空间向量的数量积
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b2 a2 b2 2b2 cos120
a2 b2
CD a2 b2
练1 已知在平行六面体 ABCD ABCD中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
D'
A'
B'
C' 解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2
3.1.3空间向量的数量积
复习：
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角： 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O，
作OA= a,OB= b,则AOB 叫做向量 a与 b的夹角。
B
B
A
O
A
平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积，记作 a b
二、 课堂练习
1.已知a 2 2 , b 2 , a b 2 2
则a , b所夹的角为________.
2.判断真假： 1）若a b 0,则a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3) p2 q2 ( p q)2
()
4) p q p q p2 q2
A
B
解：∵
| CD |2 (CA AB BD)2 | CA |2 | AB |2 | BD |2 a2 b2 c2
CD a2 b2 c2
g=xm+yn,
l·g=xl·m+yl·n
∵ l·m=0,l·n=0
∴ l·g=0
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于
平面内的任一条直线，所以l⊥
例2：利用向量知识证明三垂线定理 已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA
在内的射影，a , 且a OA
求证：a PA
证明：在a上取非零向量a
P
而PO , PO a PO a 0
O A a 又OA a,OA a 0
又P O, OA相交，得P O, OA不平行，由共面向量
定理可知，存在唯一的有序实数对x, y,使
PA xPO yOA
PA a PO a OA a 0
a PA,即a PA.
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作：a 已知空间两个向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积， 记作：a b,即
a b a b cosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b，有：
，线段BD AB，线段 DD ，DBD 30 ，如
果 AB a , AC BD b ，求 C、D 之间的距离。
解：由 AC ，可知 AC AB .
C
由DBD 30知 CA , BD 120.
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
b
b D'
a
A
B
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
即 a b | a || b | cos
并规定 a 0 0
一、几个概念 教学过程
1） 两个向量的夹角的定义
a
A
a
B O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
被唯一确定了，并且 a,b＝b, a 如果a, b ,则称a与b互相垂直，并记作： a b
2
2）两个向量的数量积
()
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与
的交点为B，且l⊥m，l⊥n，
求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面
内任意直线g垂直。
l
要证l与g垂直，只需证l·g＝0
lm
g m
gn n
而m，n不平行，由共面向 量定理知，存在唯一的有 序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
而l·m＝0 ，l·n＝0 要证l·g＝0,只需l·g= xl·m+yl·n=0
故 l·g＝0
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l 与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
证明：在内作不与m、n重合的任
l
一条直线g,在l、m、n、g上取非
lm
g m
gn
n
零向量l、m、n、g，因m与n相交， 得向量m、n不平行，由共面向量 定理可知，存在唯一的有序实数
对（x，y），使
D A
C B
2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
练2.已知线段AB B、D 在平面 内B，D AB ，线段AC
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
Biblioteka Baidu
c
D
a
b
1) a b a b 0
2
2) a a a
注意： ①性质1）是证明两向量垂直的依据； ②性质2）是求向量的长度（模）的依据；
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a) b (a b)
2) a b b a (交换律） 3）a (b c) a b a c (分配律）
注意： 数量积不满足结合律 （a b)c a (bc)
a2 b2
CD a2 b2
练1 已知在平行六面体 ABCD ABCD中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
D'
A'
B'
C' 解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2
3.1.3空间向量的数量积
复习：
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角： 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O，
作OA= a,OB= b,则AOB 叫做向量 a与 b的夹角。
B
B
A
O
A
平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积，记作 a b
二、 课堂练习
1.已知a 2 2 , b 2 , a b 2 2
则a , b所夹的角为________.
2.判断真假： 1）若a b 0,则a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3) p2 q2 ( p q)2
()
4) p q p q p2 q2
A
B
解：∵
| CD |2 (CA AB BD)2 | CA |2 | AB |2 | BD |2 a2 b2 c2
CD a2 b2 c2
g=xm+yn,
l·g=xl·m+yl·n
∵ l·m=0,l·n=0
∴ l·g=0
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于
平面内的任一条直线，所以l⊥
例2：利用向量知识证明三垂线定理 已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA
在内的射影，a , 且a OA
求证：a PA
证明：在a上取非零向量a
P
而PO , PO a PO a 0
O A a 又OA a,OA a 0
又P O, OA相交，得P O, OA不平行，由共面向量
定理可知，存在唯一的有序实数对x, y,使
PA xPO yOA
PA a PO a OA a 0
a PA,即a PA.
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作：a 已知空间两个向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积， 记作：a b,即
a b a b cosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b，有：
，线段BD AB，线段 DD ，DBD 30 ，如
果 AB a , AC BD b ，求 C、D 之间的距离。
解：由 AC ，可知 AC AB .
C
由DBD 30知 CA , BD 120.
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
b
b D'
a
A
B
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
即 a b | a || b | cos
并规定 a 0 0
一、几个概念 教学过程
1） 两个向量的夹角的定义
a
A
a
B O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
被唯一确定了，并且 a,b＝b, a 如果a, b ,则称a与b互相垂直，并记作： a b
2
2）两个向量的数量积
()
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与
的交点为B，且l⊥m，l⊥n，
求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面
内任意直线g垂直。
l
要证l与g垂直，只需证l·g＝0
lm
g m
gn n
而m，n不平行，由共面向 量定理知，存在唯一的有 序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
而l·m＝0 ，l·n＝0 要证l·g＝0,只需l·g= xl·m+yl·n=0
故 l·g＝0
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l 与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
证明：在内作不与m、n重合的任
l
一条直线g,在l、m、n、g上取非
lm
g m
gn
n
零向量l、m、n、g，因m与n相交， 得向量m、n不平行，由共面向量 定理可知，存在唯一的有序实数
对（x，y），使
D A
C B
2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
练2.已知线段AB B、D 在平面 内B，D AB ，线段AC
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
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c
D
a
b
1) a b a b 0
2
2) a a a
注意： ①性质1）是证明两向量垂直的依据； ②性质2）是求向量的长度（模）的依据；
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a) b (a b)
2) a b b a (交换律） 3）a (b c) a b a c (分配律）
注意： 数量积不满足结合律 （a b)c a (bc)