { xn }, 有
lim
n
xn
lim
n
xn .
(1)
下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间旳关
系.
定理7.6
有界数列 { xn } 存在极限旳充要条件是:
lim
n
xn
lim
n
xn .
(2)
前页后页返回
证
设
lim
lim
k
xnk
lim (
k
xnk
ak
)
lim
k
ak
A
,
即证得 A 也是 { xn}的一个聚点, 所以
同理可证 A E.
A E.
定义 2 有界数列 { xn } 旳最大聚点 A 与最小聚点 A 分别称为 { xn } 旳上、下极限, 记为
A
lim
n
xn
,
A lim xn.
n
前页后页返回
注由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 这么, 上、下极限旳优越性就显现出来了: 一种数列若有界, 它旳极限能够不存在, 此时想经过极限来研究该数列往往是徒劳旳; 但是有界数列旳上、下极限总是存在旳, 这为研究数列旳性质提供了一种新旳平台.

上极限和下极限

概率测度的收敛
在概率测度的收敛性研究中，上极限和下极限也发挥了重要作用，例如在研究概率空间的收敛性和概率测度的弱收敛时。
2023
PART 05
结论
REPORTING
主题总结
上极限和下极限是数学中两个重要的概念，用于描述数列或函数在无穷大或无穷小的情况下的行为。
上极限和下极限的概念在数学分析、实数理论、函数分析等领域有着广泛的应用，对于理解函数的性质和行为至关重要。
2023PART 03下极 Nhomakorabea的概念和性质
REPORTING
下极限的定义
• 定义：对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有 $a_n<\alpha+\varepsilon$。则称数$\alpha$为数列 ${a_n}$的下极限。
下极限的性质
唯一性
主题历史背景
上极限和下极限的概念起源于数学分析的发展，特别是在实数理论的研究中。
历史上，上极限和下极限的概念在数学分析中得到了广泛的应用和发展，为解决一系列数学问题提供了重要的工具和方法。
2023
PART 02
上极限的概念和性质
REPORTING
上极限的定义
上极限的性质
唯一性
给定数列${ a_n }$的上极限至多有一个。
下极限
下极限是数学中的一个概念，它描述了一个序列或集合的“下确界”，即比该序列或集合中所有元素都大的最小值。
主题重要性
上极限和下极限是数学分析中的重要概念，它们在研究函数的性质、数列的收敛性和实数的完备性等方面有着广泛的应用。
上极限和下极限的概念有助于理解实数集的完备性，即实数集具有完备性，意味着实数集的所有子集都有上界和下界。

公差上极限下极限,中偏差_解释说明

公差上极限下极限,中偏差解释说明1. 引言1.1 概述在工程设计与制造领域中，公差是一个非常重要的概念。

它描述了由于各种因素引起的零件尺寸变化或误差范围，以确保产品能够在一定的允许范围内正常工作。

而公差上极限、下极限和中偏差则是衡量和控制这些误差的关键参数。

1.2 文章结构本文将围绕公差上极限、下极限和中偏差展开论述，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

具体而言，文章会从定义解释、应用场景、影响因素等方面进行阐述，并介绍测量和控制方法以及效果评估与分析方法。

1.3 目的本文的目的是为读者提供关于公差上极限、下极限和中偏差的全面解释和说明。

通过对这些概念的深入理解，读者可以更好地应用它们于工程实践中，并提高产品质量与可靠性。

以上为“1. 引言”部分的内容。

2. 公差上极限2.1 定义解释在工程和制造领域中，公差是指允许的偏离标准规格或设计要求的范围。

公差上极限是指在加工或组装过程中，所允许的最大偏差值。

这个值表示了一个零件或产品能够偏离其理论设计尺寸的最大限度。

2.2 应用场景公差上极限在实际生产中具有广泛的应用。

它可以用于确定产品之间的可互换性，确保不同供应商提供的零部件能够无缝配合。

此外，在制造过程中对零部件进行检验时，公差上极限也被用来判断产品是否合格。

例如，在汽车制造业中，发动机零部件需要具备一定的精度和质量才能正常工作。

零部件与周边部件之间存在一定的间隙和装配误差，而这些误差必须在一定范围内控制。

公差上极限就是通过定义这个范围来保证发动机正常运行。

2.3 影响因素公差上极限受到多种因素影响。

首先是产品本身的要求和设计规范，不同的产品和行业对公差的要求会有所差异。

其次是加工和制造过程中使用的工艺和设备，例如机床、测量工具等。

这些设备的精度和准确性也会影响公差上极限的确定。

此外，材料的物理特性、环境条件以及操作员技能水平等因素也可能对公差上极限产生影响。

因此，在实际应用中需要综合考虑这些因素来确定适当的公差上极限值。

数列上下极限的不同定义方式及相关性质

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1；数列{sin}4n π有1,-和1五个聚点；数列1{}n 只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n →+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim lim sup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim liminf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果limsup{}k n k nx →∞≥=+∞，由于sup{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim lim sup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim lim sup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出lim sup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim lim sup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥；（2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'lim lim k n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得lim ()0n n y C →+∞+>，如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =，这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证：先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1）设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+不妨设 1()2a b c ε=+-，则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2）以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3）如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=；再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=；如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞，且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证）若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2）如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠，则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..a b s t U U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大数列{}n x 于a 的项至多有限个;,b a ∀<大数列{}n x 于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大 k ∀∈，故数列{}n x 于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t ,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师大学数学系编.数学分析（上册）.:高等教育，2001[2] 复旦大学数学系传璋等编.数学分析（下册）.:高等教育出版，1979[3] 成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.：高等教育，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].:南开大学，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].:高等教育，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].:高等教育，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.:高等教育，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.:高等教育，2004[10] 胡适耕,显文著.数学分析原理与方法.:科学，2008[11] 纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.:高等教育.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao2007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。

常见可燃气体爆炸上、下限

常见可燃气体爆炸上、下限什么是可燃气体的爆炸极限、爆炸上限、爆炸下限可燃气体的爆炸极限：可燃气体（蒸气）与空气的混合物，并不是在任何浓度下，遇到火源都能爆炸，而必须是在一定的浓度范围内遇火源才能发生爆炸。

这个遇火源能发生爆炸的可燃气浓度范围，称为可燃气的爆炸极限（包括爆炸下限和爆炸上限）。

不同可燃气（蒸气）的爆炸极限是不同的，如氢气的爆炸极限是4.0％～75.6％（体积浓度），意思是如果氢气在空气中的体积浓度在4.0％～75.6％之间时，遇火源就会爆炸，而当氢气浓度小于4.0％或大于75.6％时，即使遇到火源，也不会爆炸。

甲烷的爆炸极限是5.0％～15％意味着甲烷在空气中体积浓度在5.0％～15％之间时，遇火源会爆炸，否则就不会爆炸。

可燃粉尘爆炸极限的概念与可燃气爆炸极限是一致的。

爆炸极限一般用可燃气（粉尘）在空气中的体积百分数表示（％），也可以用可燃气（粉尘）的重量百分数表示（克／米*或是毫克／升）。

爆炸极限是一个很重要的概念，在防火防爆工作中有很大的实际意义：（1）它可以用来评定可燃气体（蒸气、粉尘）燃爆危险性的大小，作为可燃气体分级和确定其火灾危险性类别的依据。

我国目前把爆炸下限小于是10％的可燃气体划为一级可燃气体，其火灾危险性列为甲类。

（2）它可以作为设计的依据，例如确定建筑物的耐火等级，设计厂房通风系统等，都需要知道该场所存在的可燃气体（蒸气、粉尘）的爆炸极限数值。

（3）它可以作为制定安全生产操作规程的依据。

在生产、使用和贮存可燃气体（蒸气、粉尘）的场所，为避免发生火灾和爆炸事故，应严格将可燃气体（蒸气、粉尘）的浓度控制在爆炸下限以下。

为保证这一点，在制定安全生产操作规程时，应根据可燃气（蒸气、粉尘）的燃爆危险性和其它理化性质，采取相应的防范措施，如通风、置换、惰性气体稀释、检测报警等。

可燃性气体的浓度过低或过高它是没有危险的，它只有与空气混合形成混合气或更确切地说遇到氧气形成一定比例的混合气才会发生燃烧或爆炸。

上、下极限的性质与应用

毕业论文题目上、下极限的性质与应用学生姓名王丹丹学号 **********所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学数教1101班指导教师洪洁 __ ____ _ 完成地点陕西理工学院 _ __2015年6月10日上、下极限的性质与应用王丹丹（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西汉中 723000）指导教师:洪洁[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.[关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性1 引言极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1]是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨.2 上、下极限的概念2.1 数列的上、下极限的概念定义2.1.1[5] 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.定义2.1.2[6] 设{}n x 是有界数列,若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.注数列{}n x 的上极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤.同样,下极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.（3）若{}k n x 是{}n x 的子列,则lim lim k n n n n x x →∞→∞≤ , lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.利用这些,可以将上、下极限的问题,通过选子列的方法解决.定义2.1.3[7] limsup{}k n k n x a →∞≥=称为数列{}n x 的上极限,liminf{}k n k nx b →∞≥=称为数列{}n x 的下极限.注由于定义2.1.2 设{}n x 是有界数列,下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列{}n x 无界的情况: （1）数列{}n x 有下界而无上界按定义2.1.1,扩充聚点也可为-∞,+∞,显然,数列{}n x 的最大聚点为+∞,而最小聚点可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.2, -∞,+∞可为极限点,显然,数列{}n x 所有收敛子列的极限组成数集的上确界为+∞,而其下确界可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.3,显然lim n n x →∞=+∞,而inf{}n n kx >单调增加,但可能没有上界,故lim n n x →∞可能为有限数,可能为+∞.（2）数列{}n x 有上界而无下界,同上.（3）数列{}n x 既无上界又无下界,此时按定义2.1.1,定义2.1.2,定义2.1.3,都有lim n n x →∞=+∞,lim n n x →∞=-∞.据上,对无界数列情形,以上三种定义也等价. 定义2.1.4[8] ()1inf sup{}1,2,3k n k nx k ≥≥=称为数列{}n x 的上极限,1supinf{}k k nn x ≥≥称为数列{}n x 的下极限.定义2.1.5[9] 设a 是一个实数（1）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x a ε>-,同时至多有有限个n 使得n x a ε>+,数a 称为数列{}n x 的上极限,记作lim n n x a →∞=.（2）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x b ε<+,同时至多有有限个n 使得n x b ε<-,数b 称为数列{}n x 的下极限,记作lim n n x b →∞=.注1 由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的.注2 由于其优点各异（定义2.1.1、定义2.1.2容易想象,定义2.1.3、定义2.1.4便于运用,定义2.1.5介乎其间）,不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了.推论当lim n n x a →∞=的充分必要条件是lim lim n n n n x x a →∞→∞==.注1 若{}n x 是无界数列,则它的上、下极限至少有一个不存在.当{}n x 没有上界时,我们可以认为它的上极限为+∞,记为lim n n x →∞=+∞;当{}n x 没有下界时,它的极限为-∞,记为lim n n x →∞=-∞.但当数列单方有界时,却不能导出上、下极限之一存在的结论. 2.2 函数的上、下极限定义2.2.1[10] 设()f x 在点x a =的某去心邻域内有定义,如果存在点列()n n x a x a →≠使lim ()()n n f x A A →∞=∈,则称x a →时,()f x 存在子极限A .或者说A 是当x a →时()f x 的一个子极限.与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者M *与最小者M *,分别称作上极限与下极限记为lim ()x af x →以及lim ()x af x →.同样有lim ()x af x →存在且仅当lim ()lim ().x ax af x f x →→=2.3集合列的上、下极限定义2.3.1[11]设{}n A 是一个集合列,记lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==;lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==.它们分别称为集合列{}n A 的上极限与下极限.3 上、下极限的性质性质3.1[12]（保序性） lim lim .n n n n x x →∞→∞≤性质3.2[13]（控制性质）若{}k n x 为{}n x 的子列,则有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤lim lim .k n n n n x x →∞→∞≤≤性质3.3[5](保不等式性) 设数列{}n x 和{}n y 是两个有界数列且有0N >,使当n N >时,有n n x y ≤则lim lim n n n n x y →∞→∞≤,lim lim n n n n x y →∞→∞≤.注1 若0n n ∀≥有n x α≤(常数),则有lim n n x α→∞≤;若0n n ∀≥有n x β≥,则有lim n n x β→∞≥.注2 若,αβ为常数,又存在0N >,时有n x αβ≤≤则lim lim n n n n x x αβ→∞→∞≤≤≤.性质3.4[14]（符号性质） lim lim()n n n n x x →∞→∞=--,lim lim()n n n n x x →∞→∞=--.性质3.5[15]（符号性质）（1）若0c <,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.（2）若0c >,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.性质3.6 若{}n x 为有界递增数列,则lim lim .n n n n x x →∞→∞= 相比极限运算,上极限和下极限的优点在于不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段.但是另一方面,相比极限运算,上极限和下极限运算又存在一个缺点,就是它们不存在类似于极限的四则运算那样的公式.但仍然成立下列一系列相对较弱的结论. 性质3.7 (加减运算性质)若{}n x ,{}n y 为有界数列,则 lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+ (3.1)lim()lim lim .n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.(3.2)注1 不等式（3.1）和（3.2）中的严格不等号有可能成立.例如,取(1)n n a =-,1(1)n n b -=-,n N +∈,则有lim lim 1n n n n x y →∞→∞==-,lim lim 1n n n n x y →∞→∞==,lim()lim()0n n n n n n x y x y →∞→∞+=+=.推论若{}n x 和{}n y 中有一个收敛,则有:lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.性质3.8(加减运算性质) 若{}n x ,{}n y 为有界数列,则lim()lim lim lim()n n n n n n n n n n x y x y x y →∞→∞→∞→∞+≤+≤+.性质3.9(乘法运算性质) 若0n x ≥,()01,2n y n ≥=,则lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞≤lim()lim lim n n n n x x x x y x y →∞→∞→∞≤.特别地,若{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号.性质3.10（倒数运算性质）若0(1,2)n x n >=lim 0n n x →∞>,则11limlim n nn n x x →∞→∞=.推论若0n x >,1,2,3n =,且1lim lim1n n n nx x →∞→∞=则数列{}n x 收敛.4 上、下极限的应用4.1上、下极限在数列敛散性中的作用上面我们总结了上、下极限的概念以及它的相关性质,下面就利用上、下极限的概念和性质来解决数列的敛散性.例4.1.1若0(1,2,)n x n >=1limn n nx x +→∞≤. 分析有界数列{}n x 的极限不存在,即有界数列{}n x 发散时,但有界数列{}n x 的上极限和下极限一定是存在的;又由定义2.1.5的推论可知当一个数列收敛时,它的极限值与上、下极限之间的关系.这个例子就是利用这个数列本身的结构及其与上、下极限的关系来证明它的敛散性.证设1limn n nx x x +→∞=,当x =+∞时,结论必然成立. 当0x ≤<+∞时,由数列极限的定义可知,0ε∀>,0N ∃>当k N >时,有1n nx x x ε+<+, 任取n N >,令,1,,1k N N n =+-,将所得n N -个不等式相乘,由k N >可得:121121()n N N N n nN N n n x x x x x x x x x ε-++-+--⋅⋅<+, 即()n N nNx x x ε-<+, 则()n n x M x ε<+.其中()N N M x x ε-=+,于是有)x ε<+,由此得)x x εε≤+=+.由ε的任意性可知,所证结论成立.例4.1.2设{}n x 为有界数列,{}k n x (1,2,)k =是它的一个子列,1,1a a <≠- ,证明,如果()lim k k n k x ax A →∞+= ,则{}n x 收敛并求其极限.证由上,下极限的性质3.7有()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,于是lim lim lim lim n n n n n n n n x a x x a x →∞→∞→∞→∞+≥+ .由1a < 可得lim lim n n n n x x →∞→∞≥,从而{}n x 收敛,令 lim n n x c →∞=.则()()lim lim lim 1k k n n k n n n n A x ax x a x a c →∞→∞→∞=+=+=+ ,由于1a ≠- ,因此 lim 1n n A x a→∞=+ . 利用上、下极限讨论问题的方便之处在于,不需要在数列是否有极限的问题上花费太多的功夫,而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系,从而少绕了不少弯．下面就是一个例子,如果不使用上、下极限的工具,论证将会比较繁琐.例4.1.3 设非负数列{}n x 满足条件0(1,2,)m n m n x x x m +≤<+=,(1,2,)n = ,证明数列liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞== .证对任意的1,2,n = 有1121102n n n x x x x x nx --≤≤+≤+≤≤,于是,10n x x n ≤≤,因此数列{}n xn是有界数列,从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令 inf{,1,2,}n xn nβ==,则有lim nn x nβ→∞≥.取定正整数m ,对于任意的正整数n ,必有(,,)n pm q p q q m =+∈<,于是n m q a pa a ≤+,因此q n mx x px n pm q n≤++. 对于固定的,m n p →∞⇔→∞,取上极限便得limlim lim q n m m n n n x x px xn pm q n m→∞→∞→∞≤+=+.对于每一个m 都成立,因而liminf{,1,2,}inf{,1,2,}n m n n x x xm n n m nβ→∞≤====,从而有limlim n n n n x xn n→∞→∞≤.又根据limlim n n n n x xn n→∞→∞≥所以liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞==.上、下极限的概念与性质的引入,为很多问题的证明都开辟了一条简便的思路,尤其是对于柯西收敛原则的证明上表现最为突出.如果没有上、下极限的概念与性质,在证明柯西收敛原则的充分性时,就要分三步证明:（1）证明{}n x 有界;（2）证明{}n x 有收敛子列{}k n x 收敛到某个常数a ;（3）证明{}n x 也收敛到a .而利用上、下极限的概念的性质,在证明柯西收敛原则的充分性时就提供了很多方便之处.定理4.1.4 设{}n x 是有界数列.（1）lim n n x a →∞=的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>- 且在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<= ;(2)lim n x x a →∞= 的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>+ 且存在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<=.定理4.1.5 若{}n x 是有界数列且有lim n n x a →∞= 和lim n x x b →∞=,则有（1）存在{}n x 的一个子序列收敛于 a ; （2）存在{}n x 的一个子序列收敛于 b ;（3）存在{}n x 的任一收敛子列,若其极限为 c ,则有a c b ≤≤ .定理4.1.6（柯西收敛原则）数列收敛的充分必要条件是它是一个柯西数列.证必要性设lim n x x a →∞= .于是对于任给的0ε> ,都有N ,使当n N > 时,就有2n x a ε-<.于是当,m N n N >> 时,就有m n m n x x x a x a ε-≤-+-< ,即{}n x 为柯西数列.充分性设{}n x 是柯西数列.于是有N ,使当,m N n N >> 时,就有1m n x x -< .特别地,当1m N =+ 时,有()1111,,N n N x x x n N ++-<<+>可见,{}n x 有界.对于任给的0ε> ,存在N ' ,使当n N '> 时,就有1n N x x ε'+-< ,11,N n N x x x n N εε''++'-<<+> .在上式中分别取上,下极限,由定理4.1.4得到11lim lim N n n N x n x x x x εε''++→∞→∞-≤≤≤+ .因此有0lim lim 2n n n n x x ε→∞→∞≤-≤ .由0ε> 的任意性即得lim lim n n n n x x →∞→∞≤ .再由定理4.1.5即知{}n x 收敛.注1 柯西数列[10]:设{}n x 是一个数列,如果对于∀0ε>,都存在自然数N ,使当m N >,n N >时,就有m n x x ε-<,则称{}n x 为柯西数列或基本数列.注2 柯西收敛原则的证明为数列的敛散性的证明又提供了一条快速有效的思路,即要证明一个数列是收敛数列,只要证明它是柯西数列便可. 4.2上、下极限在极限运算中的作用例4.2.1已知lim n n x x →∞=,求证01lim1nn x x x x n →∞+++=+.分析这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:由于对任意0ε>,存在(1,2,)N N =,当k N >时,有k x x x εε-<<+,所以011N x x x n ++++()1n N x n ε-+-+011n x x x n +++<<+ 011N x x x n ++++()1n Nx n ε-+++(4.1) 令n →∞,得到01()lim ()1nn x x x x x n εε→∞+++-≤≤++.再由ε的任意性得到01lim 1n n x x x x n →∞+++≤+. 错误是预先认定了极限01lim 1nn x x x n →∞++++的存在.如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.证由（1）,令n →∞,得到0101()limlim ()11n nn n x x x x x x x x n n εε→∞→∞++++++-≤≤≤+++, 再由ε的任意性得到0101limlim 11n n n n x x x x x x x n n →∞→∞++++++==++. 于是推得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.类似上述过程,不少书中直接写为:“令n →∞,（4.1）式的左右两边分别趋于x ε-和x ε+.”由于ε的任意性可得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段．下面就是一个利用上极限与下极限运算解决极限问题例子.例4.2.2 设1a >,x >1,1,2,31nn na x x n x ++==+ , (4.2)试证 lim n n x →∞=证易得到01n x a <<+.因而lim n n x β→∞=与lim n n x α→∞=存在,而且0α≥.由此可得到0β>,令()1xf x x α+=+则()()2211()011x x aaf x x x +---'==<++.故()f x 单调递减.在(1)中取上限可得1a a βαααβββ+≥⇒+≥++, 所以有a a αβαβα+≥+⇒≥≥,故αβ=,因而lim n n x →∞存在,在(1)中取极限,可得出lim n n x →∞=注如果0β≤,则有αβ=,因而{}n x 的极限存在且等于零,在(4.2)中令n →∞,便得到矛盾. 求解函数的上、下极限,有利于认清函数本身的结构. 例4.2.3 设1()sinf x x=,求0lim ()x f x →,0lim ()x f x →.解据函数的有界性可知,任何子极限都介于-1和1之间. 选取数列1022n x n =→+则()1()n f x n →→∞.若选取10322n y n =→+则()1()n f y n →-→∞.因此可知0lim ()1x f x →=,0lim ()1x f x →=-.可以证明,任何介于[1,1]-之间的实数都是0x →时1()sin f x x=的子极限. 4.3 上、下极限在级数论中的作用上、下极限在级数理论中将会使一些结果更为完整.例如,利用上、下极限改进了达朗贝尔判别法[10]（比值判别法）,柯西判别法[10]（根值判别法）,使得它们的结论更加完整.而利用改进型的判别法,可以得到幂级数收敛半径的完整性结果.定理4.3.1 对于正项级数1nn u∞=∑,令ρ=那么（1）当1ρ<时,级数1nn u∞=∑收敛;（2）当1ρ>或无穷大时,级数1nn u∞=∑发散;（3）当1ρ=时,级数1nn u∞=∑可能收敛也可能发散.注改进型的判别法就是针对达朗贝尔判别法（比值判别法）,柯西判别法（根值判别法）这两个判别法中的极限1limn n nu u ρ+→∞=与n ρ=不存在的情形给出的.幂级数收敛半径的结论如下对于幂级数nn n a x∞=∑,如果1limn n na a ρ+→∞=或n ρ=, （4.3）则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩如果（4.3）的极限不存在,利用上、下极限就可以得到完整的结论.定理4.3.2 对于幂级数nn n a x∞=∑,ρ=,则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩注定理4.3.2是对幂级数收敛半径的结论的进一步补充,得到幂级数收敛半径完整性的结果. 4.4 上、下极限在后续教程中的应用引入上、下极限的概念在一些后续课程中也有很大的作用.特别是在实变函数的教学中.如大家所知,关于Lebesgue 积分有三大收敛定理,其中Faton 引理的表述就要用到上、下极限的概念. 如果在教学中没有预先引进下极限的概念,理论在这里就将是无法处理的.定理4.4.1（Fatou 引理）若{()}n f x 是可测集E 上非负可测函数列,则lim ()lim ()nm n x E En n f x d f x d →∞→∞≤⎰⎰.证非负函数()inf{()}n j g x f x j n =≥显然有1()()n n g x g x +≤,1,2k =,而且lim ()lim ()n n n n g x f x →∞→∞=,x E ∈.由Levi 定理得lim ()lim ()nn E n n E f x dx g x dx →∞→∞=⎰⎰lim ()lim ()n n EEn n g x dx f x dx →∞→∞=≤⎰⎰.注1 Levi 定理[11]:设{()}k f x 是可测集E 上的非负可测函数列,满足12()()()k f x f x f x ≤≤≤≤,且有lim ()()k k f x f x →∞=,x E ∈,则lim()()k EEk f x dx f x dx →∞=⎰⎰.注2 由Faton 引理推导Lebesgue 控制收敛定理时,上、下极限的作用也是不可替代的,最后必须由不等式lim ()()lim ()n x m n m EEn n f x d f x d f x d →∞→∞≤≤⎰⎰⎰.推出 lim()()n m n m EEn f x d f x d →∞=⎰⎰．上、下极限的概念的引入在测度论中也有很重要的作用. 定理4.4.2[2]设集列{}i E 是单调增加的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.定理4.4.3[2] 设集列{}i E 是单调减少的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,且1mE <+∞,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.例4.4.4 设{}n E 是pR 中一列可测集,证明: （1）(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤;（2）若存在0n ,使0()n n n m E ∞=<+∞,则(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.证（1）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===.记n k k nA E ∞==,则12n A A A ⊂⊂⊂.由定理4.4.3得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N N =,()k n k nm E mE ∞=≤成立,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤.（2）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===,记n k k nB E ∞==,则12n B B B ⊃⊃⊃.又已知存在0n ,使00()()n k k n m B m E ∞==<+∞,由定理4.4.2得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N ,有()k n k nm E mE ∞=≥,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.参考文献[1]隋廷芳.上、下极限的七个等价定义 [J].呼盟电大分校学报,1994:10. [2]胡长松.实变函数[M].北京:科学出版社,2002.11:56-57.[3]Robert Ely.Nonstandard Student Conceptions About Infinitesimals[J].Journal For Research in Mathematics Education,2010,41;117-146.[4]Ryszard Engelking.General Topology[M].London:Warszarva,1977:27-47.[5]华东师范大学数学系编:数学分析（第三版）（上）[M].北京:高等教育出版社,2001:172-176. [6]杜其奎,陈金茹.数学分析精读讲义（上）[M].北京:科学出版社,2012:236-237. [7]崔尚斌.数学分析教程（上）[M].北京:科学出版社,2013:70-71.[8]毛羽辉,韩士安,吴畏.数学分析学习指导书（第四版）(上) [M]. 北京:高等教育出版社,2011.6:249-252. [9]马建国.数学分析（上）[M].北京:科学出版社,2011.5:53-55.[10]郭林,王学武,刘柏枫.数学分析（3）[M]. 北京:清华大学出版社,2012.4:13-15. [11]郭懋正.事变函数与泛函分析[M].北京:北京大学出版社,2005.2:117-118. [12]李成章,黄玉民.数学分析（第二版）（上）[M]. 北京:科学出版社,2007:40-41. [13]叶常青.数列上、下极限的新定义及其应用[J].漳州师院学报,1996:48-52. [14][美]G.克莱鲍尔.数学分析[M].上海:科学技术出版社,1983:50-52.[15]王振福,张建军.数列的上极限与下极限探析[J]. 包头:包头职业技术学院学报,2008.3（1）:12-14.The Nature Of the Superior and Inferior Limits and theApplicationWangDanDan（Grade110, Class1, Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics Dept, Shaanxi Universityof Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi ）Tutor: Hong JieAbstract :This article introduced the concept of the superior and inferior limits and superior and inferior limits ofisotony, protecting the inequality and some properties in the arithmetic, an example is given to illustrate the role of thesuperior and inferior limits in the sequence convergence and divergence, equivalent and theory of series and discussed the superior and inferior limits in real functions of real variable and the application of the theory of seies.Key words:Superior Limit; Inferior Limit; Sequence; Convergence。

常见可燃气体爆炸上下限

常见可燃气体爆炸上、下限什么就是可燃气体的爆炸极限、爆炸上限、爆炸下限可燃气体的爆炸极限:可燃气体(蒸气)与空气的混合物,并不就是在任何浓度下,遇到火源都能爆炸,而必须就是在一定的浓度范围内遇火源才能发生爆炸。

这个遇火源能发生爆炸的可燃气浓度范围,称为可燃气的爆炸极限(包括爆炸下限与爆炸上限)。

不同可燃气(蒸气)的爆炸极限就是不同的,如氢气的爆炸极限就是4、0％～75、6％(体积浓度),意思就是如果氢气在空气中的体积浓度在4、0％～75、6％之间时,遇火源就会爆炸,而当氢气浓度小于4、0％或大于75、6％时,即使遇到火源,也不会爆炸。

甲烷的爆炸极限就是5、0％～15％意味着甲烷在空气中体积浓度在5、0％～15％之间时,遇火源会爆炸,否则就不会爆炸。

可燃粉尘爆炸极限的概念与可燃气爆炸极限就是一致的。

爆炸极限一般用可燃气(粉尘)在空气中的体积百分数表示(％),也可以用可燃气(粉尘)的重量百分数表示(克／米*或就是毫克／升)。

爆炸极限就是一个很重要的概念,在防火防爆工作中有很大的实际意义:（1）它可以用来评定可燃气体(蒸气、粉尘)燃爆危险性的大小,作为可燃气体分级与确定其火灾危险性类别的依据。

我国目前把爆炸下限小于就是10％的可燃气体划为一级可燃气体,其火灾危险性列为甲类。

（2）它可以作为设计的依据,例如确定建筑物的耐火等级,设计厂房通风系统等,都需要知道该场所存在的可燃气体(蒸气、粉尘)的爆炸极限数值。

（3）它可以作为制定安全生产操作规程的依据。

在生产、使用与贮存可燃气体(蒸气、粉尘)的场所,为避免发生火灾与爆炸事故,应严格将可燃气体(蒸气、粉尘)的浓度控制在爆炸下限以下。

为保证这一点,在制定安全生产操作规程时,应根据可燃气(蒸气、粉尘)的燃爆危险性与其它理化性质,采取相应的防范措施,如通风、置换、惰性气体稀释、检测报警等。

可燃性气体的浓度过低或过高它就是没有危险的,它只有与空气混合形成混合气或更确切地说遇到氧气形成一定比例的混合气才会发生燃烧或爆炸。

常见气体的爆炸极限

常见气体的爆‎炸极限气体名称化学分子式/在空气中的爆‎炸极限 (体积分数) / %下限(V/V) 上限(V/V)乙烷 C2H6 3.0 15.5乙醇 C2H5OH‎ 3.4 19乙烯 C2H4 2.8 32氢气 H2 4.0 75硫化氢 H2S 4.3 45甲烷 CH4 5.0 15甲醇 CH3OH 5.5 44丙烷 C3H8 2.2 9.5甲苯 C6H5CH‎3 1.2 7二甲苯 C6H5(CH3)2 1.0 7.6乙炔 C2H2 1.5 100氨气 NH3 15 30.2苯 C6H6 1.2 8丁烷 C4H10 1.9 8.5一氧化碳 CO 12.5 74丙烯 C3H6 2.4 10.3丙酮 CH3COC‎H3 2.3 13苯乙烯 C6H5CH‎C H2 1.1 8.0可燃气体（蒸气）与空气的混合‎物，并不是在任何‎浓度下，遇到火源都能‎爆炸，而必须是在一‎定的浓度范围‎内遇火源才能‎发生爆炸。

这个遇火源能‎发生爆炸的可‎燃气浓度范围‎，称为可燃气的‎爆炸极限（包括爆炸下限‎和爆炸上限）。

不同可燃气（蒸气）的爆炸极限是‎不同的，如氢气的爆炸‎极限是4.0％～75.6％（体积浓度），意思是如果氢‎气在空气中的‎体积浓度在4‎.0％～75.6％之间时，遇火源就会爆‎炸，而当氢气浓度‎小于4.0％或大于75.6％时，即使遇到火源‎，也不会爆炸。

甲烷的爆炸极‎限是 5.0％～15％意味着甲烷在‎空气中体积浓‎度在 5.0％～15％之间时，遇火源会爆炸‎，否则就不会爆‎炸。

可燃粉尘爆炸‎极限的概念与‎可燃气爆炸极‎限是一致的。

爆炸极限一般‎用可燃气（粉尘）在空气中的体‎积百分数表示‎（％），也可以用可燃‎气（粉尘）的重量百分数‎表示（克／米*或是毫克／升）。

爆炸极限是一‎个很重要的概‎念，在防火防爆工‎作中有很大什么是爆炸极(一)定义可燃物质(可燃气体、蒸气、粉尘或纤维)与空气(氧气或氧化剂‎)均匀混合形成‎爆炸性混合物‎，其浓度达到一‎定的范围时，遇到明火或一‎定的引爆能量‎立即发生爆炸‎，这个浓度范围‎称为爆炸极限‎(或爆炸浓度极‎限)。

函数上极限和下极限的定义

函数上极限和下极限的定义函数的上极限和下极限是在数学分析中用来描述函数在特定点附近的局部行为的重要概念。

上极限和下极限不仅在理论上具有重要意义，也在实际问题的研究中有广泛应用。

在正式定义上极限和下极限之前，我们先引入一些必要的符号和概念。

设有函数f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。

1.邻域：对于给定的实数a和正实数δ，称开区间(a-δ,a+δ)为以a为中心的邻域，记作U(a,δ)。

即U(a,δ)={(x,y)，x∈R,y∈R,(a-δ)<x<(a+δ)}。

2.上界和下界：设A是一个非空的数集，如果存在一个常数K，对于任意的a∈A，都有a≤K，则称K是集合A的上界；如果存在一个常数k，对于任意的a∈A，都有k≤a，则称k是集合A的下界。

3.有界数集：如果一个数集存在上界和下界，则称该数集是有界的。

4. 单调数列：如果一个数列{an}，对于n≥1，若对于任意的n，an≤an+1，则称该数列是递增的；若对于任意的n，an≥an+1，则称该数列是递减的。

定义1：设f(x)在x=a的一些邻域U(a,δ)内有定义，如果对于任何给定正数ε>0，总存在正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-A，<ε，那么就称实数A是函数f(x)在点x=a处的上极限。

记作lim(x→a+ )f(x)=A。

定义2：设f(x)在自变量趋于正无穷大的区间(a, +∞)上有定义，如果对于任何给定正数ε>0，总存在正实数X>0，使得当x>X时，有，f(x)-A，<ε，那么就称实数A是函数f(x)在x=+∞处的上极限。

记作lim(x→+∞)f(x)=A。

定义3：设f(x)在x=a的一些邻域U(a,δ)内有定义，如果对于任何给定正数ε>0，总存在正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-A，<ε，那么就称实数A是函数f(x)在点x=a处的下极限。

上极限数列

上极限数列
上极限数列是一个数列的极限点，它代表数列中所有可能的上确界。

上极限数列有时也被称为上限极限。

给定一个实数数列 {a_n}，可以定义它的上极限为：
lim sup (a_n) = lim (sup {a_k : k ≥ n})
其中，sup {a_k : k ≥ n} 表示数列从第n项开始的所有项的上确界。

上极限是在n趋向正无穷时的极限。

上极限数列具有下面的性质：
1.上极限存在：如果上述极限存在，则数列有上极限。

2.上极限的性质：上极限是数列的一个极限点，它有以下特
征：
o所有大于等于上极限的数都是数列的聚点；
o存在一个子序列，其极限为上极限。

3.上极限与下极限：对于数列{a_n}，它的上极限和下极限
之间的关系是：
o lim sup (a_n) ≥ lim inf (a_n)
上极限和下极限是数列的重要概念，在数学分析和数列的研究中经常用到。

通过研究数列的上极限和下极限，可以得到关于数列的重要性质和特征。

函数的上下极限和应用数学毕业论文

2012届本科毕业论文函数的上下极限及其应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学08班学生姓名：指导教师：答辩日期：2012年5月 3 日新疆师范大学教务目录引言 (1)1. 数列上下极限的基本概念 (1)2．函数上下极限的定义及等价述 (2)3．单侧上，下极限 (6)4.函数上，下极限的不等式 (6)总结 (6)5.函数得上下极限列题 (6)参考文献 (8)函数的上下极限及其应用摘要：数列的上、下极限和函数的上、下极限是数列极限和函数极限的进一步加深和推广，所以我们将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.关键词：函数；数列；上极限；下极限引言数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题..1数列上下极限的基本概念定义：数列{}n x 的上，下极限可用εδ-语言来描述如下：数lim n x μ=意指如下两条件成立：a ）ε∀> 0，n x 终<εμ+（即ε∀> 0，∃N> 0当n > N 时，恒有n x <εμ+）（此条等价于：∀c>μ，n x 终<c ）。

b ）ε∀> 0，n x 常>με-（即ε∀> 0，∀N> 0，∃n > N ，使得n x >με-）（此条等价于：∀c<μ，n x 常>c ）。

同样，lim n n x λ→∞=意指：a ')ε∀> 0，n x 终>λε- .b ') ε∀> 0, n x 常<λε+.另外，当且仅当{}n x 上无界时，规定lim n n x →∞=+∞；当且仅当lim n n x →∞=+∞时，规定lim n n x →∞=lim n n x →∞=+∞；当且仅当{}n x 下无界时，规定lim nn x →∞=-∞；当且仅当lim nn x →∞=-∞时，规定lim lim n n n n x x ∞→→∞==-∞.定理：1.任一有界数列，存在收敛的子数列（一下称之为致密性原理）.任何数列都有广义收敛子数列（广义收敛，意指及极限允许为无穷大）. 2.数列{}n x 的上极限的特征是：a ）∃子数列{k n x }使得lim lim knn k n x x →∞→∞=.b ）对于{}n x 的任一收敛子数列{k n x }，恒有lim lim k n n k n x x →∞→∞≤. 同样，下极限lim n x 特征是：a ')∃子数列{k n x }，使lim k n k x →∞lim n n x →∞=.b '）∀收敛子数列{k n x }，有lim k n k x →∞≥lim n n x →∞.3.如{k n x }是{}n x 的子数列，则lim k n k x →∞lim n n x →∞≤，lim k n k x →∞lim n n x →∞≥利用这些，我们可以将上，下极限的问题，通过选子数列的方法解决。

常见可燃气体爆炸上下限

常见可燃气体爆炸上下限GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-常见可燃气体爆炸上、下限什么是可燃气体的爆炸极限、爆炸上限、爆炸下限可燃气体的爆炸极限：可燃气体（蒸气）与空气的混合物，并不是在任何浓度下，遇到火源都能爆炸，而必须是在一定的浓度范围内遇火源才能发生爆炸。

这个遇火源能发生爆炸的可燃气浓度范围，称为可燃气的爆炸极限（包括爆炸下限和爆炸上限）。

甲烷的爆炸极限是5.0％～15％意味着甲烷在空气中体积浓度在5.0％～15％之间时，遇火源会爆炸，否则就不会爆炸。

可燃粉尘爆炸极限的概念与可燃气爆炸极限是一致的。

爆炸极限一般用可燃气（粉尘）在空气中的体积百分数表示（％），也可以用可燃气（粉尘）的重量百分数表示（克／米*或是毫克／升）。

我国目前把爆炸下限小于是10％的可燃气体划为一级可燃气体，其火灾危险性列为甲类。

（2）它可以作为设计的依据，例如确定建筑物的耐火等级，设计厂房通风系统等，都需要知道该场所存在的可燃气体（蒸气、粉尘）的爆炸极限数值。

（3）它可以作为制定安全生产操作规程的依据。

在生产、使用和贮存可燃气体（蒸气、粉尘）的场所，为避免发生火灾和爆炸事故，应严格将可燃气体（蒸气、粉尘）的浓度控制在爆炸下限以下。

上极限和下极限

an < A + , 2
ε
bn < B + , 2
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ε
故
an + bn < A + B + ε .
再由定理 7.8 的 (4) 式, 得
n→∞
lim ( an + bn ) ≤ A + B + ε .
因为 ε 是任意的故是任意的,
n →∞
lim (an + bn ) ≤ A + B = lim an + lim bn .
定义 2 有界数列 { xn } 的最大聚点 A 与最小聚点
A 分别称为 { xn } 的上、下极限记为的上、下极限,
A = lim xn ,
n→ ∞
A = lim xn .
n→ ∞
前页后页返回
得知, 有界数列必有上、下极限. 注由定理 7.4 得知有界数列必有上、下极限这样, 下极限的优越性就显现出来了: 这样上、下极限的优越性就显现出来了一个数列若有界, 它的极限可以不存在, 数列若有界它的极限可以不存在此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的; 极限来研究该数列往往是徒劳的但是有界数列的上、下极限总是存在的的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质提供了一个新的平台. 提供了一个新的平台
(i) 存在 N, 当 n > N 时, xn > B ε ;
(ii) 存在 { xnk }, xnk < B + ε , k = 1, 2, .
n→∞
lim xn = B 的充要条件是: 对于任意的 ε > 0, 的充要条件是
在形式上是对称的, 证 1 和 2 在形式上是对称的所以仅证明 1 .

上极限和下极限

若 B A,
取
0
|B 2
A|
0,
那么在
U (B; 0 ) 内( 此时必
在 U ( A; 0 ) 之外 ) { xn }只有有限项. 这就是说, B
不是 { x的n聚}点, 故仅有一个{ x聚n点} A, 从而
lim
n
xn
lim
n
xn .
反之, 若上式成立, 则的聚点惟{一xn(设} 为 A) ,
0, 0,
1o
必要性所以存在
设
lim
n
xn
A.
因为
A
是
{ xn } 的一个聚点,
{ xnk }, 使得 xnk A (k ), 故对于任
意的存0在,
K 0, 当 k > K 时， A xnk .
将 { xnk } 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii).
又因 A 是
1 1, 存在 xn1 , 使 | xn1 a1 | 1;
2
1, 2
存在
xn2 (n2 n1), 使
|
xn2
a2
|
1 2
;
............
k
1, k
存在
xnk (nk nk1), 使
|
xnk
ak
|
1; k
............
这样就得到了 { xn } 的一个子列
满足: { xnk },
{ xn } 的最大聚点, 所以对上述在区间 ,
[ A , ) 上, 至多只含
{ xn } 的有限项. 不然的
话, 因为 { xn } 有界, 故 { xn } 在 [ A , 上 )

常见的气体地爆炸极限

常见气体的爆炸极限气体名称化学分子式/在空气中的爆炸极限(体积分数) / %下限(V/V) 上限(V/V)乙烷C2H6 3.0 15.5 乙醇C2H5OH 3.4 19 乙烯C2H4 2.8 32 氢气H2 4.0 75 硫化氢H2S 4.3 45 甲烷CH4 5.0 15 甲醇CH3OH 5.5 44 丙烷C3H8 2.2 9.5 甲苯C6H5CH3 1.2 7 二甲苯C6H5(CH3)2 1.0 7.6 乙炔C2H2 1.5 100 氨气NH3 15 30.2苯C6H6 1.2 8 丁烷C4H10 1.9 8.5 一氧化碳CO 12.5 74 丙烯C3H6 2.4 10.3 丙酮CH3COCH3 2.3 13 苯乙烯C6H5CHCH2 1.1 8.0可燃气体（蒸气）与空气的混合物，并不是在任何浓度下，遇到火源都能爆炸，而必须是在一定的浓度范围内遇火源才能发生爆炸。

这个遇火源能发生爆炸的可燃气浓度范围，称为可燃气的爆炸极限（包括爆炸下限和爆炸上限）。

甲烷的爆炸极限是5.0％～15％意味着甲烷在空气中体积浓度在5.0％～15％之间时，遇火源会爆炸，否则就不会爆炸。

可燃粉尘爆炸极限的概念与可燃气爆炸极限是一致的。

爆炸极限一般用可燃气（粉尘）在空气中的体积百分数表示（％），也可以用可燃气（粉尘）的重量百分数表示（克／米*或是毫克／升）。

我国目前把爆炸下限小于是10％的可燃气体划为一级可燃气体，其火灾危险性列为甲类。

上极限和下极限

11.06.2020
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二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
)A A,则{xn}只有一个聚点，
由A为上极限，知对任意>0,大于A
的项至多只有有限项，
（否则，在[A, M](M为xn的一个上界）中
又有一个聚点）.
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
11.06.2020
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
证明：设 ln i m an= a ， ln i m b n= b,ab
取 ab0,则 ab
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质例（ 3p175#2)
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质例（ 3p175#2)
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上极限和下极限关系

上极限和下极限关系以上极限和下极限是数学中的重要概念，它们描述了一个函数在某个点处的局部行为。

极限的概念在微积分中具有重要的地位，它是微积分的基石之一。

让我们来看一下上极限的定义。

在数学中，对于一个函数f(x)，如果存在一个实数L，使得当x趋近于某个数a时，f(x)的值越来越接近L，那么我们说L是函数f(x)在点a处的上极限。

我们用符号lim┬(x→a⁺)⁡〖f(x)=L〗来表示。

那么，上极限有什么意义呢？它可以帮助我们研究函数在某个点附近的行为。

通过计算上极限，我们可以了解函数在这个点右侧的趋势。

如果上极限存在，并且等于L，那么我们可以说函数在这个点附近的值都趋近于L。

这是因为当x趋近于a时，f(x)的值越来越接近L，也就是说，无论我们取多小的Δx，只要x落在(a,a+Δx)的区间内，f(x)与L之间的差距都可以任意小。

接下来，让我们来看一下下极限的定义。

对于一个函数f(x)，如果存在一个实数L，使得当x趋近于某个数a时，f(x)的值越来越接近L，那么我们说L是函数f(x)在点a处的下极限。

我们用符号lim┬(x→a⁻)⁡〖f(x)=L〗来表示。

下极限与上极限类似，它也可以帮助我们研究函数在某个点附近的行为。

通过计算下极限，我们可以了解函数在这个点左侧的趋势。

如果下极限存在，并且等于L，那么我们可以说函数在这个点附近的值都趋近于L。

这是因为当x趋近于a时，f(x)的值越来越接近L，也就是说，无论我们取多小的Δx，只要x落在(a-Δx,a)的区间内，f(x)与L之间的差距都可以任意小。

通过以上对上极限和下极限的定义和意义的解释，我们可以看出它们在数学中的重要性。

它们不仅帮助我们研究函数的局部行为，还为我们进一步研究微积分提供了基础。

除了极限的定义和意义，我们还需要了解一些计算极限的方法。

常见的计算极限的方法有代入法、夹逼准则、洛必达法则等。

这些方法在计算极限时起到了重要的作用，可以帮助我们更准确地求解极限问题。

ch上极限与下极限

上极限和下极限

上极限和下极限

公差上极限下极限,中偏差_解释说明

数列上下极限的不同定义方式及相关性质

常见可燃气体爆炸上、下限

上、下极限的性质与应用

常见可燃气体爆炸上下限

常见气体的爆炸极限

函数上极限和下极限的定义

上极限数列

函数的上下极限和应用 数学毕业论文

常见可燃气体爆炸上下限

上极限和下极限

上极限和下极限

常见的气体地爆炸极限

上极限和下极限

上极限和下极限 关系

函数的上下极限和应用数学毕业论文

上极限和下极限关系