高中数学复习 计数原理.理科

计数原理

要求层次

重难点

分类加法计数原理、分步乘法计数原理

B

⑴分类加法计数原理、分步乘法计数原理

①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． ⑵排列与组合

①理解排列、组合的概念．

②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．

③能解决简单的实际问题． ⑶二项式定理

①能用计数原理证明二项式定理．

②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题

C 排列、组合的概念 B 排列数公式、组合数公式 C 用排列与组合解决一些简单的实际问题

C 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

B

板块一：排列组合 （一） 主要方法：

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 2．具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

高考要求

第十三讲 计数原理

知识精讲

③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；

⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

（二）典例分析：

【例1】（2019辽宁5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）

A．70种B．80种C．100种D．140种

【例2】（2019重庆13）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．

【例3】（2019广东7）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）

A．36种B．12种C．18种D．48种

【例4】（2019湖北5）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）

A．18B．24C．30D．36

【例5】（2018四川6）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）

A．70种B．112种C．140种D．168种

【例6】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（）

A．1320B．288C．1530D．670

【例7】（2019北京7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648

【例8】（2018天津16）有4张分别标有数字1234

，，，的

，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于

10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．

【例9】（2018浙江16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．

【例10】（2018天津10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片

排成3行2列，要求3行中仅有

．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种

【例11】 （2019天津16）用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和

百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．

【例12】 （2018全国Ⅰ12）将1,2,3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一

种填法，则不同的填写方法共有（ ）

A ．6种

B ．12种

C ．24种

D ．48种

【例13】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二

楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．

【例14】 （2018辽宁9）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名

工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序

只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种

【例15】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，，⋅⋅⋅的9个小正方

形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．

A ．72

B ．108

C ．144

D ．192

【例16】 （2019浙江16）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台

阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

【例17】 编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有

______种．

【例18】 （2019四川11）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中

有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A ．360 B ．288 C ．216 D ．96

【例19】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二

楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．

【例20】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．

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