4群论及量子化学

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第四章 群论和量子力学

第四章  群论和量子力学

第一节 波函数作为不可约表示的基
另外,我们可以看出px和py轨道成对构成了E 表示的基。应该注意,在C3v群的特征标表中坐 标x和y被指明按照E表示变换。因而,函数 sinθcosφ和sinθsinφ按照与x和y同样的方式变换, 根据这一理由,具有本征函数sinθcosφ的p轨道 称为px,具有本征函数sinθsinφ的称为py。此外, 也说明了x和y坐标也表明了px和py轨道的变换性 质。
r31 r32 r33
j1
附录 二
两个矩阵的直积:
两个矩阵的直积和两个矩阵的乘积是不一样 的。如一个(2×2)的方阵与一个(3×3)的方阵其矩 阵的乘积是没有意义的,但其直积却是个(6×6) 的方阵。
附录 二
a11b11 a11b12 a11b13 a12b11 a12b12 a12b13
a11 a21
Hˆ ψi1 Eiψi1 Hˆ ψi2 Eiψi2
Hˆ ψik Eiψik
以操作R作用于波动方程,得:
HˆRˆψil Ei Rˆψil l 1,2,,k
第一节 波函数作为不可约表示的基
但此处Rψil一般可以是ψij的任意线性组合,
即:
k
Rˆ ψil rjlψij j1
对于另一个操作S,类似地有:
jl
j1 l1
第二节 直积
因而若想知道一个表示的特征标(R),这个表 示是其他两个特征标为χ1(R)和χ2(R)的表示的 直积,则对于群的每个操作R,特征标由下式给 出:
χR χ1Rχ2R
下面以C4v群为例来说明:
C4v

A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
E
2
A1A2

第七章 群论基础 - ===欢迎访问结构化学精品课程网站===

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⎡− 1 ⎢ 2 ⎢ ' ˆ C3 = ⎢ 3 ⎢ 2 ⎢ 0 ⎢ ⎣ − 3 −1 0 2 0⎤ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ ⎦
⎡ −1 ⎢ 2 ⎢ 2 ˆ C3 = ⎢ − 3 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 3 2 2 0⎤ ⎥ ⎥ ˆ (240) 0⎥ = C 3 ⎥ 1⎥ ⎥ ⎦
ˆ φ = 1200 C 3,
n
y ' = x sin φ + y cos φ
(x, y)
φ
α
z' = z
⎡ x' ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡cos φ ⎢ '⎥ ˆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y ⎥ = C (φ ) ⎢ y ⎥ = ⎢ sin φ ⎢ z' ⎥ ⎢ ⎣z⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎣ ⎦ − sin φ cos φ 0 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y⎥ 0⎥ ⎥⎢ ⎥ 1⎥ ⎦⎢ ⎣z⎥ ⎦
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
Ĉ3
Ĉ
Ĉ3
3
3
Ĉ
3=
Ĉ
3
2
Ĉ3

Ĉ3
旋转轴次 n =

α
; α 为基转角 (规定为逆时针旋转)
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第七章 群论基础
量子化学与群论
7.2.2 分子点群
分子中或多或少地存在一些对称元素, 这些对称元 素对应的对称操作的组合满足群的定义, 构成群, 称为对 称操作群. 因为分子中的对称元素至少通过一点公共点, 故称为点群. 对称操作构成群的命题可以用通过乘法表示验证:
量子化学与群论
对称操作的表示矩阵为:
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎣ a31
a12 a22 a32
a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ a33 ⎥ ⎦

《量子化学》PPT课件

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从正四面体的每两条相对的棱中点有一条S4穿过, 6 条棱对应着3条S4. 每个S4可作出S41 、S42 、S43 三个
Z 对称操作,共有9个对称操作. 但每条S4必然也是C2, S42与C2对称操作等价,所以将3个S42划归C2,
穿过正四面体每条棱 并将四面体分为两半 的是一个σd , 共有6个 σd 。
16
C3h 群
R
R
C3垂直于荧光屏,
σh
在荧光屏上 ppt课件
R
17
Cnv群:
除有一条n次旋转轴Cn外,还有与之相包含的n个镜面σv .
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H2O中的C2和两个σ18v
C2v群:臭氧
C2v 群:菲
C2与两个σv 的取向参见H2O分子
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19
C3v :NF3
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C3v :CHCl3
D2h 群 :N2O4
D2h群:乙烯
主轴垂直于荧光屏. σh在荧光屏上.
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24
D3h 群 : 乙烷重叠型
D4h群:XeF4
D6h群:苯
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Dh群: I3-
25
Dnd: 在Dn基础上, 增加了n个包含主轴且平分二次副轴
夹角的镜面σd.
D2d : 丙二烯
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26
D2d : B2Cl4
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47
α
物质旋光性产生机理: 偏振光与旋光性物质相互作 用时,左、右圆偏振光传播 相速度变得不同:设右旋圆 偏 振 光 速 度 vd 大 于 左 旋 圆 偏 振光速度vl,则到达介质深度 l的某点时其位相φd 超前于φl ,合成的平面偏振光向右转 过一个角度α .
左、右旋圆偏振光速度不同导致旋光

《化学中的群论》课件

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02
子群
一个群G的子集H也是群(称为“子 群”),如果H关于H上的群运算也 是群。
03
同态
如果存在一个映射f,使得对于G中的 任意两个元素a和b,都有 f(a*b)=f(a)*f(b),则称f为同态映射, G和它的同态像之间存在一一对应关 系。
02
分子对称性与群论
对称操作与对称元素
对称操作
旋转、反演、镜面反射等。
可以使得电子云更好地重叠,反键轨道则会使得电子云分离,而非键轨
道则对分子稳定性没有明显影响。
03
分子轨道的填充规则
根据泡利不相容原理和洪特规则,电子优先填充能量较低的轨道,并且
优先占据空轨道。
群论在分子轨道理论中的应用
群论的基本概念
群论是研究对称性问题的数学工具,它可以用来描述分子中的电子云分布和分子整体的对 称性。
群论在分子轨道理论中的应用
群论可以用来描述分子轨道的对称性和分类,以及分析分子中的电子云分布和分子整体的 对称性。这有助于理解分子的性质和反应机理。
群论在化学反应中的应用
群论还可以用来描述化学反应中的对称性变化,以及预测反应产物的结构和性质。这有助 于设计新的化学反应和合成路线。
化学键的稳定性与群论
化学反应的预测与群论
01Biblioteka 0203化学反应的预测是计算 化学中的重要任务之一 ,通过理论计算可以预 测可能的反应途径和产
物。
群论在化学反应预测中 的应用主要体现在对反 应中间体的对称性和反
应路径的分析上。
通过群论的方法,可以 更好地理解反应机理, 预测可能的反应产物, 并为实验研究提供理论
支持。
晶体结构可以通过X射线晶体 学、中子散射和电子显微镜等 技术进行测定。

量子化学群论基础PPT培训课件

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分子的振动与群论
总结词
群论在分子的振动分析中也有重要应用,通过群论可以描述分子的振动模式和频率,进而研究分子的 热力学和反应动力学性质。
详细描述
分子的振动是指分子内部运动模式的总称,包括伸缩振动、弯曲振动、摇摆振动等。群论可以描述分 子的振动模式和频率,将分子振动分类,进而研究分子的热力学和反应动力学性质。此外,群论还可 以用于研究分子的振动光谱和红外光谱等实验现象。
到表示的不可约性。
无限群的表示
03
无限群的表示可以通过函数来表示,通过傅里叶变换可以得到
函数的展开式和表示的不可约性。
03
量子化学中的群论应用
分子对称性与群论
总结词
分子对称性是群论在量子化学中应用的重要领域之一,通过群论可以描述分子的对称性质和对称操作,进而研究 分子的结构和性质。
详细描述
分子对称性是指分子在空间中的对称性质,包括对称面、对称轴、对称中心等。群论是研究对称性的数学工具, 通过群论可以描述分子的对称操作和对称元素,将分子对称性分类,进而研究分子的电子结构和化学键等性质。
分子光谱的解析
分子光谱的解析是群论在量子化学中应用的一个重要方面,通 过群论可以确定分子光谱的能级和光谱项,从而解析出分子的
结构和性质。
群表示理论
群表示的定义
01
群表示是将群元素与线性空间中的向量对应起来的一种方法,
通过群的表示可以研究群的性质和结构。
有限群的表示
02
有限群的表示可以通过矩阵来表示,通过计算矩阵的迹可以得
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目录
• 量子化学简介 • 群论基础 • 量子化学中的群论应用 • 分子光谱与群论 • 量子化学中的群论计算方法 • 总结与展望

群论四大定理的探讨

群论四大定理的探讨

本科毕业论文题目群论四大定理的探讨专业数学与应用数学作者姓名庄静学号**********单位聊城大学数学科学学院指导教师李令强2014 年 05 月教务处编原创性声明本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师指导下,独立进行研究取得的成果。

除文中已经引用的内容外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。

对本文的研究作出重要贡献的个人和集体,均在文中以明确的方式表明。

本人承担本声明的相应责任。

学位论文作者签名:日期:指导教师签名:日期:目录1.引言 (1)2.群同态与同构基本定理 (2)2.1 群同态与同构 (2)2.2 群同态基本定理 (6)2.3 群同构基本定理 (7)2.4 群同态与同构的意义 (10)3.有限群理论重要定理 (11)3.1 Sylow定理 (11)3.2 有限交换群的基本定理 (16)4.定理的应用 (22)4.1 群同态与同构定理的应用 (22)4.2 Sylow定理和有限交换群基本定理的应用 (23)5.小结 (27)6.参考文献 (28)7.致谢 (29)摘要在了解有关群论的基本定义的基础上把握群论的四大定理:群同态基本定理;群同构基本定理;Sylow定理;有限交换群基本定理,理解并掌握定理的深刻含义.群同态基本定理与群同构基本定理主要探讨的是有关群的结构、数量、联系的问题,在这两个定理的研究中,是从已知的群出发,来研究与之相关联的群,一步一步慢慢引申,更进一步来研究各类群之间的联系,把成千上万的,看起来杂乱无章的群进行归类,再研究每一类群的内在结构.有限群又是群论中非常值得研究的一类群,先通过介绍Sylow引理,循序渐进的探讨了Sylow三大定理的逻辑证明过程.紧接着又进一步探讨了另一种特殊的而又重要的群——有限交换群,探究这一类群是为了对群进行分解,分解成我们所熟知的一些群类,便于研究与应用.在最后论述这四大定理的一些应用,从而说明其重要性.关键词:群;群同态基本定理;群同构基本定理;Sylow定理;有限交换群基本定理.AbstractOn the basis of the understanding about the basic definition of group theory to grasp the four theorems of group theory: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group, understand the profound meaning and master theorem. Group of homomorphism fundamental theorem and the basic theorem mainly discussed about the group structure, the number and contact problem.To solve this problem is to rely on basic theorem group homomorphism and isomorphism theorems, in the study of these two theorems, starting from the known group, to the research of the group, step by step slowly extended, further to study the connection between the various groups, tens of thousands of, seem to be the group are classified, then study the internal structure each group. A finite group is a very worthy of study groups in group theory. This paper first introduce Sylow lemma theorem of Sylow, step by step on three theorems of the logic process of proof. Followed by a further discussion group important another special and -- finite abelian groups, study of this group is to decompose into the group, we know some class of groups, for research and application. In the last of the four theorems are discussed some applications ,to show its importance.Key words: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group.1.引言群论有着悠久的历史,现在已发展成一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支,在近世代数和整个数学中占有重要地位.对于映射的同态与同构已有所了解,而近世代数很少考察一般的映射,近世代数的研究对象是代数系统.其中群是最简单的代数系统,因为它在一个集合中只定义了一种代数运算.群的同构与同态在研究中有着它的重要作用,随着现代数学的高度抽象化和广泛应用,群的同构和同态的研究也越来越受到人们的重视.所以本文将对群论中的同态与同构进行一定的深入研究,了解其中的含义及内在意义.群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段.同构映射是群之间保持运算的映射,存在同构映射的两个群可以看成同一个群,因为它们有相同的群结构.代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类.而同态映射只要求保持运算,显然它比同构映射更灵活,它能研究两个不同构的群之间的联系.特别重要的是几个同态定理,如同态基本定理告诉我们,两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构.在处理一些同构问题时,我们也常常反过用这个定理,也就是说先构造出满同态.保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系,那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的代数系统去研究它们.有一种特殊的群——有限群,是值得我们深入研究的,这就要求我们必须认真把握与其有关的两大定理.2.群同态与同构基本定理2.1 群同态与同构定义:如果G 与F 是两个群,如果有一个G 到F 的映射Φ保持运算,即 )()()(b a ab ΦΦ=Φ ),(G b a ∈∀则称Φ为群G 与群F 的一个同态映射.当Φ又是满射时,则称群G 与F 同态,并表示为G ∽F .当Φ是一个双射时,称Φ为群G 到群F 的一个同构映射.如果群G 到群F 存在同构映射,就称群G 与群F 同构,记为G ≌F .群G 到自身的同态映射与同构映射,分别称为群G 的自同态映射和自同构映射,简称为群G 的自同态和自同构.注意:⑴ 同态具有方向性,即G 与F 同态,不一定G 与F 同态;⑵ 显然只含有恒元的群与任何群同态[]1.(映射规则取为乘群元素的逆一般不考虑这种同态)同态是一种等价关系①.它虽是满映射,但并不是一一映射,即F 的一个元素可对应着G 的多个元素.性质1 设G 是一个群,G 是一个有代数运算(也称为乘法)的集合.如果G 满同态于G ,则G 也是一个群.证明 因为G ∽G ,G 是群,其乘法满足结合律,所以G 的乘法也满足结合①等价关系的定义:集合M 的一个关系R 满足以下条件: ⑴. 对M 中任意元素a 都有aRa ; (反身性)⑵. 如果,aRb 必有bRa ; (对称性)⑶. 如果bRc aRb ,,必有aRc . (传递性)律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设Φ是G 到G 的满同态,且在Φ之下 ,,a a e e →→于是 a e ea →.但是,a ea =故a a e =.即e 是G 的单位元.又设 11--→a a则 a a a a 11--→但是,1e a a =-故e a a =-1.即1-a 是a 的单位元. 因此G 也是一个群.应注意性质1,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G ∽G ,则当G 为群时,G 不一定是群.而且性质1的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群,可找一个已知群,并通过同态来实现.性质2 设Φ是群G 到群F 的一个同态映射(不一定是满射).则群G 的单位元的像是群F 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元.即11--=a a 或 ()()11--Φ=Φa a 例1 令{=G 全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又{}1,1-=G 关于数的普通乘法作成群,令 :Φ正奇数1→,负奇数1-→.则易知Φ是G 到G 的一个同态满射,故G ∽G .G 是群,但G 却不是群.例2 证明:{}3,2,1,0=G 对代数运算r b a = (r 为b a +用4除所得余数)作成一个群.证明 令Z 是整数加群,则易知':x x →Φ )(Z x ∈∀是Z 到G 得一个同态满射,其中'x 为x 整数用4除所得余数.由于Z 是群,故由性质1知,G 也是群. 这样在证明G 是一个群时,可以减少一些麻烦的验算过程.性质3 设Φ是群G 到G 的一个同态映射(不一定是满射),则⑴ 当H ≤G ①时,有()G H ≤Φ,且H ∽()H Φ;⑵ 当G H ≤时,有()G H ≤Φ-1,,且在Φ之下诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.证明 ⑴ 任取()H b a Φ∈,,且在Φ之下令 b b a a →→,,其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且 b a ab →. 从而()H b a Φ∈,即()H Φ对G 的乘法封闭,且H ∽()H Φ但H 是子集,从而()H Φ也是群且是G 的子群.⑵ 当G H ≤时,由于()H 1-Φ显然非空,任取()H b a 1,-Φ∈,且在Φ之下令 b b a a →→,.则11--→b a ab ,①符号“G H ≤”表示群H 是群G 的子群,即H 是G 的非空子集,如果H 本身对G 的乘法也做成一个群,则称H 为群G 的子群.其中H b a ∈,,而G H ≤,故H b a ∈-1,从而()H ab 11--Φ∈. 即()G H ≤Φ-1,且显然Φ诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.性质4 群G 到群G 的同态映射Φ是单射[]2的充要条件是,群G 的单位元e 的逆像只有e .证明 必要性显然,下证充分性.设Φ是群G 到群G 的任一同态映射,且在Φ之下e 的逆像只有e ,又设在Φ之下 b b a a →→,,当b a ≠时,必有b a ≠:因若b a =,则由于 e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,Φ是单射.性质5 设N 是群G 的任一正规子群①,则G ∽N G ,即任何群都与其商群②同态.证明 在群G 与商群N G 之间建立以下映射:)(:G a aN a ∈∀→τ, 这显然是G 到N G 的一个满射.① 正规子群的定义:设N 是群G 的一个子群,若果对G 中每个元素a 都有 Na aN =,即N aNa=-1,则称N 是群G 的一个正规子群(或不变子群). ② 商群的定义:将正规子群H 及其全部陪集作为元素,以陪集乘法定义为群乘法而形成的新群称之G 相对正规子群H 的商群,通常记为H G /.商群的单位元素为H ,各个陪集是商群的其它元素.又任取G b a ∈,,则有))(()(bN aN N ab ab =→,即τ是G 到N G 的同态满射,故G ∽N G .今后称群G 到商群N G 的这个同态满射τ为G 到商群N G 的自然同态.2.2 群同态基本定理群同态基本定理: 设Φ是群G 到群G 的一个同态满射,则Φ=Ker N 是G 的正规子群,且 G N G ≅/.证明 首先,由于G 的单位元是G 的一个正规子群,由此可知,其所有逆象的集合,即ΦΦ=Ker N 的核也是G 的一个正规子群.其次,设 a a →Φ: ),(G a G a ∈∈ 则在G 与N G /间建立以下映射: )(:a a aN Φ=→σ⑴ 设bN aN =,则N b a ∈-1.于是 b a e b a b a ===--,11即N G /中的每个陪集在σ之下在G 中只有一个象,因此,σ确N G /为到G 的一个映射;⑵ 任取G a ∈,则因Φ是满射,故有G a ∈使a a =Φ)(.从而在σ之下元素a 在N G /中有逆象aN ,即σ为到G 的一个满射; ⑶ 又若bN aN ≠,则N b a ∉-1,从而b a e b a ≠≠-,1,即σ为N G /到G 的一个单射.因此,σ是N G /到G 的一个双射.又由于有 b a ab abN bN aN =→=))((故σ为同构映射,从而G N G ≅/.应注意,本定理中的Φ是一个同态满射.如果Φ只是一个同态映射(不一定是满射),虽然也有ΦKer 是群G 的正规子群,但最后结论应改为 ΦKer G ≌()Φ=ΦIm G .由上一节的性质5和群同态基本定理知:G G −→−Φ,)(a a a Φ=→;又G N G G −→−−→−στ,)(a a aN a Φ=→→,其中Φ=Ker N .因此,στ=Φ.上一节的性质5表明,任何群都同它的商群同态[]3;本节群同态基本定理表明,如果一个群G 同另一个群G 同态,则这个群G 在同构意义下是G 的一个商群.因此,在同构意义下,两个的意思是:每个群能而且只能同它的商群同态.这是群论中最重要的结论之一,在很多场合下,都要经常用到这个事实. 另外,由群同态基本定理的证明知,若G ∽G ,且同态核①是N ,则G 中每个元素的全体逆象恰好是关于N 的一个陪集.G 中元素与陪集的这种对应不仅是一个双射,而且是一个同构映射.2.3 群同构基本定理这部分我们将介绍三个定理,这三个定理在群论的研究中都很重要,它们的证明有多种方法,其中有的与群同态基本定理有直接的关系.① 设Φ是群G 到群F的一个同态映射,G 的单位元在Φ之下所有逆像作成的集合,叫作Φ的核,记为ΦKer .定理 1(第一同构定理[]4) 设Φ是群G 到群'G 的一个同态满射,又N Ker ⊆Φ是G 的正规子群,)(N N Φ=,则N G /≅N G /证明 令τ:N G G →()N a a Φ→ (G a ∈∀)⑴ τ是映射:设b a =(G b a ∈,),因为Φ是同态映射,故()()b a Φ=Φ从而()()N b N a Φ=Φ,即τ是G 到N G 的映射.⑵ τ是满射:任取N G N a ∈(G a ∈),则因Φ是满同态,故有G a ∈使()a a =Φ从而在τ之下N a 有逆像a ,即τ是满射.⑶ τ保持运算:在τ之下有()()()()()N b N a N b a N ab ab b a Φ⋅Φ=ΦΦ=Φ→=⋅,故τ为G 到N G 的同态满射.又因为τKer ={G a ∈|()}N a =τ={G a ∈|()}N N a =Φ ={G a ∈|()}N a ∈Φ={G a ∈|()}N a 1-Φ∈={G a ∈|()}N ΦΦ-1={G a ∈|}N a ∈=N故由群同态基本定理知 N G ≌N G .以上的同构当然也可以写成 N G ≌()()N G ΦΦ但应注意,定理1中的Φ必须是满同态而且N 必须是G 的包含核Φker 的正规子群. 另外,此定理的证明也可以是找一个τ是商群N G 到N G 的一个同构映射,依次证明τ是映射,是单射,满射且保持运算.定理2(第二同构定理) 设G 是群,又G H ≤,N 是G 的正规子群,则N H 是H 的正规子群,并且)/(/N H H N HN ≅证明 因为G H ≤,N 是G 的正规子群,故G HN ≤,且N 是HN 的正规子群,又易知xN x →Φ: )(H x ∈∀是子群H 到商群N HN /的同态满射,且核为N H ,故由群同态基本定理知: N H 是H 的正规子群且 N H H ≌N HN从而结论成立.定理3(第三同构定理[]5) 设G 是群,又N 是G 的正规子群,N G H /≤.则 ⑴ 存在G 的惟一子群H ⊇N ,且N H H /=;⑵ 又当H 是N G /的正规子群时,有惟一的H 是G 的正规子群使 NH H /=且 N H N G H G ///≅ 证明 ⑴ 设在自然同态G :σ∽N G / 之下H 的逆象为H ,则G H H N ≤=⊆-)(1σ,且因σ是满同态,故可知 []H H H ==-)()(1σσσ但又知,N H H /)(=σ故 N H H /=由同态基本定理的定理,由于G 中含N 的不同子群其象也不同,故可知这样的H 也是惟一的.⑵ 当H 是N G /的正规子群时,由2.3.1中的定理2可知,G 有惟一正规子群N H ⊇使N H H /=,又由于在自然同态G ∽N G /之下有N H ⊇,且H 的象是N H /,故由第一同构定理知, N H H G H G ///≅此定理表明,商群N G /的子群仍为商群,且呈N H /形,其中H 是G 的含N 的子群;又H 是G 的正规子群当且仅当N H /是N G /的正规子群.通过群同构三大定理的证明过程我们看出,群同态基本定理是群同构三大定理的基础,通过群同态基本定理只要找准同态核就能很容易的找出一对具有同构关系的群.2.4 群同态与同构的意义由群同态基本定理知,在同构的意义下,任何群都能而且只能与其商群同态.所以要特别强调一下群同构的意义[]6.设}{ ,,,c b a M =是一个有代数运算 的群,而M {} ,,,c b a =是另一个有代数运算 的群.如果M ≌M ,且在这个同构之下,c c b b a a →→→,,…则根据同构的定义,c b a = 当且仅当c b a = .这就是说,除去元素本身的性质和代数运算名称与所用的符号不同之外,从运算的性质看,M 与M 并没有任何实质性的差别.更具体的说,就是由M 仅根据代数运算所推演出来的一切性质和结论.都可以自动地全部转移到与M 同构的一切代数系统上去.因此,在近世代数中常把同构的代数系统等同起来,甚至有时候不加区分.这正表现出这门学科所研究的问题的实质所在.3.有限群理论重要定理有限群是代数学的一个重要分支,它在群的理论中占有非常重要的地位.有限群之所以重要,不仅因为这种理论对数学本身特别是群产生重要影响,而且在实际应用中,例如在理论物理、量子力学、量子化学以及结晶学等方面都有广泛应用,所以本节将集中介绍有限群理论中两个最基本最重要的内容,即Sylow 定理和有限交换群①基本定理.3.1 Sylow 定理为了证明Sylow 定理,下面先介绍重陪集概念及其简单性质.定义1 设K H ,为群G (不一定有限)的两个子集,又令G x ∈,则称G 的子集{hxk HxK =|}K k H h ∈∈,为群G 关于子群K H ,的重陪集.简称HxH 为关于子群H 的一个重陪集.引理1 对群G 的任二重陪集Hxk 与HyK ,若≠HyK HxK φ,则必有HyK HxK =.证明 由于≠HyK HxK φ,故有元素∈a HyK HxK .令()K k H h yk h xk h a i i ∈∈==,2211则HyK k yk h h x ∈=--112211.从而对任意K k H h ∈∈,,有HyK k k k y h hh hxk ∈=--)()(112211①如果对群G 中任意二元素b a ,均有a b b a =,即群的代数运算满足交换律,则称G 为交换群.而且群G 中只含有有限个元素,则称群G 为有限交换群.因此,HyK HxK ⊆.同理有HxK HyK ⊆.故HyK HxK =.下面的引理回答了包含在重陪集HxK 内的H 右陪集有多少个. 引理2 在群G 的重陪集HxK 中,含子群H 的右陪集的个数等于(H :K Hx x 1- );含子群K 的左陪集的个数等于(H :1-xKx H ).证明 设{Hxk S =|}K k ∈, {k Hx x K T )(1-= |}K k ∈; 并令)()(:1K k k Hx x K Hxk ∈∀→Φ-如果),(2121K k k Hxk Hxk ∈=,则Hx x k k H x k xk 11211121,----∈∈⋅,从而Hx x K k k 1121--∈ .因此 2111)()(k Hx x K k Hx x K --= ,这说明Φ是S 到T 的一个映射.类似证明,可知Φ是单射,又显然Φ是满射.因此Φ是S 到T 的一个双射.同理可证引理中的另一结论.引理3[]7 设H Hx H Hx H Hx G r 21=是有限群G 关于子群H 的重陪集分解,则对任意)(H N Ha ⊂,都有某个j Hx 使)1(r j Hx Ha j ≤≤=.证明 因为任何右陪集必含于某个重陪集之中,故不妨设 H Hx Ha j ⊆,r j ≤≤1,于是H Hx a j ∈.令),(2121H h h h x h a j ∈=,则1211--=ah h x j .据此,并根据)(H N Ha a ⊆∈与Ha aH =便可得Ha Hx j =,即j Hx Ha =.定理1( 第一Sylow 定理——存在性和包含性[]8 ) 设G 是有限群,且m p G s =,其中p 是素数,s 是正整数,p 不整除m .则对G 的每个)1,,1,0(-=s i p i 阶子群H ,总存在G 的1+i p 阶子群K ,使H 是K 的正规子群.证明 设G 关于)0(s i p i <≤阶子群H 的重陪集分解为 H Hx H Hx H Hx G r 21=, ⑴ 且H Hx j 是由j t 个H 的右陪集所组成.于是由引理2及⑴知:.,,2,1),:(1r j Hx x H H t j j j ==-⑵r t t t H G +++= 21):( ⑶ 又因为)0(s i p G i <≤=,故):():(H G p H G H m p G i s ===,从而p |):(H G ,于是分别由⑶及⑵得p |r t t t +++ 21,j t |r j p i,,2,1 = ⑷ 下证:j t =1 )(H N Hx j ⊆⇔.1) 设j t =1 .由⑵得1=):(1j j Hx x H H -,因此j j j j Hx x Hx x H H 11--⊆= . 但是j j Hx x H 1-=,故j j Hx x H 1-=,)(,H N x Hx H x j j j ⊆=.从而)(H N Hx j ⊆2)设)(H N Hx j ⊆,由于j j Hx x ∈,故H Hx x Hx H x j j j j ==-1,.从而1):(1==-j j j Hx x H H t .由引理3,正规化子集)(H N 内的右陪集均呈j Hx 形,故以上说明:在r t t t ,,21中1=j t 的个数就是)(H N 中右陪集的个数,也就是指数):)((H H N ,从而由⑷知:p |):)((H H N 或 p |H H N )(. 于是商群H H N )(有p 阶子群.又由群的第三同构定理,此p 阶子群设为H K (H 为K 的正规子群且)(H N K ≤),从而H 为K 的正规子群且1+=⋅=⋅=i i p p p H H K K .于是当0=i 时10=p 阶子群(即单位元群)总存在,从而以上论证表明s p p p ,,,2 阶子群总是存在的,且其中的i p 还是1+i p 阶子群的正规子群.特别其中的s p 阶子群就是G 的Sylow p -子群.定理2(第二Sylow 定理——共轭性[]9) 设G 是有限群,p 是素数.则G 的所有Sylow p -子群恰好是群G 的一个共轭子群类.证明 设,m p G s =p 不整除m .显然,与Sylow p -子群共轭的子群都是Sylow p -子群.下面进一步证明:G 的任意二Sylow p -子群必共轭.设K H ,是群G 的任二Sylow p -子群,从而s p K H ==.根据引理1,设G 关于K H ,的重陪集分解为K Hx K Hx K Hx G r 21=,且重陪集中H 的右陪集的个数为r i Hx x K K t i i i ,,2,1):(1 ==-. 由此得r t t t H G +++= 21):(. ⑴ 由于):(H G H G =和s p H =,故p 不整除):(H G ;又因为每个i t 都是p 的非负整数次幂,故由⑴知,至少有一个1=i t .例如不妨设11=t ,即1):(111=-Hx x K K ,从而111111Hx x Hx x K K --⊆= .但是s p Hx x K ==-111,故 111Hx x K -=,即H 与K 共轭.因此,G 的全体Sylow p -子群恰好是一个共轭子群类.例3 求出三元对称群3S 的所有Sylow p -子群.解 由于3263⋅==S ,故当素数3,2≠p 时,3S 的Sylow p -子群就是3S 的10=p 阶子群,即{})1(.3S 的Sylow2-子群(p =2)有3个,即{}{}{})23(),1(,)13(),1(,)12(),1(321===H H H .它们是3S 的一个共轭子群类.最后,3S 的Sylow3-子群(p =3)只有一个,即{})132(),123(),1(4=H .它当然是3S 的一个正规子群.定理3(第三Sylow 定理——计数定理[]10) 设G 是有限群,且m p G s =,其中p 是素数,p 不整除m .若的Sylow p -子群共有k 个,则k |G 且p |1-k ,即)(mod 1p k ≡.证明 首先,设H 是群G 的一个Sylow p -子群,则))(:(H N G k =.从而k |G .其次,根据引理1,设H Hx H Hx H Hx G r 21=是G 关于H 的重陪集分解,并设):(1i i i Hx x H H t -= ),,2,1(r i =是H Hx i 中含H 的右陪集的个数,则r t t t H G +++= 21):( ⑴ r t t t ,,,21 中共有):)((H H N 个是1,而其余的i t 都是p 的正整数次幂.于是由⑴知: p |):)(():(H H N H G - ⑵ 但是):)(():)(())(:():(H H N k H H N H N G H G =⋅=, ⑶ 故由⑵知,p 整除):)(():)((H H N H H N k -,即p |)1():)((-⋅k H H N ⑷ 又因为现在的H 是群G 的一个Sylow p -子群,故p 不整除):(H G ,从而由⑶知, p 不整除):)((H H N ,再由⑷得p |1-k ,即)(mod 1p k ≡.本节所论述的Sylow 定理是有限群中非常重要的定理,三个定理都与素数p 有关,三个定理是彼此相关的.对于任意的素数p ,首先论述G 的Sylow p -子群是否存在?接着的定理回答了,如果存在,有多少个及它们之间有什么样的关系?3.2 有限交换群的基本定理上一节利用Sylow 定理证明了有限交换群可以分解成它的Sylow 子群的直积.但Sylow 子群不一定是循环群,也不一定是不可分解群,所以本节将进一步加细这种分解,从而得到有限交换群的基本定理.为证明有限交换群的基本定理,先证明以下引理1 设a 是群G 的一个有限阶元素,且G H ≤.又设k 是使H a k ∈得最小正整数,则1) 当H a s ∈时,k |s ;2) 当e H a ≠ 时,a k <.证明 1)令k r r kq s <≤+=0,. 则由于G H ≤,故H a a a a a a q k s r r kq s ∈⋅=⋅=-)(,再由k 最小性知,0=r .因此,k |s .2)因为e H a ≠ ,故有e b H a b ≠∈, .令H a b s ∈=. 因为H e a a∈=,故由k 的最小性知,a k ≤. 如果a k =,则由1)知,a |s .于是e a b s ==,这与e b ≠矛盾.因此,a k ≤.定理1(有限交换群基本定理[]11 ) 任何阶大于1的有限交换群G 都可以唯一的分解为素幂阶循环群(从而为不可分解群)的直积:n a a a G ⨯⨯⨯= 21, 其中i a 是i a i p (i p 为素数,n i ,,2,1 =且0>i a )阶循环群.我们称每个素数幂i a i p (n i ,,2,1 =)为G 的初等因子,而称其全体{}n a n a a p p p ,,2121为群G 的初等因子组. 证明 由于阶大于1的有限交换群都可以唯一的分解为其Sylow 子群的直积,故只需假设G 是素幂阶有限交换群即可.因此,设a p G =, p 是素数, a 是正整数.1)存在性.设n a a a G ,,,21 =,且n a a a ,,,21 是G 的使n a a a +++ 21最小的一组n 元生成系.即对G 的任一n 元生成系n x x x ,,,21 均有n a a a +++ 21≤n x x x +++ 21.下证n a a a G ⨯⨯⨯= 21. ⑴ 为此,令n t t i a a a a H 111+-=, n t ,,2,1 =因此,要证⑴成立显然只需证明:n t eH a t t ,,2,1 ==. 设若不然,例如不防设r i eH a i i ,,2,1 =≠,n r t e H a j j ,,1 +==,其中1≥r .现令i k 是使),,2,1(r i H a i k i i =∈得最小正整数,且不妨设),,,m in(211r k k k k =. 则由于i a i H e a i ∈=,故由引理,i k |i a .但是,a p G =,故每个i a (从而每个i k )都是p 的方幂.于是1k |i k r i ,,2,1 =. ⑵特别地,由引理还可知:11a k < ⑶ 再由于11k a n a a a H 321=∈,故可令n r r s n s r s r s s s a a a a a a 13211321++=. ⑷ 但是∈j s j a n r j e H a j j ,,1,+==故n r j e a j s j ,,1, +==.于是由⑷知:r s r s s k a a a a 321321=. ⑸由此等式又可知i s i H a i ∈,从而再由引理,i k |i s .再由⑵知,1k |i s (r i ,,2,1 =).令r i q k s i i ,,2,1,1 == ⑹并且,令r q r q a a a b --= 2211. ⑺ 则由此可知r q r q a a b a 2211=.从而n a a b G ,,,21 =,即n a a b ,,,21 也是群G 的一组n 元生成系.然而由⑺以及⑸、 ⑹可知e a a a b r q k r q k k k ==--12111211 , 于是由⑶知,111a k b <≤.从而n a a b +++ 21<n a a a +++ 21, 这与n a a a +++ 21的最小性矛盾,所以⑴成立.2)唯一性.设r a a a G ⨯⨯⨯= 21s b b ⨯⨯⨯= 21⑻是G 的两种这样的分解,且其初等因子组分别为:{}r m m m ,,,21 , {}s n n n ,,,21 ,其中每个i m 和每个j n ()s j r i ,,2,1;,,2,1 ==都是p 的方幂.不妨假定r m m m ≥≥≥ 21,s n n n ≥≥≥ 21.若s r ≠且不妨设s r <.① 若r r n m n m == ,11,则由⑻知,G 的阶按第一种分解为=r m m m 21s n n n 21,而按第二种分解又为⋅r n n n 21s r n n 1+,这显然是不可能的.② 若1111,--==t t n m n m ,但t t n m >.则令{}G x x H t n ∈=,并由此容易知道G H ≤,且由⑻有t t t t n s n n r n b b a a H ⨯⨯=⨯⨯= 11. 因为i i m a =,故()r i m n m a i t i n i t ,,2,1,, ==. 但因i m 与j n 都是p 的方幂,故),2,1(t i m n i t =.从而H 的阶按第一种分解为正整数),(,,),(,,,,,11121r t r t t t t t t t t t m n m m n m n m n m n m n m ++-, 之积.同理,H 的阶按第二种分解又为正整数1,,1,,,,121 tt t t n n n n n n - 之积.显然也是不可能的.因此,由①与②可知:s r =且i i n m =(r i ,,2,1 =),从而i a ≌i .亦即G 的两种分解的初等因子组相同.应注意,如果有限交换群G 的初等因子组为{}n k n k k p p p ,,2121,则其中的素数n p p p ,,,21 不一定是互异的,甚至也可以是完全相同的.另外,在G 的两种这样的分解中,如果i i b a =,则只能肯定i a ≌i b ,但不一定有 i a =i b .由定理1知,一个有限交换群完全由其初等因子组所决定.定理2 两个阶大于1的有限交换群同构的充要条件是,二者有相同的初等因子组.由前面的讨论可知,循环群是完全研究清楚了的一个群类.现在由定理1与定理2可知,有限交换群也是完全研究清楚的另一个重要群类.这两类群在群论的整个研究中占重要的地位并起着基本的作用.另外,由本节的讨论我们可知,有限交换群的初等因子的概念和理论,完全类似于高等代数中 -矩阵的初等因子的概念和理论.所以可以进行类比的理解学习.4.定理的应用4.1 群同态与同构定理的应用研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题:存在问题、数量问题以及结构问题.如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的.研究群时,需要明白共有多少个不同的群,每个群的结构如何,结构相同的群如何对待等.对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系,通过同构群的意义我们知道,彼此同构的群具有完全相同的性质.这样通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同.在群论中,主要研究本质上不同的群之间的关系,所以同构是群论中非常重要的手段.这无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的基本方法.群同态与同构在群论中最重要的应用就是便于分类[]12,这样可以把千千万万的群归纳为几类,因此只要研究透彻每一类的具有代表性的群后就可以知晓群论中群的特点,便于在各个领域的灵活运用.为了深入研究代数系统的结构,须将同类型的代数系加以比较,以得到这种体系更为本质的性质,使得将这种类型的代数系统分类成为可能,分类的目的就是减少研究对象,即通过对少数特殊代数系的研究,把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中.同构与同态就是实现这种分类的主要途径,也是代数学的最基本的研究工具.对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.例4 设两个群{}+,Z 和{},Z ,其中:{};,3,2,1,0,1,2,3, ---=Z{}{},10,10,10,10,10,10,10,103210123---=∈=Z n Z n作,:Z Z →ϕn n 10→,(Z n ∈∀)显然,ϕ是双射,且:()()()n m m n n m n m ϕϕϕ⋅=⋅==++101010于是知:Z Z ≅{},Z +与{},Z 这两个群没有实质性的差异,其中一个是另一个以不同符号和名称实现出来的结果.例5(循环群的结构定理]13[)设a G =是由生成元a 生成的循环群,则⑴ 当a =∞时,G ={} ,,,,,,212a a e a a a --=为无限循环群,且与整数加群Z 同构.⑵ 当a =n 时,G =a ={}12,,,,-n a a a e 为n 阶循环群,且与n 次单位根群n U 同构.由于群间的同构关系具有反身性,对称性和传递性,故此定理说明,凡无限循环群都彼此同构,凡有限同阶循环群都彼此同构,而不同的群,由于不能建立双射,当然不能同构.这样,抽象地看,即在同构意义下,循环群只有两种,即整数加群Z 和n 次单位根群n U .所以循环群的存在问题,数量问题,构造问题已彻底解决.4.2 Sylow 定理和有限交换群基本定理的应用作为Sylow 定理的一个应用,我将证明下述定理:定理1 设G 是有限群,pq G =,其中q p ,是互异的素数,且p 不整除1-q ,q 不整除1-p ,则G 是一个循环群①.证明 由第三Sylow 定理,G 的Sylow p -子群的个数k 整除pq G =,且 ① 循环群的定义:如果群G 可以由一个元素a 生成,即,则称G 为由a 生成的一个循环群,并称a 为的G 一个生成元。

量子化学是以量子力学为理论基础

量子化学是以量子力学为理论基础

量子化学是以量子力学为理论基础量子化学综述一量子化学简介量子化学是以量子力学为理论基础,以计算机为主要计算工具来研究物质的微观结构与宏观性质的关系科学,用以解释物质和化学反应所具有的特性的内在本质及其规律性。

1926年,薛定谔成功地解决了量子态ψ( r , t)是如何随时间演化及各种情况下求出波函数的问题,提出了著名的薛定谔方程。

1927年,化学家Heitler和London等人成功地利用量子力学理论解释了H分子的形2成,开辟了用量子力学方法研究分子中电子行为的广阔领域,标志着量子化学的开始。

随着量子化学基础理论和计算方法的发展,不但使其成为解释化学现象微观本质的强有力工具,而且,使通过量子化学计算来预测化合物性能成为可能。

量子化学是理论化学的一个分支学科,是将量子力学的原理和方法应用到化学问题研究中而产生的一门学科,经过化学家们的努力,量子化学理论和计算方法在近几十年来取得了很大的发展,在定性和定量地阐明许多分子、原子和电子尺度级问题上已经受到足够的重视。

目前,量子化学已被广泛应用于化学的各个分支以及生物、医药、材料、环境、能源、军事等领域,取得了丰富的理论成果,并对实际工作起到了很好的指导作用。

量子化学可分基础研究和应用研究两大类,基础研究主要是寻求量子化学中的自身规律,应用研究是利用量子化学方法处理化学问题,用量子化学的结果解释化学现象。

二现代价键理论计算方法1 价键波函数的计算在价键方法中一个重要的性质是使用了非正交轨道,所有的N!项都对矩阵元有贡献,至今为止仍然没有高效的算法来计算Hamiltonian和重叠矩阵元,这就是价键理论中著名的"N!"困难。

计算Hamiltonian矩阵元和重叠矩阵元有两种方法:一种是经典的行列式展开方法,另一种则是对不变式方法。

a .经典的行列式展开一个HLSP波函数可以表达2n个Slater行列式的线性组合:n为共价键的个数,D(Ωk)为D(Ωk)的Slater行列式,P i是第i个共价键中交换该键的两个成键电子的算符。

4 群论与量子化学

4 群论与量子化学
Rˆ Ψi 1Ψi 因此,将群中的每一个操作应用于此非简并的本征函数 Ψi,
就生成群的一个表示,其中每个矩阵 Di(R) 都等于 +/-1。因为表示 是一维的,显然是不可约的。
如果能级 Ei 是 n 重简并的,即有 n 个波函数 Ψ j 具有相同的本
征值。根据
Rˆ Hˆ Ψi Hˆ Rˆ Ψi Hˆ (Rˆ Ψi ) Ei(Rˆ Ψi )
则 Rˆ Ψi 只能是这 n 个简并本征函数的一个线性组合:
n
Rˆ Ψi Ψ j Dji (R) j
对于群中另一个对称操作 Sˆ ,同样有:
n
Sˆ Ψk Ψl Dlk (S) l
Rˆ Sˆ 也是群中的一个对称操作
n
n
Rˆ Sˆ Ψk Ψ j Djk (RS) Rˆ Ψl Dlk (S)
若第 n 个不可约表示的维数是 nn,那么将有 nn 个正交归一的
基函数{1(n
)
,
2(n
)
,
,
(n nn
)
}
用来描述第 n 个函数空间。根据定义,它
们必须满足下式:
Rˆ i(n )
k(n
D ) (n ki
)
(
R)
k
现在,用 Dl(jm)(R) 乘上式,并对所有对称操作 R 求和:
Dl(jm)(R)* Rˆ i(n ) nn
群论应用于化学问题时,我们常常想知道,在表示的直积中, 是否包含恒等表示。根据约化公式
ai
1 g
R
(n m)(R) i (R)
因为恒等表示的特征标全为 1,全对称表示能出现的次数 a1 为
a1
1 g
R
(n m)(R) 1 (R)
1 (n m)(R) gR

群论与化学

群论与化学
六、特征标表和构造
第八章 群的表示与量子力学
一、Schrödinger方程 二、群的直积表示 三、零积分
4
授课内容(续)
第九章 Hückel分子轨道理论 一、简单回忆Hü ckel分子轨道理论 二、Hü ckel分子轨道理论对苯分子的处理 第十章 分子振动 一、引言 二、正则坐标 三、振动方程 四、普通表示和正则表示 五、正则坐标分类
12
3.历史梗概:
Evariste Galois (1811-32)引入群的概念; Baron Augustin Louis Cauchy (1789-1857): 首创置换群理论; Arthur Cayley (1821-95): 定义了广义抽象群,发展了矩阵理论; Ferdinad Georg Frobeninus (1849-1917): 群表示理论(及微分方程); Herman Weyl (1885-1955)和Eugene Paul Wigner (1902-1995):发展了群论和量子 力学之间的关系; Wigner最大贡献是将群论应用于原子和原子核问题,1963年与J. H. D Jenson和M. G. Mayer或诺贝尔物理奖。
几组等同原子?可能的一元取代物几种?
对称性测定分子结构中的作用: 晶体结构、红外光谱、紫外光谱、偶极矩和旋光性都与分子对称性有关。“几乎 所有光谱学的定律均得自所研究问题的对称性” -----Wigner
11
考虑对称性在化学中的作用基本上就是考虑对称性在量子力学中的作用,群论在
对称性和量子力学间建立了联系。 群论与量子化学是现代理论化学两大支柱。
群论与化学
1
授课内容
第一章 对称性、操作和算符
一、对称性 二、 对称操作 三、算符和对称操作算符

群论在信号处理中的应用

群论在信号处理中的应用

群论在信号处理中的应用1 引言1.1 群论的历史与背景群论是法国传奇式人物埃瓦里斯特•伽罗瓦(Evariste Galois,1811~1832)的发明。

伽罗瓦是一位天才的数学家,但刚过 20 岁就不幸死于一场愚蠢的决斗。

伽罗瓦在决斗的前一夜,还在匆匆完成他的伟大数学创造。

他创建了群论,并用群论证明了代数方程能用根式求解的条件,证明了一般的五次和五次以上代数方程不能通过有限次加、减、乘、除和开方来精确求解。

群在抽象代数中具有基本的重要地位:许多代数结构,包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。

群的概念在数学的许多分支都有出现,而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。

群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中,因为许多不同的物理结构,如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。

于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。

1.2 群的定义以及基本性质首先来简要说明一下群的定义[2]:设G是一个非空集合,*是它的一个代数运算,如果满足以下条件:Ⅰ.结合律成立,即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c);Ⅱ.G中有元素e,它对G中每个元素a都有 e*a=a,叫做G的左单位元;G中有元素e,它对G中每个元素a都有 a*e=a,叫做G的右单位元;如果e既是左单位元又是右单位元,则e叫做G的单位元。

Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1),叫做a的左逆元,使 a^(-1)*a=e;则称G对代数运算*做成一个群。

一般说来,群指的是对于某一种运算*,满足以下四个条件的集合G:(1)封闭性:若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;(2)结合律成立:任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);(3)单位元存在:存在e∈G,对任意a∈G,满足a*e=e*a=a,称e为单位元,也称幺元;(4)逆元存在:任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e(单位元),则称a与b互为逆元素,简称逆元,记作a^(-1)=b.通常称G上的二元运算*为“乘法”,称a*b为a与b的积,并简写为ab。

物理化学、无机化学、有机化学专业硕(博)士研究生课程教学大纲课程

物理化学、无机化学、有机化学专业硕(博)士研究生课程教学大纲课程

物理化学、无机化学、有机化学专业硕(博)士研究生课程教学大纲课程名称:量子化学课程编号:0703042X01学分:4总学时数:60开课学期:第1学期考核方式:笔试课程说明:(课程性质、地位及要求的描述)。

《量子化学》是运用量子力学基本原理和方法,研究、分析和解决分子、原子层次的结构、能量及其变化规律的一门基础学科,是现代理论化学计算机模拟、分子设计和定量构效分析的重要基础。

掌握量子化学基本原理和方法是现代化学研究的需要,是21世纪材料、生物、药物等各学科交叉发展的需要。

近20年来,量子化学发展非常迅速,突出表现在三个方面:一是量子化学的发展,已经渗透到化学的各门分支学科,如无机、有机、分析和物理化学等,使量子化学理论与化学各分支学科紧密结合。

其二是现代化学实验技术的发展,如红外、紫外、核磁、拉曼、X-衍射、顺磁共振、光电子能谱等,为量子化学提供了丰富的实验背景。

三是计算机科学技术、量子化学理论方法及应用软件的发展使有机、无机、材料、药物、生物等大分子体系严格的量子化学计算成为可能,量子化学已从少数量子化学家的手中解放出来,成为化学家们广泛应用的重要工具。

《量子化学》是我系物理化学、无机化学专业研究生的学位课,有机化学专业研究生的选修课,每学年第1学期讲授。

通过量子力学基础、原子结构、分子轨道理论、变分法、微扰法、群论基础等内容的讲解,使学生对理论化学的基础知识有一个较为系统深入的了解和掌握,为高等量子化学、现代理论化学的计算机模拟打好基础。

教学内容、要求及学时分配:第一章绪论内容:1.1量子化学概况1.2量子力学历史背景1.3测不准原理1.4Schròdinger方程1.5复数1.6几率函数和平均值1.7行列式1.821世纪的理论化学计算机模拟要求:了解量子化学的背景知识、发展现状及其未来方向,掌握其中常用的数学知识。

学时:2第二章量子力学基本理论内容:2.1量子力学基本假设 2.2基本假设的一些重要推论要求:掌握量子力学基本假设及由此得到的一些重要推论,理解其主要的证明过程。

群论-群论与量子力学

群论-群论与量子力学
为什么表示不可约? 假如将所有的Pg作用于某个本征函数φni上,得到m个独立的函 数,则 m不能大于f,否则与能级是f度简并矛盾;
m也不能小于f,否则说明除了{g}之外还有某个变换h,使得 Phφni也是属于能级En的本征函数,而且与以上获得的m个独立 函数是线性无关的,这样h也是体系的一个对称变换,而且 h {g},这与{g}是体系的全对称群矛盾
l
∑ Pgϕi (r ) = Dji ( g )ϕ j (r) j =1
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
上式确定了l2个Dmn(g),即组成了一个方阵D(g)
这样得到的矩阵群{ D(g)}是薛定谔方程群的一个表示
只要证明矩阵乘法的同态关系即可:若Ps Pt = Pst,则 D(s)D(t) = D(st) ——易证
D
(
c2
)
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
( ) D
c2−1
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
c2
D4群的特征标:
c2'
D4
E
2 c4
c42
2 c2 2 c2'
D(1):A1
1
1
1
1
1
D(2):A2
1
1
1
-1
-1
D(3):B1
1
-1
1
1
-1
D(4):B2
1
-1
1
-1
1
D(5):E
2
0
-2
0
0
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
哈密顿算符群 定义5.1 所有保持一个系统的哈密顿算符 Ĥ(r)不变的变换 {g}组成的集合构成一个群,称为该哈密顿算符的对称群, 或薛定谔方程的对称群:

群论与化学

群论与化学
I1 S 2 i S1 I 2 s
I 2 S1 s I 3 S 6 C3 i
I 4 S4 I 5 S10 C5 i
S 2 I1 i S3 I 6 C3 s
S4 I 4 S5 I10 C5 s
应—— 环烯烃开环成多烯烃的一类反应。例如:
电环化反应的成键过程取决于反应物中开链异构物的HOMO轨道的对称性。
31
(1)含4n个π电子体系的化时,起反应的前线轨道HOMO是ψ 2, 环化时,顺旋 允许,对旋禁阻。在激发态(光照)环化时,起反应的前线轨道HOMO是ψ3 , 对旋允许,顺旋是禁阻的 其他含有π电子数为4n的共轭多烯烃体系的电环化反应的方式也基本相同
4. 对称操作的代数
多个对称操作的结合本身就是一个对称操作。PQ=R
逆运算 PQ=R, PQR-1=RR-1=E
E, Cn, s, Sn, i 的逆操作分别为E, Cn-1,s, Sn-1, i.
28
四、偶极矩和旋光性的判别
1.偶极矩 若分子中只要有两个对称元素仅仅相交于一点时,则分子就不存在偶极矩。
s,sh,sv, sd ,s2=E
C 4C 2C 43
sh
sd
19
?Question:此处sv是否sd?
20
4. 旋转反映 绕轴转2π/ n,接着被垂直于该轴的平面反映(反之亦可) 非真轴Sn
?Question:一个转动5x2p/3 (或2x2p/3)后反映是
S32 吗?
S 35 C 35s h C 32s h
六、特征标表和构造
第八章 群的表示与量子力学
一、Schrödinger方程 二、群的直积表示 三、零积分
4

量子化学理论方法

量子化学理论方法

量子化学理论方法量子化学是一种使用量子力学原理和方法研究化学问题的基础科学。

它通过求解薛定谔方程来描述和研究原子、分子和材料的电子结构和性质。

在过去的几十年里,量子化学理论方法已经取得了长足的发展,为理解化学现象提供了强有力的工具。

下面将介绍一些主要的量子化学理论方法。

1.哈特里-福克方法:哈特里-福克方法是解决薛定谔方程的一种重要方法。

它通过引入一组波函数来描述电子的状态,并使用变分原理来求解波函数的平方和,从而得到电子的能量和波函数。

哈特里-福克方法是量子化学中最常用的方法之一,它可以用于计算分子的电子结构、反应动力学和光谱等。

2.密度泛函理论(Density Functional Theory,DFT):DFT是一种计算电子结构的理论方法,它将多电子系统的能量表示为电子密度的函数。

DFT方法通过求解电子密度函数的优化问题来得到系统的最低能量状态,从而预测分子的电子结构和性质。

DFT方法广泛应用于研究分子的几何结构、化学键、反应性和电子光谱等。

3.构型相互作用(Configuratioin Interaction,CI):CI是一种计算方法,它将多电子波函数表示为单电子波函数的线性组合。

CI方法通过引入一系列激发态波函数来考虑电子的关联效应,从而得到更精确的电子结构和性质。

CI方法广泛应用于研究激发态分子的性质、化学反应中的键断裂和电子转移等过程。

4.Møller-Plesset微扰理论(MP2):MP2是一种微扰理论方法,它在哈特里-福克方程的基础上引入了二阶微扰项,以考虑电子相关效应的影响。

MP2方法可以用于计算分子的电子结构、振动光谱和反应性等,它提供了对电子相关效应的更准确描述。

5.完全活性空间自洽场(Complete Active Space Self Consistent Field,CASSCF):CASSCF是一种多组态方法,它考虑了所有可能的电子状态和激发态的贡献。

陕西师范大学物理化学专业硕士研究生 《量子化学与群论》课程作业解析答案

陕西师范大学物理化学专业硕士研究生 《量子化学与群论》课程作业解析答案
根据约化公式进行约化,得:
7-5 环己三烯为 点群,以6个 轨道为表示的基,其可约表示为:
根据约化公式进行约化,得:
第八章群论初步及其应用
8-1以4个 轨道为表示的基,利用约化公式进行约化
已知:
用投影算子构造
得到了属于 表示的 轨道 ,属于 表示的 轨道,轨道的组合系数矩阵为
转置后为
得到4个杂化轨道 ,最后组合得MnO4-分子轨道
陕西师范大学物理化学专业硕士研究生
《量子化学与群论》课程作业解析答案
第一、二章量子力学基础
1.1一维谐振子的基态波函数为:
故基态时
1.2证明:v=1时谐振子波函数为:

V=2时谐振子归一化波函数为:

由⑴,⑵式知, 时的归一化因子是正确的。
1.3
是x的偶函数,x又是奇函数
是奇函数
1.4(1)①,②,③,⑥是线性算符。
2
一维势箱中的粒子,其 ,因此矩阵元 ,重叠积分 ,可由下面这些式子求得;
将这些式子代入久期方程展开后得:
函数 , , , 的性质如表格:
函数
与x轴的交点(x,y)
极值点(x,y)
图形变化情况
0,位于x轴上方
,位于x轴上方
,位于x轴上方
内 ,位于x轴下方, 内 位于x轴上方
根据这个表格可得草图如下:
形成的可约表示为:
利用约化公式,得;
结合 的特征标表知:
和 为红外活性; 和 为拉曼活性.
(2) 是①,②,③,④的本征函数; 是③,⑥的本征函数;
是③,⑥的本征函数; 是②,③,⑥的本征函数;
是①,②,③,⑥的本征函数;
1.5
(3)用数学归纳法证明:

群论与化学

群论与化学
第一章对称性操作和算符一对称性二对称操作三算符和对称操作算符四偶极矩和旋光性的判别五对称性与化学反应第二章点群一群的定义及其性质二群的类型点群第三章矩阵和算符的本征值问题一简要复习矩阵有关知识二本征值问题授课内容第四章矩阵表示一引言二矩阵表示的两种方法三一些典型的表示矩阵第五章从函数空间导出矩阵表示一函数空间二对称操作的变换算符三用d轨道函数空间确定c3v点群的or和dr第六章等价和可约表示一等价表示二酉表示三可约表示和不可约表示授课内容续授课内容续第七章不可约表示和特征标表一广义正交定理二特征标三不可约表示在可约表示中出现的次数四不可约性判据五可约表示的约化投影算符六特征标表和构造第八章群的表示与量子力学一schrdinger方程一简单回忆hckel分子轨道理论二hckel分子轨道理论对苯分子的处理第九章hckel分子轨道理论授课内容续一引言二正则坐标三振动方程四普通表示和正则表示五正则坐标分类六振动能级分类七红外和拉曼光谱第十章分子振动第十一章杂化轨道一价键理论和定域分子轨道理论二对于不同点群的spd轨道的对称类三s键体系的杂化轨道四p键体系的杂化轨道五杂化轨道的数学形式授课内容续考核作业期终考试albertcottonchemicalapplicationsgrouptheory3rdversionwiley1990
S4
I
4
I5 S10 C5 i
S5 I10 C5 s
I6 S3 C3 s
S6
I
3
C3
i
负号代表逆操作,即沿原来的操作退回去的操作。
* 只有S4和I4是独立的
23
对称操作与对称元素
恒等E
*基本操作:旋转和反映,其它均可由二者得到
24
三、算符和对称操作算符
1. 算符:从一个函数产生另一个函数的运算符号。是从一个函数得到另一个函

量子化学

量子化学

绪 言
一、量子化学发展史
量子化学是应用量子力学基本原理研究原子、分子和晶体的电 子结构、化学键性质、分子间相互作用力、化学反应、各种光谱、 波谱和电子能谱的理论;同时也是研究无机和有机化合物、生物大 分子和各种多功能材料的结构与性质的一门学科。 1927年海特勒和伦敦用量子力学基本原理讨论氢分子结构问题,
E=8hc/5×1/[exp(hc/kT)-1]
实验
E (T , )
普朗克理论值
T=1646k
光电效应
1900年前后,许多实验已经证实:
•只有当照射光的频率超过某个最小频率(即临阈频率)时,金 属才能发射光电子,不同金属的临阈频率不同。
•随着光强的增加,发射的电子数也增加,但不影响光电子的 动能。 •增加光的频率,光电子的动能也随之增加。 以上是经典物理学所无法解释的。在 Plank 量子论的启发下, 1905年,Einstein发表了光子学说,圆满解释了光电效应。
说明了两个氢原子能够结合成一个稳定的氢分子的原因,并且利用相
当近似的计算方法,算出其结合能。由此使人们认识到可以用量子力学
原理讨论分子结构问题。他们的成功标志着量子力学与化学的交叉学科
——量子化学的诞生。
量子化学的发展历史可分两个阶段:
第一个阶段是1927年到20世纪50年代末,为创建时期。 其主要标志是三种化学键理论的建立和发展。
( 1 )光是一束电子流,光子的能量与光子的频率成正比,即: =h,光的能量是量子化的 (2)光子不但有能量,而且还有质量 m ,但光子的静止质量是 0 , 光子质量m = h/c2 = 2.2×10-37/(g) :cm;
(3)光子具有一定的动量(p),p = mc = h/c = h/

群论及其对原子光谱量子力学的应用

群论及其对原子光谱量子力学的应用

群论及其对原子光谱量子力学的应

群论是一门描述物理定律和几何结构之间关系的数学理论,可以用来识别和描述物理系统中的结构和对称性。

它不仅可以应用于量子力学,而且可以用于描述大多数物理系统的无穷近似表示。

因此,在原子光谱量子力学中,群论可以用来描述原子或分子的几何结构、结合态、能级等特征,以及它们之间相互作用的机制。

例如,可以使用群论来解释量子力学中的离子化结构、电子结构、光谱结构、频率结构等,以及它们之间的相互作用机制。

此外,群论还可以用来推导原子光谱的离子化结构、过渡态、能级结构和光谱结构等特征,并计算出其中的各种特征量,从而帮助我们更好地理解原子光谱的物理意义。

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I ψimˆ ψj d
mˆ eixˆ i eiyˆ i eizˆ i
i
i
i
Ix ψixˆ ψj d Iy ψiyˆ ψj d
Iz ψizˆ ψj d
4.3 投影算符和表示空间的约化
在上一节我们讨论了利用正交定理将一个可约表示分解为一些 不可约表示的直和,本节讨论如何把可约表示的基重新组合为各个 不可约表示的基。或者说,任给一组函数,如何把它们组合为指定 的不可约表示的基。
把 Pˆin 作用在 ψ 上,它就会消除不属于 n 函数子空间的任意函
R
m
n
m
ij i
遇到
n i
就全保留下来,遇到其它函数就消掉。
对于某一给定的点群,其表示空间的基函数的全体构成一个正 交归一的完备函数集。定义于此函数空间的一个任意函数 ψ 总能够 表示为此函数空间的基函数 {1 , 2 , , g } 的一个线性组合:
g
ψ a11 a22 agg aii i
约表示的基,其变换关系式为:
Rˆ i(n )
k(n
D ) (n ki
)
(R)
k
另一组独立的函数
{ψ1(m )
,
ψ2(m )
,
,
ψ(m nm
)
}
构成群
G

nm
维不可约表
示的基,其变换关系式为:
Rˆ ψ(jm) ψl(m) Dl(jm)(R) l
把两个方程相乘,得
Rˆ i(n )Rˆ
ψ(jm )
在 C2v 群对称操作作用下 p 轨道的变换效果如下:
Eˆ Cˆ 2 (z) sˆ XZ sˆ YZ
pz 1 1
1 1 A1
px 1 1 1 1 B1
py 1 1 1 1 B2
如果中心原子有 d 轨道,其变换性质可依同法处理。
4.2 表示的直积及其分解
前面我们讨论过直积群的表示,研究的是不同的群(直因子) 的直积所构成的群的表示问题。现在我们要讨论在同一个群内的不 同表示的直积,看其是否还是该群的一个表示,是否可约以及约化 方法。
是一维的,显然是不可约的。
如果能级 Ei 是 n 重简并的,即有 n 个波函数 Ψ j 具有相同的本
征值。根据
Rˆ Hˆ Ψi Hˆ Rˆ Ψi Hˆ (Rˆ Ψi ) Ei(Rˆ Ψi )
则 Rˆ Ψi 只能是这 n 个简并本征函数的一个线性组合:
n
Rˆ Ψi Ψ j Dji (R) j
4.1 波函数作为不可约表示的基
4.1.1 态的分类:不可约表示与能级和波函数的关系 分子的能级与分子所属点群的不可约表示之间有一一对应关系。
可以证明,如果考虑了分子的所有对称操作并且不存在偶然简 并,则属于同一能级的本征函数一定构成该分子所属点群的一组不 可约表示基。而分子所属点群的一组不可约表示基,如果是分子的 本征函数的话,则必属于同一能级。
B1 1 1 1 1 1 仍是不可约表示。
B2 1 1 1 1 1
E 2 0 2 0 0 E2 是一个可约表示: A1 A2 1 1 1 1 1
B1E 2 0 2 0 0
E2 = A1 + A2 + B1 + B2
A1EB2 2 0 2 0 0 E2 4 0 4 0 0
E E A1 A2 B1 B2
C2v 群的特征标表:
C2v Eˆ Cˆ 2 (z) sˆ XZ sˆ YZ
A1 1 1
11
z x2 ,y2 ,z2
A2 1 1 1 1 Rz
xy
B1 1 1 1 1 x , Ry
xz
B2 1 1 1 1 y , Rx
yz
中心原子的原子轨道的变换性质概括如下:
1)s 轨道在任意对称操作作用下保持不变,特征标均等于 1,得到 全对称表示,属于 A1(A1g 或 A1‘)对称性。
)
(R)
kl
Dk(nl
m ,ij
)
(R)
Dk(ni
) (R)Dl(jm ) (R)
Dk(nl
m ,ij
)
(R)
也是群
G
的一个表示,因为
Dk(nl
m ,ij
)(RS)
Dk(ni
)
(RS)Dl(jm
)(RS)
D(n ) k
(R)Da(ni
)
(S
)

Dl(m)(R)D(mj )(S)
D(n ) k
记住特征标矢量的正交性!
当且仅当不可约表示 Gn 等于不可约表示 Gm 时(或简单的表示 成 n = m ),直积表示 Gnm 中才包含全对称表示。
表示的直积在量子化学中的重要性在于它可以用来判断下述定 积分是否是一个零积分。
ψi*ψj d
从对称性的角度看,这个积分值将等于零,除非积分因子
ψi(n
在经过全部按共轭类的操作变换后,分别求出轨道所对应的特 征标,将此特征标与点群的特征标表对照,就可以查出轨道对应的 不可约表示。
变换的效果有二种可能的情况:
1)轨道在对称操作的变换下不变(位置和位相),特征标等于 1; 若位置不变但方向相反,特征标等于 -1。
此时,该轨道是分子的某个一维不可约表示的基,对应能级是 非简并的。
原子轨道的变换性质,是指原子轨道函数 s、p、d 在对称操作 作用下的变化情况。
原子轨道的径向部分在所有对称操作下不变,所以原子轨道的 变换性质只涉及其角度部分。
属于某点群的分子的中心原子的轨道 s、p、d 在对称操作下的 变换性质,用数学描述就是:
Rˆ i iD(R)
3
Rˆ i Dji( R ) j j
在公式
Dk(nl
m ,ij
)
(R)
Dk(ni
) (R)Dl(jm ) (R)
中,令 k = i,l = j,并对 i,j 求
和,得:
(n m)(R) (n )(R) (m)(R)
两个表示的直积的特征标等于这两个表示的特征标之积。
2)直积表示的分解
两个不可约表示的直积,一般都是可约表示。利用约化公式可 以将其分解为一些不可约表示的直和。
如果我们知道了表示 D(n)(G) 中的一个基,就可以用位移算符把 其余(nn – 1)个基找出来。 即可由一个基函数生成其它基函数。
2)投影算符
考虑如下算符:
Pˆin Pˆini
Pˆin
m j
nn g
Di(ni
)
(R)*

m j
R
nn nn
g l1
Di(ni )(R)* Dl(jm)(R)lm
们必须满足下式:
Rˆ i(n )
k(n
D ) (n ki
)
(R)
k
现在,用 Dl(jm)(R) 乘上式,并对所有对称操作 R 求和:
Dl(jm)(R)* Rˆ i(n ) nn
Dl(jm )(R)* Dk(ni )(R)k(n )
R
k1 R
nm ( g k1 nm
) m n lk
(n
上式正是对称操作乘积的矩阵表示。因此,描述一个 n 重简并 本征值的一组变换矩阵,是群的一个 n 维表示,而且是不可约的。
一个分子的本征函数是该分子所属点群不可约表示的基。属于 同一本征值的波函数的全体一定属于一个不可约表示;属于不同不 可约表示的波函数的能量一定不同。
非简并的本征函数是该分子所属点群的一个一维不可约表示的 基;一组 n 重简并的本征函数是该分子所属点群的一个 n 维不可约 表示的基。
1)表示的直积 由点群的任意两个已知的表示 Gn 和 Gm 总是可能构成一个新的,
并且一般是该群的一个可约表示 G。 Gn 和 Gm 的基函数的全部可能 乘积构成(与表示 G 对应的)新函数空间的基函数。
设 nn 维空间中的一组函数
{1(n
)
,
2(n
)
,
,
(n nn
)
}
构成群 G 的 nn 维不可
所以,分子中的轨道简并度受到该分子点群不可约表示维数的 严格限制,更不可能超越不可约表示最大维数。
4.1.2 原子轨道的变换性质与对称性分类
分子轨道是原子轨道(对称匹配)的线性组合。即使在组成分 子后,各个原子轨道仍是分子所属点群不可约表示的基。因此,原 子轨道的变换性质是群论应用到化学中许多问题的前提,讨论分子 中的原子轨道在分子所属点群的各种对称操作下的变换性质就非常 重要。
ji k
)
(
g nm
)
m
n
(n
ji l
)
同时,定义一 )(R)* Rˆ
R
即:
Pˆlmj i(n )
m
n
(n
ji l
)
如果 m = n ,和 j = i,则上式变为:
Pˆlnj
(n j
)
l(n )
即 Pˆlnj 把第 j 行基转换为第 l 行基(移位至第 l 行),而把其它 行的基消除掉。
ψ ) (m) j
(表示的直积)在分子所属点群的全部对称操作作用下不变,或当
积分因子可表示为一些项之和时,其中某一项保持不变。
3)非零矩阵元的判断 型如下式的定积分被称为矩阵元,在量子化学中经常遇到。
ψi*Oˆ ψj d
(1)能量积分
E ψi* Hˆ ψj d ψi*ψj d
(2)光谱跃迁几率 hn Ei Ej
在对称操作作用下哈密顿算符的不变性
设 Ψi 是分子的一个本征函数: Hˆ Ψi EiΨi Schrödinger 方程的解 Ψi构成一个正交归一的完备函数集。
根据对称操作的定义,在一个对称操作的前后,体系的能量显 然必须相同。这意味着:
Hˆ Rˆ Rˆ Hˆ
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