决策理论与方法-第六讲《社会选择理论专题》
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罗云峰 华中科技大学系统工程研究所 19
偏好集结模式2——社会选择函数
社会选择函数SCF(Social Choice Function)的概 念源于需求理论中的个体选择函数，可用定义 在偏好断面集和可行状态集集合上的函数关系 来表示，即
C : U V 2 X
其中可行状态集集合V由非空的的子集组成。 一般情况下令 V 2 X \{} 。 在以后的讨论中，用Cu(· )(或C(· ))表示在给定 偏好断面下的社会选择函数SCF。
罗云峰
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28
最早对投票选举方法进行系统化研究的主要代表人物
3）Pierre-Simon，Marquis de Laplace(1749~1827)； Marquis de Laplace应用概率的方法对偏好序的赋值问 题进行了系统研究，提出了偏好集结中偏好序的赋值 方式，即对偏好序中的各方案应按等差数列赋值。 在研究偏好序的赋值问题的基础上，Laplace提出了按 各方案所赋总值(即每个成员对该方案赋值的加总)的 大小对方案进行排序的方法。事实上，该方法等同于 Borda法。 此外，Laplace还发现：在该方法的应用中，成员很容 易通过谎报偏好(如将对自己最偏爱的方案构成最大威 胁的方案排在最后)对选举结果进行操纵。
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20
v V
Hale Waihona Puke Baidu
作为社会选择结果的社会选择函数Cu (· ，应 ) 满足以下条件： 1. A V , Cu ( A) A 2. A V , Cu ( A) 对于给定的社会选择函数Cu(· ，若 v V ) )具有单值性。一般情形下 Cu (v) 1 则称Cu (· 的社会选择函数都不满足单值性，即
罗云峰
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29
最早对投票选举方法进行系统化研究的主要代表人物
4）C.L.Dodgson(笔名Lewis Carroll)(1832~1898) 。 C.L.Dodgson对选举和委员会(elections and committees) 问题进行了大量的研究。在《A Discussion of the Vario us Methods of Procedure in Conducting Elections》一文 中，Dodgson对简单多数票法则和各种赋值法(如Borda 法)进行了比较分析，指出了它们的不足，提出对赋值 法进行修改。 在《A method of Taking Votes on More than Two Issu es》一文中，Dodgson给出选举程序的矩阵描述(matrix notation)，并提出了一种解决投票悖论的方法。
罗云峰
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14
所谓Arrow社会福利函数SWF就是从偏好断面 集U到弱序集W(X)的函数f，即
f ：U W ( X )
Arrow在定义社会福利函数时，假定个体的偏 好序都是自反、连通(完备)和传递的弱序，即 偏好断面集U为
U {u {R1, R2 ,, Rn} i N , Ri W ( X )}
罗云峰
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12
社会状态集：
所谓社会状态(social state)是社会选择中 需进行价值判断(比较)的对象，亦称备选方案 (alternative)或候选人 。
罗云峰
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13
偏好集结模式1——Arrow社会福利函数
N——社会成员集； X——社会状态集； Ri——社会成员对社会状态集X的排序； 用Ii，Pi(或者 ~ i , i )分别表示Ri的对称与非对 称部分，即分别表示“无差异关系”和“优于 关系”； u ( R1, R2 ,, Rn ) ——偏好断面集； U {u ( R1 , R2 ,, Rn )} ——偏好断面集。
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10
在社会选择理论研究的形式化方面，社会选择 理论主要研究Arrow社会福利函数和社会选择 函数两种偏好集结模式。
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11
偏好集结模式1——Arrow社会福利函数
N——社会成员集； X——社会状态集； Ri——社会成员对社会状态集X的排序。 用Ii，Pi(或者 ~ i , i )分别表示Ri的对称与非对 称部分，即分别表示“无差异关系”和“优于 关系”。
8
投票表决与市场机制这两种社会选择方法在混 合经济体制的国家里同时存在。但对英、法和 斯堪的纳维亚诸国而言，前一种方法的应用范 围更大。也就是说，社会选择直接或间接地基 于“投票”，而较少地基于“价格机制”(市 场机制)的法则。 事实上，“市场机制”的实质是用货币来投票， 因此在本质上理性的社会选择问题都可用投票 模型来描述。
v V , Cu (v) 1
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理性社会选择函数Cu (· ： ) 对于任意给定的偏好断面u， R O( X ), 使 Cu (S ) {x S | y S , xRy}
S V
从定义可以看出：当社会根据理性社会选择函 数Cu (· )进行选择时，一定存在某种“主导” (underlying)的二元关系R，并据此对可行方案 (状态)集S中的最优元素进行选择。
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5
2.独裁(autarchy)
“独裁”是指由个人或小集团对社会进行统治， 按照个人或小集团的意志进行行政管理并代替 公众进行选择。中国长达二千多年的封建社会 的本质就是以独裁方式进行社会选择，朝代的 更迭只不过是独裁者的交替。在传统与独裁这 两种社会选择方式之间并无不可逾越的鸿沟。
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9
社会选择问题的形式化描述：
从形式上看社会选择是典型的群决策问题，但 从更深的层次分析，社会选择理论研究的是 “个人价值与社会选择之间的冲突与一致性的 条件”。 除了探讨社会成员的偏好集结外，社会选择还 涉及领域广泛的诸多问题，如社会福利判断的 价值标准、个人偏好的显示模式等。
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22
常用的社会选择函数有Borda函数、Condorcet 函数、Copeland函数、Dodgson函数和Nanson 函数等。
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23
上述两种偏好集结模式都可用以下形式来描述： 形式1 对任意给定的社会成员的偏好集(亦称偏 好断面) ，求出社会的偏好R ， u ( R1, R2 ,, Rn ) 也就是寻找(或定义)一个从社会成员的个体偏好 集到社会的偏好集的映射关系f，即
罗云峰
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25
1．2 社会选择的起源与发展
从中世纪人们对投票选举问题的研究到20世纪 50年代Arrow不可能性定理的提出，社会选择 理论(包括投票理论)的发展大体上经历了—— 中世纪时期、近代和现代三个历史阶段。
罗云峰
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26
1 中世纪时期对投票方法的研究(1200~1500)
在人类社会的发展过程中，曾先后采用过以下 社会选择方法： 1）传统(tradition)； 2）独裁(autarchy)； 3）投票表决(voting)； 4）市场机制(market mechanism)
罗云峰
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4
1.传统(tradition)
“传统”这种社会选择方法有多种不同形式。 它既可以是社会的风俗、习惯，也可是宗教法 规等包罗甚广的惯例。在中世纪欧洲的某些教 会国家，许多社会选择问题都是根据“神”的 意志或宗教法规来解决的。即使在当今的某些 阿拉伯国家和太平洋岛国，“传统”的社会选 择方法也随处可见。
G
f : ( R1, R2 ,, Rn ) RG
.....
(1.1)
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对式(1.1)所示问题的研究，构成了社会选择理论研究 的基本内容。而在对式(1.1)所示的社会选择问题的研 究中，又着重探讨映射关系f的构造，并对映射关系f 的性质进行分析。一般来讲，社会选择理论的研究遵 循如下两种思路： (1) 先构造出映射关系f，再对映射关系f的特性进行分 析； (2) 先提出映射关系f应满足的特性要求，再构造满足 该特性要求的映射关系f。 上述研究方法也称规范性的研究方法，即在价值判断 的基础上，给出研究社会选择问题的基本假设，再通 过逻辑推理和数学演绎得到基本结论。
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社会决策函数(Social Decision Function)g g：U A( X ) 其中 U {u {R1, R2 ,, Rn} i N , Ri W ( X )}
与Arrow社会福利函数相比，Sen的社会决策函 数只要求由个体偏好集结而成的社会偏好A(X) 应具有非循环性，而Arrow社会福利函数要求 社会偏好要具有传递性。因此，Arrow社会福 利函数是Sen社会决策函数的一种特例。
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6
3.投票表决(voting)
在理性、民主的社会中，通常用于做“政治” 决策的社会选择方法。
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7
4.市场机制(market mechanism)
在理性、民主的社会中，通常用于做“经济” 决策的社会选择方法。
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拟传递社会决策函数(social decision function wi th quasi-transitivity)t
t：U Q( X )
其中 U {u {R1, R2 ,, Rn} i N, Ri W ( X )} 拟传递社会决策函数要求集结得到的社会偏好 Q(X)具有拟传递性。因此，Arrow社会福利函 数是拟传递社会决策函数的一种特例，而拟传 递社会决策函数又是Sen社会决策函数的一种 特例。
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15
从Arrow社会福利函数的定义可以看到：Arrow 社会福利函数表示的是由个体偏好序集结而成 的关于社会状态集中各社会状态的排序关系。
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16
除Arrow社会福利函数外，还有其它形式的社会 福利函数： 1．社会决策函数(Social Decision Function)g； 2．拟传递社会决策函数(social decision function with quasi-transitivity)t；
社会选择理论专题
——社会选择及其可实施性
主讲：罗云峰 华中科技大学系统工程研究所
主要内容：
1．社会选择理论 1．1 什么是社会选择 1．2 社会选择的起源与发展 1．3 社会选择的研究概况 1．4 防策略投票问题研究 1．5 存在的问题 2．社会选择的实施 2．1 问题描述 2．2 相关结论 2．3 案例分析
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2
1．1 什么是社会选择？
所谓社会选择(social choice，亦称集体选择， collective decision)就是将社会各成员的偏好集 结成为群(社会)的偏好，是典型的群决策问题 (group decision)。
罗云峰
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3
中世纪是迄今已知的最早开始对投票方法进行 研究的时期，其代表人物主要有Roman Lull(12 35~1315)和Nuolas Cusanus(1401~1464)。
罗云峰
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27
2 近代对投票选举方法的研究(1770~1950)
最早对投票选举方法进行系统化研究的主要代表人物有: 1）Jean-Charles de Borda(1733~1799)； Jean-Charles de Borda于1781年在《 Histoire de I’Académi e Royale des Sciences》(《皇家科学院史》)上发表了“ Mé moire sur les Electionis auscrutin”(“普选回忆录”)一文。 2）Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet (1734~1794)； Marquis de Condorcet对投票选举理论的贡献主要体现在《E assi sur l’ Application de l’Analyse a la probilité des Décisions Rendues a la pluralitédes Voix》（《有关简单多数票法则所 做决策的概率的应用分析》，简称《Eassi》，1785）一文 中。
偏好集结模式2——社会选择函数
社会选择函数SCF(Social Choice Function)的概 念源于需求理论中的个体选择函数，可用定义 在偏好断面集和可行状态集集合上的函数关系 来表示，即
C : U V 2 X
其中可行状态集集合V由非空的的子集组成。 一般情况下令 V 2 X \{} 。 在以后的讨论中，用Cu(· )(或C(· ))表示在给定 偏好断面下的社会选择函数SCF。
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最早对投票选举方法进行系统化研究的主要代表人物
3）Pierre-Simon，Marquis de Laplace(1749~1827)； Marquis de Laplace应用概率的方法对偏好序的赋值问 题进行了系统研究，提出了偏好集结中偏好序的赋值 方式，即对偏好序中的各方案应按等差数列赋值。 在研究偏好序的赋值问题的基础上，Laplace提出了按 各方案所赋总值(即每个成员对该方案赋值的加总)的 大小对方案进行排序的方法。事实上，该方法等同于 Borda法。 此外，Laplace还发现：在该方法的应用中，成员很容 易通过谎报偏好(如将对自己最偏爱的方案构成最大威 胁的方案排在最后)对选举结果进行操纵。
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v V
Hale Waihona Puke Baidu
作为社会选择结果的社会选择函数Cu (· ，应 ) 满足以下条件： 1. A V , Cu ( A) A 2. A V , Cu ( A) 对于给定的社会选择函数Cu(· ，若 v V ) )具有单值性。一般情形下 Cu (v) 1 则称Cu (· 的社会选择函数都不满足单值性，即
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最早对投票选举方法进行系统化研究的主要代表人物
4）C.L.Dodgson(笔名Lewis Carroll)(1832~1898) 。 C.L.Dodgson对选举和委员会(elections and committees) 问题进行了大量的研究。在《A Discussion of the Vario us Methods of Procedure in Conducting Elections》一文 中，Dodgson对简单多数票法则和各种赋值法(如Borda 法)进行了比较分析，指出了它们的不足，提出对赋值 法进行修改。 在《A method of Taking Votes on More than Two Issu es》一文中，Dodgson给出选举程序的矩阵描述(matrix notation)，并提出了一种解决投票悖论的方法。
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所谓Arrow社会福利函数SWF就是从偏好断面 集U到弱序集W(X)的函数f，即
f ：U W ( X )
Arrow在定义社会福利函数时，假定个体的偏 好序都是自反、连通(完备)和传递的弱序，即 偏好断面集U为
U {u {R1, R2 ,, Rn} i N , Ri W ( X )}
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社会状态集：
所谓社会状态(social state)是社会选择中 需进行价值判断(比较)的对象，亦称备选方案 (alternative)或候选人 。
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偏好集结模式1——Arrow社会福利函数
N——社会成员集； X——社会状态集； Ri——社会成员对社会状态集X的排序； 用Ii，Pi(或者 ~ i , i )分别表示Ri的对称与非对 称部分，即分别表示“无差异关系”和“优于 关系”； u ( R1, R2 ,, Rn ) ——偏好断面集； U {u ( R1 , R2 ,, Rn )} ——偏好断面集。
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在社会选择理论研究的形式化方面，社会选择 理论主要研究Arrow社会福利函数和社会选择 函数两种偏好集结模式。
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11
偏好集结模式1——Arrow社会福利函数
N——社会成员集； X——社会状态集； Ri——社会成员对社会状态集X的排序。 用Ii，Pi(或者 ~ i , i )分别表示Ri的对称与非对 称部分，即分别表示“无差异关系”和“优于 关系”。
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投票表决与市场机制这两种社会选择方法在混 合经济体制的国家里同时存在。但对英、法和 斯堪的纳维亚诸国而言，前一种方法的应用范 围更大。也就是说，社会选择直接或间接地基 于“投票”，而较少地基于“价格机制”(市 场机制)的法则。 事实上，“市场机制”的实质是用货币来投票， 因此在本质上理性的社会选择问题都可用投票 模型来描述。
v V , Cu (v) 1
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理性社会选择函数Cu (· ： ) 对于任意给定的偏好断面u， R O( X ), 使 Cu (S ) {x S | y S , xRy}
S V
从定义可以看出：当社会根据理性社会选择函 数Cu (· )进行选择时，一定存在某种“主导” (underlying)的二元关系R，并据此对可行方案 (状态)集S中的最优元素进行选择。
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5
2.独裁(autarchy)
“独裁”是指由个人或小集团对社会进行统治， 按照个人或小集团的意志进行行政管理并代替 公众进行选择。中国长达二千多年的封建社会 的本质就是以独裁方式进行社会选择，朝代的 更迭只不过是独裁者的交替。在传统与独裁这 两种社会选择方式之间并无不可逾越的鸿沟。
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社会选择问题的形式化描述：
从形式上看社会选择是典型的群决策问题，但 从更深的层次分析，社会选择理论研究的是 “个人价值与社会选择之间的冲突与一致性的 条件”。 除了探讨社会成员的偏好集结外，社会选择还 涉及领域广泛的诸多问题，如社会福利判断的 价值标准、个人偏好的显示模式等。
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22
常用的社会选择函数有Borda函数、Condorcet 函数、Copeland函数、Dodgson函数和Nanson 函数等。
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上述两种偏好集结模式都可用以下形式来描述： 形式1 对任意给定的社会成员的偏好集(亦称偏 好断面) ，求出社会的偏好R ， u ( R1, R2 ,, Rn ) 也就是寻找(或定义)一个从社会成员的个体偏好 集到社会的偏好集的映射关系f，即
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1．2 社会选择的起源与发展
从中世纪人们对投票选举问题的研究到20世纪 50年代Arrow不可能性定理的提出，社会选择 理论(包括投票理论)的发展大体上经历了—— 中世纪时期、近代和现代三个历史阶段。
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1 中世纪时期对投票方法的研究(1200~1500)
在人类社会的发展过程中，曾先后采用过以下 社会选择方法： 1）传统(tradition)； 2）独裁(autarchy)； 3）投票表决(voting)； 4）市场机制(market mechanism)
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1.传统(tradition)
“传统”这种社会选择方法有多种不同形式。 它既可以是社会的风俗、习惯，也可是宗教法 规等包罗甚广的惯例。在中世纪欧洲的某些教 会国家，许多社会选择问题都是根据“神”的 意志或宗教法规来解决的。即使在当今的某些 阿拉伯国家和太平洋岛国，“传统”的社会选 择方法也随处可见。
G
f : ( R1, R2 ,, Rn ) RG
.....
(1.1)
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对式(1.1)所示问题的研究，构成了社会选择理论研究 的基本内容。而在对式(1.1)所示的社会选择问题的研 究中，又着重探讨映射关系f的构造，并对映射关系f 的性质进行分析。一般来讲，社会选择理论的研究遵 循如下两种思路： (1) 先构造出映射关系f，再对映射关系f的特性进行分 析； (2) 先提出映射关系f应满足的特性要求，再构造满足 该特性要求的映射关系f。 上述研究方法也称规范性的研究方法，即在价值判断 的基础上，给出研究社会选择问题的基本假设，再通 过逻辑推理和数学演绎得到基本结论。
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社会决策函数(Social Decision Function)g g：U A( X ) 其中 U {u {R1, R2 ,, Rn} i N , Ri W ( X )}
与Arrow社会福利函数相比，Sen的社会决策函 数只要求由个体偏好集结而成的社会偏好A(X) 应具有非循环性，而Arrow社会福利函数要求 社会偏好要具有传递性。因此，Arrow社会福 利函数是Sen社会决策函数的一种特例。
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3.投票表决(voting)
在理性、民主的社会中，通常用于做“政治” 决策的社会选择方法。
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4.市场机制(market mechanism)
在理性、民主的社会中，通常用于做“经济” 决策的社会选择方法。
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拟传递社会决策函数(social decision function wi th quasi-transitivity)t
t：U Q( X )
其中 U {u {R1, R2 ,, Rn} i N, Ri W ( X )} 拟传递社会决策函数要求集结得到的社会偏好 Q(X)具有拟传递性。因此，Arrow社会福利函 数是拟传递社会决策函数的一种特例，而拟传 递社会决策函数又是Sen社会决策函数的一种 特例。
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从Arrow社会福利函数的定义可以看到：Arrow 社会福利函数表示的是由个体偏好序集结而成 的关于社会状态集中各社会状态的排序关系。
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除Arrow社会福利函数外，还有其它形式的社会 福利函数： 1．社会决策函数(Social Decision Function)g； 2．拟传递社会决策函数(social decision function with quasi-transitivity)t；
社会选择理论专题
——社会选择及其可实施性
主讲：罗云峰 华中科技大学系统工程研究所
主要内容：
1．社会选择理论 1．1 什么是社会选择 1．2 社会选择的起源与发展 1．3 社会选择的研究概况 1．4 防策略投票问题研究 1．5 存在的问题 2．社会选择的实施 2．1 问题描述 2．2 相关结论 2．3 案例分析
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1．1 什么是社会选择？
所谓社会选择(social choice，亦称集体选择， collective decision)就是将社会各成员的偏好集 结成为群(社会)的偏好，是典型的群决策问题 (group decision)。
罗云峰
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3
中世纪是迄今已知的最早开始对投票方法进行 研究的时期，其代表人物主要有Roman Lull(12 35~1315)和Nuolas Cusanus(1401~1464)。
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2 近代对投票选举方法的研究(1770~1950)
最早对投票选举方法进行系统化研究的主要代表人物有: 1）Jean-Charles de Borda(1733~1799)； Jean-Charles de Borda于1781年在《 Histoire de I’Académi e Royale des Sciences》(《皇家科学院史》)上发表了“ Mé moire sur les Electionis auscrutin”(“普选回忆录”)一文。 2）Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet (1734~1794)； Marquis de Condorcet对投票选举理论的贡献主要体现在《E assi sur l’ Application de l’Analyse a la probilité des Décisions Rendues a la pluralitédes Voix》（《有关简单多数票法则所 做决策的概率的应用分析》，简称《Eassi》，1785）一文 中。