自控原理(7)

2003 . 11. (7-5)
自动控制原理
1）、非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和一个 线性环节部分G（S）串联的闭环结构形式；如下图所示。
N G（S）
2）、非线性环节N的输入输出静特性曲线是奇对称的，即: y（x）=－y（-x），以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包 含直流分量； 3）、系统的线性部分G（S）要具有良好的低通滤波特性。 2、描述函数的定义
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Y1
( A1 B 1 )
2 2
1 arctan
A1 B1
1）、描述函数的定义: 非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦 信号的复数比定义为非线性环节的描述函数。 并用N（A）表示：
N ( A) Y1 e
j ( t 1 ) j t

Y1 A
e
j 1

A1 B 1
y（t） k a r（t）
b = k· —— 饱和度 a r（t）> 0 r（t）< 0
y（t）= 0 ∣r（t）∣≤a k· [r（t）－a sign r（t）] ∣r（t）∣> a 其中： a —— 死区宽度； k —— 线性输出的斜率；
死区特性
特点： ①、可降低系统开环增益→提高平稳性→减弱动态响应的振荡倾向; ②、会使系统的稳态误差ess增大.
2 A
K
2K

arcsin
A

4M 2K
A
1 A
2
(A≥Δ)
2）、非线性特性串联时描述函数的求取 当两个非线性环节串联时，其总的描述函数不等于两个非线 性环节描述函数的乘积，而是需要通过折算，先求出这两个非线 性环节的等效非线性特性，然后再根据等效的非线性特性求出总 的描述函数:
2、非线性系统稳定性判定 推广的奈氏判据：若复平面上已知G（jω）曲线和－1/N（A）曲 线，且G（S）开环稳定，则可根据两条曲线的相对位置来判断非线性 系统的稳定性：
2003 . 11. (7-17)
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1）、若G（jω）曲线不包围－1/N（A）曲线，则非线性系统稳定， 且两者距离越远，稳定程度越高。见下图（a）。 2）、若G（jω）曲线包围了－1/N（A）曲线，则非线性不系统稳 定，当受到扰动后，系统的输出将无限增加，直至发生故障或增至 极限位置为止。见下图（b）。 3）、若G（jω）曲线与－1/N（A）曲线相交，则非线性系统中存 在着近似正弦的周期运动即自振荡（极限环），此时可以稳定也可 以不稳定。见下图（c）。
M sin td ( t )
y1 (t ) 4M
2
0





y ( t ) sin td ( t )
0


4M
0
故基波分量为：

sin t
因此，理想继电器特性的描述函数为：
N ( A) Y1 A 1 4M
A
.
2003 . 11. (7-10)
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2）、饱和特性 输入为x（t）=Asinωt，且A大于线性区宽度a时，饱和特性 的输出波形如下：
2
2
arctan
A1 B1
Ae
A
2）、描述函数的特点: A）、描述函数类似于线性系统的频率特性，因此它可以把非 线性元件近似处理为线性元件（谐波线性化），并可利用频率 法来分析非线性系统。
B）、描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。
2003 . 11. (7-8)
自动控制原理
3、描述函数的求取步骤 1）、由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形， 并写出输出波形y（t）的数学表达式； 2）、利用傅氏级数求出y（t）的基波分量； 3）、将求得的基波分量代入定义式，即得到N（A）。 4、典型非线性特性描述函数的计算 1）、理想继电器特性 输入为x（t）=Asinωt时，理想继电器特性的输出波形如下：
因此，饱和特性的描述函数为：
a a arcsin N ( A) A A A B1 2k
2 a 1 A
（A≥a）
5、组合非线性特性的描述函数 1）、非线性特性并联时描述函数的求取 设系统中有两个非线性特性并联，且其非线性特性都是单值 函数，因此它们的描述函数N1和N2都是实数，见下图:
若系统满足“条件2）”，则有：
A0 0 An Bn 1
2

1

y ( t ) cos n td ( t ) y ( t ) sin n td ( t )
0 2
当n越大时，谐波分量的频率越高，An、Bn越小。 若系统又满足“条件3）”，则高次谐波分量会被充分衰减，因此 可以近似地认为非线性环节N的稳态输出就只含有基波分量：
0
y ( t ) y 1 ( t ) A1 cos t B 1 sin t Y1 sin( t 1 ) 1 2 其中: A1 0 y ( t ) cos td ( t )
B1 1


2
y ( t ) sin td ( t )
0
2003 . 11. (7-7)
2003 . 11. (7-14)
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x
N1
z
N2
y
x
N
y
比如，下图为一个死区非线性环节与一个饱和非线性环节相 串联的结构：
z
K1=1 2
y
2 K2=2
y
1
x
z
K=2
1
2
x
x
(a)
（a）图 0<x<1时 x>1时（即z=x-1）
(b)
（b）图 z=0 0<z<1时（即1<x<2）
(c)
（c）图 y=0 y=2 z=2（x-1）
系统的闭环特征方程为： 1 N ( A ) G ( j ) 0
即： G ( j )
1 N ( A)
……… 非线性特性的负倒描述函数
非线性系统满足上式的条件与线性系统中G（jω）曲线穿过临界 点（-1，j0）的情况相当，故：
G ( j ) 1 N ( A)
就是非线性系统产生自振荡的条件，在复平面上－1/N（A）曲 线（即负倒特性曲线）是临界线。
N ( A)

arcsin 4
2 A
arcsin
1 A

2 A
1 2 1 A A
2
2 1 1 A
（A≥1）
注意：如果调换串联的非线性环节之顺序，则等效的非线性特 性会发生改变，总的描述函数也不再一样。
§7.3 描述函数法 1、非线性系统的稳定性分析
自动控制原理
继电器特性的三种特殊情况： a）、当a=0时，ma=a=0 ——理想继电器特性 b）、当m=1时，ma=a ——含有死区无滞环继电器特 c）、当m=-1时，-ma=a ——仅含有滞环继电器特性 2、非线性系统的特点及分析方法 1）、时域响应：不仅与输入信号的形式有关，而且与其大小、初 始条件有关； 2）、稳定性：不仅与系统本身的结构、参数有关，而且与初始条 件、输入信号有关； 3）、频率响应：为非正弦周期函数（输出畸变）； 4）、容易产生自振荡； 5）、分析问题和设计方法特殊： 描述函数法 /相平面法 /小偏差线性化 /计算机求解等 §7.2 描述函数 1、描述函数法的应用条件
y M a x ψ1 2π ωt y
k
ψ1 π
x
2π
ωt
由于输出的周期方波信号为奇函数，则傅氏级数中的直流分 量A0与基波偶函数分量的系数A1均为零： A0= A1=0 又因为y（t）具有半波和四分之一波对称性，故基波奇函数分量 的系数B1为：
2003 . 11. (7-11)
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1
2
B1
2003 . 11. (7-12) y1（t）
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x（t）
N1
N2 y2（t）
y（t）
当输入 x（t）= Asinωt 时，则有： y1（t）= N1 Asinωt y2（t）= N2 Asinωt
总的输出为：y（t）= y1（t）+ y2（t）=（N1+ N2）Asinωt
故总的描述函数为： N = N1+ N2 当N1 和N2为复数时上式仍成立。
j
－1/N（A）
j
j
0
0 B
A
0
G（jω）
G（jω） －1/N（A）
－1/N（A） G（jω）
（a）稳定
（b）不稳定
（c）自振荡
具体确定如下： 在复平面上自振荡点的附近，当幅值A增加时，－1/N（A）曲 线是从不稳定区进入稳定区，则该点为稳定的自振荡（如c图A点）；
2003 . 11. (7-18)
r（t）=0 x N y G（S） c（t）
设上图中非线性环节N的输入为： x（t）=Asinωt 则 y（t）一般为周期性非正弦信号，并可以展开为傅氏级数：
2003 . 11. (7-6)

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y ( t ) A0
(A
n 1
n
cos n t B n sin n t )
2003 . 11. (7-3)
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3)、滞环特性（间隙特性）
y（Leabharlann Baidu） b
y（t）= k· [r（t）－a· sign r（t）]
b· sign r（t）
a r（t）
r′（t） =0 r′（t）=0
其中 2a——间隙宽度 k——间隙特性斜率 特点：增大系统静差→动态响应的振荡加 剧→稳定性变坏
很多非线性系统通过适当的简化后，都可以化为由线性部分 和非线性部分串联而成的系统，如下图所示。
r（t）=0 x N（A） y G（jω） c（t）
2003 . 11. (7-16)
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系统的闭环频率特性为
( j ) C ( j ) R ( j ) N ( A )G ( j ) 1 N ( A )G ( j )
0 0 －ma< r（t）< a， r′（t）>0 －a< r（t）< ma， r′（t）<0
4）继电器特性
y（t） b
-a
-ma ma a r（t） -b
y（t）= b· r（t） sign
b -b
∣r（t）∣≥a
r（t）≥ ma， r′（t）<0 r（t）≥ -ma， r′（t）>0
2003 . 11. (7-4)
② 饱和特性（理想）
③ 饱和特性的 增益曲线
根据图②可知： y（t）=
k· r（t） ∣r（t）∣≤a b· r（t） ∣r（t）∣> a sign
2003 . 11. (7-2)
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其中： a —— 线性区宽度； k —— 线性区特性的斜率； sign r（t）= ＋1 －1 2）、不灵敏区（死区）特性
y M x -M M π 2π ωt y
x π 2π ωt
2003 . 11. (7-9)
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由于输出的周期方波信号为奇函数，则傅氏级数中的直流分 量A0与基波偶函数分量的系数A1均为零： A0 = A1 = 0 而基波奇函数分量的系数B1为：
B1

1

2

2
y ( t ) sin td ( t )


4


0
y ( t ) sin td ( t )
4

0
1

kA sin td ( t )
2


2
1
ka sin td ( t )

2 kA

arcsin
a A

a A
2 a 1 A
其中： 1 arcsin
a A
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反之，当幅值A增加时，而－1/N（A）曲线是从稳定区进入不 稳定区，则该点为不稳定的自振荡（如c图B点）。 3、自振荡问题分析 自振荡的振幅和频率求取方法： 1）、图解法； 2）、自振荡条件法。通过非线性系统的闭环特征方程式:
结论：数个非线性特性并联后，总的描述函数等于各个非线性环节
描述函数之和。 例如，下图为一个死区非线性环节和一个具有死区的继电非线性 环节相并联的结构：
2003 . 11. (7-13)
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y1 x y=y1+y2 x y
y2
其等效的描述函数为:
N ( A) 4M
A
2 2K arcsin 1 1 A 2 A A
由于非线性特性对称于原点，故只分析X>0或Z>0的情况即可。
z>1时（即x>2）
y=2
2003 . 11. (7-15)
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根据上表可得（c）图中X>0部分，同样可得（c）图中X<0部 分，因此等效后系统的非线性特性入图（c）所示。其等效的非线 性环节为一个既有死区又有饱和的非线性特性，故总的描述函数 为：
2003 . 11. (7-1)
自动控制原理
第七章
§7.1 概述 1、典型非线性特性
非线性控制系统
控制系统中，常见的非线性特性： 1）、饱和特性：控制系统中的放大部件，由于器件性能及电路参数 等的限制，一般都具有输出饱和现象。
y（t）
y（t） b
k a r（t）
y（t） a
r（t）
r（t）
①晶体管放大器 特性（实际）