高中数学复习 计数原理.理科

计数原理要求层次重难点分类加法计数原理、分步乘法计数原理B⑴分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． ⑵排列与组合①理解排列、组合的概念．②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．③能解决简单的实际问题． ⑶二项式定理①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题C 排列、组合的概念 B 排列数公式、组合数公式 C 用排列与组合解决一些简单的实际问题C 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题B板块一：排列组合 （一） 主要方法：1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；高考要求第十三讲 计数原理知识精讲③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．（二）典例分析：【例1】（2019辽宁5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【例2】（2019重庆13）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．【例3】（2019广东7）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．36种B．12种C．18种D．48种【例4】（2019湖北5）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．30D．36【例5】（2018四川6）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种B．112种C．140种D．168种【例6】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（）A．1320B．288C．1530D．670【例7】（2019北京7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【例8】（2018天津16）有4张分别标有数字1234，，，的，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例9】（2018浙江16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例10】（2018天津10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种【例11】 （2019天津16）用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例12】 （2018全国Ⅰ12）将1,2,3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【例13】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．【例14】 （2018辽宁9）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【例15】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，，⋅⋅⋅的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．A ．72B ．108C ．144D ．192【例16】 （2019浙江16）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．【例17】 编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【例18】 （2019四川11）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A ．360 B ．288 C ．216 D ．96【例19】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．【例20】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．987654321板块二：二项式定理 （一） 知识内容1．熟记二项展开式011222()C C C C C n n n n r n r rn nn n n n n a b a ab a b a b b ---+=++++++()n +∈N与通项公式（展开式的第1r +项，即1C r n r rr n T ab -+=，其中0r n ≤≤，r ∈N ，n +∈N ）． 2．掌握二项式系数具有下面性质（结合杨辉三角）：⑴每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即0C 1n =，C 1n n =，11C C C m m mn n n -+=+． ⑵每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等．即C C m n m n n-=． ⑶如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12n T +的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数相等且最大．⑷二项式展开式的二项式系数的和等于2n ．即01C C C 2nn n n n +++=．3．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．注意区分展开式的系数与二项式系数．（二）典例分析：【例21】 （2018北京12）5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例22】 （2018全国II7）64(1(1的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．4【例23】 （2018四川13）34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______．【例24】 （2018北京11）若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例25】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1；②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例26】 二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例27】 若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12C ．1D ．3【例28】 （2019南京一模23）已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值；⑵设22343,2n n n n ab T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例29】 （2018江苏23）请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：①1(1)C 0nkknk k =-=∑．②21(1)C 0nkknk k =-=∑．③10121C 11n nkn k k n +=-=++∑（3n ≥）．【例30】 规定A (1)(1)m x x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A mn （,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11A A m m n n n --=，②11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）．是否都能推广到A m x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由． ⑶确定函数3A x 的单调区间．【例31】 （2018湖南10）设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x n n n n x x x x x --+=--+，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x的值域是（ ）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭[)28,56 D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦【例32】 已知函数()f x 满足()()ax f x b f x ⋅=+（0ab ≠），(1)2f =，并且使()2f x x =成立的实数x 有且只有一个．⑴求()f x 的解析式；⑵若数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 满足132a =，当2n ≥时，2()n n S n f a -=，求数列{}n a 的通项公式．⑶在⑵的条件下，令112log (1)n n d a +=-（d ∈N ），求证：当3n ≥时，有1210121C C C C 3C 41n n nn n n n n n d d d d n --+++++>-+．【例33】 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <<≤，⑴证明A A i i i i n m m n >；⑵证明(1)(1)n m m n +>+．习题1. （2018福建7）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ） A ．14 B ．24 C ．28D ．48习题2. （2018上海12）组合数C r n ()1n r n r >∈Z ≥，、恒等于（ ） A ．111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr -- D ．11C r n n r--习题3. （2018山东9）123x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220习题4. （2018海南宁夏9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种习题5. （2019北京7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．648习题6. （2019南京一模23）已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值；⑵设22343,2n n n n ab T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．家庭作业习题1.（2018全国II14）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）习题2.（2019北京6）若()5122a b+=+（a，b为有理数），则a b+=（）A．45B．55C．70D．80习题3.求二项式153xx⎛-⎪⎭的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．月测备选。