弹性力学_第四章 本构关系ppt课件

ijkl kl
C 是四阶刚度（弹性）张量。
ij Dijkl kl
D 是四阶柔度张量。
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Chapter 5.2 24
§4-2 广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。
• 弹性张量的Voigt对称性
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
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xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1 10
§4-1 本构关系概念
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G
=
E 2(1 +
ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
相应的剪切模量为
GE 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 00.5
的范围内。
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Chapter 5.1 21
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
§4-3 应变能和应变余能
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22
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
1Eij 1E12kkij
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，
它们是互不耦合的。
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Chapter 5.2 23
§4-2 广义胡克定律
各向异性本构关系
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量 都可能引起任何一个应变分量的变化。
广义胡克定律的一般形式是：
C ij
E0 ; G 0 ; K 0
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Chapter 5.1 19
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G
=
E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
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Chapter 5.1 20
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
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Chapter 5.1 14
§4-1 本构关系概念
弹性关系的常规形式为
x 2Gx ; xy Gxy y 2Gy ; yz Gyz x 2Gz ; zx Gzx
其中 G 和 称为拉梅常数。
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Chapter 5.1 15
§4-1 本构关系概念
将应力和应变张量分解成球量和偏量，得
第一不变量 表示三个正应力之和，则
x y z1 E 2 x y z
12
E 3K
E
其中 K
称为体积模量。
3(1 2 )
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Chapter 5.1 13
§4-1 本构关系概念
∵
ij 1 Eij Ek kij;
1 2 E
∴
ij
E
1
ij
1
ij
2Gij
E
1 12
ij
令
E
112
则 ij 2Gijkkij
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
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Chapter 5.1 5
§4-1 本构关系概念
线弹性叠wenku.baidu.com原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
由三部分组成，即
z
z x
o
y
y
xxxx x x z
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Chapter 5.1 6
§4-1 本构关系概念
x xxx
其中 x 是由于x的作用所产生的相对伸长
x
x E
x 是由于y的作用所产生的相对缩短
x
ν
y E
x 是由于z的作用所产生的相对缩短
x
ν
z
E
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Chapter 5.1 7
§4-1 本构关系概念
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x E x ν E y ν E zE 1 x νy z
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
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Chapter 5.1 8
§4-1 本构关系概念
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy G
同理
yz
yz G
zx
zx G
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Chapter 5.1 9
§4-1 本构关系概念
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3
§4-1 本构关系概念
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x Ex
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
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Chapter 5.1 4
§4-1 本构关系概念
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
ij 1Eij Ekkij
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Chapter 5.1 11
§4-1 本构关系概念
x
1 E
x ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z ν
x y
xyz E 1xyz2xyz
12 E
xy
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z
Chapter 5.1 12
§4-1 本构关系概念
如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
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Chapter 5.1 17
§4-1 本构关系概念
常用的三套弹性常数
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Chapter 5.1 18
§4-1 本构关系概念
对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和
；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测
定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总 是和加载方向一致的（即外力总在物体变形上做正 功），所以
C ijkl C jikl C ijlkC klij
ij0ij 2G ij2 3Gij
K23G31E2
由于偏量和球量相互独立 ，所以有
0K; ij 2G ij
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Chapter 5.1 16
§4-1 本构关系概念
0K ; ij 2G ij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
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1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
§4-3 应变能和应变余能
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2
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发，
得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。