流体力学 量纲分析
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流体力学-量纲化分析详解
1.1 量纲分析的提出现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。
例如飞机与船舶的流体动力特性、河流的水动力学特性等等。
如何解决这些问题？途径有：（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与设备。
不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成之前能预见它的性能。
（b）数值模拟。
随着计算机的发展，有很多实际问题可以通过数值模拟去了解它的结果，这是一个发展的趋向。
例如这是一个用数值模拟方法得到的半圆柱绕流的过程。
但由于实际问题的复杂性，很多问题目前尚无法去使用数学模拟。
另外，由于数值误差的存在，或计算方法的缺陷，或方法存在问题等等，有时也使得数值模拟的结果的可靠性受到质疑。
（c）使用小尺度模型试验的方法，只需耗费较少的人力、物力、财力，就可以获得所需的数据。
例如在风洞里进行飞机的试验，在水池里进行船舶的试验等等。
但在进行模型试验时，必须解决两个问题：（1）如何保证模型试验的物理模型能代替原型？（2）怎样将模型试验的结果转换到实际情况中去？为回答上述二个问题，就分别需要根据量纲分析方法及相似理论去寻找“相似律”来解决。
1.2 π定理π定理是量纲分析的基础。
每一个物理量都是用度量这个物理量的单位和该物理量比数的乘积来表示。
例如：某物体的长度是5m，那么米是该长度单位，5为比数。
同样若以cm为单位，则为5m=500cm，即比数变为500，它们都是用来度量长度物理量的量，其区别只是所用的单位比例大小不同而已。
而这种量的性质是同类的。
对此我们就说它们具有相同的量纲。
用一个文字代表它，这里长度量纲我们用“L”表示。
物理量不同，其量纲也不同。
由于任何一个物理现象都可以用满足一定规律的物理量去描述，因此物理量的量纲之间也应遵守一定的物理定律。
工程流体力学教学课件PPT量纲分析与相似原理
•流速：dim v＝LT－1 •密度：dim ρ＝ML－3 •力： dim F＝MLT－2
对于任何物理量〔如以A表示〕，其量纲可表示为
diA m L TM
2.根本物理量：具有独立性，但不具唯一性
在工程流体力学中，假设不考虑温度变化，通常 取3个相互独立的物理量作为根本量。
根本量与导出量适当组合可以构成无量纲量。
初始条件和边界条件的相似是保证流动相似 的必要条件。
说明：
•几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§4-4 流动相似准那 么
流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。这 个物理方程即相似准那么。
一、弗劳德准那么:重力相似
而这些变量中含有m个根本物理量，那么可组合这
些变量成为〔n - m〕个无量纲π数的函数关系，
即
(1 ,2 ,..n m .) ,0
§4-3 流动相似的根本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
•长度比尺：
l
lp lm
•面积比尺： A
Ap Am
l2
•体积比尺：V
Vp Vm
者对应的弗劳德数Frv/ gl 必须相等。
二、雷诺准那么：黏性力相似
要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，那么根据动力相 似要求有：
FT FI
式中，黏性力比尺：
FT
(A
du dy
)
p
(A
du dy
)m
lv
l v
惯性力比尺:
FI
(Va) p (Va)m
l 3a
l 2v2
对于任何物理量〔如以A表示〕，其量纲可表示为
diA m L TM
2.根本物理量：具有独立性，但不具唯一性
在工程流体力学中，假设不考虑温度变化，通常 取3个相互独立的物理量作为根本量。
根本量与导出量适当组合可以构成无量纲量。
初始条件和边界条件的相似是保证流动相似 的必要条件。
说明：
•几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§4-4 流动相似准那 么
流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。这 个物理方程即相似准那么。
一、弗劳德准那么:重力相似
而这些变量中含有m个根本物理量，那么可组合这
些变量成为〔n - m〕个无量纲π数的函数关系，
即
(1 ,2 ,..n m .) ,0
§4-3 流动相似的根本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
•长度比尺：
l
lp lm
•面积比尺： A
Ap Am
l2
•体积比尺：V
Vp Vm
者对应的弗劳德数Frv/ gl 必须相等。
二、雷诺准那么：黏性力相似
要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，那么根据动力相 似要求有：
FT FI
式中，黏性力比尺：
FT
(A
du dy
)
p
(A
du dy
)m
lv
l v
惯性力比尺:
FI
(Va) p (Va)m
l 3a
l 2v2
流体力学第五章相似原理和量纲分析
vl vl
vl vl
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
Re vl vl
雷诺数，惯性力 与黏性力之比
黏性力作用相似： Re Re
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
或者：
p Eu
v 2
Eu p
v 2
欧拉数，是总压力与 惯性力的比值
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理
量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可 由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理 量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本 量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本 量的原则。
k kl3kg
v
v
gl1 2 gl1 2
kv kl kg
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr
v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： Fr Fr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力分布必须相似
kF
F F
dvx dvx
/ dyA / dyA
k kvkl
F ma V dv dt F ma Vdv dt
F
F
l2v2 l 2v2
kF 1
k
k2 l
k2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： Ne Ne
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kF
流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
流体力学第5章 相似性原理和量纲分析
几何相似只有一个长度比例尺，几何相似是力学 相似的前提
二、运动相似
❖ 流场中所有对应点上对应时刻的流速方向相同大小成比例。
v3' 3
v1'
v2'
1
2
3
v3''
v1 v1
v2 v2
v3 v3
v v
kv
v1''
1
2
kv——速度比例尺
v2''
A
A
o
系统1：v
l t
o
系统2：v l t
时间比例尺 加速度比例尺
1/ p
7.5k,kpkv2'
0.001207, kv 4416(Pa)
22.5, 有
F F ' F ' 1.261104(N)
kF
k
k
2
l
k
2
v
M M ' 2030(N m)
k
k
3k
l
2
v
第五节 量纲分析法
❖一、量纲分析的概念和原理 ❖ 量纲是指物理量的性质和类别。例如长度和质量， 它们分别用 [ L ] ， [ M ]表达。 ❖而单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量的 大小，如同为长度量纲的米，厘米等单位。
如何进行模型实验： (1) 几何相似（模型和实物、攻角、位置等）； (2) 确定相似准则数； (3) 确定模型尺度和速度； (4) 实验数据整理(无因次形式)； (5) 试验值与实际值之间的换算。
完全相似：两个流动的全部相似准则数对应相等。不可能实现。 部分相似：满足部分相似准则数相等。
近似的模型试验：在设计模型和组织模型试验时，在 与流动过程有关的定性准则中考虑那些对流动过程起 主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
流体力学 第四章 量纲分析
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1 长度比尺λl 流速比尺λv λl λl-1
雷诺准则 λυ≠1 λl λυλl-1
弗劳德准则 λl λl1/2
加速度比尺λa
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
F 1 , 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l , d , , v 0
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
vp vm
up um
v λv——速度比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
时间比例尺 加速度比尺
v 2 a v t l
qV p qVm
流量比例尺 q 运动粘度比例尺 角速度比例尺
3 3 l 2l v lm tm t
Re
vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v 2
2 vm g p l p g m lm
v2 p
无量纲数
v2 Fr gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
流体力学4-1.2量纲分析
由定理，选v、d、ρ为基本量，组成各π项
D 1 a1 b1 c1 d
2
d
a2 b2 c2
12
按π项无量纲，决定各基本量指数
阻力
1 1
[ D] [ ] [d ] [ ]
a1 b1
c1
1 3 c1
M LT
2
LT
1
1 a1
L M L
力[F ]= MLT-2 应力[p]= M L-1T-2 动力粘滞系数[μ]=ML-1T-1
4
二、无量纲量
2、产生途径
[q] M L T
1、定义 当量纲公式中各量纲指数α=β=γ=0时，
则［q］= 1，此时q为无量纲数，即为纯数 由两个具有相同量纲的物理量相比得到 线应变ε=⊿l/l 相对粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i 几个有量纲量乘除组合得到 1 2/gh ，弗劳德数 Fr =v d ( LT ) L 雷诺数
16
进行量纲分析，则有 a1 = 0 ， a2 = 1 ， a3 = 0 ， a4 = 2 ， b1= 0， b2= 1， b3 = 1， b4 = - 1， c1 = 0 c2 = 1 c3 = 0 c4 = 0
1 h f / L
ks gd F ( , Re, , 2 ) 0 L d
基本量纲：具有独立性，不能由其他量纲推导出来 导出量纲：可由基本量纲导出的量纲 力学的基本量纲体系[M- L-T]: 取质量M，长度L、时间T。 七种量纲构成所有物理量 （对应国际单位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ） [ F ]= MLT -2 3 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3
4、量纲公式:
1 b1
D 1 a1 b1 c1 d
2
d
a2 b2 c2
12
按π项无量纲，决定各基本量指数
阻力
1 1
[ D] [ ] [d ] [ ]
a1 b1
c1
1 3 c1
M LT
2
LT
1
1 a1
L M L
力[F ]= MLT-2 应力[p]= M L-1T-2 动力粘滞系数[μ]=ML-1T-1
4
二、无量纲量
2、产生途径
[q] M L T
1、定义 当量纲公式中各量纲指数α=β=γ=0时，
则［q］= 1，此时q为无量纲数，即为纯数 由两个具有相同量纲的物理量相比得到 线应变ε=⊿l/l 相对粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i 几个有量纲量乘除组合得到 1 2/gh ，弗劳德数 Fr =v d ( LT ) L 雷诺数
16
进行量纲分析，则有 a1 = 0 ， a2 = 1 ， a3 = 0 ， a4 = 2 ， b1= 0， b2= 1， b3 = 1， b4 = - 1， c1 = 0 c2 = 1 c3 = 0 c4 = 0
1 h f / L
ks gd F ( , Re, , 2 ) 0 L d
基本量纲：具有独立性，不能由其他量纲推导出来 导出量纲：可由基本量纲导出的量纲 力学的基本量纲体系[M- L-T]: 取质量M，长度L、时间T。 七种量纲构成所有物理量 （对应国际单位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ） [ F ]= MLT -2 3 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3
4、量纲公式:
1 b1
土木工程-流体力学-完整版- 相似原理与量纲分析
2.1 相似原理原型/模型流动相似：几何、运动、动力相似相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则2.2 模型实验模型律的选择及模型设计2.3 量纲分析基本量纲、导出量纲、无量纲量量纲分析法：Π 定理（Theorum ）、瑞利法（Rayleigh ）2.4 2.4 基本方程的无量纲化基本方程的无量纲化第 2 章 相似原理和量纲分析（ Similarity and Dimensional Analysis)2.2 模型实验2.2.1 模型律的选择为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。
事实上，很难达到独立准则同时满足。
一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。
通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。
因此，主要作用力则是黏滞力或重力。
若主要作用力是黏滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。
例如有压管流。
若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。
例如明渠流。
【例2】求水泵输出功率的表达式。
【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。
（1）找出与水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量γ=ρg、流量Q、扬程H，于是有f（N, γ , Q, H）= 0（2）指数积关系式N= Kγa Q b H c（3）量纲式dim N = dim(γa Q b H c)（4）用基本量纲表示各物理量量纲ML2T-3 = (ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c （5）根据量纲和谐原理求量纲指数M： 1 = aL： 2 = -2a+3b+cT：-3 = -2a-b解方程得，a = 1，b = 1，c = 1。
（6）整理方程得N = KγQHK 为由实验确定的常数。
问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立3 个方程求解量纲指数。
因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。
流体力学-第5章
F ( x1 , x2 ,...xn ) = 0
而这些变量中含有m个基本量纲， 而这些变量中含有 个基本量纲，则这个物理过 个基本量纲 程可以由n个物理量组成的 个物理量组成的n-m个无量纲量（相似 个无量纲量（ 程可以由 个物理量组成的 个无量纲量 的函数关系来描述, 准则数πi）的函数关系来描述 即:
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。 和管径 有关，试用瑞利量纲分析法建立 的公式结构。 有关 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 式中k为无量纲常数。 式中 为无量纲常数。 为无量纲常数 将各物理量的量纲
dim vc = LT −1 , dim ρ = ML−3 dim µ = ML−1T −1 , dim d = L
F′ F = 2 2 ρ ′l ′2v′2 ρl v
——牛顿数 牛顿数
二、各单项力相似准则
1.基本量纲和导出量纲 1.基本量纲和导出量纲 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 导出量纲： 导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲 基本量纲具有独立性、唯一性， 基本量纲具有独立性、唯一性，如： 具有独立性 质量（ ）、长度 长度（ ）、时间 时间（ ）、温度 温度（ 质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（Θ）
解上述三元一次方程组得： 解上述三元一次方程组得： α1 = −1, β1 = −2, γ 1 = −2 其中 同理： 同理：
π1 =
FD ρv 2 d 2
µ 1 π2 = = ρvd Re
并就F 解出， 代入 ϕ (π 1 , π 2 ) = 0 ，并就 D解出，可得
FD = f (Re) ρv 2 d 2 = C D ρv 2 d 2
流体力学九量纲分析
ML1T 2 LT 1 a1 L b1 ML3 c1
比较两 边系数
建筑工程本科自考流体力学
M 1 c1 L 1 a1 b1 3c1 T 2 a1
12
9.2 量纲分析法
得a1=2，b1=0，c1=1
同理
2
vd
3
l d
e.整理方程式
1
p
v2
4
k d
f
1, 2, 3, 4
f
第九章 量纲分析和相似原理
9.1 量纲和谐原理
量纲的概念
物理量q
属性 dim q 量度单位
用来描述长度的物理量中，长度就是其物理属性，度量单 位就是cm、m、km等。
物理量的属性称为量纲，不同的物理量往往有不同的量
纲：
基本物理量纲有：质量的量纲记为M，长度的量纲记为L， 时间的量纲记为T，温度量纲Θ
不具量纲的量称为无量纲，也就是纯数。
建筑工程本科自考流体力学
2
9.1 量纲和谐原理
在所有量纲中，我们把其中的一些看成是基本量，其他的
是导出量。
基本量的量纲称为基本量纲，其他量的量纲可以由基本量
纲导出。
例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为
L2
，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。
量纲我们用dim来表示，例如dimq代表物理量q的量纲
又如：
速度 dimv = LT-1
加速度 dima = LT-2
力 dimF = MLT 建筑工程本-科2自考流体力学
3
9.1 量纲和谐原理
上面所提到的物理量都能用三个基本量纲来表示，即：
导出量纲 dim q M LT
上式称为量纲公式，物理量q的性质由量纲指数α、β、γ决定。
比较两 边系数
建筑工程本科自考流体力学
M 1 c1 L 1 a1 b1 3c1 T 2 a1
12
9.2 量纲分析法
得a1=2，b1=0，c1=1
同理
2
vd
3
l d
e.整理方程式
1
p
v2
4
k d
f
1, 2, 3, 4
f
第九章 量纲分析和相似原理
9.1 量纲和谐原理
量纲的概念
物理量q
属性 dim q 量度单位
用来描述长度的物理量中，长度就是其物理属性，度量单 位就是cm、m、km等。
物理量的属性称为量纲，不同的物理量往往有不同的量
纲：
基本物理量纲有：质量的量纲记为M，长度的量纲记为L， 时间的量纲记为T，温度量纲Θ
不具量纲的量称为无量纲，也就是纯数。
建筑工程本科自考流体力学
2
9.1 量纲和谐原理
在所有量纲中，我们把其中的一些看成是基本量，其他的
是导出量。
基本量的量纲称为基本量纲，其他量的量纲可以由基本量
纲导出。
例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为
L2
，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。
量纲我们用dim来表示，例如dimq代表物理量q的量纲
又如：
速度 dimv = LT-1
加速度 dima = LT-2
力 dimF = MLT 建筑工程本-科2自考流体力学
3
9.1 量纲和谐原理
上面所提到的物理量都能用三个基本量纲来表示，即：
导出量纲 dim q M LT
上式称为量纲公式，物理量q的性质由量纲指数α、β、γ决定。
流体力学第六章相似原理与量纲分析
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,, xn ) 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1,2,,nm ，定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F(1, 2,, nm ) 0
例 初速为零的自由落体运动位移 s
量纲和谐原理的重要性：
a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 经验公式的 正确性和完整性。
b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c.可用来建立物理方程式的结构形式。
1. 定理
• 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互
相独立的，选这量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。
该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指
数方程式即得各物理量之间的关系式。
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知
数n小于等于4~5个.
第二节 相似的基本概念
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）
的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑
应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小
各具有同一比值。 速度比尺： （6-4） 加速度比尺： （6-5）
3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力
方向相同，其大小比值相等。 力的比尺：
（6-6）
4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用 的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方 来相互比较。
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1,2,,nm ，定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F(1, 2,, nm ) 0
例 初速为零的自由落体运动位移 s
量纲和谐原理的重要性：
a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 经验公式的 正确性和完整性。
b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c.可用来建立物理方程式的结构形式。
1. 定理
• 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互
相独立的，选这量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。
该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指
数方程式即得各物理量之间的关系式。
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知
数n小于等于4~5个.
第二节 相似的基本概念
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）
的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑
应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小
各具有同一比值。 速度比尺： （6-4） 加速度比尺： （6-5）
3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力
方向相同，其大小比值相等。 力的比尺：
（6-6）
4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用 的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方 来相互比较。
工程流体力学 第7章 量纲分析与相似理论
相似的矩形上去。即为：
l h
l h
l*
类似地，对流场也可引入相似准则。在流场几何相似中，
以弦翼长c或c’为特征尺度，即为：
r c
r c
r*, s c
s c
s*
在流场运动相似中，若取来流速度U为特征速度，可得：
v U
v U
v
§7-4 常用的相似准则数
一、Re数（雷诺数）
Re数为纪念英国工程师雷诺而命名，定义为：
二、F而命名，定义为：
三、Eu数（欧拉数）
Fr V gl
Eu数为纪念瑞士数学家欧拉而命名，定义为：
Eu
四、Sr数（斯特劳哈尔数）
p
V
2
Sr数为纪念捷克物理学家斯特劳哈尔（V.Strouhal）而命名
，定义为：
Sr l V
§7-4 常用的相似准则数
工程流体力学 第七章 量纲分析与相似理论
§7-1 量纲分析简介
一、概念
量纲分析是确定相似准则的一种主要方法。它通过揭示物 理量量纲之间存在的内在联系，对物理现象作定性或半定量分 析。量纲分析法不仅用于指导模型实验，而且为理论分析提供 重要信息，是研究新现象、开发新领域中行之有效的分析手段 ，广泛应用于包括流体力学在内的许多学科领域中。
1、几何相似，即所有对应尺度成比例 2、时间相似，即所有对应的时间间隔成比例 3、运动相似，即所有对应点上的速度（加速度）方向一 致，大小成比例 4、动力相似，即所有对应点上的对应力方向一致，大小 成比例。
§7-3 流动相似与相似准则
二、相似准则
相似的矩形具有共同的性质，例如对角线与边的夹角均为
α=arctanhl，只要分析其中一个矩形的性质，就可推广到其他
5工程流体力学 第五章相似原理与量纲分析
MLt 2 ML3 x1 Lt 1 y1 L z1
对于M: 1 x1
对于L:
1 3 x1 z1 y1
对于t:
2 y1
4
F v2 D2
x1 1 y1 2 z1 2
§5-2 量纲分析法（续17）
同理： g 5 x2 v y2 Dz2
Lt 2 ML3 x2 Lt 1 y2 L z2
例如：
主要作用力
粘性力、压力、 重力、压力、
惯性力
惯性力
压力、粘 性力
弹性力、粘性力、 压力
§5-1 相似原理（续8）
1.雷诺准则（Re数) 作用力是粘性力时：
取管道直径
FI v2 L2 v L v L Re F v L
两种流动的雷诺数相等，则说明所受的粘 性力相似。
就解决了问题。
§5-2 量纲分析法（续14）
例：研究完全淹没在流体中的螺旋桨的推力F和浆
径D，推进速度v，转速n ,重力加速度g,流体密度，
运动粘性系数 有关，求推力 F 的表达式。
解：（1）写出每一个参数的量纲：
F
ML t2
DL
v
L t
n
1 t
g
L t2
M L3
§5-2 量纲分析法（续19）
F
v 2 D2
f
gD v2
,
vD
, nD v
余下的问题就是求 f ( ) 函数关系，用实验的
方法找出 f ( ) 函数关系。将实验数据与 gD ,
,
nD
v2 组合起来，用试验数据回归成数学表
vD v
达式。
§5-2 量纲分析法（续20）
例：用 定理求紊流时管内的流动损失 h f。
对于M: 1 x1
对于L:
1 3 x1 z1 y1
对于t:
2 y1
4
F v2 D2
x1 1 y1 2 z1 2
§5-2 量纲分析法（续17）
同理： g 5 x2 v y2 Dz2
Lt 2 ML3 x2 Lt 1 y2 L z2
例如：
主要作用力
粘性力、压力、 重力、压力、
惯性力
惯性力
压力、粘 性力
弹性力、粘性力、 压力
§5-1 相似原理（续8）
1.雷诺准则（Re数) 作用力是粘性力时：
取管道直径
FI v2 L2 v L v L Re F v L
两种流动的雷诺数相等，则说明所受的粘 性力相似。
就解决了问题。
§5-2 量纲分析法（续14）
例：研究完全淹没在流体中的螺旋桨的推力F和浆
径D，推进速度v，转速n ,重力加速度g,流体密度，
运动粘性系数 有关，求推力 F 的表达式。
解：（1）写出每一个参数的量纲：
F
ML t2
DL
v
L t
n
1 t
g
L t2
M L3
§5-2 量纲分析法（续19）
F
v 2 D2
f
gD v2
,
vD
, nD v
余下的问题就是求 f ( ) 函数关系，用实验的
方法找出 f ( ) 函数关系。将实验数据与 gD ,
,
nD
v2 组合起来，用试验数据回归成数学表
vD v
达式。
§5-2 量纲分析法（续20）
例：用 定理求紊流时管内的流动损失 h f。
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在阻力平方区，流动阻力与Re无关。因此，模型流动和原型流 自模区 动处在自动模化区时，无需满足相似准则，就可保证两个流动相
似。
a
14
江苏大学
Jiangsu University
例题：一潜艇水上航速为6.7m/s，水下航速为5.2m/s。为了确定它在水 面航行的兴波阻力和在水下航行时的粘性阻力，分别在水池和风洞中进行 船模试验。设船模的几何尺寸为实船的1/65，试分别计算船模在水池、风 洞中的速度。
m p
gm gp
kv kl12
Rem Rep 时：
vmlm vplp
m
p
vm lp v p lm
m p
kv
1 kl
kl 1
即模型与原型相同，不能放大或者缩小，失去了模型试验的意义。
a
12
2. 假定模型和原型流动是采用不是同一种流体 m p
Frm Frp时：
v
2 m
v
2 p
gmlm g plp
Fr
m
Fr
p
Eu m Eu p
Re
m
Re
p
伯努利方程
Frm Frp Re m Re p
a
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*即使满足两个相似准数仍存在困难
1. 假定模和原型流动是采用同一种流体
Frm Frp时：
v
2 m
v
2 p
gmlm g plp
v
2 m
lm
v
2 p
lp
Pm Pp
mlm2vm2 plp2v2p
PpApl2
pmlm2
p
pl
2 p
mlm2 vm2
pl
v2 2
pp
pm pp
mvm2
p
v
2 p
Eu p v2
Eum Eup 代表压力与惯性力比，称为欧拉数。
a
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9
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4．初始条件和边界条件相似
二、相似准则
长度比例尺、速度比例尺，力的比例尺等应遵循一定的约束关系，把这种 表达流动相似的约束关系称为相似准则。
几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是决定两流动相 似的主导因素，运动相似是几何相似和动力相似的表现。
因此，在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要看动力相似。
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第四章 相似理论与量纲分析
三峡库区重庆河段泥沙模型试验
模型化处理
南京国际商城（240m）风洞模型试 a验
江苏大学
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理论分析
流体力学的研究 数值计算 实验研究
原型实验 模型实验
在模型上进行试验，得到所需要的实验数据，再换算到实物上去。这样 自然就产生了实物和模型之间的相似问题以及数据换算问题。
3．粘性力相似准则
牛顿数中的F用压力T代替： Tm Tp
mlm2vm2 plp2v2p
T dvAvl
dy
mvmlm pvplp mlm2vm2 plp2v2p
m p mvmlm pvplp
vmlm vplp
m
p
(RmeRep)
Re v l 代表惯性力与粘性力之比，称为雷诺数。
a
10
江苏大学
v
2 m
lm
v
2 p
lp
Rem Rep 时： vmlm v pl p
m
p
vm m lp vp p lm
m (lm )3 2 p lp
k kl3 2
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kl 110
k 0.032
模型流体的运动粘度仅为实物流动的3.2%，将很难办到。
a
13
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三、近似模型试验
水利工程、明渠无压流动、波浪对船体的作用，水流对码头和桥墩的作用 ，以及喷口射流等流动中，重力是处于主要地位的力，粘性力作用不显著
Frm Frp
Rem Rep
在有压的粘性管道流动以及其它有压的内部流动（流体机械、液压机械内 的流动等），低速飞行的飞机，低速潜艇的行驶（表面不产生压力波）， 对流动起主导作用的是粘性力，所以一般只考虑雷诺准则。
4
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2. 运动相似 在满足几何相似的两个流动中，流场中对应时刻对应点的速度方向相同， 而且大小成同一比例。即两个流动（模型和原型）的速度场相似。
kv
vm vp
kt
tm tp
lm lp
vm vp
kl kv
ka
amvm ap vp
tmkv tp kt
kv2 kl
kF kkl2kv2
Fm
m
l
2 m
vm2
Fp
p
l
2 p
v
2 p
Fm Fp
mlm2vm2 plp2v2p
Ne F
l2v2
Nem Nep
两个动力相似的流动中，不管对于那一类的外
力，牛顿数必然保持相等。
a
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1．重力相似准则
牛顿数中的F用重力G代替： Gm Gp
mlm2vm2 plp2v2p
Gm gV gl3g
mlm3 gm
pl
3 p
g
p
mlm2vm2 plp2v2p
lm gm lp g p
v
2 m
v
2 p
v
2 m
v
2 p
gmlm g plp
Frm Frp Fr v 2 代表了惯性力与重力之比,称为弗劳德数。
gl
a
8
2．压力相似准则
牛顿数中的F用压力P代替：
Jiangsu University
4. 其他相似准则
斯特劳哈尔相似准则：
l St v t
马赫相似准则： Ma v
c
韦伯相似准则： We lv2
为了使模型实验结果能与原型流动相比较，并能利用模型实验的数据转 换到原型流动中，必须要保证模型流动与原型流动力学相似，即要求对应 的相似准则相等。
相似理论
a
2
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第一节 相似理论
表征流体流动的物理量具有各种不同的性质，主要有三种：表示流场几何 形状的，表征运动状态的以及表征流体受力状况的物理量。这三种物理量 的相似对应着就是我们相似理论中的几何相似、运动相似、和动力相似， 统称为力学相似。
几何相似
力学相似
a
5
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3. 动力相似 动力相似是指模型流动与原型流动受同种外力作用而且对应点上力的方向 相同，大小成同一比例。
k
m p
kmm mm p
mVm pVp
kkl3
kFF F am pm m m pa am pkm kakkl3k kv l2kkl2k 6v 2
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运动相似 动力相似
初始条件与边界条件
一、力学相似
a
3
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1. 几何相似
几何相似是指模型流动与原型（实物）流动有相似的边界形状，一切对应 的线性尺寸成同一比例，对应角相等。
kl
lm lp
kA
Am Ap
lm2 lp2
kl2
a
kV
Vm Vp
lm3
l
3 p
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例题：一潜艇水上航速为6.7m/s，水下航速为5.2m/s。为了确定它在水 面航行的兴波阻力和在水下航行时的粘性阻力，分别在水池和风洞中进行 船模试验。设船模的几何尺寸为实船的1/65，试分别计算船模在水池、风 洞中的速度。
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Rem Rep 时：
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即模型与原型相同，不能放大或者缩小，失去了模型试验的意义。
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2. 假定模型和原型流动是采用不是同一种流体 m p
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*即使满足两个相似准数仍存在困难
1. 假定模和原型流动是采用同一种流体
Frm Frp时：
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4．初始条件和边界条件相似
二、相似准则
长度比例尺、速度比例尺，力的比例尺等应遵循一定的约束关系，把这种 表达流动相似的约束关系称为相似准则。
几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是决定两流动相 似的主导因素，运动相似是几何相似和动力相似的表现。
因此，在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要看动力相似。
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第四章 相似理论与量纲分析
三峡库区重庆河段泥沙模型试验
模型化处理
南京国际商城（240m）风洞模型试 a验
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理论分析
流体力学的研究 数值计算 实验研究
原型实验 模型实验
在模型上进行试验，得到所需要的实验数据，再换算到实物上去。这样 自然就产生了实物和模型之间的相似问题以及数据换算问题。
3．粘性力相似准则
牛顿数中的F用压力T代替： Tm Tp
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kl 110
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模型流体的运动粘度仅为实物流动的3.2%，将很难办到。
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三、近似模型试验
水利工程、明渠无压流动、波浪对船体的作用，水流对码头和桥墩的作用 ，以及喷口射流等流动中，重力是处于主要地位的力，粘性力作用不显著
Frm Frp
Rem Rep
在有压的粘性管道流动以及其它有压的内部流动（流体机械、液压机械内 的流动等），低速飞行的飞机，低速潜艇的行驶（表面不产生压力波）， 对流动起主导作用的是粘性力，所以一般只考虑雷诺准则。
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2. 运动相似 在满足几何相似的两个流动中，流场中对应时刻对应点的速度方向相同， 而且大小成同一比例。即两个流动（模型和原型）的速度场相似。
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两个动力相似的流动中，不管对于那一类的外
力，牛顿数必然保持相等。
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1．重力相似准则
牛顿数中的F用重力G代替： Gm Gp
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3 p
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gmlm g plp
Frm Frp Fr v 2 代表了惯性力与重力之比,称为弗劳德数。
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2．压力相似准则
牛顿数中的F用压力P代替：
Jiangsu University
4. 其他相似准则
斯特劳哈尔相似准则：
l St v t
马赫相似准则： Ma v
c
韦伯相似准则： We lv2
为了使模型实验结果能与原型流动相比较，并能利用模型实验的数据转 换到原型流动中，必须要保证模型流动与原型流动力学相似，即要求对应 的相似准则相等。
相似理论
a
2
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第一节 相似理论
表征流体流动的物理量具有各种不同的性质，主要有三种：表示流场几何 形状的，表征运动状态的以及表征流体受力状况的物理量。这三种物理量 的相似对应着就是我们相似理论中的几何相似、运动相似、和动力相似， 统称为力学相似。
几何相似
力学相似
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3. 动力相似 动力相似是指模型流动与原型流动受同种外力作用而且对应点上力的方向 相同，大小成同一比例。
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运动相似 动力相似
初始条件与边界条件
一、力学相似
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1. 几何相似
几何相似是指模型流动与原型（实物）流动有相似的边界形状，一切对应 的线性尺寸成同一比例，对应角相等。
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