北师大版初三数学反比例函数教案

戴氏教育高考名校冲刺教育中心 数学思维训练反比例函数考点热点全攻略

【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】 一.考点，难点，热点；

1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =

还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.

⑵比例系数0≠k

⑶自变量x 的取值为一切非零实数。⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，x

k

y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函

数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x

k

y =

（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：反比例函数上任取一点P ，作P Q ⊥x 轴于点Q ，PM ⊥y 轴于点M ，则

①k y x S =⋅＝四边形OQPM ② k y x S 2

121OQP =⋅∆＝

4．反比例函数性质如下表：

函数 图象 性质

反比例函数 y ＝k

x

（0k ≠）

k>0

双曲线，位于第一、三象限象限；在每个象限

内，y 值随x 的增大而减小，与x 轴，y 轴无交点 k<0

双曲线，位于第二，四象限，在每个象限内，y 值随x 的增大而增大，与x 轴，y 轴无交点

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,

但是反比例函数x

k

y =中的两个变量必成反比例关系。

利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P 为双曲线

上任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，垂足

分别为M 、N ，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|

∴xy=k 故S=|k| 从而得

结论1：过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k|

对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：

结论2：在直角三角形ABO 中，面积S=

结论3：在直角三角形ACB 中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|

二.典型例题讲解及思维拓展

例1. 下列各题中，哪些是反比例函数关系。

（1）三角形的面积S一定时，它的底a与这个底边上的高h的关系；

（2）多边形的内角和与边数的关系；

（3）正三角形的面积与边长之间的关系；

（4）直角三角形中两锐角间的关系；

（5）正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系；

（6）有一个角为30 的直角三角形的斜边与一直角边的关系。

例2. 在同一坐标系中，画出y

x

=

8

和

y x

=2的图象，并求出交点坐标。

例3. 当n取什么值时，y n n x n n

=++-

()

21

22是反比例函数？它的图象在第几象限内？在

每个象限内，y随x增大而增大或是减小？

例4. 若点（3，4）是反比例函数y m m x =

+-221图象上一点，则此函数图象必经过点

（ ）

A. （2，6）

B. （2，－6）

C. （4，－3）

D. （3，－4）

例5. a 取哪些值时，y a a x a a 231

22714

2+=--是反比例函数？求函数解析式？

例6. 若函数y m m x m m =+--()23

2

是反比例函数，求其函数解析式。

例7. （1）已知y y y =+12，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2

成正比例，并且x =1时，

y =2；x =0时，y =2，求y 与x 的函数关系式；

（2）直线l ：y kx b =+与y x =2平行且过点（3，4），求l 的解析式。

例8. 一定质量的二氧化碳，当它的体积V m =53时，它的密度ρ=198

3

./kg m （1）求ρ与V 的函数关系式； （2）求当V m =93

时二氧化碳的密度ρ。

例9. 在以坐标轴为渐近线的双曲线上，有一点P （m ，n ），它的坐标是方程t t 2

420--=的两个根，求双曲线的函数解析式。

例10. 如图，Rt ABC ∆的锐角顶点是直线y x m =+与双曲线y m

x =

在第一象限的交点，

且S AOB ∆=3

（1）求m 的值 （2）求S ABC ∆的值