最简二次根式ppt
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第1章 二次根式复习 浙教版数学八年级下册课件(
第一组： 3
1 3
12
第二组： 0.8 8 18
第三组： x 3 y xy
y
x
a • b ab (a 0, b 0)
a a (a 0, b＞0)
bb
反之亦成立。
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式的定义，式子 a中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
( )a 2 = a(a ≥0),
a（a≥0）， a2＝|a|＝ －a（a<0）.
例2
计算：
－2× x2. x
2 解：由题意知－x≥0，∴x<0，∴
2 －x×
x2＝
2 －x×
（－x）2＝ ＝ －2x.
2 －x×(－x)＝
2× －x
－x2
×(－x)＝
－2x －x ×(－x)
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先要判断字母 的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a的取值进 行计算．
不含分母
1. a • b 2. a
b
最简 二次根式
运算
加减，合并
二
混合运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次
根
式
不含开得尽 的因数因式
a (a ≥0)
性质 ( ) 1. a 2(a ≥0)
2. a2 (任意实数)
ab = a • b
(a ≥0, b ≥0)
a= a bb
(a ≥0, b > 0)
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方 根。其中正的平方根 a （读作根号a）也叫做a的算术 平方根。
2.7.1二次根式的化简课件2021－2022学年北师大版八年级数学上册
2．式子 x2－x 1在实数范围内有意义的条件是
( B)
A．x≥1
B．x＞1
C．x＜0
D．x≤0
知识点 2 二次根式的性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； ab＝ ab(a≥0，b＞0)．
3．(例 2)下列各式正确的是
A． －4×－9＝ －4× －9
B． 4×9＝ 4× 9
C．
449＝ 4×
A．最大值是23
B．最小值是23
C．最大值是32
D．最小值是23
6 6．将 12－13化简成最简二次根式为__6___.
(A )
7．化简：
(1) 9×16；(2) －16×－81；(3)
634；(4)
16×25 81 .
解：(1) 9×16＝ 9× 16＝3×4＝12．
(2) －16×－81＝ 16×81＝ 16× 81＝4×9＝36．
1．下列式子一定是二次根式的是
A． －5
B． x
C．3 4
2．下列根式中是最简二次根式的是
A．
2 3
B． 3
C．
4 2
D． 7 D． 8
( D) ( B)
3．式子 x＋1有意义的 x 的取值范围是
A．x≠－1
B．x≥－1
C．x>－1
D．x≥0
4．化简 π－32＝__π_－__3__．
(B )
5．要使代数式 2－3x有意义，则 x 的
2.7 二次根式
第1课时 二次根式的化简
学习 目标
1．认识二次根式和最简二次根式的概念． 2．探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式 化为最简二次根式的形式.
知识点 1 二次根式的概念 一般地，形如___a_(a≥0)的式子叫做二次根式，a 叫做__被__开__方__数___.
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
二次根式的化简精选教学PPT课件
她和他讲着小时候的事，说她哥居然会织手套，在她13岁来例假之后曾经去找一个20多岁的女孩子帮她，她一边说一边流眼泪。他看着前方，看着那些喊话的警察，再看着身边讲述的女孩，他忽然感觉尘世是那么美好，但一切已经来不及了。 他拿出手机，递给她：“来，给你哥打个电话吧。”
她平静地接过来，知道这是和哥哥最后一次通话了，所以，她几乎是笑着说：“哥，在家呢？你先吃吧，我在单位加班，不回去了……” 这样的生离死别竟然被她说得如此家常，他的妹妹也和他说过这样的话，看着这个自己劫持的人，听着她和自己哥哥的对话，他伏在方向盘上哭了。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
( 1 ) 72 ；
( 2 ) 8a2b3 .
解 ( 1) 72 = 8× 9 = 2× 22× 32 =2× 3× 2 =6 2 ；
( 2 ) 8a2b3
= 2· 22 · a2 · b2 · b = 2ab 2b .
练习
1. 化简下列二次根式：
( 1 ) 24 ； ( 2 ) 28 ； ( 3 ) 32 ； ( 4 ) 54 .
她平静地接过来，知道这是和哥哥最后一次通话了，所以，她几乎是笑着说：“哥，在家呢？你先吃吧，我在单位加班，不回去了……” 这样的生离死别竟然被她说得如此家常，他的妹妹也和他说过这样的话，看着这个自己劫持的人，听着她和自己哥哥的对话，他伏在方向盘上哭了。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
( 1 ) 72 ；
( 2 ) 8a2b3 .
解 ( 1) 72 = 8× 9 = 2× 22× 32 =2× 3× 2 =6 2 ；
( 2 ) 8a2b3
= 2· 22 · a2 · b2 · b = 2ab 2b .
练习
1. 化简下列二次根式：
( 1 ) 24 ； ( 2 ) 28 ； ( 3 ) 32 ； ( 4 ) 54 .
浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算 课件(共26张PPT)
拓展提升
如图，一张边长为22cm的等边三角形彩色纸，CD⊥AB，小明在
等边三角形纸片中裁出三条宽度相同的长方形纸条，其中最上面的那
个长方形恰好为正方形,分别求出三张长方形纸条的长度.
解：
？
22
22
22
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b.
（1）若: =
1
，则:
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2
解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
AB=_______m.
B
？
A
？
2
C
斜坡的竖直高度和对应的水平距离的比叫做坡比.
例题分析
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=
BC=
.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,
A
E
C
F
D
m，
经过的总路
程为多少米（要求先化简，再取近似值，结果精确到0.01m）?
方法总结：
二次根式的运算
直角三角形三边计算
A
C
感悟提升
一个概念
斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
最简二次根式
最简二次根式
复习提问
1、二次根式的乘法运算法则是什么？用文 字语言怎么表达？对于运算的结果有什么 要求？ （1） a b ab a 0, b 0
（2） 二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变； （3） 尽量化简。
复习提问
2 、二次根式的除法运算法则是什么？
用文字语言怎么表达？对于运算的结果有 什么要求？ （1）
a a a 0, b 0 b b
（2） 二次根式相除：被开方数相除， 根指数不变；
（3） 尽量化简。
复习
15 12 2 45 3、计算：（1）10 27 （2）
复习
4、已知： 2 1.414 ，如何求 与 8 的近似值？（结果保留两位有效数字）
1 2
最简二次根式的定义
（ ×
5 2 ）（4） 2 9 9 5 （
×）
课堂小结：
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数中不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含根号。
2.如何化二次根式为最简二次根式 .
45a b（ × ）； y × ）； x 3（ x
2
（ 8）
25m 225m （ 1
4 2
×）；
3
（
×）
；
最简二次根式的解读：
满足下列条件的二次根式，叫做最简二 次根式。 （1）被开方数中不含分母； （ 2 ）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式； （3）分母中不含根号。
例题
例1 把下列各式化成最简二次根式： （1）
练习二
把下列各式化成最简二次根式：
（ 1） 0 . 8 （2）
复习提问
1、二次根式的乘法运算法则是什么？用文 字语言怎么表达？对于运算的结果有什么 要求？ （1） a b ab a 0, b 0
（2） 二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变； （3） 尽量化简。
复习提问
2 、二次根式的除法运算法则是什么？
用文字语言怎么表达？对于运算的结果有 什么要求？ （1）
a a a 0, b 0 b b
（2） 二次根式相除：被开方数相除， 根指数不变；
（3） 尽量化简。
复习
15 12 2 45 3、计算：（1）10 27 （2）
复习
4、已知： 2 1.414 ，如何求 与 8 的近似值？（结果保留两位有效数字）
1 2
最简二次根式的定义
（ ×
5 2 ）（4） 2 9 9 5 （
×）
课堂小结：
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数中不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含根号。
2.如何化二次根式为最简二次根式 .
45a b（ × ）； y × ）； x 3（ x
2
（ 8）
25m 225m （ 1
4 2
×）；
3
（
×）
；
最简二次根式的解读：
满足下列条件的二次根式，叫做最简二 次根式。 （1）被开方数中不含分母； （ 2 ）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式； （3）分母中不含根号。
例题
例1 把下列各式化成最简二次根式： （1）
练习二
把下列各式化成最简二次根式：
（ 1） 0 . 8 （2）
最简二次根式
x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
正解： a
a
aa
原式 （a 1 )2 1 a 1 1 a 1 ，a 1 0
aa
aa
2
a
即a 1 1 1 a 1 2 a,当a 1 时，原式 4 - 1 3 1
aaa aa
2
22
6
2．二次根式的化简 目 的：二次根式的化简，就是要将二次根式的被开方数中能开得尽方的 因数或因式从根号中开出来． 注 意：(1)数的开方，关键是将开得尽方的因数从根号中开出来； (2)被开方数如果含有字母，一要考虑二次根式的隐含条件(被开方数是非负 数)，二要考虑整个式子的值的符号.
例1：下列二次根式中，哪些是最简二
1
(3) y
x2 2xy y2 (x y)
(4) a a
辨析训练一
判断下列各式是否为最简二次根式？
× × 12 （1）
（2） 45a2b
√ （3） 30x
× （4）
xy
x3
× （5） 4 （11）
2
√ （6） 5m m2 9
× （7） 25m4 225m2
1.化简下列各式： (1) 250a3b(b 0);
1x x x
x
分析：本题重点考察
正解：由-x3≥0,得x≤0,
又x为分母不为0，
∴x＜0
原式 1 x x2 x
1 x x2 x
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
正解： a
a
aa
原式 （a 1 )2 1 a 1 1 a 1 ，a 1 0
aa
aa
2
a
即a 1 1 1 a 1 2 a,当a 1 时，原式 4 - 1 3 1
aaa aa
2
22
6
2．二次根式的化简 目 的：二次根式的化简，就是要将二次根式的被开方数中能开得尽方的 因数或因式从根号中开出来． 注 意：(1)数的开方，关键是将开得尽方的因数从根号中开出来； (2)被开方数如果含有字母，一要考虑二次根式的隐含条件(被开方数是非负 数)，二要考虑整个式子的值的符号.
例1：下列二次根式中，哪些是最简二
1
(3) y
x2 2xy y2 (x y)
(4) a a
辨析训练一
判断下列各式是否为最简二次根式？
× × 12 （1）
（2） 45a2b
√ （3） 30x
× （4）
xy
x3
× （5） 4 （11）
2
√ （6） 5m m2 9
× （7） 25m4 225m2
1.化简下列各式： (1) 250a3b(b 0);
1x x x
x
分析：本题重点考察
正解：由-x3≥0,得x≤0,
又x为分母不为0，
∴x＜0
原式 1 x x2 x
1 x x2 x
最简二次根式
最简二次根式
思考：下列二次根式能否化简？
那么什么样的二次根式是最简二次根式呢？ 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数不含分母 (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:（1）这两个条件前提都是指的是被开方数。 （2）同时满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式。
例：下列二次根式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么不是最简二次根式？
分析： 又如：
不是最简二次根式，因为被开方数的因数为 分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1) 要求被开方数的分母中不带根号。
也不是最简二次根式，因为被开方数中含 有能开得尽方的因数或因式，不满足条件 (2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因 数或分解成因式后而言的。
小结
（1） 被开方数是小数或带分数 时要换算成真分数或假分数后化 简。 （2）被开方数是多项式的时候 要注意因式分解后化简。
思考：下列二次根式能否化简？
那么什么样的二次根式是最简二次根式呢？ 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数不含分母 (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:（1）这两个条件前提都是指的是被开方数。 （2）同时满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式。
例：下列二次根式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么不是最简二次根式？
分析： 又如：
不是最简二次根式，因为被开方数的因数为 分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1) 要求被开方数的分母中不带根号。
也不是最简二次根式，因为被开方数中含 有能开得尽方的因数或因式，不满足条件 (2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因 数或分解成因式后而言的。
小结
（1） 被开方数是小数或带分数 时要换算成真分数或假分数后化 简。 （2）被开方数是多项式的时候 要注意因式分解后化简。
5.21.3.1最简二次根式
2 • 10 ＝
10 • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清
楚分式的分子和分母都乘什么，有时还
要先对分母进行化简。
练习二：
1.在括号内填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 •（ 2 ）＝ 4
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（
a－1）＝ a－1 （4）3
2＝
3
6
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1） － 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－3 2 1）
48
24
14、. 等式
m－3 ＝ m－5
mm－ －53 成 立 的 条 件 是
成 立 的 条 件 是____m__>_5_____ 。
a• b b• b
ab b
这样也可以把分母中的根号化去。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分母有理化。
a a a 0, b 0 a a
b
b
b
b
例8：计算 1 3
解：
5
2 3 2
27
3 8
2a
1 解法1..
3
3
55
解法2.. 3 3 5 5
35 55
5
15
55
15 15 15 25 25 5
2.规律: a a a 0,b 0
bb
两个二次根式相除，等于把被开方数相 除，作为商的被开方数
思考与探索
如何化去 a a 0,b 0 中被开方数中
中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式
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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的 是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二 次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式 的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．
最简二次根式
1.被开方数不含分母； 2. 被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最 简二次根式。例如，
2 2, 30 10 , 2 a 7 等都是最简二次根式。
ab a b a 0 , b 0
积的算术平方根等于积中各因式的绝 对值的算术平方根之积．
特别提醒
• 公式可以推广到多个 非负因式的情况。例 如，
abcd
a
b
c
d
( a 0 , b 0 , c o , d o ).
例2
1 2
200 ; 14 112 ;
解题思路：先将被开方数进行因式分解， 然后化简
知识点2二次根式的除法法则
a b a b 被开方数相除，根指数 81 9， 不变 (a 0, b 0)
两个二次根式相除，把 举例 243 3 243 3
0 . 36 0 . 12
0 . 36 0 . 12
3
提别提醒二次根式的运算结果要化到最
例1 计算:
(1) 1 2 32 ;
( 2 ) 4 xy
1 y;(3) 来自 8 ( 3) 2 .解 : (1)
1 2
32
1 2
32 16 4 .
（ 2） xy 4
1 y
4 xy
1 y
4 x.
(3) 6 8 ( 3 2 ) 6 ( 3) 8 2 18 4 72
最简二次根式
知识点1二次根式的乘法法则
a b ab ( a 0, b 0)
文字语言：两个二次根式相乘，把
被开方数相乘，根指数不变。
特别提醒
2 2, 30 10 , 2 a 7 等都是最简二次根式。
ab a b a 0 , b 0
积的算术平方根等于积中各因式的绝 对值的算术平方根之积．
特别提醒
• 公式可以推广到多个 非负因式的情况。例 如，
abcd
a
b
c
d
( a 0 , b 0 , c o , d o ).
例2
1 2
200 ; 14 112 ;
解题思路：先将被开方数进行因式分解， 然后化简
知识点2二次根式的除法法则
a b a b 被开方数相除，根指数 81 9， 不变 (a 0, b 0)
两个二次根式相除，把 举例 243 3 243 3
0 . 36 0 . 12
0 . 36 0 . 12
3
提别提醒二次根式的运算结果要化到最
例1 计算:
(1) 1 2 32 ;
( 2 ) 4 xy
1 y;(3) 来自 8 ( 3) 2 .解 : (1)
1 2
32
1 2
32 16 4 .
（ 2） xy 4
1 y
4 xy
1 y
4 x.
(3) 6 8 ( 3 2 ) 6 ( 3) 8 2 18 4 72
最简二次根式
知识点1二次根式的乘法法则
a b ab ( a 0, b 0)
文字语言：两个二次根式相乘，把
被开方数相乘，根指数不变。
特别提醒
第1部分 第1章 第4节 二次根式
二次根式及相关概念(2013.11) 1．二次根式 形如 a(a①≥0 )的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式 最简二次根式必须同时满足以下条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；
《最简二次根式》二次根式PPT课件
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
相关主题
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想一想：
我来讲！
例 ：化简
12
解
12 22 3 2 3
我可以！
●先独立完成导学案上Ａ部分的第 ２、３题
●再小组内更正答案。
思考与探索：
如何化去 a b
中被开方数中
的分母呢?
当a 0,b ＞ 0时,
a b
a•b b•b
ab b2
ab ab
b2
b
我来做!
独立完成导学案上Ｂ部分的第４、 ７题
最简二次根式
肥乡县第三中学 苗玮平
教学目的
理解最简二次根式的定义； 化二次根式的根式为最简二次根 式。
复习提问
什么是二次根式？ 一般地，我们把形如 a （a≥0）的式
子叫做二次根式． 其中 a 是被开方数。
复习提问
二次根式积的算术平方根公式是什么？ 商的算术平方根公式是什么？
最简二次根式的定义
2.如何化二次根式为最简二次根式 .
我会认真完成作业：
• 必做题： 课后作业１、３题
• 选做题： 课后作业２、４题
一寸光阴一寸金， 寸金难买寸光阴。
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辨析训练
１、判断下列计算是否正确，若不正确请说 出正确的解法和答案。
× × （1）16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3）
41 2 2
1
2（
）（4）2
52 99
5（
）
２、独立完成导学案上的
“巩固提高”中的１、２题
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课堂小结：
1.最简二次根式的概念.
一般地，被开方数不含分母， 也不含能开得尽的因数或因式， 这样的二次根式，叫做最简二次根式
一般地，被开方数不含ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ母， 也不含能开得尽的因数或因式， 这样的二次根式，叫做最简二次根式
最简二次根式的判别
满足下列条件的二次根式，叫做最简二 次根式。
（1）被开方数不含分母，包括不含分 数、小数。
（2）分母中不含二次根式
（3）被开方数不含能开得尽的因数或 因式
我能行！
独立完成导学案上“典礼剖析” 的第１、３题