10.1狄拉克函数-武汉大学数学物理方法
狄拉克函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x) ( x)dx f (0)
这个积分应理解为
f ( x) ( x)dx lim f ( x) ( x)dx
0
1 1 lim f ( x)dx lim f ( x)dx 0 0 2 2 1 要求:f 连续 由积分中值定理，得 lim f ( )2 f (0) 0 2 ( , )
10
记 n ( x)
sin nx lim n ( x) lim ( x) n n x
这可看作是 函数的另一种定义方式。
sin nx 上式可写为 x
事实上，凡是具有
性质的函数序列 n ( x) ，它们的极限都是 函数.如：
n
lim
狄拉克函数基础
本节介绍一种新的“函数”, 函数.
函数是从某些物理现象中抽象出来的数学模型，例如：力
学中瞬间作用的冲击力，原子弹、氢弹的爆炸等。 这些物理现象有个共同特点， 即作用时间极短，但作用 强度极大。(冲激函数)
函数是由物理学家狄拉克首先引进的，可用于描写物理学
中的一切点量，如：点质量、点电荷、脉冲等，在近代物理 学中有着广泛的应用. 在数学上， 函数可以当做普通函数一样进行运算，并且可以 为处理数学物理问题带来极大的便利.
F[ ( x)] 1
同理可得
狄拉克函数基础
9
利用
F[ ( x a)] eia
F[ ( x a)] eia
和傅里叶变换的线性性可得
ia ia 1 e e cos a F [ ( x a) ( x a)] 2 2 ia ia 1 e e F [ ( x a) ( x a)] sin a 2i 2i 1 从而有公式 F 1[cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2 1 1 F [sin a ] [ ( x a) ( x a)] 2i
第二节 狄拉克函数
1.2-1 δ函数定义 (definition of Delta Function)
1. 类似普通函数形式的定义
2. 普通函数序列极限形式的定义
3. 广义函数形式的定义
定义一：类似普通函数形式的定义
例子：理想会聚透镜 平行光经L后成会聚光束，在 L后的平面P上得到一个清晰 的圆形亮斑。随着P向后焦面 趋近，亮斑直径越来越小，照 度A越来越大。 在P的后焦面的极限情况下，屏上的 照度A已无法用普通函数来描述,它 在焦点值为无穷,在焦点以外为零，
x x
0
, y y0 x, y dxdy x0 , y0
2.与普通函数的乘积 (由广义形式的定义直接得到) 设 x, y 在 x0 , y0 处连续，则有：
x, y x x0 , y y0 x0 , y0 x x0 , y y0
x, y lim
n
N2
circ( N
x2 y2 )
贝塞尔函数:
x, y lim N
n
j1 (2N
x2 y2 )
x2 y2
定义三：广义函数形式的定义
x, y x, y dxdy
0,0
x, y 称为检验函数 ， 它是连续的，在一个有限区间外 为0， 并具有所有阶的连续导 数。
1.2-3 comb函数 (Comb Function)
1D comb函数: comb ( x)
n
( x n),
n为整数
Comb(x)
(x)D comb函数是间隔为1的无穷多个δ函数的和。
2D comb函数:
《 数学物理方法 》课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲（供物理专业试用）课程编码：140612090学时：64 学分：4开课学期：第五学期课程类型：专业必修课先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》教学手段：（板演）一、课程性质、任务1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。
注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、课程基本内容及课时分配第一篇复数函数论第一章复变函数（10）教学内容：§1.1．复数与复数运算。
复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。
数学物理方法课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲Method of Mathematics and Physics学时数：72学时学分数：4学分适用专业：物理学、光信息科学与技术执笔者：杨灵娥编写日期：2004年11月一、课程的性质、目的和任务数学物理方法是本科物理专业的一门重要的必修课程。
它是继高等数学后的一门数学基础课程，是学习电动力学、量子力学、统计物理等理论物理课程及无线电类有关课程的基础。
本课程将涉及很多物理问题，尤其在数学物理方程部分，如电学、热传导、粒子扩散和波动传播等，但课程重点仍是数学计算方法。
通过本课程的学习，使学生掌握数学物理方程和特殊函数的基本理论和计算方法，并能将数学结果联系物理实际，加深对物理理论的理解。
本课程应把重点放在培养学生正确地理解和运用基本概念和基本方法上，注重提高学生运用数学知识解决较复杂的物理问题的能力。
二、课程教学的基本要求（一）复变函数1. 理解复数的三种表示方式，并能利用复数的几何表示及欧拉公式熟练进行三种形式之间的转换。
2. 掌握复数的运算规则并能灵活运用。
3. 理解复变函数的导数和解析的概念。
4. 能利用柯西-里曼条件判断函数是否解析，并能运用此条件由解析函数的实部或虚部求出该解析函数。
（二）复变函数的积分1. 理解复变函数沿曲线积分的概念，理解单连通与复连通区域的柯西定理、柯西公式的内容。
2. 能应用复变函数积分的概念计算积分，能利用柯西定理和柯西公式来计算复变函数的积分。
（三）幂级数展开1. 能熟练运用展开公式将解析函数展开成泰勒级数，并能利用已知的解析函数的泰勒展开式将其它的解析函数展开成泰勒级数或洛朗级数。
2. 会判断幂级数的收敛范围。
正确地将孤立奇点进行分类。
（四）留数定理1．理解函数在孤立奇点的留数的意义，熟练掌握留数的计算方法。
2．用留数定理计算复变函数的回路积分和三种类型的实变函数定积分。
（五）傅里叶变换1．能熟练地求出所给函数傅里叶变换，知道傅里叶变换的性质。
第十章习题课-武汉大学数学物理方法
r3
gi :
x
−
3
第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
1、求上半空间的狄氏问题 ∂G ⎧ Δu = 0, z > 0 → u ( M ) = − ∫∫ f ( M 0 ) dx 0 dy 0 σ ⎨ ∂n0 u f ( x , y ) = 1 M ⎩ z =0
Δg = 0, z > 0 1 | z =0 g | z =0 = − 4πr −q (1)在M1 ( x, y,− z )放 − q, 则Δ( ) = 0 , z > 0 4πε 0 r1 ε0 −q q 使 | z =0 = − | z =0 则 g = − 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r1
[
]
[
]
∂G ∂G ∂G =− = ∂y ∂n ∂ (− y )
2( y + y 0 ) 2( y − y 0 ) ∂G 1 ∴ − ] | y =0 = [ 2 2 2 2 y =0 ∂y 4π ( x − x0 ) + ( y + y 0 ) ( x − x0 ) + ( y − y 0 )
⎤ y0 ⎡ 1 = ⎢ 2⎥ π ⎣ ( x − x0 ) 2 + y0 ⎦
0 0
3.
−∞
∫
f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
n
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 4. δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
Wuhan University
第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , r1 = ( x − x0 ) 2 + ( y + y0 ) 2
《数学物理方法》第八章 狄拉克 函数
其函数曲线如图8. 1所示．
5
引进一维d函数后，位于x0处，电量为q 的点电荷的线电荷密度可表示为
位于坐标原点，质量为m的质点的线质 量密度为
6
§8.1.2 d函数的性质 性质1 若f(x)是定义在区间(- )的任一连续函
数，则 证明 设e是任意小的正数，因为在区间[x0-e
积分
综合上两式，式( 8.1.18)可写为
将Ck代入式(8.1.15)即得式(8.1.13)
14
若j(x)有重根，则式(8.1. 13)不成立． 如 j(x) =x2有重根 x1= 0 及 x2= 0 ，
这时 式( 8.1.13)的分母为零，没有意义． 利用式(8.1.13)可以得到d函数一系列的性质
21
(2) 、当x为不等于零的常数时
(3)、计算在区间(-∞, ∞)的积分值, 可得 定积分= p (见例4.2.8，P92)
22
2.用阶跃函数(图8.3)的导数表示
阶跃函数的定义为
23
表达式5 d(x)＝H'(x) (8.1.28)
证明 设f(x)是任意的连续函数，则
由f(x)的任意性即得式(8.1.28)
x0+e]之外， d(x-x0) = 0，故
利用了第二中值定理，x是区间[x0-e x0+e]内 某一点。
7
由于e是任意小的正数，当e →0时， x → x0， f (x) → f (x0) ，由此式(8.1.9)得证
特别是，当x0=0时有
请注意，也可以将式(8.1.9)作为一维d函数的 定义式，因为式(8.1.9)与式 (8.1.5)、式(8.1.6) 是完全等价的。
d(x-x0) = d(x0-x) (8.1.10) 9
高二物理竞赛课件：量子力学之狄拉克Dirac 符号
坐标表象
B
A
B
x,
t
A
x,
t
dx
A x,t 是右矢 A 在坐
标表象下的分量，其 实就是状态A在坐标表 象下的函数
B
x,
t
是左矢
B 在坐
标表象下的分量，其
实就是状态B在坐标
表象下的波函数的复
共轭。
关于这些等式的证明 可以使用第二和第三 章的知识，不再详述
动量表象
CB px ,t CA px ,t dpx
CA px,t是右矢 A 在动
量表象下的分量，其 实就是状态A在动量表 象下的波函数
CB px,t是左矢 B 在动
量表象下的分量，其
实就是状态B在动量
表象下的波函数的复 共轭。
a1
t
a2 t
b1 t ,b2 t ,
,bn t ,
,bq t
an
t
其他任意某个Q表象下
aq
对比上面的标积式，我们可以用如下形式表示
1 这个形式抽象的表示了状态的归一化，不再涉及到具体某个表象
下面我们看某些特殊状态的狄拉克符号形式
设某状态是力学量算符 Fˆ 的本征态，所属的本征值是Fi（我们只 考虑非简并的情况，对应同一个本征值，只有一个状态）则这个
状态可以分别用左矢和右矢写为
Fi
Fi
,bq t
an
t
b1 t,b2 t, ,bn t, ,bq t是左矢 B
在Q表象下的各个分量
aq
t
a1b1 a2b2 anbn aqbqdq abn aqbqdq n
显然 B A A B
A B a1 t , a2 t ,
, an t ,
§.狄拉克函数（精品）
第五章 Green 函数前几章主要讲授了拉普拉斯、波动方程、热传导等齐次方程的求解，对于这类方程，求解区域非常规则（直角坐标系、球坐标系、柱坐标系），并且方程为齐次的，利用分离变量法求解非常方便。
但对于非齐次方程，例如 ()t x f u ,2=∇，分离变量法不再适用，本章主要采用Green函数法求解线性非其次方程。
本章主要内容：1、δ函数2、Laplace 方程的Green 函数3、Helmholtz 方程的Green 函数4、波动方程的Green 函数法§5.1 δ函数一、δ函数的定义()⎩⎨⎧≠=∞+=000x x x ，，δ其积分 ()()1==∫∫+−+∞∞−εεδδdx x dx x性质()()()0f dx x x f =∫∞∞−δ0+εδ(x)x−ε或者 ()⎩⎨⎧≠=∞=−000,0,x x x x x x δ其积分 ()()10000=−=−∫∫+−∞∞−εεδδx x x x x x性质()()()00x f dx x x x f =−∫∞∞−δ二、物理意义1、直导线的电荷密度：假设一个导线AB 上电量分布为()x e ，其电荷密度()()()()x e xx e x x e x x 'lim0=Δ−Δ+=→Δρ 2、单位点电荷：假设导线AB 上只有在中心存在一个单位点电荷，即()⎩⎨⎧=≠=0,10,0x x x e 电荷密度()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∞→Δ=Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ=Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ≠=0,12220,0x x x x e x x e x e x x ρ 由δ函数的定义可知，单位点电荷的密度就是δ函数。
()()1==∫∫+∞∞−+∞∞−dx x dx x δρ因此，()x δ可以看成是单位点电荷密度。
当单位点电荷放在0x x =处，点电荷密度可写为()()0x x x −=δρ当电荷量为q 的点电荷放在0x x =处，点电荷密度可写为()()0x x q x −=δρ 三、δ函数可以看成普通函数的弱极限极限{}*x x n →：对于0*0,0εε<−>>∃>∀x x N n N n 时，当函数(){}()x fx f n *→：对于时，当N n N >>∃>∀0,0ε()()ε<−x f x f n *上述严格定义的极限称为强极限。
《数学物理方法》自学辅导手册
）
② 1 2 ④ 1 2 e ③
i1 2
0 的辐角是
②
……………………（
）
20.对于复数 z1 、 z 2 和 z1
z 2 ，下面的关系式成立的
2
④没有意义
是 ……………………………………………………（ ） ①| z1 z 2 | | z1 | | z 2 | ②| z1 z 2 | | z1 | | z 2 | ③| z1 | | z 2 | | z1
x
z2 |
④| z1 |-| z 2 | | z1
z2 |
1, 2, （ ）
④ 2n 1
ln 1 的虚部是 （ n 0, 1, 2,…………………………………（ ） ln i 的实部是
②0 ②1 ③ i2n 1 ④ 2n 1 ） ………………（ ③1
1 3 的模是 ………………（ ） i 2 2 ①2 ② 3 ③1 3 ④1 5.复数 z 3 4i 的共轭复数是 ……………（ ） ① 3 4i ② 3 4i ③ 3 4i ④ 3 4i 6. z x iy 是复数的 ………………………（ ）
4.复数 z
6
2．记住勒让德多项式的定义式、微分式、及前几个勒 让德多项式的具体表示。 3．掌握勒让德多项式的各种性质（如正交归一性、广 义傅立叶级数展开、母函数、递推公式）及其应用 4．会解轴对称下拉普拉斯方程的定解问题。
三、练习题
（一） 单选题（在题干后的括号内填上正确选项前的 序号，每题1分）
1.复数 z ①x 2.复数 z
第七章
考核要求：
数学物理定解问题
1．掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步骤。 2．掌握三类典型数理方程的推导过程和建立数理方程的一 般方法、步骤。
大学物理-格林函数法
引入 函数后，位于 x0 处、电量为 q 的点电荷的线密度为
引入 函数后，还可以方便地表示瞬时打击力：
而 则
二、 函数的性质
性质1：若 f (x) 是定义在区间 (–, +) 的任一连续函数，则
——将 (x – x0) 乘上 f (x) 进行积分，其值为将 f (x) 的 变量换为 x0，或者说： 函数具有挑选性 (把 f (x) 在 x =
证明：(1) 当 r → 0 时， (2) 当 r ≠ 0 时，将球坐标系下的 2 代入，保留对 r 求偏
导的算符，有 (3) 对全空间积分
由 3(r) 的定义得
4. 正交归一完备系 { n(r)} 的完备性条件
证明：由{ n(r)}构成正交归一的完备性，故可对任意单
值连续有限的函数 f (r)展开为
——极限形式
证明：(1) 当 x → 0 时，令 v = xu，且有
(2) 当 x 为不等于 0 的常数时，有
( 4-2 PPT p50)
(3) 在 (–, ) 区间的积分值为
参 见
因此，由 函数定义可知
4.
5. 6.
7. 用阶跃函数的导数表示： (x) = H ' (x)
其中阶跃函数的定义为
积分一起出现。 性质2 (对称性):
—— 函数是偶函数
证明：设 f (x) 为定义在 (–, +) 的连续函数，则
即， (x0 – x) 与 (x – x0) 在积分号下对任一连续函数的
运算性质相同，因此，有
性质3： 上式的确切含义：在等式左右两边乘上任意的连续函数
(x) 以后，对 x 积分相等，即
II. 把积分扩大到整个区间 (–, )，把 y = (x) = 0 的
狄拉克函数
狄拉克函数1. 引言狄拉克函数（Dirac Delta function）由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪初提出。
狄拉克函数是一种特殊的分布函数，具有极其奇特的性质，常常用来描述粒子或波的位置、质量、速度等特征。
狄拉克函数在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用，是一种非常重要的数学工具。
2. 定义与性质狄拉克函数可以通过多种方式定义，以下是其中一种常用的定义方式：定义 1：狄拉克函数是一种以0为中心，无限高、无限窄的脉冲函数，其函数形式可以表示为：\[ \delta(x-a) = \begin{cases} +\infty, & x = a \\ 0, & xeq a \end{cases} \]其中，a为常数。
根据定义可知，狄拉克函数在除了a以外的所有点上都等于零，而在a点上取无限大值。
由于狄拉克函数具有这种集中无穷大的特性，它被称为一个“广义函数”（generalized function），而非传统意义上的函数。
狄拉克函数有以下一些重要的性质：性质 1：归一性\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \, dx = 1 \]即狄拉克函数在整个实数轴上的积分为1。
性质 2：积分性质对于任意的函数f(x)，有以下积分关系：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \]这个性质表明，在狄拉克函数参与的积分运算中，狄拉克函数会起到“滤波”作用，将函数f(x)在x=a处的值提取出来。
性质 3：位移性质\[ \delta(x-a) = \delta(-x+a) \]这个性质表明，狄拉克函数关于中心点a具有对称性。
性质 4：缩放性质\[ \delta(bx) = \frac{1}{|b|} \delta(x) \]这个性质表明，狄拉克函数可以通过改变自变量的比例来调整脉冲的窄度。
狄拉克函数
续有限的函数 f (r )展开为： f (r ) cnn (r ) n1
当 x x0时，等式两边均为 f (x0 ) (x x0 )
数学物理方法
性质 4. x (x) 0
f ( x )( x x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
证明：对任意的连续函数 f (x)，均有：
x (x) f (x)dx
xf (x) (x 0)dx [xf (x)]x0 0
f
(0)
f
(0)
与 f (x) (x)dx f (0)相比较，由 f (x)的任意性得结论。
数学物理方法
四、 函数导数的定义
1.定义：对于任意连续函数 f (x)，若
f (x) (x x0)dx f (x0)
成立，则 (x x0 )称为 (x x0 )的导数，并记作
( x
x0 )
分下限(xk ) (xk )，积分变为
Ck
1
(xk )
(xk ) [(x)]d(x) 1
( xk )
(xk )
数学物理方法
综上所述：Ck
1
(xk )
，
(x)
N
Ck (x
k 1
xk )
[(x)] N (x xk )
k1 (xk )
说明：若(x)有重根，则上式不成立。例如(x) x2 有重根
令 f (x) (x x)，代入（2）式：
c(k) (x x)eikxdx eikx
（3）
（3）式代入（1）式： f (x) (x x) 1 eik(xx)dk
2
数学物理方法
2.
(x) lim 1
n
cos kxdk
n 2 n
狄拉克函数(冲激函数)20160703
+∞
δ
(τ
)
f
⎛ ⎜
τ
⎟⎞d τ
=
1
f (0)
−∞
−∞
⎝−a⎠ −a −a
∫+∞ 1 δ (t) f
−∞ − a
(t )dt
=
1 −a
f
(0)
δ (at) = 1 δ (t) (a < 0)
−a
δ (at) = 1 δ (t)
a
4、卷积性质
f
(t)∗δ (t) =
+∞
∫f −∞
(t −τ )δ (τ )dτ
−∞
−∞
= δ (t)
δ ′(− t) = −δ ′(t)
4、标度变换
δ ′(at) = 1 ⋅ 1 δ ′(t)
aa
δ (k )(at ) =
1 a
1 ⋅ ak
δ (k )(t )
=
∫0+ 0−
f
(t
−τ )δ (τ )dτ
=
f
(t )
任意有界函数与狄拉克函数的卷积就是该函数自身。这一规律在系统分析上体现为：线性时不
变系统的冲激响应（在单位冲激信号下的响应）完全由系统本身的特性所决定，与系统的激
励源无关。
三、单位对偶冲激（冲激偶）
单位冲激函数的一阶导数称为单位对偶冲激函数。
f
(0)dt
=
f (0)
对于有时移的情况
∫+∞
δ
−∞
(t
−
t0
)
⋅
f (t)dt
=
f (t0 )
冲激序列对连续信号抽样结果为
+∞
x(nT ) = x(t)⋅ ∑δ (t − nT )
费米-狄拉克分布数学函数概念、解析、图像和应用.doc
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为：f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 E费米分布函数变化曲线T 3 >T 2 >T 1 >T 0第三，费米能级E f 在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。
对于本征半导体，E f 处于禁带E g 的中央，在绝对零度时，在导带E c 中E ＞E f ，f(E)=0；在价带E v 中E ＜E f ，f(E)= =1，表明电子全部处于价带E v 之中，因而此时半导体是完全不导电的。
第四，在T=0K 处于绝对零度的前提下，若E ＜E f ， exp →0,则f(E)=1；当T=0K 时，若E ＞E f ，则f(E)=0。
可见，在绝对零度时，能量比 E f 小的能级被电子占据的几率是100%，而能量比E f 大的能级被电子占据的几率为零。
即所有低于E f 的能级都被占满，而所有高于E f 的能级都空着。
因而费米能级E f 是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。
武汉大学姚端正报告——浅谈数学物理方法的学习
四大力学
理论力学 热 统
数理方法
数理方程 分离变量法 正交曲线坐标 格林函数法 (电象法) 傅里叶变换法 δ函数 特殊函数 变分原理
电动力学
量子力学
Wuhan University
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的‚粘合剂‛ 理论力学: 用拉格朗日方程
---牛顿
xi xi (t ), t
“只要能解微分方程，我就能预测宇宙的过去 和将来‛ -Laplace
Wuhan University
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课 2.数理方法是进行基础研究的重要工具 3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
数理方法是普通物理与四大力学的‚粘合剂‛ 力学 热学 电学 原子物理
理力
Wuhan University
热统
电动
量子力学
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的‚粘合剂‛
力学 热学 电学 原子物理
数学物理方法
理力
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1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的‚粘合剂‛ 统计物理：用波尔兹曼输运方程
f f F f f v ( )c t r m v t
得到非平衡态的速度分布函数 量子力学：用 Nhomakorabea定谔方程
2 2 Zes2 ( ) E 2
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圆盘电荷密度函数狄拉克函数
圆盘电荷密度函数狄拉克函数狄拉克函数在物理学中有着重要的应用，特别是在描述电荷分布时。
圆盘电荷密度函数可以用狄拉克函数来描述，这在电场和电势问题中是一个常见的情况。
首先，让我们来看看狄拉克函数是什么。
狄拉克函数，通常表示为δ(x)，是一种广义函数，其定义如下：δ(x) = 0, x ≠ 0。
δ(x) = +∞, x = 0。
∫δ(x)dx = 1。
狄拉克函数在x=0时的取值是无穷大，但是在其他地方都是0。
其积分在整个实数轴上等于1。
这使得狄拉克函数在描述点电荷或者局部电荷密度时非常有用。
现在我们来考虑圆盘电荷密度函数。
假设有一个半径为R的均匀带电圆盘，其电荷面密度为σ，我们可以用狄拉克函数来描述这个电荷分布。
圆盘的电荷密度函数可以表示为：ρ(r,θ) = σδ(r-R)。
其中，ρ(r,θ)是圆盘上某一点的电荷密度，r是该点到圆盘中心的距离，θ是极角。
δ(r-R)表示狄拉克函数，描述了电荷密度在圆盘上的分布情况。
使用狄拉克函数描述圆盘电荷密度函数的好处在于，我们可以利用狄拉克函数的性质来简化电场和电势的计算。
通过将狄拉克函数代入相关公式，我们可以得到圆盘电荷所产生的电场和电势分布。
另外，我们还可以通过狄拉克函数的性质来分析圆盘电荷的电场特性，比如计算电场的散度和旋度，以及利用高斯定律来计算圆盘电荷所产生的电场强度。
这些分析可以帮助我们更好地理解圆盘电荷的行为。
总之，狄拉克函数在描述圆盘电荷密度函数时具有重要的作用，它简化了电场和电势的计算，并且帮助我们深入理解圆盘电荷的电场特性。
通过合理应用狄拉克函数，我们可以更好地研究和应用电荷分布在物理学和工程学中的问题。
狄拉克函数
当 l 0 ，上式的极限不存在。
但是在积分的意义上来看，
1 x lim rect ( )dx lim rect ( )d 1 l 0 l l 0 l
符合函数 的定义。
数学物理方法
再验证（5.3.9） 。 函数 sin Kx 当 K ，在 x 0 处的“峰”的高度 x K / 无限增高，其宽度无限变窄，其极限不存在。
x0
根据(5.3.2)， 上式右边第一和第三项为零。 对第二项应用中值定理，
f ( x) ( x x0 ) f ( )
x0
令
x0
( x x0 )dx f ( )
0 ，即得证。
数学物理方法
（4）即使连续分布的质量、电荷或持续作用的力也可以 用 函数表出。
H ( x ) 称为阶跃函数 或亥维赛单位函数。从而 H ( x ) 是 ( x) 的原函数， ( x) 是 H ( x ) 的导数 dH ( x ) ( x) （5.3.5） dx
数学物理方法
（3）对于任意一个定义在 (, ) 上的连续函数 f ( x ) 这有时叫做 函数的挑选性。
设质量 m 均匀分布在长 l 的线段 [l / 2, l / 2] 上，则其 线密度 ( x) 可以表为
0, ( x l / 2) l ( x ) m / l , ( x l / 2)
数学物理方法
将 l ( x) 对 x 积分，则得到总质量
m l ( x)dx l / 2 l dx m 如果让上述线段的长度 l 0 ， 那么得到位于坐标原点 质量为 m 的质点，其线密度 ( x) 则有 0,( x 0) ( x) lim l ( x) l 0 ,( x 0) 将 ( x) 对 x 积分，则得到总质量
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3. ∫ ∫ sin(x + y)δ (x + 2)δ ( y −1)dxdy= ?
−∞−∞
1 ∞ ∞
4. 长为l, 密度为ρ的弦两端固定 , 初位移为零, 初始时刻在x = x 0 点受到一横向冲量 I 0 .试写出弦 的横振动的定解问题。
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五、小结
§10.1 δ 函数
Methods in Mathematical Physics
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
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问题的引入：
⎧行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ⎪ ⎨分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ⎪积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ⎩ 1、格林函数法：
(2) δ − 广义函数
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二、δ函数的性质
设 f ( x)在(−∞, ∞)连续, 则
∞ ∞
§10.1 δ 函数
1、
−∞
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x ) [ ∫ f ( x)δ ( x)dx = f (0)]
0 0 −∞
注意 : ∞ δ 也能表示连续分布的函 数
τ
− ∫∫
σ
∂G f (M 0 ) dσ 0 ∂n0
（1）解的形式(有限积分)便于理论分析和研究 （2）以统一的形式研究各类定解问题 （3）对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算 出任意源的场，关键就是求点源
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第十章 格林函数法
Method of Green’s Function 中心：用格林函数法求解狄氏问题 目的: 1、掌握(点源函数) δ 函数的定义、性质
∞
−∞
∫ ρ ( x)dx = 1
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一、δ函数的引入
2、定义：
§10.1 δ 函数
⎧ ⎧0 x ≠ 0 ⎪δ ( x) = ⎨ ⎩∞ x = 0 ⎪ ⎨∞ ⎪ δ ( x)dx = 1 ⎪∫ ⎩− ∞
− δ函数
⎧ ⎧0 x ≠ x0 ⎪δ ( x − x0 ) = ⎨ ⎩∞ x = x0 ⎪ 一般 : ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ δ ( x − x0 )dx = 1 ⎩− ∞
其解为含有格林函数的有限积分。 Δ u = − h ( M ) ⎧ ⎪ 由§10.2: → ⎨ ⎪ ⎩u σ = f ( M )
u ( M ) = ∫∫∫ G ( M , M 0 )h( M 0 )dτ 0 − ∫∫
τ
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σ
∂G f (M 0 ) dσ 0 ∂n0
G(M,M0)－狄氏格林函数
f (t ) =
−∞
∫ f (τ )δ (τ − t )dτ = ∫
b
b
a
f (τ )δ (τ − t )dτ
附：判断函数相等的一种方法：
设 f ( x) 与 g ( x) 都是定义在(a,b)区间上的函数，若对于定义在 (a,b)区间上的任意连续函数 ϕ ( x) 都有如下等式成立：
∫
b
a
f ( x )ϕ ( x )dx = ∫ g ( x )ϕ ( x ) dx , 则必有：f ( x) = g ( x)
特别 : 若 ∫ ϕ ( x )g ( x ) dx = 0, 则必有 g ( x ) = 0
a
b
a
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δ 函数的性质 二、
∞
§10.1 δ 函数
d 2、若定义 δ ( x ) = δ ′( x ) − δ函数的导数 , 则 dx
(1) ∫ f ( x )δ ′( x − x 0 )dx = − f ′( x 0 )
m =1
x
Δm ⎧0 x ≠ 0 =⎨ 则密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ⎩∞ x = 0
∞
0
−∞
∫ ρ ( x)dx = 1
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一、δ函数的引入
1、物理背景 （2）带电导线
q =1
0
§10.1 δ 函数
总电量q = 1,集中在x = 0处
x
Δq ⎧0 x ≠ 0 =⎨ 则电荷密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ⎩∞ x = 0
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 ) 为二维函数 ; dv = dxdy
⎧ ⎧0 , M ≠ M 0 δ (M − M 0 ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩∞ M = M 0 ( 2) ⎨ ⎪ ∞ δ ( M − M 0 ) dxdy = 1 ⎪ ∫ ∫ ⎩ −∞
u ( x, t ) − 格林函数, 即G(x, t ξ ,τ ); f ( x, t ) − 点源
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问题的引入：
3、为何引入格林函数法
5 .2 → ⎧ ⎪Δu = − h(M ) → ⎨ ⎪ ⎩u σ = f ( M )
u ( M ) = ∫∫∫ G ( M , M 0 )h( M 0 )dτ 0
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三、高维δ 函数
1、定义：
⎧ ⎧0 , M ≠ M 0 ⎪δ ( M − M 0 ) = ⎨ ⎩∞ M = M 0 ⎪ (1) ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ ∫ ∫ δ ( M − M 0 )dv = 1 ⎩ −∞
§10.1 δ 函数
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 )δ ( z − z 0 ) 为三维函数 ; dv = dxdydz
问题的引入：
2、格林函数: 点源函数,点源产生的场和影响
若外力 f ( x , t ) 只在 ξ 点 , τ 时起作用
⎧ ⎧0, x ≠ ξ , t ≠ τ 2 ⎪utt = a u xx + f ( x, t ) , f ( x, t ) = ⎨ ⎩ f (ξ ,τ ), x = ξ , t = τ ⎪ ⎪ 则 ⎨u x =0 = 0, u x =l = 0 ⎪ ⎪u t =0 = 0, ut t =0 = 0 ↑ ⎪ ⎩
2、格林函数法的思想、方法、步骤 3、狄氏积分公式的应用 4、如何用电象法求狄氏格林函数
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第十章 格林函数法
§10.1 δ 函数
The Delta Function
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一、δ函数的引入
1、物理背景
§10.1 δ 函数
（1）金属线 总质量m = 1, 集中在x = 0 处
−∞
( 2 ) ( x − x 0 )δ ′ ( x − x 0 ) = − δ ( x − x 0 ) ( 3 ) ∫ f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
−∞
n
∞
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 3、δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
−∞
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∫
f ( x )δ
(n)
( x − x 0 )dx = ( − 1) f
n
(n)
( x0 )
§10.1 δ 函数
本节作业
习题 10.1： 1 (1)（3）；4； 6（1）（4）；7；
Good-by!
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三、高维δ 函数 2、性质：
(1) ∫
∞ −∞
§10.1 δ 函数
∫ ∫ f ( M )δ ( M − M
0
)dxdydz
= f ( x0 , y 0 , z 0 ) = f (M 0 )
∞
( 2) ∫
−∞
∫ f ( M )δ ( M − M
0
)δxdy
= f (M 0 ) = f ( x0 , y 0 )
⎧ ⎧0 x ≠ x0 ⎪δ ( x − x0 ) = ⎨ ⎩∞ x = x0 ⎪ 一般 : ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ δ ( x − x0 )dx = 1 ⎩− ∞
∞
−∞
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x ) [ ∫ f ( x)δ ( x)dx = f (0)]
0 0 −∞
∞
∞
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一、δ函数的引入
3、注意：
§10.1 δ 函数
(1) δ − 密度函数和点源函数
若在x = x0点放有m质量,总质量m 则 ρ ( x) = mδ ( x − x0 ) 同样若在x = x0 放有电量为q的点电荷，总电量为q， 则 ρ ( x) = qδ ( x − x0 )
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四、例题
1 1.sin xδ ( x)dx = ?
2
§10.1 δ 函数
0 0
sin(−1)
⎧utt = a2uxx ⎪ u |x=0 = 0, u |x=l = 0 ⎪ ⎪ ⎨u |t =0 = 0 ⎪ ⎪ut |t =0 = I0 δ (x − x0 ) ⎪ ρ ⎩