离散数学综合练习及答案
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北京科技大学远程教育学院
《离散数学》综合练习
一参考答案
数理逻辑
一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。 1、今天天气真好！ 解：不是命题。
2、王华和张民是同学。
解：是命题。真值视实际情况而定。p ：王华和张民是同学。 3、我一边吃饭，一边看电视。
解：是命题。真值视实际情况而定。p ：我吃饭。q ：我看电视。p q 4、没有不呼吸的人。
解：是命题。真值为1。M x ：x 是人。F x ：x 呼吸。x M x F x
二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。 )(])[(r p r q p →∧→∧
p q r
p
q r q p →∧)( r p → )(])[(r p r q p →∧→∧
0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。
1、r q q p →∧→])[( p q r p q
q q p ∧→)( r q q p →∧→])[(
0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1
1
1
1
r
q q p r q q q p r q q p r
q q p r q q p r q q p ∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔∨∧∨⌝⌝⇔→∧→])[()]()[()()(])[(])[(
可满足式
2、))((p q p q ∧∨⌝⌝∨ 解：))((p q p q A ∧∨⌝⌝∨=
p q q p ∨⌝ p q p ∧∨⌝)(
))((p q p ∧∨⌝⌝
A 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
1
1 0
1
1)()()())((⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨q p q p p q p q p q p q
永真式
四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。 )(r q p →→ p q r
)(r q p →→
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 0 1
∑=→→）
，，，，，，7543210()(r q p 成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110 五、解释I 如下：D 是实数集，特定元素a =0；特定函数f x ，y =x
y ；
特定谓词F x ，y ：x )] )[()] )(([)]([)])(([x y x y x x y x y x x y x F y x x y x f F y x ≥-∀∀⇔<-⌝∀∀⇔-⌝∀∀⇔⌝∀∀，，， 真值为假 2、)]()([)({z y f z x f F y x F z y x ，，，，→∀∀∀ 解： )] ( ) ( ) [( )]} ( ) ( [ ) ( {z y z x y x z y x z y f z x f F y x F z y x- < - → < ∀ ∀ ∀ ⇔ → ∀ ∀ ∀， ， ， ， 真值为真 六、 1、求前束范式) ( ) (y x yG x xF， ∀ → ⌝∃ 解： )] ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y t G x F y x y t yG x xF y x yG x xF y x yG x xF ， ，， ， ∨ ∀ ∃ ⇔ ∀ ∨ ∃ ⇔ ∀ ∨ ∃ ⇔ ∀ → ⌝∃ 2、证明：B x xA B x A x→ ∀ ⇔ → ∃) ( ) ) ( ( 证明： B x xA B x xA B x A x B x A x B x A x →∀ ⇔ ∨ ⌝∀ ⇔ ∨ ⌝ ∃ ⇔ ∨ ⌝ ∃ ⇔ →∃ ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( 七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明 推理规则。 （1）如果乙不参加篮球赛，那么甲就不参加篮球赛。若乙参加篮球赛，那么甲和丙就参加篮球赛。因此，如果甲参加篮球赛，则丙就参加篮球赛。 解： p：甲参加篮球赛。q：乙参加篮球赛。r：丙参加篮球赛。 前提：q p ，q p r， 结论：p r 证明：①q p 前提引入 ② p q ①置换 ③ q p r前提引入 ④q p r③置换 ⑤q p q r④置换 ⑥q r ⑤化简 ⑦ q r ⑥置换 ⑧ p r ②⑦假言三段论 推理正确 （2）学会的成员都是专家。有些成员是青年人。所以，有些成员是青年专家。个体域是人的集合 F x：x 是学会成员。 G x：x 是专家。 H x：x 是青年人。 前提：x F x G x，x F x H x 结论：x F x H x G x 证明：①x F x H x前提引入 ② F c H c①EI ③x F x G x前提引入 ④ F c G c③UI ⑤ F c②化简 ⑥ G c⑤④假言推理