数学建模一周作业题目

对作业题目的说明

1. 本次数学建模周一共提供十五道题目供大家选择。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题目中任意选取一题（只须选择一道），并完成一篇论文，对论文的具体要求参阅《论文格式规范》。

2. 题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 （一）乒乓球赛问题 (A)

A 、

B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜

ij

a 局。由此得矩阵()ij R a =如下：

12

3

1232

140345

3

1R βββααα⎛⎫

=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？

（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？

（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到

的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？

（二）野兔生长问题

在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：

分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，

预测T=10 时野兔的数量。

（三）停车场的设计问题

在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。

容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。

请你通过建模的计算结果，来给出一个合理的设计方案。

（四）奖学金的评定(A)

背景

A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困

）,这使得扰。平均来说，ABC的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A

—

无法对好的和中等的学生加以区分。然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次。

教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序。例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。

问题

, B+ ,…）这样的方式给出的,教务（1）假设学生成绩是按照（A+，A, A

—

长的想法能否实现?

（2）如果学生成绩是按照(A,B,C,…)的方式给出的,教务长的想法能否实现?

（3）能否有其他方案给出所希望的排名?

（4）需要关心的是,个别一门课程的成绩能否使很多学生按10%划分的等级顺序变化。这种情况能发生吗?

数据

各队队员应自行设计出一组数据用以检验和说明各自的算法,并应使数据能够反映出算法有效性受到限制的情况。

（五）购房贷款的比较

小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清。

房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元。。

小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么。这机构的条件似乎还是蛮优惠的。

请你建立一个合理的模型，分析一下到底哪种方案更省钱？

（六）贷款月还款多少

随着经济的发展，金融正越来越多的进入普通人的生活；贷款，保险，养老金和信用卡；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。2005年12月，中国人民银行公布了新的存，贷款利率水平，其中贷款利率如下表所列：

请你建立一个模型，并以人民币10万元为例计算贷款的月还款数（计算到20年）。

（七）. 还款周期与本息总额

个人住房贷款以10万元为例子，期限为3年，试讨论随着还款的周期变化，本息总额如何变化。

（八）费用分担问题

有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污

水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。

用Q 表示污水量，单位为米3/秒，L 表示管道长度，单位为公里，则有经验公式：

0.712

0.51

C1=730Q ( C2=6.6Q L 建厂费用万元）管道费用（万元）

已知三城镇的污水量分别为：Q1=5立方米/秒， Q2=3立方米/秒，Q3=5立方米/秒。 问：

三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？

（九）徽章问题 (AAA)（题目过长，请查看《数学建模与实验》教材。）

（十）某糖果厂用原料A ，B ，C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种糖果的中A ，B ，C 的含量，原料成本，各种原料每月的限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。