复合函数零点(题)
复合函数零点个数的探究_王跃
］ 分析 欲讨论函 数 ｈ（ ｘ）＝ ｆ［ ｘ） －ｃ 的 ｆ（ ）＝ ｃ 的 不 同 实 根ｔ 零点 ， 先 考 虑 方 程 ｆ（ ｔ ｉ∈ ｉ（ ，然后考虑方程 ｆ（ Ｎ＋ ） ｘ）＝ｔ ｉ 的根 ． ，考虑方程 ｆ（ ）＝ｃ． 解 令 ｆ（ ｘ）＝ｔ ｔ （ ） ） 当ｃ ＝－２ 时 ， 方程 ｆ（ １ ｔ ＝ｃ 有 ２ 个不相 、 （ ， ） ， 等的实根ｔ 方程 ｆ（ ２ｔ ｘ） ＝ｔ １ｔ ２ｔ １ ＝－ ２ ＝１ １ 有 ２ 个不相等的实根 ， ｘ）＝ｔ ｆ（ ２ 有３个不相等 ， 的实根 ．根据命题 １ 故函数 ｙ ＝ ｈ（ ｘ）的零点个 数为 ５． （ ） ） 当ｃ＝２ 时 ， 方程 ｆ（ ２ ｔ ＝ｃ 有 ２ 个不相等 ） ， 方程 ｆ（ 的 实根ｔ ｔ ｔ １， ｔ ｘ） ＝ｔ ３、 ４（ ３ ＝－ ４ ＝２ ３有
２ 等实根 ．根据命题 ２， 故 ｆ（ ｘ ｘ）＝ ａ 有 ４ 个 ＋２
不相等的实根 ； ） ） （ 当ａ＝８时 ， 方程ｆ（ ４ ｔ ＝ａ 有３ 个不相等 ， ） ， ） 的实根ｔ ｔ ｔ ｔ ０ ＜ｔ ｔ ． ７、 ８、 ９ （ ７ ＝－１ ８ ＜１ ９ ＞１
２ ２ 方 程ｘ ｘ ＝ｔ ｘ ｘ ＝ｔ ＋２ ＋２ ７ 有 １ 个实根 ， ８ 有２ ２ 个不相等的实根 ， ｘ ｘ ＝ｔ ＋２ ９ 有２个不相等的 ２ 实根 ．根据命题２， 故ｆ（ ｘ ｘ） ＋２ ＝ａ 有５ 个不相
２ ， ） 分析 令 ｘ 先讨论 ｆ（ ｔ ＋ｘ ＝ｔ ＝ａ 不同 ２ 的实根ｔ 再研究 ｘ ｉ ∈ Ｎ＋ ）情况 ， ＋ｘ ＝ｔ ｉ（ ｉ 根． ２ 解 令ｘ ． ＋ｘ ＝ｔ
， 故 ２ ｘ ＝ｔ １ ２ 有 ２ 个 不 相 等 的 实 根 ．根 据 命 题 ２
２ ｘ ｘ）＝ ａ 有 ６ 个不相等的实根 ． ＋２ ｆ（ （ ） ） 当ａ＞９时 ， 方程ｆ（ ６ ｔ ＝ａ 有２ 个不相等 ２ ） ， ） 方程ｘ 的 实根ｔ ｔ ０＜ｔ ｔ ｘ ＋２ １ ３、 １ ４ （ １ ３ ＜１ １ ４ ＞１ ２ ｘ ｘ ＝ｔ ＝ｔ ＋２ １ ３ 有 ２ 个不相等的实根 ， １ ４ 有２ 个 ２ 不相等的 实 根 ．根 据 命 题 ２， 故 ｆ（ ｘ ＋２ ｘ）＝ ａ
指数型复合函数零点
我们要找出一个指数型复合函数的零点。
首先，我们需要理解什么是零点。
一个函数的零点是指函数值为0的x值。
例如，函数f(x) = x^2 - 4 的零点是x = ±2，因为f(2) = 0 和f(-2) = 0。
对于指数型复合函数，例如f(x) = a^x + b^x，我们可以通过令它等于0来找到零点。
即：a^x + b^x = 0但是，请注意，对于非线性指数函数，我们通常不能直接找到所有零点。
这是因为指数函数是非线性的，所以它的解可能不是简单的x值。
为了找到这个函数的零点，我们可以使用数值方法，例如二分法或牛顿法。
这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。
为了找到指数型复合函数的零点，我们可以使用二分法或牛顿法等数值方法。
这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。
例如，对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以使用二分法来找到它的零点。
首先，我们需要选择一个初始区间[a, b]，然后反复将区间一分为二，并检查中间点的函数值。
如果中间点的函数值为负，则说明零点在右半部分；如果中间点的函数值为正，则说明零点在左半部分。
通过不断缩小区间，我们可以找到函数的零点。
另一种方法是使用牛顿法。
牛顿法是一种迭代方法，它基于函数的泰勒级数展开来逼近函数的零点。
对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以将其泰勒级数展开并保留前几项，然后将其等于0来求解x。
通过不断迭代，我们可以找到函数的零点。
需要注意的是，对于非线性指数函数，我们可能无法找到所有的零点。
因此，在使用数值方法时，我们需要合理选择初始区间或迭代初值，以确保找到的零点具有一定的精度和可靠性。
专题01 零点个数问题(解析版)
专题01 零点个数问题专题概述本类问题题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等。
要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用.典型例题考向1 分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题【例1】（2020•漳州一模）已知函数21,1()43,1x e x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩，若y kx =与()f x 有三个公共点，则实数k 的取值范围是( ) A．4,1)e - B．4,0)(0,1)e - C．4,1)(1,1)e -D．4,0)(0,1)(1,1)e -【分析】如图所示，函数()f x 的图象，y kx =的图象．1x -→时，()1f x e →-，可得(1,1)A e -，1OA k e =-．1x <时，()1x f x e =-，()x f x e '=．1x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，．假设()f x 与y kx =相切于原点时，01k e ==．结合图形可得k 范围，满足y kx =与()f x 有三个公共点．设直线y kx =与2()43(1)f x x x x =-+相切于点0(P x ，20043)x x -+，根据200004324x x x x -+=-，解得：0x ，可得斜率k ．结合图形可得k 满足条件，使得y kx =与()f x 有三个公共点．【解答】解：如图所示，函数()f x 的图象，y kx =的图象． 1x -→时，()1f x e →-，可得(1,1)A e -，1OA k e =-．1x <时，()1x f x e =-，()xf x e '=．1x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，()24f x x '=-．假设()f x 与y kx =相切于原点时，01k e ==．结合图形可得：11k e <<-时y kx =与()f x 有三个公共点．设直线y kx =与2()43(1)f x x x x =-+相切于点0(P x ，2043)x x -+， 则200004324x x x x -+=-，化为：203x =，解得：0x =4k =．结合图形可得：41k <<时，y kx =与()f x 有三个公共点．综上可得：41k <<，或11k e <<-时，y kx =与()f x 有三个公共点． 故选：C ．【例2】(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，1]【答案】A【解析】画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.【变式训练】（2020•泉州一模）已知函数1,(0),()2,(0)x xe x f x x lnx x ⎧+=⎨-->⎩若函数()y f x a =-至多有2个零点，则a的取值范围是( ) A ．1(,1)e -∞-B ．1(,1)(1,)e-∞-+∞C ．1(1,1)e--D ．[1，1]e +【分析】利用导数判断出函数()f x 的图象，数形结合即可．【解答】解：当0x 时，()1x f x xe =+，则()(1)0x f x x e '=+=时，1x =-，则()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，且当x →-∞时，()1f x →，1(1)1f e-=-；当0x >时，()2f x x lnx =--，则1()10f x x'=-=时，1x =，则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且f （1）1=-，函数()y f x a =-至多有2个零点等价于函数()f x 的图象与直线y a =的图象至多2个零点， 作出图象如下：由图可知，1a >时，图象有2个交点，满足； 111a e-时，图象有3个或4个交点，不满足； 11a e <-时，图象有2个或1个或0个交点，满足，故(a ∈-∞，11)(1e-⋃，)+∞，故选：B ．考向2 复合函数的零点个数问题【例3】（2020•郑州一模）2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，32515()244g x x x m =-++，若(())y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,3)C ．5(1,)3D ．5(,3)3【分析】求出函数()g x 的极值点，结合函数()y f x =的图象和()y g x =的图象，分类讨论，确定m 的范围． 【解答】解：令()t g x =，32515()244g x x x m =-++，2215151515()(2)(2)4244g x x x x x x x '=-=-=-， 当(,0)x ∈-∞，(2,)+∞时，函数()g x 递增，当(0,2)x ∈时，函数()g x 递减， 函数()g x 有极大值(0)2g m =+，极小值g （2）3m =-， 若(())y f g x m =-有9个零点，画出图象如下：观察函数()y f t =与y m =的交点，当0m <时，1t >，此时函数()y f t =与y m =最多有3个交点，故不成立，当0m =时，112t =-，22t =，(0)2g =，g （2）3=-，1()g x t =，有三个解，()2g x =有2个解，共5个解不成立；当3m >时，显然不成立；故要使函数有9个零点，03m <<，根据图象，每个y t =最多与()y g x =有三个交点，要有9个交点，只能每个t 都要有3个交点，当03m <<，()y f t =与y m =的交点，1122t -<<-，2112t -<<，329t <<，(0)2(2g m =+∈，5)，g （2）3(3,0)m =-∈-，当322t m <<+时，由233(1),21m log t m t -==+，即2212m m <+<+时，得01m <<时，323t <<时3()x t =，有三个解， 2()g x t =，要有三个解132m -<-，即52m <，1()g x t =有三个解32m -<-，即1m <，综上，(0,1)m ∈， 故选：A ．【例4】（2019·湖北重点中学联考）已知函数()x f x xe =，若关于x 的方程()()()2230f x tf x t R -+=∈有两个不等实数根，则t 的取值范围为__________.【答案】1322e e ⎫+⎪⎭【解析】xy xe =，易知()x f x xe =的图象如下：()11f e-=， 令()f x k =，则2230k tk -+=，得32,0t k k k=+>， 当()f x k =有两个不等实根是，则1k e>，所以123t e e <<+，即t 的取值范围是1322e e ⎫+⎪⎭。
1复合函数、零点问题
学之导教育中心教案学生: 康洋 授课时间: 8.15 课时: 4 年级: 高二 教师： 廖课 题 复合函数、零点问题教学构架一、 知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、 知识回顾1、必修1函数知识梳理二、错题再现1、已知实数a,b 满足等式11()()23a b ，下列5个关系式正确的有：（1）0<a<b;(2)a<b<0;(3)0<a<b;(4)b<a<0;(5)a=b2、如果函数y=a 2x+2ax-1(a>0,且a ≠1)[-1,1]上的最大值为14，求a 值3、求值（1）（log 43+log 83）（log 32+log 92） （2）本次内容掌握情况 总结教 师 签 字学 生 签 字三、知识新授（一）对数函数的定义:（二）对数函数图象及性质：在同一坐标中画出下列函数的图像：（1）y=log 2x （2）y=log 3x （3）y=log 21x （4）y=log 31x练习：1 求下列函数的定义域（1）y=log 5(1-x) (2)y=log 7x311a>10<a<1 图 像性质 （1）定义域： 值域:（2）过定点： （3）奇偶性：(4)单调性：（4）单调性：（5）当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1 (5)(3)y=)34(lo 5.0-x g (4)y=)31(log 2x -(5)y=log x+1(16-4x) (6) y=)32lg(422---x x x2、比较下列各值的大小（1）log 1.51.6,log 1.51.4 (2) log 1.12.3和log 1.22.2 (3) log 0.30.7和log 2.12.9 (4) 8.2log 7.2log 2121和3、已知集合A={2≤x ≤π},定义在集合A 上的函数y=log a x 的最大值比最小值大1，求a 值4、求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值5.求函数y=log a (2-ax-a 2x )的值域。
复合函数的零点问题
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得 ，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．
微专题22 函数嵌套问题(解析版)
微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“()()=f f x k ”型问题题型二：“()()=f g x k ”型问题题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“()()=f f x k ”型问题例1．设函数()|2|f x x x =-，0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，若0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．【解析】解：函数()|2|f x x x =-，当(0,2)x ∈时，2()|2|(2)(1)11f x x x x x x =-=-=--+ ；作函数()|2|f x x x =-的图象如下：解(2)1x x -=，得到1x =或1x =+又0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，所以(0)1f x =+f （2）01=<，f （3）31=>+，因为0(x k ∈，1)()k k Z +∈，所以2k =，故答案为：2．例2．设函数()|2|f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，函数()f x 的最大值等于，若0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，且0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．【解析】解：当(0,2)x ∈时，2()|2|(2)(1)11f x x x x x x =-=-=--+ ；作函数()|2|f x x x =-的图象如下，解|2|1x x -=得，1x =或1x =+；又0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，0()1f x ∴=+；且f （2）01=<+f （3）31=>+；故2k =．故答案为：1，2．例3．已知函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则函数()(())1g x f f x =-的零点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：令()(())10g x f f x =-=，可得1()2f x =-或()1f x =或()4f x =，函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩的图象如图所示，由图象可知，当1()2f x =-时，有1个解；当()1f x =时，有3个解；当()4f x =时，有1个解．综上所述，函数()(())1g x f f x =-的零点个数为5个．故选：C ．变式1．已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为()A ．4B ．7C ．8D ．9【解析】解：令()1f x =，解得2x =或1x =-，则令()0g x =，可得()2f x =±()1f x =-，作出函数()f x 的图象如图所示，由图象可知，()2f x =+3个零点，()2f x =-3个零点，()1f x =-有1个零点，故函数()g x 有7个零点．故选：B ．变式2．已知函数2log (),(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-⎩，则函数()[()1]g x f f x =+的零点个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：设()1M f x =+，解()0f M =，得2M =或1M =-，①当1M =-时，由()11f x +=-，得2log ()2x -=-或22x -=-，即得0x =或14x =-；②当2M =时，由()12f x +=得()1f x =，即2log ()1x -=或21x -=，即2x =-或3x =，综合①②得：函数()[()1]g x f f x =+的零点为：2x =-或3x =或0x =或14x =-共4个；故选：D ．变式3．已知函数2()f x x x q =++，集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，{|(())0B x f f x ==，}x R ∈，若B 为单元素集，试求q 的值．【解析】集合{|()0A x f x ==，}，{|(())0}B x f f x ==A B∴⊆2211{|(()0}{|()()0}{|[(()]}24B x f f x x f x f x q x f x q ∴===++==++-B 为单元集，1()2f x ∴=-，1{}4B q ∴=-，2{|()0}{|0A x f x x x x q ===++=，}x R ∈，当A =∅时，B =∅不符题意，故A ≠∅，当1{|}2A x x ==-时，△140q =-=，解得：14q =，222111(())()()0444f f x x x x x ∴=++++++=，△11404=-⨯=21142x x ∴++==-，2304x x ++=，方程无解，不符B 为单元集，故1{|}2A x x ≠=-．∴方程20x x q ++=有2个不相等的实数解：12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A ∴=A B⊆∴B14q =-，解得：134q -+=或234q --=（舍去）．B时有：1q =或2q =．综上，1q =题型二：“()()=f g x k ”型问题例4．已知函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ （1）求[g f （1）]的值；（2）若方程[()]0g f x a -=有4个实数根．求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）f （1）123=--=-，[g f （1）](3)312g =-=-+=-，即[g f （1）]2=-．（2）令()f x t =，则原方程化为()g t a =，易知方程()f x t =在(,1)t ∈-∞内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数()y g t =(1)t <与y a =的图象有2个不同的交点，作出函数()y g t =(1)t <的图象，如图；g （1）15144=+=，11()2142g x x x =+=⨯= ，由图象可知，当514a <时，函数()y g t =，(1)t <与y a =有2个不同的交点，即所求a 的取值范囿是[1，5)4．例5．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ ，()[()]h x g f x =．（1）求函数()h x 的单调递增区间．（2）若关于x 的方程()0h x a -=有4个不同的实数很，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）令220x x --=得，0x =，或2x =-；∴当2x - ，或0x 时，()0f x ，当20x -<<时，()0f x >；()()()21,20421,20f x x f x h x x x x x ⎧+-<<⎪∴=⎨⎪--+-⎩或 ；①当2x - 时，函数()h x 为增函数；0x 时，函数()h x 为减函数；②当20x -<<时，令()f x t =，01t <<，设()y h x =，则：14y t t=+，01t <<，22414t y t -'=，1(0,)2t ∴∈时，0y '<，14y t t =+为减函数，1(2t ∈，1)时，0y '>，14y t t=+为增函数；令21()22f x x x =--=，则212x =-±，当212x -<<--时，()f x 为增函数，()g x 为减函数，故()h x 为减函数；当112x --<<-时，()f x 为增函数，()g x 为增函数，故()h x 为增函数；当11x -<<-+()f x 为减函数，()g x 为增函数，故()h x 为减函数；当10x -+<<时，()f x 为减函数，()g x 为减函数，故()h x 为增函数；综上所述，函数()h x的单调递增区间为[12--，1]-，[12-+，)+∞，(-∞，2]-；（2）由（1）可得，当0x 或2x - 时，()1h x ；1x =-时，()h x 取得极大值54；1x =-时，()h x 取得极小值1；12x =-+时，()h x 取得极小值1．由方程()0h x a -=有4个不同的实数很，即为()y h x =的图象与直线y a =有4个交点．则a 的取值范围是[1，5)4．例6．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ ，()[()]h x g f x =，求函数()h x 的单调递增区间．【解析】解：令220x x --=得，0x =，或2x =-；∴当2x - ，或0x 时，()0f x ，当20x -<<时，()0f x >；∴()()()21,20421,2,0f x x f x h x x x x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪--+-⎩或 ；（1）当2x - 时，函数()h x 为减函数；（2）当20x -<<时，令()f x t =，01t <<，设()y h x =，则：14y t t=+，01t <<，22414t y t -'=；∴1(0,)2t ∈时，0y '<，14y t t =+为减函数，1(,1)2t ∈时，0y '>，14y t t=+为增函数；令21()22f x x x =--=，则12x =-±，当2212x -<<--时，()f x 为增函数，()g x 为减函数，故()h x 为减函数；当11x -<-时，()f x 为增函数，()g x 为增函数，故()h x 为增函数；当112x -<<-+时，()f x 为减函数，()g x 为增函数，故()h x 为减函数；当102x -+<<时，()f x 为减函数，()g x 为减函数，故()h x 为增函数；（3）当0x 时，()h x 为增函数；综上所述，函数()h x的单调递增区间为[12--，1]-，[12-+，)+∞．变式4．已知函数2()2f x x x =--，1;0()1;04x x g x x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若函数[()]y g f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是．【解析】解：由题意可得函数[()]y g f x =与函数y a =有4个交点，如图所示：，结合图象可得514a < ，故答案为[1，5)4．变式5．已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩ ，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a 【解析】解：函数32()31f x x x =-+，21,0()()468,0x x g x g x xx x x ⎧+>⎪==⎨⎪---⎩ ，2()36f x x x ∴'=-，令()0f x '=得：0x =，或2x =，故当0x =时，函数()f x 取极大值1，当2x =时，函数取极小值3-；则()f x 与y m =的交点情况为：当3m <-，或1m >时，有一个交点；当3m =-，或1m =时，有两个交点；当31m -<<时，有三个交点；()g x 与y a =的交点情况为：当01a <<时有两个交点，一个在区间(4,3)--上，一个在区间(3,2)--上；当1a =时有两个交点，一个为3-，一个为12；当1a >时有两个交点，一个在区间1(0,)2上，一个在区间1(2-，1)上．若方程[()]0g f x a -=有6个解，()0g m a -=有两个根，均在(3,1)-上，故5(1,4a ∈，故选：A ．题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题例7．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．（1）当1a =，3b =时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数22()541ag x x a a =-+-+的图象上，求b 的最小值．【解析】解：（1）2()42f x x x =++，由242x x x ++=，解得2x =-或1x =-，所以所求的不动点为1-或2-．（2）令2(1)1ax b x b x +++-=，则210ax bx b ++-=①，由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△24(1)0b a b =-->，即2440b ab a -+>恒成立，则△216160a a =-<，故01a <<．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，12()x x ≠，22()541ag x x a a =-+-+，又AB 的中点在该直线上，所以12121222()225412x x x x x x ag a a +++=-+=-+，∴1222541ax x a a +=-+，而1x ，2x 应是方程①的两个根，所以12b x x a +=-，即22541b aa a a -=-+，∴2222222111541()4()5(2)1a b a a a a a =-=-=--+-+-+，∴当1(0,1)2a =∈时，2min b =-．例8．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．()I 当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--，因为0x 为()f x 的不动点，所以20003x x x --=，即20230x x --=解得01x =-，03x =，所以1-和3是2()3f x x x =--的不动点．（Ⅱ）因为()f x 恒有两个相异的不动点，即方程()f x x =恒有两个不同的解，即2()10f x ax bx b =++-=有两个不相等的实数根，所以24(1)0b a b -->恒成立，即对任意b R ∈，2440b ab a -+>恒成立，所以2(4)440a a --⨯<，所以20a a -<，所以01a <<，所以a 的取值范围为(0,1)．例9．设函数()0f x x =>，a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是．【解析】解：存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立∴存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ）即函数()f x 与其反函数1()f x -在[0，1]上有交点()f x =[0，1]上为增函数∴函数()f x 与其反函数1()f x -在[0，1]的交点在直线y x =上，即函数()f x 与其反函数1()f x -的交点就是()f x 与y x =的交点令：22x e x a x +-=，则方程在[0，1]上一定有解x a e ∴=，1a e ∴ ．故答案为：1a e ．变式6．设函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，则实数c 的取值范围是．【解析】解：函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，即为2()f x x c x ++>，即222()2x x c x x c x +++++>，可得222()20x x c x c ++++>恒成立，由222()0x x c x +++ ，即有0c >，故答案为：0c >．变式7．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，记{|()}A x f x x ==，{|(())}B x f f x x ==，则下列说法错误的是()A ．对于函数()f x x =，有AB =成立B ．若()f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C ．对于函数1()()2x f x =，有A B =成立D ．对于函数()bf x x=，存在(0,)b ∈+∞，使得A B =成立【解析】解：对于A ：函数()f x x =，{|}A x x x R B ====，故A 正确；对于B ：若()f x 为二次函数，A 是空集，则对任意实数x ，方程()f x x =无解，这样(())f f x x =也无解，所以B 也为空集，故B 正确；对于C ：函数1()(2x f x =为单调减函数，任取0x A ∈，则001(2x x =，而00001(())(())()2x f f x f f x x ===，即A B ⊆，反之，任取0y B ∈，则001(())2y f y =，若001()2y y >，则001(())2y y <，出现矛盾，若001()2y y <，则001(())2y y >，出现矛盾，所以001()2y y =，则B A ⊆，综上所述，A B =，故C 正确；对于D ：对于函数()b f x x=，由()bf x x x==，得2x b =，当0b >时，x =所以{A =，又(())()b bf f x f x b xx===，所以{|0}B x x =≠，所以A B ≠，故D 错误；故选：D ．变式8．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”：若00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，如果函数2()1()f x ax a R =+∈的稳定点恰是它的不动点，那么a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞C ．31[,]44-D ．1(1,]4-【解析】解：0x 为函数()f x 的“不动点”，则方程()f x x =，即210ax x +-=有实根，故△140a =- ，14a ∴，如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根0x 为方程(())f f x x =，即21ax x +=的实根，方程(())f f x x =可化为：22(1)1a ax x ++=，即2222(1)1a ax ax ax x +-++=，利用平方差公式分解因式得，222(1)(1)()0a ax x ax x x a x ∴+++-++-=，22()(1)0a x a x x x a ∴+-+++=，函数2()1()f x ax a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程210x x a +++=无实数根，14(1)0a ∴-+<，∴34a >-，综上，1344a >- ，故选：C ．变式9．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]4B ．3(4-，)+∞C ．3(4-，1]4D ．3[4-，14【解析】解：0x 为函数()f x 的“不动点”，则方程()f x x =，即20x a x +-=有实根，故△140a =- ，∴14a，如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根0x 为方程(())f f x x =，即2x a x +=的实根，方程(())f f x x =可化为：22()x a a x ++=，即2222()x a x x a x +-++=，利用平方差公式分解因式得，222()()()0x a x x a x x a x ∴+++-++-=，22()(1)0x a x x x a ∴+-+++=，函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程210x x a +++=无实数根，14(1)0a ∴-+<，∴34a >-，当34a =-时，221104x x a x x +++=++=解得12x =-，此时22304x a x x x +-=--=的解为112x =-，232x =，两方程具有相同的实根，能同时满足20x a x +-=有实根且22()(1)0x a x x x a +-+++=有实根，因此34a =-满足题意．综上，3144a - ，故选：D ．变式10．设函数())f x a R =∈．若存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是()A ．[0，14B ．[1，2]C ．[0，1]D ．1[4，1]【解析】解：由(f f （b ）)b =，可得f （b ）1f -=（b ），其中1()f x -是函数()f x 的反函数因此命题“存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立”，转化为“存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ）”，即()y f x =的图象与函数1()y f x -=的图象有交点，且交点的横坐标[0b ∈，1]，()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，()y f x ∴=的图象与函数1()y f x -=的图象的交点必定在直线y x =上，由此可得，()y f x =的图象与直线y x =有交点，且交点横坐标[0b ∈，1]，x =，化简整理得2x a x -=．[0x ∈，1]，即2a x x =-，[0x ∈，1]，∴根据二次函数的性质得出：104a即实数a 的取值范围为[0，1]4．故选：A ．变式11．设函数()f x a R =∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使[f f （b ）]b =成立，则a 的取值范围()A ．[1，]e B ．[0，]e C ．[2，]e D ．[1，1]e +【解析】解：因为存在[0b ∈，1]，使[f f （b ）]b =成立，所以存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ），即函数()f x 与其反函数在[0，1]上有交点，因为函数()f x =[0，1]上为单调递增函数，所以函数()f x 与其反函数在[0，1]的交点在直线y x =上，即函数()f x 与其反函数的交点即为()f x 与y x =的交点，x =，即22x e x x a x ++-=在[0，1]上有解，所以x a e x =+在[0，1]上有解，因为x a e x =+在[0，1]上单调递增，所以11a e + ，则a 的取值范围为[1，1]e +．故选：D ．变式12．设函数())f x a R =∈，若存在[1b ∈，]e ，使得(f f （b ）)b =成立，则实数a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1-，0]【解析】解：由(f f （b ）)b =，可得f （b ）1f -=（b ），其中1()f x -是函数()f x 的反函数因此命题“存在[1b ∈，]e 使(f f （b ）)b =成立”，转化为“存在[1b ∈，]e ，使f （b ）1f -=（b ）”，即()y f x =的图象与函数1()y f x -=的图象有交点，且交点的横坐标[1b ∈，]e ，()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，()y f x ∴=的图象与函数1()y f x -=的图象的交点必定在直线y x =上，由此可得，()y f x =的图象与直线y x =有交点，且交点横坐标[1b ∈，]e ，x =，化简整理得lnx a =．记()F x lnx =，()G x a =，由[1x ∈，]e ，可得()[0F x ∈，1]，即01a ．即实数a 的取值范围为[0，1]．故选：A ．变式13．设函数())f x a R =∈．若方程(())f f x x =有解，则a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．1(0,]8C ．1(,]8-∞D ．[1，)+∞【解析】解：设()f x t =，0t ，则方程(())f f x x =等价为()f t x =，即tx==，t x ∴=，即()f x x =，∴x =在0x 时有解，即2x a x -=，2a x x ∴=-+在0x 时成立，设22211()()()24g x x x x x x =-+=--=--+，x ∴当12x =时，()g x 取得最大值14，1()4g x ∴，即14a，故选：A ．题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题例10．设()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若函数(())y f g x x =-有零点，则函数(())g f x 不可能是()A ．215x -B ．215x +C ．215x x +-D ．215x x ++【解析】解：函数(())y f g x x =-有零点，∴方程(())f g x x =有解，((()))()g f g x g x ∴=，(())g f x x ∴=有解，若21(())5g f x x =-，则可判断215x x -=有解，故成立；若21(())5g f x x =+，则可判断215x x +=有解，故成立；若21(())5g f x x x =+-，则可判断215x x x +-=有解，故成立；若21(())5g f x x x =++，则可判断215x x x ++=无解，故不成立；故选：D ．例11．()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程[()]0x g f x -=有实数解，则[()]f g x 不可能是()A ．32x-B ．23x -C ．4|1|5x --+D ．4|1|5x -+【解析】解：因为[()]0x g f x -=，所以[()]g f x x =，得{[()]}()f g f x f x =，即[()]f g x x =，所以[()]g f x x =与[()]f g x x =是等价的，即[()]x g f x =有解，[()]f g x x =也有解，也就是说有解得都是有可能的，A ．当32x x -=时，1x =成立；B ．当23x x -=时，23x x =+结合图象有解；C ．当4|1|5x x --+=时，即4|1|5x x -=-，当1x 时，得910x =，舍去；当1x <时，无解，故方程无解，C 错误；D ．当4|1|5x x -+=时，得910x =有解．故选：C ．例12．函数()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，若[()]x g f x =方程有解，则函数[()]g f x 不可能是()A ．215x x +-B ．215x -C ．215x x ++D ．215x +【解析】解：[()]x g f x =方程有解，得[()]g f x x =方程有实根，直接把四个答案分别代入，发现只有C 无解；题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个C ．故选：C ．题型五：含参二次函数复合型零点问题例13．设定义域为R 的函数|1|251,0()44,0x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则(m =)A ．6m =B ．2m =C ．6m =或2D ．6m =-【解析】解：当2m =时，由2()5()40f x f x -+=得()1f x =或()4f x =，当0x 时，|1|()51x f x -=-，由|1|511x --=得51log 2x =±均符合，由|1|514x --=得0x =，2x =均符合，当0x <时，2()44f x x x =++，由2441x x ++=得1x =-，3x =-均符合，由2444x x ++=得0x =（舍)，4x =-符合，故2m =时，关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，所以排除A 和D ；当6m =时，由2()13()90f x f x -+=得()4f x =或()9f x =，当()4f x =时，已经解出0x =，2x =，4x =-均符合；当()9f x =时，由|1|0519x x -⎧⎨-=⎩ ，解得51log 10x =+，由20449x x x <⎧⎨++=⎩得5x =-，故6m =时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除C ．故选：B ．例14．设定义域为R 的函数|1|251,0()44,0x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则(m =)A ．6B ．4或6C ．6或2D ．2【解析】解：题中原方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数根，结合函数()f x 的图象可得，令()t f x =，则关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根大于4或等于0．把4t =代入方程22(21)0t m t m -++=求得2m =或6m =．当2m =时，关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根等于1，不满足条件．当6m =时，关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根等于9，满足条件．故选：A．例15．设定义域为R 的函数1(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，则b c +值为()A ．0B ．1C ．1-D ．不能确定【解析】解：作函数1(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，∴方程20x bx c ++=有2个不同的实数解1，1x ，11x b ∴+=-，11x c =，故1111b c x x +=--+=-，故选：C．变式14．设定义域为R 的函数|1|21,(1)(),(1)x x f x a x --⎧+≠=⎨=⎩，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．3(0,)2C ．(1,2)D ．33(1,)(,2)22【解析】解：作出()f x 的图象如图：设()t f x =，则方程等价为22(23)30t a t a -++=，由图象可知，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出()f x 的简图：由图可知，只有当()f x a =时，它有三个根．所以有：12a <<①．再根据22()(23)()30f x a f x a -++=有两个不等实根，则判别式△2(23)4230a a =+-⨯⨯>，解得32a ≠，故312a <<或322x <<，故选：D．变式15．设定义域为R 的函数|1|(1)()1()1(1)2x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．11(0,)(,1)22C ．(1,2)D ．33(1,)(,2)22【解析】解：题中原方程22()(23)()30f x a f x a -++=有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出()f x 的简图：由图可知，只有当()f x a =时，它有三个根．所以有：12a <<①．再根据22()(23)()30f x a f x a -++=有两个不等实根，得：△23(23)42302a a a =+-⨯⨯>⇒≠②结合①②得：312a <<或322a <<．故选：D ．变式16．设定义域为R 的函数2,1()|(1)|,1x x f x lg x x ⎧=⎨->⎩ ，若关于x 的方程2()()0f x bf x +=有4个不同的实根，则实数b 的取值范围为()A ．(2,)+∞B ．(0，2]C ．[2-，0)D ．(,2)-∞-【解析】解：作函数2,1()|(1)|,1x x f x lg x x ⎧=⎨->⎩的图象如下，，2()()0f x bf x +=，()0f x ∴=或()f x b =-，结合图象可知，方程()0f x =有且仅有一个根2x =，故方程()f x b =-有3个不同的根，故02b <- ，故20b -< ，故选：C ．变式17．（多选题）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称，据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p 关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是()A ．{1，2}B ．{1，3，6，9}C ．{1，2，3，4}D ．{1，4，16，64}【解析】解：2()f x ax bx c =++的对称轴为直线2b x a=-，设方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解为1()f x ，2()f x ，则必有211()f x y ax bx c ==++，222()f x y ax bx c ==++，那么从图象上看，1y y =，2y y =是一条平行于x 轴的直线，它们与()f x 有交点，由对称性，则方程21y ax bx c =++的两个解1x ，2x 要关于直线2b x a =-对称，即12b x x a+=-，同理方程22y ax bx c =++的两个解3x ，4x 也要关于直线2b x a =-对称，即34b x x a+=-，在A 中，可以找到对称轴为直线32x =，在C 中，可以找到对称轴为直线 2.5x =，在B 中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案B 不可能，在D 中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案D 不可能，故选：BD ．变式18．设定义域为R 的函数2|1|,0()(1),0x x f x x x +⎧=⎨->⎩，找出一组b 和c 的值，使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个不同的实根．【解析】解：()f x 的图象如图所示：32b =-，12c =满足条件，理由如下：设()f x t =，20t bt c ++=，由图象可得以上有关于t 的方程必须有一解为1，另一解a 在区间(0,1)中，才会使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个解．其中，()1f x =有3个解，()(0f x a =∈，1)有四个解．所以可令11t =，212t =，即可得方程231022x x -+=，则32b =-，12c =．故答案为：32b =-，12c =．变式19．设定义域为R 的函数|1|2,(0)(),(0)x a x f x x bx c x -⎧=⎨++<⎩，f （2）4=，(3)(1)1f f -=-=．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，求实数m 的值．【解析】解：（1）由题意，f （2）4a ==；(3)931f b c -=-+=，(1)11f b c -=-+=；则4a =，4b =，4c =；故|1|24,0()44,0x x f x x x x -⎧=⎨++<⎩ ；（2）作|1|24,0()44,0x x f x x x x -⎧=⎨++<⎩的图象如下，则若使关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则22(21)0t m t m -++=有两个不同的实数解，且有一个解为1或4；若1是22(21)0t m t m -++=得解，则21(21)0m m -++=；故0m =或2m =；若0m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为1，0；不成立；若2m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为1，4；由图知不成立；若4是22(21)0t m t m -++=得解，则2164(21)0m m -++=；故6m =或2m =；若6m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为4，9；不成立；故不存在．题型六：零点求和问题例16．设定义域为R 的函数1,11()1,11,11x x f x x x x⎧>⎪-⎪==⎨⎪⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值是()A ．1B ．3C ．5D ．10【解析】解：令()f x t =，做出()f x 的函数图象如下：由图象可知当1t =时，()f x t =有三解，当01t <<或1t >时，()f x t =有两解，当0t 时，方程()f x t =无解．关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的解1x ，2x ，3x ，()1f x ∴=，当1x <时，令111x=-解得0x =，当1x >时，令111x =-解得2x =，当1x =时，显然1x =是()1f x =的解．不妨设123x x x <<，则10x =，21x =，32x =，∴2221235x x x ++=．故选：C ．例17．设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++等于()A ．5B ．4C ．1D ．0【解析】解：分段函数的图象如图所示：由图可知，只有当()1f x =时，它有三个根．由11|1|x =-，即|1|1x -=，解得0x =，2x =或1x =．∴关于x 的方程2()()0f x af x b ++=有且只有3个不同实数解，解分别是2，1，0，即12x =，21x =，30x =，2221234105x x x ∴++=++=，故选：A ．例18．设定义域为R 的函数|2|,2()4,2lg x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解(1i x i =，2，3，4，5)，则12345(2)(f x x x x x +++++=)A ．12B ．14C ．2D ．1【解析】解：画出()f x 的图象，由于关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，令()f x t =，则20t bt c ++=有两个不等的实数根，且其中一个为2，画出直线(2)y m m =≠，得到5个交点，其横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，设32x =，且12345x x x x x <<<<，由于|2|y lg x =-的图象关于直线2x =对称，则15244x x x x +=+=，即有1234510x x x x x ++++=，则12345(2)(12)101f x x x x x f lg +++++===，故选：D ．变式20．（多选题）设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．下列说法正确的是()A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-【解析】解：因为函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，作出函数图象如图所示，关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解，由图象可知，只有当()1f x =时，方程有三个根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，故12x =-，21x =-，30x =，所以2221235x x x ++=，故选项A 正确；当()1f x =时，由2[()]()0f x af x b ++=，可得10a b ++=，故选项B 正确；因为1322022x x x +=-+=-=，故选项C 错误；因为13202x x +=-+=-，故选项D 正确；故选：ABD ．变式21．设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345x x x x x ++++=．【解析】解：作出函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，如图所示，令()f x t =，由图象可知，当1t =时，方程()f x t =有3个根，当01t <<或1t >时，方程()f x t =有2个根，则方程2()()0f x bf x c ++=，等价于20t bt c ++=，因为方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，所以等价于方程20t bt c ++=有两个实数解11t =，或201t <<，或21t >，可得这5个根也关于直线1x =对称，所以123455x x x x x ++++=．故答案为：5．题型七：其他型例19．已知()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有13[()log ]4f f x x +=，且方程|()3|f x a -=在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是()A ．01a <B ．1a <C ．01a <<D ．1a 【解析】解：()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，对任意的(0,)x ∈+∞，都有13[()log ]4f f x x +=，∴必存在唯一的正实数a ，满足13()log f x x a +=，f （a ）4=①，f ∴（a ）13log a a +=②，由①②得：134log a a +=，即13log 4a a =-，41(3a a -∴=，解得3a =．故13()log 3f x x a +==，13()3log f x x ∴=-，由方程|()3|f x a -=在区间(0，3]上有两解，即有13|log |x a =在区间(0，3]上有两解，作出13|log |y x =的图象，如图所示：，结合题意，01a < ，故选：A ．例20．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意(0,)x ∈+∞，都有12[()log ]3f f x x +=”，则方程()2f x =+()A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】解：定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，满足12[()log ]3f f x x +=，()2f x =+，∴必存在唯一的正实数a ，满足12()log f x x a +=，f （a ）3=，①∴12()log f a a a +=，②由①②得：123log a a +=，12log 3a a =-，31()2a a -=，左增，右减，有唯一解2a =，故12()log 2f x x a +==，12()2log f x x =-，由122log 2x -=+，得2log x =∴x =，令0t =>，则22t t =，此方程只有两个正根2t =，或4t =，4x ∴=，或16x =．故方程()2f x =+2．故选：B ．例21．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有12[()log ]3f f x x +=，则方程3()2f x x =-的解的个数是．【解析】解：定义域为(,)O +∞的单调函数()f x ，满足12[()log ]3f f x x +=，3()2f x x =-，∴必存在唯一的正实数a ，满足12()log f x x a +=，f （a ）3=，①f ∴（a ）12log a a +=，②由①②得：123log a a +=，12log 3a a =-，31()2a a -=，左增，右减，有唯一解2a =，故12()log 2f x x a +==，12()2f x log x =-，由31222log x x -=-，得312log x x =，∴由函数图象可知3()2f x x =-的解只有一个．故答案为1．。
零点问题复合函数练习题
一、函数概念1. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求f(g(x))。
2. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求f(g(2))。
3. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求f(h(3))。
4. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求f(1)。
5. 设f(x) = 5x 2，g(x) = f(x^2)，求g(4)。
二、复合函数的求值6. 若f(x) = x^3，g(x) = f(x + 1)，求g(2)。
7. 设h(x) = 4x^2 1，f(x) = h(x 1)，求f(3)。
8. 若g(x) = 2x + 5，f(x) = g(x^2)，求f(1)。
9. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求f(2)。
10. 若g(x) = 3x 2，f(x) = g(x^3)，求f(2)。
三、复合函数的求导11. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求(f ∘ g)'(x)。
12. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求(g ∘ f)'(2)。
13. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求(f ∘ h)'(3)。
14. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求(f ∘ g)'(1)。
15. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求(f ∘h)'(x)。
四、复合函数的极值16. 设f(x) = x^3 3x^2 + 4x 1，求f(g(x))的极值点。
17. 若f(x) = 2x^2 4x + 3，g(x) = x 1，求f(g(x))的极值。
18. 设h(x) = x^2 + 2x + 1，f(x) = h(x 1)，求f(h(x))的极值点。
复合函数零点个数问题的求解策略
复合函数零点个数问题的求解策略摘要：复合函数的零点个数问题的求解一直以来作为数学学习的重要课题与问题，也是数学教学中的一个重要的知识点。
复合函数的零点个数问题常作为学生考试的内容，属于考试范围中的重点与难点。
因此，如何通过巧妙的策略与思想帮助学者能够更快的理清思路，辩证的看待问题，找到解决问题的方法成为了当前数学教学中亟需解决的问题。
因此，本文主要通过论述复合函数零点个数问题求解的教学策略与目标，列举相关复合函数类型与例子，对如何进行复合函数零点求解提供解决策略，为日后数学教学的发展以及帮助学生提升数学解题能力提供借鉴，为国家人才的培养建设贡献自身的一份力量。
关键词：复合函数；零点；个数；求解策略；方法引言：在所有的学科门类中，数学是一门对学生考察抽象思维能力要求度极高的学科，经常需要学生能够辩证的看待数学问题，抽象的转化为其他问题进行论证，复合函数的零点个数求解问题更是如此，坐标法、图像法等无不要求学生能够充分的实现数形结合，将抽象的问题具体化，降低解题的难度。
同时，对于复合函数零点个数求解不仅需要能够让学生学会做该类题，更是为了让学生领悟解题的思想与方法，面对类似的问题能够触类旁通，真正掌握解题的思想，这对于我国数学教学事业的发展来说具有重要的建设性意义。
一、基础预备知识不同的版本对于函数f（x）的零点定义不同，但是本质是相同的。
在人教版的教材中，其中对于方程f（x）的零点定义如下：一般是在函数y=f（x）中，将f（x）=0，解出此方程获得的实数根X就是函数y=f（x）的零点。
这个零点也是f（x）=0的实数根。
在图像上的表现是，当函数y=f（x）在直角坐标系中与横轴x有交点，那么就证明函数y=f（x）有零点，并且这个交点的x值就是方程f（x）=0的实数根。
从人教版的定义来看，这个定义是具有概括性的。
同时课程中还有两个命题，这两个命题对于帮助找到复合函数的零点有重要意义，命题如下：命题一：如果开始让方程f（x）=0，假设这个时候方程有m个不同的实数根，分别可以定义为X1、X2……Xm，并且令f（x）等于任意的Xi，i是在1到m的范围内，这个时候假设方程有Ni个不一样的实数根，这个时候则可以得出，函数f[f （x）]的零点个数为（N保留下标：1+N保留下标：2+……N保留下标：m）个。
复合函数的零点问题
由图可得，当 k＞－3 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＜－2，t2＞12，即 t＝f(x)＜－2 或 t＝f(x)＞12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 5 个根； 当－4＜k≤－3 时，f(t)＝k 有三个根 t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，14＜t3≤12， 即－2≤f(x)＜－1 或－1＜f(x)≤0 或14＜f(x)≤12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 6 个根； 当 k＝－4 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＝－1，t2＝14，即 f(x)＝－1 或 f(x)＝14，此 时方程 f(f(x))＝k 有 4 个根； 当 k＜－4 时，f(t)＝k 有一个根 t，且 0＜t＜14，即 0＜f(x)＜14，此时方程 f(f(x))＝k 有 2 个根．
设 f(x)＝t，由图可知，当 t＜0 或 t＞2 时，t＝f(x)有且仅有 1 个实根．当 t＝0 或 1≤t≤2 时，t＝f(x)有 2 个实根；当 0＜t＜1 时，t＝f(x)有 3 个实根，则 g(x)恰有 4 个不同的零 点等价于a0－ ＜1a＜ ＋01， ＜1或a1－ ≤1a＝ ＋01， ≤2或0a＜ ＋a1－ ＞12＜1，或11≤ ≤aa－ ＋11≤ ≤22， ，解得－1＜a＜ 0 或 1≤a＜2．
图(2)
由图可知 y＝f(t)与 y＝3t＋12的图象有两个交点，横坐标
分别在(0，1)和(1，2)之间，不妨设交点横坐标为 t1∈(0，
1)，t2∈(1，2)．如图(3)，当 t1＝f(x)时，由 f(x)图象和直
线 y＝t1，t1∈(0，1)可知，二者有两个交点，此时 F(x) ＝f(f(x))－3f(x)－12有两个零点；当 t2＝f(x)时，由 f(x)图
2019年高考数学命题热点解析理科专题4【函数的零点与方程的根的解题方法】
2019年高考数学命题热点解析理科专题4【函数的零点与方程的根的解题方法】本专题特别注意：一．命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y ＝f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0)零点的分布⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎧f(m)<0⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎨⎧⎩⎪⎨⎪⎧或（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( ) A ．函数f(x)在区间内一定有零点 B ．函数f(x)在区间或 内有零点，或零点是 C ．函数f(x)在内无零点 D ．函数f(x)在区间 或内有零点 【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，C. 函数f(x)在内无零点，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间或内有零点，这个也是不确定的。
复合函数的零点解题技巧
复合函数的零点解题技巧
一、理解函数定义
在解决复合函数的零点问题之前，首先要理解函数的定义。
函数是一种数学关系，它将一个数集映射到另一个数集。
理解函数的定义有助于我们更好地理解复合函数的结构和性质。
二、识别复合函数
复合函数是由两个或多个函数通过运算组合而成的。
识别复合函数是解决问题的关键步骤。
通过识别复合函数，我们可以更好地理解函数的组成和结构，从而更好地解决零点问题。
三、分解复合函数
在识别出复合函数后，我们需要将其分解为更简单的函数。
通过分解复合函数，我们可以更容易地找到函数的零点。
在分解过程中，需要注意函数的运算顺序和运算规则。
四、寻找零点条件
寻找零点是解决复合函数零点问题的核心步骤。
我们需要找到使复合函数为零的x值。
在寻找零点时，需要注意函数的定义域和值域，以及函数的运算规则。
五、运用数学方法
在寻找零点的过程中，我们需要运用一些数学方法，如代数法、图象法等。
这些方法可以帮助我们更好地理解函数
的性质和变化规律，从而更准确地找到零点。
六、验证解的正确性
在找到零点后，我们需要验证解的正确性。
可以通过代入原函数进行验证，或者通过计算其他相关量进行验证。
如果解不正确，需要重新寻找零点或者调整解题思路。
七、总结解题思路
在解决复合函数的零点问题后，需要对解题思路进行总结。
总结解题思路有助于我们更好地理解问题和掌握解题技巧，从而在未来的问题解决中更加熟练和准确。
同时，也可以将解题思路与其他同学或老师分享，以促进共同学习和进步。
微专题 利用导数研究函数的零点问题
利用导数研究函数的零点问题内容概览题型一 利用导数探究函数零点的个数题型二 利用函数零点问题求参数范围题型三 与函数零点有关的证明[命题分析]函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.题型一 利用导数探究函数零点的个数[典例1](2022·陇南模拟)已知函数f(x)=r1e-a(a∈R),讨论f(x)的零点个数.【解析】令f(x)=r1e-a=0,得a=r1e,设g(x)=r1e,则g'(x)=e−(r1)e(e)2=−e,当x>0时,g'(x)<0,当x<0时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=1,而当x>-1时,g(x)>0,当x<-1时,g(x)<0,g(x)的大致图象如图所示:所以①当a>1时,方程g(x)=a无解,即f(x)没有零点;②当a=1时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点;③当0<a<1时,方程g(x)=a有两解,即f(x)有两个零点;④当a≤0时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点;综上,当a>1时,f(x)没有零点;当a=1或a≤0时,f(x)有唯一的零点;当0<a<1时,f(x)有两个零点.【方法提炼】利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法:(1)构造函数:构造函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值(最值),并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数. (2)应用定理:利用零点存在定理,先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.【对点训练】(2023·成都模拟)设函数f(x)=ln x+,m∈R.讨论函数g(x)=f'(x)-.3的零点个数【解析】由题设,可知g(x)=f'(x)-3=1-2-3(x>0),令g(x)=0,得m=-13x3+x(x>0),设φ(x)=-13x3+x(x>0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减,所以x=1是φ(x)的极大值点,也是φ(x)的最大值点,所以φ(x)的最大值为φ(1)=23,画出y=φ(x)的大致图象(如图),可知①当m>23时,函数g(x)无零点;②当m=23时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<23时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;综上所述,当m>23时,函数g(x)无零点;当m=23或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;)有两个零点.当0<m<2时,函数g(x【加练备选】已知函数f(x)=x e x+e x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)讨论函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x+2)e x,令f'(x)=0得x=-2,则f'(x),f(x)的变化情况如表所示:x(-∞,-2)-2(-2,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减-12单调递增所以f(x)的单调递减区间是(-∞,-2),单调递增区间是(-2,+∞),当x=-2时,f(x)有极小值为f(-2)=-1e2,无极大值;(2)令f(x)=0,得x=-1,当x<-1时,f(x)<0;当x>-1时,f(x)>0,且f(x)的图象经过点(-2,-1e2),(-1,0),(0,1);当x→-∞时,与一次函数相比,指数函数y=e-x增长更快,从而f(x)=r1e−→0;当x→+∞时,f(x)→+∞,f'(x)→+∞,根据以上信息,画出f(x)大致图象如图所示,函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数为y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数,当x=-2时,f(x)有极小值f(-2)=-1e2,所以关于函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点个数有如下结论:当a<-1e2时,零点的个数为0;当a=-1e2或a≥0时,零点的个数为1;当-1e2<a<0时,零点的个数为2.题型二 利用函数零点问题求参数范围[典例2](2022·全国乙卷)已知函数f(x)=ax-1-(a+1)ln x.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,f(x)=-1-ln x,x>0,则f'(x)=12-1=1−2,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;所以f(x)max=f(1)=-1;(2)f(x)=ax-1-(a+1)ln x,x>0,则f'(x)=a+12-r1=(B−1)(K1)2,当a≤0时,ax-1<0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此时函数无零点,不合题意;当0<a<1时,1>1,在(0,1),(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在(1,1)上,f'(x)<0,f(x)单调递减;又f(1)=a-1<0,由(1)得1+ln x≥1,即ln1≥1-x,所以ln x<x,ln <,ln x<2,当x>1时,f(x)=ax-1-(a+1)ln x>ax-1-2(a+1)>ax-(2a+3),则存在m=(3+2)2>1,使得f(m)>0,所以f(x)仅在(1,+∞)上有唯一零点,符合题意;当a=1时,f'(x)=(K1)22≥0,所以f(x)单调递增,又f(1)=a-1=0,所以f(x)有唯一零点,符合题意;当a>1时,1<1,在(0,1),(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在(1,1)上,f'(x)<0,f(x)单调递减;此时f(1)=a-1>0,由(1)得当0<x<1时,ln x>1-1,ln >1-1,所以ln x>2(1-1),此时f(x)=ax-1-(a+1)ln x<ax-1-2(a+1) (1-1)<-1+2(r1),存在n=14(r1)2<1,使得f(n)<0,所以f(x)在(0,1)上有一个零点,在(1,+∞)上无零点,所以f(x)有唯一零点,符合题意;综上,a的取值范围为(0,+∞).【方法提炼】由函数零点求参数范围的策略(1)涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间和极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围;(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法;(3)含参数的函数的零点个数,可转化为方程解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,得到不含参数的具体函数,作出该函数图象,根据图象特征求参数的范围.【对点训练】(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.【解析】(1)a =2时,f (x )=22,f'(x )=2b2−2ln2·2(2)2=o2−En2)2=ln2· 2ln2−g2,当x ∈ 0,2ln2 时,f'(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈2ln2,+∞ 时,f'(x )<0,f (x )单调递减;(2)由题知f (x )=1在(0,+∞)上有两个不等实根,f (x )=1⇔x a =a x ⇔a ln x =x ln a ⇔ln=ln,令g (x )=ln,g'(x )=1−ln 2,g (x )在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,又g (e)=1e,g (1)=0,lim m+∞g (x )=0,所以0<ln<1e⇒a >1且a ≠e .所以a 的取值范围为(1,e)∪(e,+∞).【加练备选】 (2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=e x-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=e x-x-2,则f'(x)=e x-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)f'(x)=e x-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意;当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若0<a≤1e,则f(ln a)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上至多存在1个零点,不合题意; (ii)若a>1e,则f(ln a)<0.因为f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)上存在唯一零点.易知,当x>2时,e x-x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e2·e2-a(x+2)>e ln(2a)·2+2 -a(x+2)=2a>0.故f(x)在(ln a,+∞)上存在唯一零点,从而f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.综上,a的取值范围是1题型三 与函数零点有关的证明[典例3](2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=e x-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值.(1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】(1)f(x)=e x-ax的定义域为R,而f'(x)=e x-a,若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)无最小值,故a>0.g(x)=ax-ln x的定义域为(0,+∞),而g'(x)=a-1=B−1.当x<ln a时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,当x>ln a时,f'(x)>0,故f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(ln a)=a-a ln a.当0<x<1时,g'(x)<0,故g(x)在 0,1上单调递减,当x>1时,g'(x)>0,故g(x)在1,+∞ 上单调递增,故g(x)min=g1=1-ln1.因为f(x)=e x-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值,故1-ln1=a-a ln a,整理得到K11+=ln a,其中a>0,设t(a)=K11+-ln a,a>0,则t'(a)=2(1+p2-1=−2−1o1+p2<0,故t(a)在(0,+∞)上单调递减,而t(1)=0,故t(a)=0的唯一解为a=1,故K11+=ln a的解为a=1.综上,a=1;(2)由(1)可得f(x)=e x-x和g(x)=x-ln x的最小值为1-ln 1=1-ln11=1.当b>1时,考虑e x-x=b的解的个数,x-ln x=b的解的个数.设S(x)=e x-x-b,S'(x)=e x-1,当x<0时,S'(x)<0,当x>0时,S'(x)>0,故S(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以S(x)min=S(0)=1-b<0,而S(-b)=e-b>0,S(b)=e b-2b,设u(b)=e b-2b,其中b>1,则u'(b)=e b-2>0,故u(b)在(1,+∞)上单调递增,故u(b)>u(1)=e-2>0,故S(b)>0,故S(x)=e x-x-b有两个不同的零点,即e x-x=b的解的个数为2.设T(x)=x-ln x-b,T'(x)=K1,当0<x<1时,T'(x)<0,当x>1时,T'(x)>0,故T(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以T(x)min=T(1)=1-b<0,而T(e-b)=e-b>0,T(e b)=e b-2b>0,T(x)=x-ln x-b有两个不同的零点,即x-ln x=b的解的个数为2.当b=1,由(1)讨论可得x-ln x=b,e x-x=b仅有一个零点,当b<1时,由(1)讨论可得x-ln x=b,e x-x=b均无零点,故若存在直线y=b与曲线y=f(x),y=g(x)有三个不同的交点,则b>1.设h(x)=e x+ln x-2x,其中x>0,故h'(x)=e x+1-2,设s(x)=e x-x-1,x>0,则s'(x)=e x-1>0,故s(x)在(0,+∞)上单调递增,故s(x)>s(0)=0,即e x>x+1,所以h'(x)>x+1-1≥2-1>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=e-2>0,h(1e3)=e1e3-3-2e3<e-3-2e3<0,故h(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x0,1e3<x0<1且:当0<x<x0时,h(x)<0,即e x-x<x-ln x,即f(x)<g(x),当x>x0时,h(x)>0,即e x-x>x-ln x,即f(x)>g(x),因此若存在直线y=b与曲线y=f(x),y=g(x)有三个不同的交点,故b=f(x0)=g(x0)>1,此时e x-x=b有两个不同的零点x1,x0(x1<0<x0),此时x-ln x=b有两个不同的零点x0,x4(0<x0<1<x4),故e1-x1=b,e0-x0=b,x4-ln x4-b=0,x0-ln x0-b=0,所以x4-b=ln x4,即e4−=x4,即e4−-(x4-b)-b=0,故x4-b为方程e x-x=b的解,同理x0-b也为方程e x-x=b的解,又e1-x1=b可化为e1=x1+b,即x1-ln(x1+b)=0,即(x1+b)-ln(x1+b)-b=0,故x1+b为方程x-ln x=b的解,同理x0+b也为方程x-ln x=b的解,所以{x1,x0}={x0-b,x4-b},而b>1,故0=4−s1=0−s即x1+x4=2x0.所以x1,x0,x4成等差数列.所以,存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【方法提炼】(1)证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0;(2)证明的思路一般是对条件进行等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等),再结合函数图象来解决.【对点训练】 (2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:(1)f'(x)在区间 −1,π2上存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.【证明】(1)设g(x)=f'(x),则g(x)=cos x-11+,g'(x)=-sin x+1(1+p2,当x∈ −1,π2时,g'(x)单调递减,而g'(0)>0,g'(π2)<0,可得g'(x)在 −1,π2上有唯一零点,设g'(x)的零点为α.则当x∈(-1,α)时,g'(x)>0;当x∈ sπ2时,g'(x)<0.所以g(x)在(-1,α)上单调递增,在 sπ2上单调递减,故g(x)在 −1,π2上存在唯一极大值点,即f'(x)在 −1,π2上存在唯一极大值点;(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).①当x∈(-1,0]时,由(1)知,f'(x)在(-1,0)上单调递增,而f'(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)上单调递减,又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]上的唯一零点.②当x∈ 0,π2时,由(1)知,f'(x)在(0,α)上单调递增,在 sπ2上单调递减,而f'(0)=0, f'π2<0,所以存在β∈ sπ2,使得f'(β)=0,且当x∈(0,β)时,f'(x)>0;当x∈ sπ2时,f'(x)<0.故f(x)在(0,β)上单调递增,在 sπ2上单调递减.又f(0)=0,fπ2=1-ln 1+π2>0,所以当x∈ 0,π2时,f(x)>0.所以f(x)在 0,π2上没有零点.③当x∈π2,π 时,f'(x)<0,所以f(x)在π2,π 上单调递减.而fπ2>0,f(π)<0,所以f(x)在π2,π 上有唯一零点.④当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.【加练备选】 (2023·菏泽模拟)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.(1)求证:f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;(2)求证:f(x)有且仅有两个不同的零点.【证明】(1)设g(x)=f'(x)=1-1+2cos x,当x∈(0,π)时,g'(x)=-2sin x-12<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减,又因为g(π3)=3π-1+1>0,g(π2)=2π-1<0,所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点;(2)设f'(x)在(0,π)上的唯一零点为α,由(1)知π3<α<π2.①当x∈(0,π)时,x∈(0,α)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;x∈(α,π)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;所以f(x)在(0,π)上存在唯一极大值点α.所以f(α)>f(π2)=lnπ2-π2+2>2-π2>0,又因为f(1e2)=-2-1e2+2sin1e2<-2-1e2+2<0,所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点.又因为f(π)=ln π-π<2-π<0,所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点.②当x∈[π,2π)时,sin x≤0,f(x)≤ln x-x,设h(x)=ln x-x,h'(x)=1-1<0,所以h(x)在[π,2π)上单调递减,所以h(x)≤h(π)<0,所以当x∈[π,2π)时,f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立,所以f(x)在[π,2π)上没有零点.③当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤ln x-x+2.设φ(x)=ln x-x+2,φ'(x)=1-1<0,所以φ(x)在[2π,+∞)上单调递减,所以φ(x)≤φ(2π)<0,所以当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有两个零点.。
数学-精品专题----七种零点问题
题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间 (3)一、单选题 (3)二、多选题 (6)三、填空题 (9)四、解答题 (14)题型二：方程法判断零点个数 (16)一、单选题 (16)二、多选题 (18)三、填空题 (20)四、解答题 (22)题型三：数形结合法判段函数零点个数 (24)一、单选题 (24)二、多选题 (28)三、填空题 (31)四、解答题 (34)题型四：转化法判断函数零点个数 (39)一、单选题 (39)二、多选题 (42)三、填空题 (44)四、解答题 (46)题型五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数 (48)一、单选题 (48)二、多选题 (50)三、解答题 (53)题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围 (57)一、单选题 (57)二、多选题 (59)三、填空题 (61)四、解答题 (62)题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数 (63)一、单选题 (63)二、多选题 (66)三、填空题 (68)四、解答题 (71)1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.5.函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6.对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间一、单选题【分析】结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】1133log 4log 10a =<=，3372,12b b =<<<，对于函数()()2ln 0f x x x x=->， ()f x 在()0,∞+上递增，()()22ln 210,e 10ef f =-<=->，所以()f x 存在唯一零点x c =，()2,e c ∈，使()0f c =，所以对于2ln c c=，有()2,e c ∈，所以a b c <<.故选：AA ．3,4（）B ．4,5（）C ．5,6（）D ．8,9（）【答案】B【分析】根据零点存在定理，先判断函数的单调性，再计算函数在端点处的函数值，即可得到答案.【详解】()12ln 3f x x x=-- ,由对数函数和幂函数的性质可知，函数在,()0x ∈+∞时为单调增函数，11(3)2ln332 1.0993033f =--≈⨯--<， 11(4)4ln2340.69330.478044f =--≈⨯--=-<，11(5)2ln532 1.60930.018055f =--≈⨯--=>，11(6)2ln632(ln 2ln3)2 1.7926630.4140f =--=+≈⨯--=>，因为()f x 在,()0x ∈+∞内是递增，故(8)0,(9)0f f >> ，函数是连续函数，由零点判断定理知，()f x 的零点在区间(4,5)内，故选：B ．【分析】先根据题意解方程，解出5e 910k-=，在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果.【详解】将200,5,20A t L ===代入()()1e kt L t A -=-，解得：5e 910k-=，其中5e x y -=单调递减，而414e e --⎛⎫= ⎪⎝⎭，4910000e 106561-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而4y x -=在()0,∞+上单调递减，所以115204ee910-⨯-=<，结合单调性可知1113249<<e e 10e ---<，即1115551015209<0e e e 1-⨯-⨯-⨯<<，而050e 91e 10-⨯==>，其中5e xy -=为连续函数，故记忆率k 所在区间为1(0,)20. 故选：A【分析】根据零点存在性定理进行求解.【详解】易知()f x 在R 上单调递增且连续．由于()1440163f -=-<，()122043f -=-<，()111023f -=->，当0x >时，()0f x >，所以()02,1x ∈--．故选：B【分析】求出c 的值，利用零点存在定理得出31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后比较a 、b 、c 的大小关系，结合函数()f x 的单调性可得出结论.【详解】因为()f x 的定义域为()0,∞+，()1e 0xf x x'=+>，则函数()f x 在其定义域上为增函数，3e 16>，则32e 4>，则3233e ln 4022f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，因为()1e 40f =-<，由零点存在定理可知31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()2310g x x x '=--=可得1=x 2=x .当x <或x >时，()0g x '>x <<()0g x '<.所以，1c =<.因为2223log log 3log 422a =<=<=，所以，01cb a <<<<，故()()()f a f b fc >>.故选：A.6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ）【分析】依据函数零点存在定理去判断2()log f x x x =+的零点所在的区间即可. 【详解】2()log f x x x =+为(0,)+∞上的递增函数， 222111112log log 3log 03333332f ⎛⎫=+=-<-< ⎪⎝⎭=-，21111log 02222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()22222251log log 353log 333333f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭()221log 32log 2703=->()()22222333511log log 354log 3log log 04444443281f ⎛⎫=+=-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，则函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为12,23⎛⎫⎪⎝⎭故选：B二、多选题【分析】由题可得4()e x f x a x π-'=-，由()14f π=-可知，()04f π'=，进而可求1a =，然后再证明即得；再利用数形结合可得()'f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点，利用零点存在定理及三角函数的性质即得.【详解】∵4()e 1x f x a x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵4()e x f x a x π-'=-+，又函数4()e 1x f x a x π-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为1-，∵函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，又44()e 1144f a ππππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵4x π=时，函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上取得最小值，可得原条件的一个必要条件()04f π'=，∵44()e 1044f a a ππππ-'=-=-+=，即1a =，下面证明充分性：当1a =时，4()e 1xf x x π-=-，4()e xf x x π-'=-，令()4e xg x x π-=-，则()4os exx g x π-'=>，∵函数()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又44(0)e 0,()e 02f f πππ-''=-<=->，∵函数()'f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点4x π=，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '>，∵函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为()14f π=-，综上，1a =故A 正确；∵4()e xf x x π-'=-+，令4()e 0x f x x=π-'=-，得4e x x π-，由函数图象可知4e x ,y y x π-==在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个交点，即存在唯一0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得040e x x π-，又3243()e 10,()e 04f >f ππππ--''=-+=-<，故03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<，∵在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 唯一的极大值点0x ，040000()e 11x f x x x x π-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭02sin 14x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，03,424x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∵00()2sin 12114f x x π⎛⎫=--<-= ⎪⎝⎭.故CD 正确.故选：ACD.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x =的定义域为R ，如果存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“类周期函数”，T 为函数()y f x =的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（ ）A ．函数()x f x -=3是“类周期函数”B ．函数()3f x x =是“类周期函数”C ．如果函数()cos f x x ω=是“类周期函数”，那么“k ωπ=，Z k ∈”D ．如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数 【答案】ACD【分析】根据类周期函数的定义，分别进行判断即可．【详解】解：对于A ，若函数()xf x -=3是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即33x T x T ---=⋅，即(3)30T x T ---⋅=，即30T T --=，令()3Tg T T -=-，因为()()1200110,11033g g =-=-<=-=>，且函数()g T 在0,1上连续，所以函数()3Tg T T -=-在0,1上存在零点，即方程30T T --=在0,1上有解，即存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，所以函数()x f x -=3是“类周期函数”，故A 正确；对于B ，若函数()3f x x =是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即()33x T T x+=⋅，则()33x T T x+=，即1x T Tx x+=+对任意的x 恒成立，则0T =，矛盾，所以不存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，所以函数()3f x x =不是“类周期函数”，故B 错误.对于C ，若函数()cos f x x ω=是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即cos()cos x T T x ωωω+=；故1T =或1T =-， 当1T =时，cos()cos x x ωωω+=，由诱导公式得2k ωπ=，k Z ∈；当1T =-时，cos()cos x x ωωω+=-，由诱导公式得()21k ωπ=+，k Z ∈；故“k ωπ=，k Z ∈”，故C 正确；对于D ，如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1-， 则(1)()f x f x -=-，即(1)()((1))(1)f x f x f x f x -=-=--+=+；故它是周期为2的周期函数；故D 正确.9．（2021·江西·模拟预测）已知实数1m n <<，设方程()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--=的两个实数根分别为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．不等式()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--<的解集为12(,)x xB ．不等式()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--<的解集可能为空集C ．121x m x n <<<<D ．121m x n x <<<< 【答案】AD【分析】构造二次函数()()()(1)()()()1x m x n x m x x n x x f --+--+--=，分析函数()f x 的图象特征即可判断作答.【详解】令()()()(1)()()()1x m x n x m x x n x x f --+--+--=，R x ∈， 因1m n <<，则函数()f x 的图象对称轴1(,1)3m n x m ++=∈，且()f x 在1(,)3m n ++-∞上递减，在1(,)3m n +++∞上递增，又()(1)()0m n f m m --=>，()(1)()0n m f n n --=<，(1)(0()1)1m f n -->=，于是得函数()f x 有两个零点1212,()x x x x <，且满足121m x n x <<<<，不等式()0f x <的解集为12(,)x x ，所以A 正确，B 不正确，C 不正确，D 正确.故选：AD三、填空题在ABC 中，函数y x =+若命题“x ∃∈若函数()f x 【答案】∵∵∵【分析】∵利用大边对大角和正弦定理可证；∵变形后利用基本不等式进行求解最大值；∵先把命题否定，得到对x R ∀∈，2(3)10ax a x +-+>恒成立，分0a =与0a ≠两种情况求出a的取值范围；∵先根据(1)2af =-得到32a b c =--，得到(2)f a c =-，接下来分0c >与0c ≤，利用零点存在性定理得到答案.【详解】在ABC 中，因为A B >，所以a b >，由正弦定理得：sin sin a bA B=，所以sin sin A B >，同理可证，当sin sin A B >时，A B >，故在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件，∵正确；因为1x <，所以10x -<，201x ，所以()221111111y x x x x ⎡⎤=-++=--++≤-⎢⎥--⎣⎦，当且仅当()211x x -=-，即1x =等号成立，所以函数2(1)1y x x x =+<-的最大值是1-∵错误；命题“x R ∃∈，使得2(3)10ax a x +-+≤”是假命题，则对x R ∀∈，2(3)10ax a x +-+>恒成立，当0a =时，310x -+>不恒成立，当0a ≠时，只需0Δ0a >⎧⎨<⎩，解得：19a <<，综上：若命题“x R ∃∈，使得2(3)10ax a x +-+≤”是假命题，则19a <<；∵正确；(1)2a b c a f ++==-，所以32ab c =--，因为(0)f c =，3(2)42422a f a b c a c c a c ⎛⎫=++=+--+=- ⎪⎝⎭，当0c >时，(0)0f c =>，因为0a >，所以(1)02af =-<，故()(0)10f f <，由零点存在性定理得：在区间()0,1上，至少存在一个零点，当0c ≤，(2)0f a c =->，()(2)10f f <，由零点存在性定理得：在区间()1,2上至少存在一个零点，综上：函数()f x 在区间(0,2)内必有零点，∵正确. 故答案为：∵∵∵11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2e x f x ax x =+-，且2a >-，()f x '为()f x 的导函数，下列命题：∵存在实数a ，使得导函数()f x '为增函数； ∵当0a >时，函数()f x 不单调；∵当21a -<≤-时，函数()f x 在R 上单调递减； ∵当1a =时，函数()f x 有极值．在以上命题中，正确的命题序号是______． 【答案】∵∵∵∵【分析】求()f x '，令0a =可判断∵；根据零点存性定理可判断022,0x a ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭使得()00f x '=，可判断∵；令()()g x f x '=，求()g x '，由()g x '的符号判断()g x 的单调性，可求得()0g x ≤恒成立即()0f x '<恒成立可判断∵；求()f x '的单调性，根据零点存在性定理可知()00,1x ∃∈，使得()00f x '=可判断∵，进而可得正确答案.【详解】由()()2e xf x ax x =+-可得()()2e 1x f x ax a '=++-，对于∵，若0a =时，()2e 1xf x '=-为增函数，故∵对；对于∵，若0a >时，2222e 10af a a --⎛⎫'--=--< ⎪⎝⎭，()010f a '=+>，022,0x a ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，所以函数()f x 不单调，故∵对；对于∵，令()()2e 1x g x ax a =++-，则()()22e xg x ax a '=++，当21a -<≤-时，由()0g x '>得22x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，由()0g x '<得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭所以()g x 在2,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递增，在22,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()22max e1a g x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--，要使220e 1a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-≤-，则令22t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则112t a =--，所以e 12t t ≤+，令()()e 1102t t m t t =---≤≤，()1e 2t m t '=-，则()m t 在11,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，而()11110e 2m -=+-<，()00e 010m =--=所以()0m t ≤恒成立，从而()22max e10a g x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--≤，即()0f x '≤恒成立，即()f x 在R 上单调减．故∵正确；对于∵，当1a =时，()()3e 1x f x x '=+-，()()4e x f x x ''=+，可知()()3e 1xf x x '=+-在(),4-∞-单调递减，在()4,-+∞单调递增，因为()020f '=>，()2110ef '-=-<，()00,1x ∃∈，使得()00f x '=，所以函数()f x 有极值，故∵对．综上所述：∵∵∵∵都正确，故答案为：∵∵∵∵. 12．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数()23x f x x =--的零点()()0,1x k k k Z ∈+∈，则k =__________．【答案】-3或2【分析】对函数()f x 求导，借助导数探讨其单调性，再用零点存在性定理分析计算即得.【详解】对函数()23x f x x =--求导得：()2ln 21x f x '=-，由()0f x '=得22log xe =，解得22log (log )x e =，当22log (log )x e <时，()0f x '<，当22log (log )x e >时，()0f x '>，于是得()f x 在22(,log (log ))e -∞上递减，在22(log (log ),)e +∞上递增，显然，13(3)0,(2)084f f -=>-=-<，则函数()f x 在区间(3,2)--上存在一个零点，又(2)10,(3)20f f =-<=>，即函数()f x 在区间(2,3)上存在一个零点，因函数()23x f x x =--的零点()()0,1x k k k Z ∈+∈，则3k =-或2k =，所以3k =-或2k =.故答案为：-3或2【分析】令21()()log 2x f x x =-，利用零点存在性定理可得a ∈，1(0,)2b ∈，从而可得12a b <- 【详解】令21()()log 2x f x x =-，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （1）110022=-=>，111()log ()0222f =-=-<，21()log 2a a =，所以a ∈.122log b b =，0b >，21b ∴>，1(0,)2b ∴∈，∴12a b <- ∵：ln()a b -可能小于等于0，∴∵错误，∵：0b a -<，0221b a -∴<=，∴∵正确， ∵：0a b >>，∴11a b <，11a b∴->-，∴∵正确，∵：(1,2)a ∈，2log 0a ∴>， 1(0,)2b ∈，2log 0b ∴<，22log 0log a b ∴>>.∴∵正确，故答案为：∵∵∵.【分析】对于选项∵∵∵，直接代入求解即可判断；对于选项∵∵，先根据条件构造函数，判断函数的单调性，利用零点存在性定理判断即可.【详解】∵()224f x x x x =+-=，得240x x x +-=⇒=x =满足条件，故∵满足题意；∵()22,132,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，当1x ≤时，220x x x =⇒=或12x =；当1x >时，()2232321x x x x x -=⇒-=⇒=或3x =，即3x =；满足条件，故∵满足题意；∵()()21x f x e x x =+-=，令()2xg x e x =+-，易知()g x 为R 上的增函数，又()()010020,1120g e g e =+-<=+->，由零点存在性定理得()g x 在区间()0,1存在唯一的零点.故∵满足题意；∵()ln f x ax x a =--（01a <<），()ln ln 10ax x a x x a x a --=⇒+-+=， 令()()ln 1h x x a x a =+-+，又01a <<，则10a ->，易知()h x 为()0,∞+上的增函数， 又()()11131ln 12ln 20,1ln111044444h a a a h a a ⎛⎫=+-+=-++<=+-+=> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理得()h x 在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的零点.故∵满足题意；∵()220f x x x x x=+=⇒=无实数解， 故∵满足题意；故答案为：∵∵∵∵.【点睛】本题主要考查了对布劳威尔不动点定理的理解，考查了零点存在性定理；考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力.属于中档题.【分析】分别求出f (x )、g (x )零点所在区间，即可得到f (x ＋3)、g (x －4)的零点所在区间，结合题意，即可得到b －a 的最小值.【详解】∵f (x )＝1＋x －22x ＋33x ，∵'2()1f x x x =-+，∵'2213()1()024f x x x x =-+=-+>恒成立，∵f (x )＝1＋x －22x ＋33x 在R 上是单调递增函数.∵f (0)＝1>0，f (－1)＝506-<，∵f (x )在区间[－1，0]上存在唯一零点，∵f (x ＋3)在区间[－4，－3]上存在唯一零点；又∵g (x )＝1－x ＋22x －33x ，∵'2()1g x x x =-+-，∵'2213()1()024g x x x x =-+-=---<恒成立，∵g (x )＝1－x ＋22x －33x 在R 上是单调递减函数，∵g (2)＝503-<，g (1)＝106>，∵g (x )在区间[1，2]上存在唯一零点，∵g (x －4)在区间[5，6]上存在唯一零点，由F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)＝0，得f (x ＋3)＝0或g (x －4)＝0，故函数F (x )的零点均在[－4，6]内，则b －a 的最小值为10.故答案为：10.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、函数零点与方程，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.四、解答题16．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知函数22()e x f x ax -=-（e 为自然对数的底数，R a ∈）.(1)若1a =-，求证：()'f x 在区间()0,1内有唯一零点； (2)若()f x 在其定义域上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)[0,2e].【分析】（1）把1a =-代入，求出()'f x 并探讨其单调性，再结合零点存在性定理判断作答. （2）利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.(1)当1a =-时，()22e xf x x -=+，求导得：2()2e 2x f x x -'=-+，令2()2e 2x x x ϕ-=-+，则2()4e 20x x ϕ-'=+>，则函数()ϕx 在R 上单调递增，即函数()'f x 在R 上单调递增，而(0)20f '=-<，221(1)2e 22(1)0e f -'=-+=->，由函数零点存在性定理知，存在唯一0(0,1)x ∈，有0()0f x '=，所以()'f x 在区间()0,1内有唯一零点.(2)函数22()e x f x ax -=-的定义域是R ，依题意，R x ∀∈，2()2e 20x f x ax -'=--≤成立， 当0x =时，20-≤成立，R a ∈，当0x >时，2e x a x -≥-，令2e ()xg x x -=-，0x >，2221()0e x x g x x +'=>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又当0x >时，()0g x <恒成立，于是得0a ≥，当0x <时，2e x a x -≤-，令2e ()xh x x -=-，0x <，2221()e x x h x x +'=，当12x <-时，()0h x '<，当102x -<<时，()0h x '>， 因此，()h x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,0)2-上单调递增，当12x =-时，min 1()()2e 2h x h =-=，于是得2e a ≤，综上得：02e a ≤≤，所以a 的取值范围是[0,2e].【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.f x 零点的个数；，求a 的取值范围答案见解析；(2)6a ≤【分析】（1）对()f x 求导有()()(1)e (0)xf x x x a x '=-->，再研究()e (0)xg x a x x -=>的单调性，结合()01f '=及零点存在性定理，讨论a 的范围判断f x 零点的个数.（2）讨论0a ≤、0e a <<、e a =、e a >，结合fx 的符号研究()f x 的单调性并结合(1)ef =求参数a 的范围.(1)()()()2e (1)(1)e (0)x xf x x x a x x x a x '=---=-->，令()e (0)x g x a x x -=>，则()(1)e 0x g x x '=+>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而()01f '=， 当0a ≤时，e x x a =无解；当0e a <<时，由(0)0g a =-<，(1)e 0g a =->，故e x x a =有一个在(0,1)上的解；当e a =时，由(1)0g =，故e x x a =的解为1；当e a >时，由(1)e 0g a =-<，()(e 1)0a g a a -=>，故e x x a =有一个在(1,)+∞上的解； 综上，当0a ≤或e a =时，导函数f x 只有一个零点.当0e a <<或e a >时，导函数f x 有两个零点.(2)当0a ≤时，e 0x x a ->，则函数()f x 在1x =处取得最小值(1)e f =.当0a >时，由（1）知：()g x 在(0,)+∞上单调递增，则必存在正数0x 使得00e 0xx a -=.若e a >则01x >，在(0,1)上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在0(1,)x 上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在()0,x +∞上00e 0x x a ->，则()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和()0,x +∞上单调递增，在()01,x 上单调递减，又(1)e f =，不合题意.若e a =则01x =，在(0,)+∞上0f x ，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)e f =，不合题意.若0e a <<则001x <<，在0(0,)x 上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在0(),1x 上00e 0x x a ->，则()0f x '<，在()1,+∞上00e 0x x a ->，则()0f x '>，所以()f x 在()00,x 和(1,)+∞上单调递增，在()0,1x 上单调递减，则(0)3(1)e 2a f f =-≥=，解得62e a ≤-，即062e a <≤-.综上，62e a ≤-.题型二：方程法判断零点个数一、单选题【分析】由奇偶性定义可判断出A 正确；令()0f x =可确定B 正确；根据()f x 定义域为R ，()112f =-，可知若最小值为12-，则1x =是()f x 的一个极小值点，根据()10f '≠可知C 错误；由0x =时，cos x π取得最大值，21x +取得最小值可确定D 正确. 【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()()()()22cos cos 11x xf x f x x x ππ--===+-+， ()f x ∴为偶函数，A 正确；对于B ，令()0f x =，即cos π0x ，()2x k k πππ∴=+∈Z ，解得：()12x k k =+∈Z ， ()f x ∴有无数个零点，B 正确；对于C ，()112f =-，∴若()f x 的最小值为12-，则1x =是()f x 的一个极小值点，则()10f '=； ()()()222sin 2cos 1xx x xf x xππππ++'=-+，()2sin 2cos 11042f πππ+'∴==-≠，1x ∴=不是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，1cos 1x π-≤≤，211x +≥；则当cos 1x π=，211x +=，即0x =时，()f x 取得最大值1，D 正确.故选：C. 2．（2022·北京·模拟预测）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3故选：C【分析】利用()()f x a f a x +=-知()f x 关于直线x a =对称的性质验证A ；求得3102f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭可判断B ；化简()sin (1cos )f x x x =+，令()0f x =，得()x k k Z π=∈，进而判断C ；利用导数研究函数的单调性可判断D.【详解】对于A ，由已知得11()sin()sin 2()sin sin 222f x x x x x πππ-=-+-=-，即()()π-≠f x f x ，故()f x 不关于2x π=对称，故A 错误；对于B ，331sin sin 310222f πππ⎛⎫=+=-≠ ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，利用二倍角公式知()sin (1cos )f x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 1x =-，即()x k k Z π=∈，所以该函数在区间[]0,10内有4个零点，故C 错误；对于D ，求导2()cos cos22cos cos 1f x x x x x '=+=+-，令cos x t =，由57,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2()21g t t t =+-，利用二次函数性质知()0g t ≥，即()0f x '≥，可知()f x 在区间57,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确；故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)={|x |+2,x <1,x +2x ,x ≥1.，则函数()||y f x x =-零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】当1x <时和1≥x 时，分别化简函数()||y f x x =-的解析式可直接判断零点的个数.【详解】当1x <时，22y x x =+-=，所以不存在零点；当1≥x 时，220t x x x x=+-=>，也不存在零点，所以函数()||y f x x =-的零点个数为0.故选：A.二、多选题【分析】根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，A 错误； 对B ：()()11x x f x f x x x-++-==-=--，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，B 正确；对C ：当0x >时，()111x f x x x+==+，单调递减，C 正确； 对D ：因为0x ≠，10x +>，所以()0f x =无解，即()f x 没有零点，D 错误．故选：BC .【分析】写出()f x 的分段函数形式，A 应用正余弦函数的性质判断()f x 的周期性，B 由已知可得12cos 2cos 21x x ==，则112x k π=，222x k π=（12,k k Z ∈），即可判断正误；根据解析式，应用特殊值法判断C 、D 的正误.【详解】将函数()f x 化作分段函数，即cos 2,sin cos ()cos 2,sin cos x x x f x x x x -≥⎧=⎨<⎩，A ，(2)[sin(2)cos(2)]sin(2)cos(2)()f x x x x x f x πππππ+=+++⋅+-+=，()f x 是周期为2π的函数，对；B ，由12()()2f x f x +=得12|()||()|1f x f x ==，则12cos 2cos 21x x ==， 此时112x k π=，222x k π=（12,k k Z ∈），可得1212()2k k x x π++=，对； C ，由解析式得(0)()12f f π==，()f x 在[,]22ππ-上不单调，错；D ，由解析式知3()()12f f ππ==-，即()()1g x f x =+在[0,2]π上至少有两个零点，错.故选：AB.7．（2022·全国·高三专题练习）若()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解，则下列式子中可以为()g f x ⎡⎤⎣⎦的是（ ） A ．22x x + B ．1x + C ．cos x e D ．ln(||1)x +【答案】ACD【分析】由方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解可得(){}()g f g x g x =⎡⎤⎣⎦，再用x 替代()g x ，即 []()x g f x =有解，逐个判断选项即可得出答案.【详解】由方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解可得(){}()g f g x g x =⎡⎤⎣⎦，再用x 替代()g x ，即 []()x g f x =有解.对于A ，22x x x =+，即20x x +=，方程有解，故A 正确； 对于B ，1x x =+，即01=，方程无解，故B 错误；对于C ，当cos ,x e x =令cos ()x h x e x =-，因为(0)0f e =>，1022f ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由零点的存在性定理可知，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，所以方程有解，故选项C 正确；对于D ，当ln(||1)x x +=时，0x =为方程的解，所以方程有解，故选项D 正确.故选：ACD.【分析】对A ：根据偶函数的定义即可作出判断；对B ：由有界性0|cos |1x ≤≤，1sin ||1x -≤≤，且32x π=时sin |||cos |1x x +=-即可作出判断；对C ：当[]0,2x π∈时，sin cos ,023()sin cos ,223sin cos ,22x x x f x x x x x x x πππππ⎧+≤⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪+<⎪⎩，可得函数()f x 有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D ：当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象与性质即可作出判断.【详解】解：对A ：因为()sin |||cos()|sin |||cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，故选项A 正确；对B ：因为0|cos |1x ≤≤，1sin ||1x -≤≤，所以sin |||cos |1x x +≥-，而32x π=时sin |||cos |1x x +=-，所以()f x 的最小值为1-，故选项B 正确；对C ：当[]0,2x π∈时，sin cos ,023()sin cos ,223sin cos ,22x x x f x x x x x x x πππππ⎧+≤⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪+<⎪⎩，令()0f x =，可得54=x π，74π，又由A 知函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在区间[]2,0π-上也有两个零点54π-，74π-，所以函数()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点，故选项C 正确；对D ：当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为2x ππ<<，所以3444x πππ<-<，而sin y x =在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选项D 错误.故选：ABC.三、填空题【答案】42ω<<或22ω<≤.【分析】先求出零点的一般形式，再根据()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点可得关于整数k 的不等式组，从而可求ω的取值范围.【详解】令()0f x =，则1sin 62x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()1,66k x k k Z ππωπ-=+-∈，故()166kk x πππω+-+=，因为()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，所以存在整数k ，使得： ()()()()()()()123421116666213166663k k k k k k k k ππππππωωππππππππωω+++⎧+-+++-+⎪≤⎪⎪⎨⎪++-+++-+⎪<⎩<≤⎪，若k 为偶数，则()()()13233423k k k k πππωωπππωππω⎧+⎪+≤⎪⎪⎨⎪+++⎪<⎩<≤⎪， 整理得到：()444433733232k k k k ωω⎧+≤<+⎪⎪⎨⎛⎫⎪+<≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩∵，因为0>ω，故0k ≥， 当2k ≥时，4394322k k +>+，故∵无解，当0k =时，有4437922ωω⎧≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩即742ω<<.若k 为奇数，则()()()42313323k k k k πππππωωπππωω⎧++⎪≤<≤⎪⎪⎨⎪+++⎪<⎪⎩，整理得到：()444333102223k k k k ωω⎧⎛⎫≤<+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+<≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩∵，因为0>ω，故1k ≥-，当3k ≥时，3452k k >+，故∵无解，当1k =-时，有4433722ωω⎧-≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，无解.当1k =时，有284391322ωω⎧≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，故91322ω<≤.综上，742ω<<或91322ω<≤.故答案为：742ω<<或91322ω<≤. 【点睛】思路点睛：对于正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k 的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.【分析】根据m 的范围分类讨论f (x )的零点即可.【详解】∵m ＝0时，f (x )={x 2+3x,x ≤0,x −1,x >0，令f (x )＝0，则x ＝0或x ＝－3或x ＝1，即f (x )有三个零点，满足题意；∵m ≠0时，令f (x )＝0，则x ＞0时，101mx x +-=+，则21x m =-(*)， x≤0时，230x x m ++=(**)，显然x ≤0时的方程(**)最多有两个负根，而x ＞0时的方程(*)最多只有一正根，为了满足题意，则x ＞0时必有1根，则1－m ＞0，且根为x ∵m ＜1；x ≤0时方程必然有两个负根，则Δ094090004m m m m ⎧>->⎧⇒⇒<<⎨⎨>>⎩⎩， ∵0＜m ＜1；综上所述，m ∵[)0,1.故答案为：[)0,1.四、解答题【分析】（1）求得11e f x ax a x =+-+，分0a =、0a <、0a >三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由()0f x =可得出20ax x a -+=，由102a <<结合判别式可判断出方程20ax x a -+=的根的个数，由此可证得结论成立.(1)解：函数()f x 的定义域为R ，()()()()2211e 11e x x f x ax a x a ax a x '⎡⎤=+-+-=+-+⎣⎦.当0a =时，则()()1e xf x x '=-+，由()0f x '<可得1x >-，由()0f x '>可得1x <-，此时函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,-+∞； 当0a ≠时，由()0f x '=可得11=-x a或1x =-. ∵当0a <时，111a-<-，由()0f x '<可得11x a <-或1x >-，由()0f x '>可得111x a -<<-，此时函数()f x 的单调递减区间为1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、()1,-+∞，单调递增区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；∵当0a >时，111a ->-，由()0f x '<可得111x a -<<-，由()0f x '>可得1x <-或11x a >-，此时函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、()1,-+∞，单调递增区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,-+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(2)解：由()0f x =可得20ax x a -+=，因为102a <<，则()()21412120a a a ∆=-=-+>，即关于x 的方程20ax x a -+=有两个不等的实根， 所以，当102a <<时，()f x 在R 上有且仅有两个零点.【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为0，须需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.【答案】(1)2个(2)存在，且a 的取值范围是0,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）解方程()0f x =，即可得解；（2）由()00f =，分析可知当2x <且0x ≠时，由()0f x ≤可得()2310ax a +-≤，分0a =、0a <、0a >三种情况分析，结合一次函数的基本性质可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围.(1)解：当3a =时，()()3221f x x x x x =+=+，令()0f x =，可得0x =或1x =-，此时函数()f x 有2个零点.(2)解：当(),2x ∈-∞时，由()()32111032f x ax a x =+-≤.当0x =时，对任意的R a ∈，()00f =，满足题意； 当2x <且0x ≠时，由()0f x ≤可得()2310ax a +-≤， 若0a =，则有30-≤，合乎题意； 若0a <，当3302ax a-<<时，()2310ax a +->， 则()2310ax a +-≤对任意的()(),00,2x ∈-∞⋃不可能恒成立，舍去； 若0a >，则有()4310a a +-≤，解得37a ≤，此时307a <≤.综上所述，当307a ≤≤时，当(),2x ∈-∞时，()0f x ≤恒成立. 题型三：数形结合法判段函数零点个数一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（ ）． ①当时，函数没有零点；②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数； ③当时，函数有两个不同零点；④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1． A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【分析】画出函数图象即可判断①，令解方程即可判断③，将零点问题转化成函数图象交点的问题，利用数形结合即可判断②和④.【详解】当时，，函数图象如下图所示， ()1,0ln ,0x a x f x x x a x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()f x 0a =()f x 02a <<()f x 2a =()f x 2a >()f x ()0f x =0a =()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩由此可知该函数只有一个零点，故①不正确； 当时，则函数的零点为和， ∵函数有两个不同零点，∴由函数的图象可知，解得， 当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点，则函数有两不同零点时的取值范围是，设对应的两个零点为，，即或，解得，， 则，所以它们互为倒数，故②正确；当时，函数解析式为，令，解得，令，解得或，由此可知函数有三个零点，故③不正确； 当时，则函数的零点为和， ∵函数有四个不同零点，∴由函数的图象可知，解得， 当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点；0a >()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩20a -<-<02a <<0a <()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()f x a 02a <<1x 2x 1ln x a =2ln x a =-1e a x =21e e aax -==121x x ⋅=2a =()12,0ln 2,0x x f x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()1200x x x++=<1x =-()ln 200x x -=>2e x =21e x =0a >()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩2a -<-2a >0a <()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x设对应的两个零点为，，，，即或，解得，， 当时，整理得，当时，， 则该方程存在两个不等的实数根和，由韦达定理得，所以，则故④正确； 故选：.2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ） A ．且 B ．且 C ．且 D ．且【答案】C【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.【详解】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程有7个不同实数解，则关于u 的二次方程的一根为，则， 则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得. 所以且. 故选：C.1x 2x 3x 4x 1ln x a =2ln x a =-1e a x =21e e aax -==10x a x++=210x ax ++=2a >0∆>3x 4x 341x x ⋅=12341e 11e aax x x x =⋅⋅=C ()221xf x =--x ()()20f x mf x n ++=7,m n 0m >0n >0m <0n >01m <<0n =10m -<<0n =()u f x =20u mu n ++=1u 2u ()f x 10u =2u m =-()u f x =()u f x=20u mu n ++=1u u =2u u =1u u =()u f x =()()20f x mf x n ++=20u mu n ++=10u =0n =20u mu +=2u m =-2u u =()u f x =10m -<-<01m <<01m <<0n =3．（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解. 【详解】解：令，得， 在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：若有4个零点， 则实数a 的取值范围是， 故选：A4．（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】B【分析】结合函数的对称性求得正确答案.【详解】令，得， 图象关于对称，在上递减. ，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，，在上递增， 所以与有两个交点，()2ln ,02,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩()()g x f x a =-()0,1(]0,1[]0,1[)1,+∞(),y f x y a ==()()g x f x a =-()()0g x f x a =-=()f x a =(),y f x y a ==()()g x f x a =-()0,1()112e e 1x xf x x --=---()112e e 01x xf x x --=--=-112e e 1x x x ---=-()21g x x =-()1,0()(),1,1,-∞+∞()11e e ,x x h x --=-()()()()1e e ,e e x x x x H x h x H x H x --=+=--=-=-()H x ()h x ()1,0()10h =()1ee e x xh x -=-R ()h x ()g x两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为. 故选：B二、多选题5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数，下列结论中正确的是（ ）A ．任取，都有B ．，其中；C ．对一切恒成立；D ．函数有个零点； 【答案】ACD【分析】作出函数的图象.对于A ：利用图象求出，即可判断；对于B ：直接求出，即可判断；对于C ：由，求得，即可判断； 对于D ：作出和的图象，判断出函数有3个零点.【详解】作出函数的图象如图所示.所以.()1,0()112e e 1x xf x x --=---2sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩12,[1,)x x ∈+∞123()()2f x f x -≤11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k ∈N ()2(2)()k f x f x k k N *=+∈[0,)x ∈+∞()ln(1)y f x x =--3sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩max min (),()f x f x 1511222222k f f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1()(2)2f x f x =-()2(2)k f x f x k =+()y f x =ln(1)y x =-()ln(1)y f x x =--sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩max min ()1,()1f x f x ==-对于A ：任取，都有.故A 正确； 对于B ：因为，所以.故B 错误；对于C ：由，得到，即.故C 正确；对于D ：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：当时,;当时,函数与函数的图象有一个交点; 当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D 正确. 故选：ACD6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R 上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）A ．是以2为周期的周期函数B ．点是函数的一个对称中心12,[1,)x x ∈+∞()12max min 13()()()()122f x f x f x f x -≤-=--=1151111,,222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112215112121222212kkf f f k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-1()(2)2f x f x =-1(2)()2kf x k f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2(2)kf x f x k =+()ln(1)y f x x =--()1,+∞()y f x =ln(1)y x =-2x =sin2ln10y π=-=12x <<()y f x =()ln 1y x =-2x >2111s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫⎝>=⎭()y f x =()ln 1y x =-()ln(1)y f x x =--()f x x ∈R ()()11f x f x -=-+[]0,1x ∈()22f x x x =+-()f x ()3,0-()f x。
高中数学.复合函数、抽象函数、函数零点
1、复合函数的性质：对于单调性，有“同步增，异步减”．对于奇偶性，若每层函数均有奇偶性，则有“全奇才奇，有偶则偶”． 对于周期性，内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数．2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： ⑴ 正比例函数：()()()f x y f x f y +=+； ⑵ 指数函数：()()()f x y f x f y +=； ⑶ 对数函数：()()()f xy f x f y =+； ⑷ 幂函数：()()()f xy f x f y =．3、函数的零点⑴ 满足()0f a =的a 叫做函数()f x 的零点，即方程()0f x =的实数根，也即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．⑵ 零点定理：若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．特别的，如果函数在此区间上单调，则函数()y f x =在此区间上有且只有一个零点．⑶ 零点个数的判断通常借助函数图象，零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决．知识梳理知识结构图复合函数、 抽象函数、函数零点1、（2007北京理）对于函数①()()lg 21f x x =-+，②()()22f x x =-，③()()cos 2f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：()2f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数； 命题丙：()()2f x f x +-在(),-∞+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ．A ．①③B ．①②C ．③D ．②【解析】 D2、 （2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．【解析】 ()0,1；1、()213log 54y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞ 2、设函数()xf x a -=（0a >且1a ≠），()24f =，则（ ）A ．()()21f f ->-B ．()()12f f ->-C ．()()12f f >D ．()()22f f ->3、已知()()log 2a f x ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的值可能为（ ） A ．12 B ．32C ．2D ．3 4、已知函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()2log 2h x x =-的零点分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5、已知函数()()()2f x x a x b =---（a b <），并且α、β是方程()0f x =的两个根（αβ<），则实数a 、b 、α、β的大小关系是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<6、已知函数()22f x x x c =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=（2n ≥，n *∈N ），若函数()n f x x -不存在零点，则c 的取值范围是（ ） A ．14c <B ．34c ≥C ．94c >D ．94c ≤ 小题热身真题再现7、下列关于函数()()log 1x a f x a =-（0a >且1a ≠）的命题： ① 无论a 取何值，()f x 均为R 上的增函数； ② 无论a 取何值，()f x 的值域均为R ； ③ 无论a 取何值，()f x 一定有零点； ④ 存在某个a ，使得()f x 恰好有两个零点．其中正确的命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、若单调函数()f x （x ∈R ）满足()()()f x y f x f y +=⋅，则()f x 的值域为（ ） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．()0,+∞ D ．不能确定9、已知函数()2243f x x x -=-+-，设()()()()F x p f f x f x =⋅+，其中p 为负实数．若()F x 在区间(),3-∞-上是减函数，在区间()3,0-上是增函数，则p 的值为（ ）A ．1-B ．18-C ．116-D ．12-10、已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦（实数,,,,,0a b c m n p ≠）的解集不可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AABAACCCCD考点：复合函数的定义域与值域 【例1】 ⑴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑵函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑶函数21122log log 2y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为_________，值域为____________． 【解析】 ⑴ [)0,+∞，(]0,1；⑵ [11]-，，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ [)1042⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，，[0)+∞，；4.1复合函数经典精讲【例2】 ⑴已知函数()()2lg 21f x ax x =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．⑵已知函数()()2lg 21f x axx =++的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ ()1,+∞；⑵[]0,1；【拓1】 ⑴ 已知()32log f x x =+，[]1,9x ∈，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．⑵ 设2,1(),1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域．⑶ 设[]2,8x ∈，函数()()21()log log 2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是18-，求a 的值．【解析】 ⑴ []6,13⑵ [)0,+∞． ⑶ 12a =．考点：复合函数的性质初步【例3】 ⑴函数()212log 56y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，⑵函数2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶函数421x x y =-+的值域为_______，单调递减区间为________．【解析】 ⑴ D ；⑵ D ；⑶ 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(),1-∞-．考点：复合函数的性质综合【例4】 ⑴函数()()212log 23f x x ax =-+，若()f x 在(],1-∞内是增函数，则a 的取值范围为________；若()f x 的单调递增区间是(],1-∞，则a 的取值范围为________． ⑵已知函数()()31axf x a -=≠，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． ⑶若函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调增区间是 ．【解析】 ⑴ [12)，；{1}．⑵()(],01,3-∞；⑶1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭考点：抽象函数的函数值问题 【例5】 ⑴若奇函数()f x （x ∈R ）满足()21f =，()()()22f x f x f +=+，则()1f = ； ⑵定义在实数R 上的函数()y f x =具有如下性质： ①对任意x ∈R ，都有()()33f x f x =⎡⎤⎣⎦；②对任意12x x ∈R ，，且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠． 则()()()101f f f -++=________． ⑶已知函数()f x （x ∈R ）满足()12f =，()()()2f x y f x f y xy +=++，则 ()2f = ，()3f = ，()3f -= ．⑷()f x 是定义在(0)+∞，上的增函数，对正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集为_ ______．【解析】 ⑴12； ⑵ 0；⑶ 6，12，6； ⑷ ()1,2；【拓2】 定义在[]0,1上函数()f x 满足：① ()00f =；② ()()11f x f x +-=； ③ ()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④ 对任意12,x x []0,1∈，若12x x <，则()()12f x f x ≤． 则()1f = ，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】12013f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】 ()11f =；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】112013128f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 4.2抽象函数考点：抽象函数的性质【例6】 ⑴若函数()f x （x ∈R ，且0x ≠）对任意的非零实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+．求证：()f x 为偶函数．⑵定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：① 对任意x ，y ∈R ，恒有()()()f x y f x f y +=+； ② 当0x >时，()0f x <，且()12f =-．判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令1,1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=+-，于是(1)0f =；再令1x y ==-得(1)2(1)0f f =-=，于是(1)0f -=．令1y =-得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，又()f x 的定义域关于原点对称．故()f x 为偶函数． ⑵ ()f x 在区间[]2,4-上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【备注】本题可以通过函数原型快速得到答案或得到启发．对于⑴()ln f x x =（x ∈R ）是符合函数的函数原型； 对于⑵()2f x x =-（x ∈R ）是符合函数的函数原型．【拓3】 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m ，n ，总有()()22n m f m f n mf nf⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求(0)f 的值；⑵ 求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立； ⑶ 求所有满足条件的函数()f x ．【解析】 ⑴ (0)0f =；⑵ 对任意t ∈R ，令2m n t ==，得2(2)4()f t t f t =⋅，于是21()(2)04t f t f t ⋅=≥； ⑶ ()f x x =．考点：零点定理【例7】 ⑴函数()237x f x x =+-在区间[02]，上的零点必在下面的区间（ ）内．Ａ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｂ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｄ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ⑵设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()31,log 2-- B ．()30,log 2 C ．()3log 2,1 D ．()31,log 4 【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；4.3函数零点考点：函数图象与零点、交点问题【例8】 ⑴方程2log (3)2x x +=的解的情况是（ ）A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一个正根和一个负根D ．有两个负根⑵已知()2881651x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，≤，，()ln g x x =，则()f x 与()g x 的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4⑶若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． ⑷若不等式2log 0a x x -<对102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ (1,)+∞；⑷ 1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；考点：复合函数的零点问题【例9】 ⑴已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如下所示：-22-22y -11-11Ox-22-22y -11-11Oxf xg x 给出下列四个命题：①方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有6个根 ②方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有3个根 ③方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个根 ④方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）． ⑵设1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 ． 【解析】 ⑴ ①③④；⑵ 5；【拓4】 已知()2f x x px q =++，关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，求证：p 与q 同时大于0或者p 与q 同时等于0．【解析】 关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，()f x 的图象只有如图两种情形（分别对应0∆>和0∆=的情形）．进而容易证明命题成立．y=x 2y=x 1x 2x 1 yOx O xy一、选择题 1、设()()23132x x f x k =-+⋅+，当0x >时()f x 恒取正值，则k 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),221-∞- C ．()1,221-- D ．()221,221---【解析】 B ；2、设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【解析】 B ；3、 关于x 的方程1log (0x aa x a =>且1)a ≠（ ）A ．仅当1a >时，有唯一解B ．仅当01a <<时，有唯一解C ．有唯一解D ．无解【解析】 C ．4、 设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0)c ，对称； ④方程()0f x =至多有两个实根；其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ；二、填空题 5、 设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是_______；()f x 的最大值是_____．【解析】 (0,1)；2-．6、 函数22()log (3)log (1)f x x x =++-的值域是___________，单调递增区间为_______．【解析】 (,2]-∞，(3,1)--．课后习题7、 若log (2)a y ax =-在[]01，上是x 的减函数，则a 的取值范围是______． 【解析】 (12)a ∈，；三、解答题 8、已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=，且()31f >． ⑴求()0f ；⑵求证：()41f -<．【解析】 ⑴ (0)1f =；⑵ 3(3)(2)(1)(1)1f f f f ==>，故(1)1f >，从而24(4)(2)(1)1f f f ==>．令4,4x y ==-得，(4)(4)(0)1f f f -==，故1(4)1(4)f f -=<．命题得证． 【备注】()()()f x y f x f y +=的函数原型是指数函数()x f x a =，由(3)1f >知，1a >． 9、函数()2x f x =和()3g x x =的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，且12x x <．x 1x 2BA C 2C 1yO x⑴ 请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？⑵ 若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出a 、b 的值，并说明理由；⑶ 结合函数图象示意图，请把()πf 、()πg 、()2013f 、()2013g 四个数从小到大顺序排列．【解析】 ⑴ 1C 对应函数()3g x x =，2C 对应函数()2x f x =；⑵ 如下表，可得1a =，9b =．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12()f x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ()g x1 8 27 641252163435127291000 1331 1728()()()() 10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴ 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围． ⑵ 若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【解析】 ⑴5162m -<<-．⑵1122m -<-≤。
高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)
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由图可知：当
0
m
1 2
时，两图象有两个不同的交点，
在区间 1,1 上方程 f x mx m 0 有两个不同的实根，故选：B
例 5．（2020·江苏宝应中学高三三模）已知函数 f x 2ln x2 3x 3 ，其中x 表示不大于 x 的
最大整数（如1.6 1，2.1 3），则函数 f x 的零点个数是（ ）
对函数
y
ln x
1, x
0 求导得
y
1 x 1
，
设切点为
x0, ln x0 1
，则
ln x0 1
x0 1
2 3
1 x0 1
m ，解得
x0
1
1
e3
，m
1
e3
，
数形结合可知，当
m
2 3
1
,e 3
时，直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，即函数
g
x
有四个零点.故选：B.
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f |
(x) x|
有
2
个不同交点，不满足题意；
当 k 0 时，如图 2，此时 y | kx 2 |与 h(x)
f |
(x) x|
恒有
3
个不同交点，满足题意；
当 k 0 时，如图 3，当 y kx 2 与 y = x2 相切时，联立方程得 x2 kx 2 0 ，
令 0 得 k2 8 0 ，解得 k 2 2 （负值舍去），所以 k 2 2 ． 综上， k 的取值范围为 (,0) (2 2, ) ，故选 D．
图形特征，是数形结合的体现.通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者
专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数(解析版)
专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<-，()23ln 3ln 31031f =-=->-， 所以()()230f f <，所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈ B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=，因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<， 由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由已知条件构造函数()e ln ah a a =-，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证001e 0a a -=的根的范围即可. 【详解】令()()f s g t a ==，即e ln 0t s a ==>， ∴ln t a =，e a s =， ∴e ln (0)a s t a a -=->，令()e ln ah a a =-，则()1e a h a a'=-，令()1e am a a =-，则()21e a m a a '=+， ∴()m a 在()0,∞+上单调递增，且()1e 10m =->，1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，当00a a <<时，1e a a <， ()0h a '<，当0a a >时，1e aa>， ()0h a '>，∴()0()min h h a a =，即s t -取得最小值时，0()f s a a ==，由零点的存在定理验证01e 0aa -=的根的范围，当012a =时，001e 0a a -<，当0ln2a =时，001e 0aa ->，故01(,ln 2)2a ∈， 故选：D ．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．101x <<B ．2101xx e << C ．()101f x << D ．()1ln 2,a ∈-+∞【答案】ACD 【分析】函数()()2e0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，令()0f x '=，则e2e =xa x判断函数()e x g x x =的单调性，由题知()e xg x x=与2e =a y 有两个交点，借助图像求出a 的取值范围，判断D ；再根据零点存在性定理判断A ；又根据11e 2-=x ax ，求出()1f x 的取值范围，判断C ；由()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，得2112e e x xx x =，由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而判断B.【详解】已知()2e -=-x a f x x ，则()e 2-'=-x af x x ，令()0f x '=，则e2e =xa x考虑函数()e xg x x =，则()()2e 1x x g x x-'=， 当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，即()g x 在(),0∞-上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增； 故()g x 的图象大致如图：依题意，若()f x 有两个极值点，则2e e >a ，即1ln 2a >-，因此选项D 正确； 由图易知，101x <<，21x >，故选项A 正确； 又11e 2-=x ax ，故()()122211111e 211-=-=-=--x a f x x x x x ，因为101x <<，所以()101f x <<，故选项C 正确； 因为()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即1212e 2e 2x a x a x x --⎧=⎨=⎩，故1212e e =x x x x ，即2112e e x xx x =. 由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而21e 1>xx ，故选项B 错误.故答案为：ACD.【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ∴()f x 的图象关于直线1x =对称 ∴()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ∴()f x 的极大值为0 ∴()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．∴∴ B ．∴∴ C ．∴∴∴ D ．∴∴∴【答案】D【分析】根据给定函数，计算(2)-f x 判断∴；探讨()f x 在(2,)+∞上单调性判断∴；探讨()f x 在(0,1)和(1,2)上单调性判断∴；求出()f x 的零点判断∴作答.【详解】函数()ln ||ln |2|f x x x =+-的定义域为(,0)(0,2)(2,)-∞⋃⋃+∞， 对于∴，(,0)(0,2)(2,)x ∈-∞⋃⋃+∞，则2(,0)(0,2)(2,)x -∈-∞⋃⋃+∞， (2)ln |2|ln ||()f x x x f x -=-+=，()f x 的图象关于直线1x =对称，∴正确；对于∴，当2x >时，()ln ln(2)f x x x =+-，()f x 在(2,)+∞单调递增，∴不正确； 对于∴，当0x <时，()ln()ln(2)f x x x =-+-，()f x 在(,0)-∞单调递减，当02x <<时，2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()f x 在(2,)+∞单调递增，因此()f x 在1x =处取极大值(1)0f =，∴正确；对于∴，由()0f x =得：2|2|1x x -=，即2210x x --=或2210x x -+=，解得1x =1x =，于是得()f x 有3个零点，∴正确， 所以所有正确结论的编号为∴∴∴. 故选：D【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+ C ．()e 2x y f x =- D ．()e 2x y f x =-+【答案】B【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，因为0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，代入得()002e xf x =，利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断可得答案.【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-且0x 是()2e =-xy f x 的一个零点， 所以()002e xf x =，把0x -分别代入下面四个选项，对于A ，()()0020e e 222-=-x x f x ，不一定为0，故A 错误；对于B ，()()0000e 2e x xf x f x ---+=-0012e e 20x x -+=-⋅⋅+=，所以0x -是函数()e 2x y f x =+的零点，故B 正确；对于C ，()000224e 2e ---=--=-x f x ，故C 不正确；对于D ，()0000e 22e e +24--+==x x x f x ，故D 不正确；故选：B.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3 故选：C例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【答案】13【分析】根据函数周期性和奇偶性的性质，进行递推即可． 【详解】()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，()()3f x f x ∴+=，且()()f x f x -=-，则()00f =，则()()()()()()36600330f f f f f f ==-==-=-=，，()20f =，()()()()514050f f f f ∴=-=-=-=，， ()10f =，()40f =，()20f -=，方程的解至少有0，3，6，6-，3-，2，5，5-，2-，1-，1，4，4-，共13个． 故答案为：13【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个【答案】D【分析】设()t f x =，求导分析()33f x x x =-的最值与极值，画出图形，再分析()f t c =与()t f x =的根的范围与个数即可【详解】设()t f x =，则由()()0h x f f x c =-=⎡⎤⎣⎦， 得()f f x c =⎡⎤⎣⎦，即()f t c =，()t f x = 又()()()233311f x x x x '=-=-+， 由0fx得1x <-或1x >，此时函数单调递增，由()0f x '<得11x -<<，此时函数单调递减，即函数在=1x -处取得极大值()()()311312f -=--⨯-=，函数在1x =处取得极小值()311312f =-⨯=-，又由()()()322322f -=--⨯-=-，()322322f =-⨯=可得图象：若()f t c =，()2,2c ∈-，则方程有三个解， 满足121t -<<-，211t -<<，312t <<， 则当121t -<<-时，方程()t f x =，有3个根， 当211t -<<时，方程()t f x =，有3个根， 当312t <<时，方程()t f x =，有3个根，此时共有9个根，若()f t c =，2c =，则方程有两个解， 满足11t =-，22t =，则当11t =-时，方程()t f x =，有3个根， 当22t =，有2个根， 此时共有5个根，同理()f t c =，2c =-，也共有5个根 故选：D ．例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∴[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.【详解】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】令()t f x =，()0g x =，则()21f t t =-，分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，得到10t =，212t <<，再分别作出函数()y f x =和直线y t =的图象，得到方程()0f x =和方程()2t f x =的根的个数，进而得到函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【详解】令()t f x =，()0g x =，则()210f t t -+=，即()21f t t =-， 分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为1t ，2t ， 则10t =，212t <<，对于()t f x =，分别作出函数()y f x =和直线2y t =的图象，如图所示，由图象可得，当()10f x t ==时，即方程()0f x =有两个不相等的根， 当()2t f x =时，函数()y f x =和直线2y t =有三个交点， 即方程()2t f x =有三个不相等的根，综上可得()0g x =的实根个数为5，即函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是5. 故选：B.例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∴[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____． 【答案】2n ﹣1##12-+n【分析】数形结合，画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，根据y ＝knx 与y ＝f （x ）的图象交点分析即可．【详解】由题意，画出y ＝f （x ）在区间[0，1]上的图象， 又对任意的[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．可理解为区间[n ﹣1，n ]的图象由区间[n ﹣2，n ﹣1]的图象向右平移一个单位所得， 即可画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，如图所示，故若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解， 则y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[n ﹣1，n ]上的图象相切，且易得y ＝f （x ）的图象在y ＝x 与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，∴[n ﹣1，n ]上的公切线之间， 故y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，∴[n ﹣1，n ]上均有2个交点， 故关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为2（n ﹣1）+1＝2n ﹣1个． 故答案为：2n ﹣1．【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【分析】求出函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈值域及单调性，由此可得出结论.【详解】当[)0,1x ∈时，()[)10,1xf x e e =-∈-，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()()[)210,22f x f x e =-∈-，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，则()()()[)21420,44f x f x f x e =-=-∈-，以此类推，当[)(),109,x n n n n N ∈+≤≤∈时，()()())20,21n nf x f x n e ⎡=-=-⎣，且函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈上为增函数，122e e π-<<-，所以，函数()g x 在区间[)(),119,n n n n N +≤≤∈上有且只有一个零点，且()()()101010200g f f ππ=-=-<，因此，()g x 在[]0,10内的零点个数为9. 故选：B.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<- 【答案】C【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可. 【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误， C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为0,，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+ 【答案】BD【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用取整函数和零点的定义判断即可，对于D ，定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，然后结合高斯函数的定义判断即可 【详解】对于A ，(1.1)1f =，(1.2)1f =，(1.1)(1.2)f f =，()f x ∴在R 上不是单调增函数，所以A 错.对于B ，由()[]f x x =，可得1()x f x x -<≤，所以1()33x xg x -<≤，若函数()g x 要有零点，则1033x x -<≤，得[0,3)x ∈，因为()g x 要想为0，必须23x 也为整数，在这个范围内，只有30,2x x ==两个点，所以B 正确， 对于C ，(1.1)1f =，( 1.1)2(1.1)f f -=-≠-，()f x ∴不是奇函数，所以C 错， 对于D ，如果我们定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，同时有{}{}{}{}()([][])[[][]]f a b f a b a b a b a b +=+++=+++，当{}{}1a b +≥时，会有()[][]()()f a b a b f a f b +=+=+，当{}{}01a b <+<时，()[][]()()f a b a b f a f b +>+=+，所以D 正确，故选：BD.【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14【答案】D【分析】通过a 是否为0，然后求解函数的零点即可．【详解】解：当0a =时，函数()1f x x =--仅有一个零点，满足题意；当0a ≠时，函数2()1f x ax x =--仅有一个零点，可得140a ∆=+=，解得14a =-．故选：D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（ ）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)【答案】A【分析】解方程22()(23)()30-++=f x a f x a 得()f x a =或3()2f x =，根据a 的取值分类讨论即可.【详解】方程22()(23)()30-++=f x a f x a ，解得()f x a =或3()2f x =， 若32a =，13,132()12()1,12x x f x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩， 解得1x =或0或2，不符合题意，所以32a ≠， 由3()2f x =，可得原方程有3个不等实根1x =或0或2； 所以只要|1|1()12x a -+=有2个不等实根即可．由|1|0x ->可得|1|10()12x -<<，即有12a <<，综上可得33(1,)(,2)22a ⋃∈．故选：A ．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】画出()f x 的图像，结合函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，结合图像列不等式来求得m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为2x =-，()()24831,03f f -=-+-==-.由243=0x x ---解得=1x -或3x =-. 由此画出()f x 的图像如下图所示，依题意，函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点， 令()t f x =，则21y t mt =++，根据图像可知，函数21y t mt =++在区间[)3,1-上有两个不相等的实数根，则()222Δ403310110312m m m m ⎧=->⎪--+≥⎪⎪⎨++>⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1023m <≤，所以m 的取值范围是102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.∴当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意； ∴当12,0t t >时：1. 若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2. 若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<； 综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】A 根据()f x 的周期性判断区间单调性；B 利用周期性求得()() 202230f f =-=即可判断；C 转化为y b =与()y f x =的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和；D 根据函数图象求得1y kx =+与()y f x =交点个数为2或3时的临界值，即可得范围. 【详解】A ：由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数，故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同，而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[-2,0]上不单调，错误；B ：()22f -=，()() 202230f f =-=，故()()2 20222f f -+=，正确；C ：作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，i ＝1，2，3，4，5，由图象知:1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，正确；D ：若直线1y kx =+经过(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2103x k x ++=+，令Δ0=可得()2340k +-=，解得k ＝-1或k ＝-5（舍），若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k ＝1． 因为()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点， ∴113k -<<-或k ＝1，错误，故选：BC ．例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解【详解】因为()()()22e 222e 2x xf x x x a x x a '=-++-+=-++，且函数()f x 在区间(),1a a +上存在最大值， 故只需()22h x x a =-++满足()()>0+1<0h a h a ⎧⎪⎨⎪⎩，所以()22++2>0+1++2<0a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩，2a <<．故答案为：2⎫⎪⎪⎝⎭【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.5,4 B ．(]3.5,4 C ．(]3,4 D ．[)3,4【答案】A【分析】由已知得出函数()f x 是周期函数，周期为2，函数()F x 的零点个数转化为函数()f x 的图象与sin()y x π=的图象的交点个数，作出函数的图象（其中()f x 的图象由奇偶性与周期性结合作出），然后分析交点个数得出参数范围． 【详解】由(2)()0f x f x -+=得(2)()f x f x +=--，又()f x 是奇函数，所以(2)()()f x f x f x +=--=，即()f x 是周期函数，周期为2，sin()y x π=也是周期函数，且最小正周期是22ππ=，由奇偶性和周期性作出函数()f x 的图象，再作出sin()y x π=的图象，如图，函数()()sin()F x f x x π=-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数sin()y x π=的图象交点个数，()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，从而20()f k =，Z k ∈，易知它们在[1,1)-上有4个交点，从而在[1,3)上也有4个交点，而4x =时，点(4,0)是一个交点，所以4m <，在(0,1)上，2()log f x x =-，11()1sin 22f π==，即1(,1)2是(0,1)上交点，从而在(1,0)-上交点上交点为1(,1)2--，由周期性在(3,4)上两函数图象交点为7(,1)2-，所以72m ≥． 综上，724m ≤<．故选：A ．例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】运用代入法，结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点， 所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，即π()2cos()13f x x ω=+-，令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=，因为π()0,x ∈，所以πππ(,π)333x ωω+∈+，因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩，所以ω的最大值为2， 故选：C例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出ϕ，再由零点信息列出不等式，求解作答.【详解】依题意，()2sin()f x x ωωϕ'=-+，则(0)2sin f ωϕ'=-=，即sin ϕ=，而π02ϕ<<，解得π3ϕ=， 因此，π()2cos()13f x x ω=+-，由()0f x =得：π1cos()32x ω+=，又π()0,x ∈，有πππ(,π)333x ωω+∈+，因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，于是得5ππ7ππ333ω<+≤，解得423ω<≤， 所以ω的最大值为2. 故选：C例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出函数在[2,0]-上的解析式，将问题转化为函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，结合图形即可得出结果.【详解】由题意知，函数()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x -=+，令2x x →+，则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，所以()x f x --=，即当[2,0]x ∈-时()x f x -=，因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点， 所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根，即函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，如图，当[0,2]x ∈时，()xf x =，()121e 2x f x '=，()102f '=，设()(1)mp x x =+，则()1(1)m p x m x -'=+，()0p m '=，当12m ≤，()()00p f '≤'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+只有一个零点，此时，若要使图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点， 则()()11010mf +≤，11log e m ≤，所以110log e m <≤； 当12m >时，()()00p f '>'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+有两个零点， 所以()()166mf +<且()()11010mf +>，即7e 11e m m ⎧<⎨>⎩，解得71log e 2m <<，故m 的取值范围为(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：B.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃【答案】C【分析】根据已知条件画出函数()f x 的图象，将函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为函数()f x 与直线()1y k x =-图象恰有两个交点即可求解.【详解】由题意知，画出函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩的简图，如图所示由()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为()f x 与直线()1y k x =-有两个不同的交点， 由图知，当直线经过点()()1,0,0,1-两点的斜率为10101k --==-，则1k >. 所以实数k 的取值范围为()1,+∞. 故选：C.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据零点的定义判断A ，利用导数分析函数的单调性，作出函数()f x 的图象，根据图象判断其余选项.【详解】由()0f x =得：0x =，即0x =，故函数()f x 有唯一零点0x = 由题可知：(),0e e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩ 设()e ex x xg x x -==⋅，x ∈R ，则()()1x g x x e -'=-⋅， 由()()1e 0x g x x -⋅'=-≥得：1x ≤；由()()1e 0xg x x -⋅'=-≤得；1x ≥；故()g x 在(],1-∞上单调递增﹐在[)1,+∞上单调递减，作出()y g x =图象，并将0x <的部分图象关于x 轴对称可得()y f x =的图象如下：观察图象可得函数()y f x =的单调递减区间为(),0∞-，()1,+∞，B 错， 函数()y f x =在1x =时有极大值1e，C 对，方程()f x a =有三个不同的根，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，D 对，故选：ACD.【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案. 【详解】22()4f x x x m '=-+，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤- 又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -== 故选：C ．例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参变量得211a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，只用2min11a x x ⎡⎤⎛⎫<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】当13x ≤≤时，由210ax x -<+恒成立可得，211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立， 令2211111()()24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1113,,13x x ⎡⎤≤≤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴当111,123x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即当2x =时， ()f x 取得最小值为()()min124f x f ==-， 因为211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，所以()min a f x <，即14a <-.故选:B ．例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ）A ．6e B．(2e +C．(2e +D ．2e【答案】AB【分析】本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t 是常数， 因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可. 【详解】因为()()3253153222x x f x x x x +-+===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 所以对[0,)x ∀∈+∞，()()102f x f ≥=； ()()42e x g x x =-，所以()()()'2e 42e 21e x x x g x x x =-+-=- ，当1x >时，()'0g x < ；当01x <<时，()'0g x > ，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()max ()12e g x g ==；因为0t >，任意[)12,0,x x ∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，即()()221e 2e e 2t t +⋅≤+，整理得224e 3e 0t t --≥，解得(2e t ≤或(2e t ≥，所以正数t的取值范围为()2e,⎡+∞⎣； 6e与(2e均在区间()2e,⎡+∞⎣内，(2e +与2e均不在区间()2e,⎡+∞⎣内； 故选：AB ．【题型】八、一元二次不等式能成立问题31．（2023·全国·高三专题练习）已知命题:R p x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,)4-∞（ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由题意得到20x x a -+≤有解，进而由根的判别式列出不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】若p ⌝是真命题，由题意知不等式20x x a -+≤有解，140a ∴∆=-≥，解得:14a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A例32．（2023·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论. 【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可，设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增，所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞。
复合函数综合
1.已知函数()ln ,0,0x x x f x e x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则函数()()2231y f x f x =-+的零点个数为____2.关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题，其中正确的命题序号（1）存在实数k使得方程恰有2个不同的实数根 （2）存在实数k使得方程恰有4个不同的实数根 （3）存在实数k使得方程恰有5个不同的实数根 （4）存在实数k 使得方程恰有8个不同的实数根 3.已知函数()x x f x e=()x R ∈，若关于x 方程()()210f x mf x m -+-=恰好有4个不同的根，则实数m 取值范围 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4.设定义域为R 的函数()lg 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数解则（）c.00.00.00.00Ab c B b c C b c D b c <>><<=≥=且且且且5.函数()ln x f x x=， 若关于x 的方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等实根，求m 范围（ ）111.(,2)(2,) .(1,) .(1,) .(,)A e B e C e e D e e e e⋃+-6.若函数c bx ax x x f +++=23)(有极值点21,x x 且11()f x x =，则关于x 的方程23()2()0f x af x b ++=不同实根个数是 .A.A 3 .B 4 .C 5 .D 67.已知函数()x x f x e=，关于x 的方程2[()]2()0f x f x c -+=有以下四个结论： （1）当0c =时，方程有3个实根；（2）当221e c e -=时，方程有3个实根；（3）当2211e c e -<<时，方程有2个实根；（4）当221e c e -<时，方程有4个实根.以上结论中正确的有___________ 8．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 2a ≤-9.已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ． 5924a -<<-或914a -<<-10.设函数()22f x x x a =++，若函数()()()f f x f x =有且只有3个实根，则实数a 的取值范围是 ．0a =11．已知m ∈R ，函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩，()2221g x x x m =-+-，若函数()y f g x m =-⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数m 的取值范围是 ．305m <<12．已知函数()3f x x x a =-+-，()31g x x =+，若()y f g x =⎡⎤⎣⎦的图象关于y 轴对称，则a = ．1a =-13.设函数()31,12,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1 C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞14. 已知定义在()0+∞，上的单调函数，若()()20+,lo g 3x f f x x ∀∈∞-=⎡⎤⎣⎦，， 则()()2f x f x '-=的解所在区间是 AA. ()1,2.B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ()23,已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈，()f x =，若()()230a f x bf x -+=⎡⎤⎣⎦在[]1,5-有5个根，则2b a +的取值范围 21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭。
复合函数的零点问题(含答案简版)
复合函数的零点问题（含答案）1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.2、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。
3、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.4、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________5、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________6、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4B. 1(,3)3C. (1,2)D. 9(2,)47、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是8、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）.3 A 个 .4 B 个 .5 C 个 .6D 个9、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)410、设定义域为R 的函数lg 1,1(x)0, x 1x x f ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程[]2(x)(x)0f bf c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）.b 0 A <且c>0 .b 0 B >且c<0 .b 0 C <且c=0 .b 0 D ≥且c=0答案：1.7 2.充要 3.3 4.6 5.4个或5个或6个 6. D 7.102a <<8. A 9.D 10. C。
复合函数多零点求参数范围
–2
1
2
3
4
x
–2
g(t)
有 8 个不等的实数根
O
1
2
t
总结提升
＋
＋
＝
，
＋
− (＋ ) ＝，③对；
作出图形.
()＝，则 ＝.
由图可知
＜ ＜，＜ ＜.
则 ＞,切点( , − )．
∵
＝
对于④，
由上可知 ＝ − ，
＝ −
∴
∴
＝ − ．
＋ ＝ ＋ ＝，④对．
故答案为②③④
例3
指数函数+三角函数
∵ 2 − ＝ 2＋ ，且 为偶函数
4
， 结合“双勾”函数性质可画出函数()的简图．
t
＋1
t=t1
令＝()，等价于关于 t 的方程 2 ＋( − 3)＋＝0
t=t2
在区间(0，2)上有两个不等的实根．
＝( − 3) − 4＞0，
3−
0＜
＜2，
2
⇒
(0)＝＞0，
g(t)
2
则
(2)＝3 − 2＞0，
即实数的取值范围为
例1
已知函数 ＝
， ⩽
，若关于的方程 ＋ − ∙ ＋＝恰好
，＞
＋
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
例2
例3
例1
二次函数+分式函数
2 ， ⩽ 0
已知函数 ＝
4
，若关于的方程 2 ＋ − 3 ∙ ＋＝0恰好
复合函数22题
1.已知21, 0,()log ,0.x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[()]1y f f x =+的零点个数是（ A ）.A.4B.3C.2D.12.已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2 答案：B3.设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 答案：54.关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8 答案：C5.已知函数()xx f x e=，若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()1,22,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B.1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭答案：C6.已知函数320()461,0x e x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩， ，其中e 为自然对数的底数，则对于函数 2()()()g x f x f x a =-+有下列四个命题： 命题1 存在实数a 使得函数()g x 没有零点 命题2 存在实数a 使得函数()g x 有2个零点 命题3 存在实数a 使得函数()g x 有4个零点 命题4 存在实数a 使得函数()g x 有6个军点 其中，正确的命题的个数是A 、1B 、2C 、3D 、4 7. 函数则关于的方程的实数解最多有A. 4个B. 7个C. 10个D. 12个 【答案】D8.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______172]4（，9.已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 答案：B10.设定义域为R 的分段函数),1()(),1(12)(1==≠+=--x a x f x x f x 若关于x 的方程2f 2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同实数解，则a 的取值范围 （1，）Ｕ（，2）11.已知函数()2|ln |,041,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩，若关于x 的方程()()()20,f x bf x c b c R -+=∈有8个 不同的实数根，则b c +的取值范围是 ． 答案：(0，3)12、若关于x 的方程()2ln ln x x ax x =-存在三个不等实根,则实数a 的取值范围是 .e ea -<113、已知(),21-+=xx x f 若关于x 的方程()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-313213x x k f 有四个不同的实数解,则实数k 的取值范围为__________．⎪⎭⎫⎝⎛21,9414、已知函数(),xe xf x=关于x 的方程01)(2)(2=-+-a x af x f 有四个相异的实数根,则实数a 的取值范围是 .1212-->e e a15、若函数()x x x x ax x f ln ln 2--+=有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 .⎪⎭⎫ ⎝⎛--e e e11,116、函数()x f 是定义域为R 的偶函数,当0≥x 时,1,14110),2sin(45)(,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=x x x x f xπ若关于x 的方程0)()(2=++b x af x f 有且仅有6个不同实数根,则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--49,25 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,49 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,4949,25 D ．⎪⎭⎫⎝⎛--1,2517、已知函数(),2c bx x x f ++=集合{}{}A x f f xB x f x A ,0))((,0)(====和B 有公共元素,若存在,,00A x B x ∉∈则实数b 的取值范围是 ．0,4<≥b b18、函数{}{},0))((0)(,)(2φ≠===++=x f f x x f x nx x me x f xn m +的取值范围为 ．[)4,019、已知函数(),0,ln 0,⎪⎩⎪⎨⎧>≤=x x x e x f x 则函数()1)(1)()(2--=x f e x f f x F 的零点个数为 .620、已知函数(),0,210,⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-x x x e x f x 若关于x 的方程()()m x f f =恰有两个不等实根,,21x x 且,21x x <则214x x +的最小值为 .2ln 44-21、已知函数,ln )(,11)(2x xx g x x x x f =-+-=若函数a x g f y +=))((有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<）,则()()()3212x g x g x g ++的取值范围为 .⎪⎭⎫⎝⎛--0,22e e 22.已知(),xxe x f =又()()),(2x tf x fx g -=若满足()1-=x g 的x 有四个,则t 的取值范围是 ．ee t 1+>。
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复合函数零点
类型一：直接作图
1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是
2、已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22
f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是
3、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，
1)(4)(2),2(2
1,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为
类型二：与二次函数结合
1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)
x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.
2、已知函数
，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______.
3、设定义域为R 的函数1251,0()44,0
x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________
4、已知函数12,0(x)21,x 0
x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )
A. 1
(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)4
5.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2
x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若关
于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取
值范围是________.
6.已知函数22()||1()x x f x x e m x e m R =++∈有四个零点，则m 的取值范围为________.
7、设定义域为R 的函数lg 1,1(x)0, x 1
x x f ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程[]2(x)(x)0f bf c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）
.b 0 A <且c>0 .b 0 B >且
c<0 .b 0 C <且c=0 .b 0 D ≥且c=0 8、已知函数(0)()lg()(0)
x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.
有三个不同实数根的 条件。
9、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题：
①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。
其中假命题的个数是（ ）
.0 A .1 B .2 C .3D
类型三：单函数复合
1、已知函数12)(2
2+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 2、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12
x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________. 类型四：多函数复合
1、已知函数31+,>0()3,0x x f x x
x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩
， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________.
2、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g x
x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩
则方程 []g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）
.3 A 个 .4 B 个 .5 C 个 .6D 个
答案速查：
类型一：1、
5
1
4
a
<< 2、
1
1
2
a
<<3、10
类型二：1、7 2、
1
(0,)
e
3、6
4、D
5、
11
,
24
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
6、
1
e
e
∞
（-，--）
7、C 8、充要 9、A
类型三：1、m<2 2、3
类型四：1、4个或5个或6个 2、A。