大学物理：矢量 (VECTOR)

设
A
2a
3b ,
B
3a
b,
a
2,
b
1
解.
(a,b)
,
求A B,
3
Pr
jA B,
A B (2a 3b) (3a b)
Pr
jB A .
6
a
2
7a
b
3
b
2
28
2 A
A
A
37,
2 B
BB
31,
Pr
jA B
A B
A
28 , 37
Pr
jB A
A B
两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和
B -B
A
或者直接三角形减法
B A
C
B C
A
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2.3 多个矢量的加法
n
F F1 F2 Fn Fi
i 1
逐个矢量相加，可以采用多边形法则
A2
A4 An-1
A1
A3
An
O
2.4矢量加法的性质：
交换律(commutative
3) 两个矢量的夹角
cos A B
AB
4) 性质：
交换律(commutative law): 分配律(distributive law): 结合律(associative law):
AB B A ( A B) C AC B C ( A B) A (B), 为实数
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例3.
矢量和标量乘 矢量和矢量乘
结果是一个矢量。大小、方向？ 结果是一个标量。大小？ 结果是一个矢量。大小、方向？
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3.1 矢量的数乘(Product of a scalar and a Vector)
• 定义:矢量A与实数m的乘积仍是一个矢量,记为mA
– mA的大小: |mA|=|m||A| – mA的方向:
义的是在特定的坐标系里分解。最常见的是直角坐 标系。
Y
Ay
O
Ax
Ax Acos X Ay Asin
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Y
Ay
O
Ax
A A Ax2 Ay2
tan1 Ax
Ay
X
因此，平面上的一个矢量，可以用其两个坐 标分量确定；也可以由其大小和方向确定。
, cos
0,
A B
0
2
A B A B cos
, cos
0,
A B
0
A
B
2Leabharlann , cos0,A B
0
2
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1) A B A B 0，注意零矢量情况
2）两个矢量平行，标积最大
0，
cos 1，A B
A
B ，A A
2
A
反平行时，标积最小。 ， cos 1， A B A B
2
3) A B B A
A B
4) sin
AB
5) 运算律
( A) B ( A B) A (B), 为实数
C (A B) C A C B
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4 矢量的分量(Components)
一个矢量可以分解为两个或多个矢量之和。
例如： A B C D E F 等等分法，但有意
(A) (A) ( )A
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3.2 矢量的标积或点乘(Scalar product)
B
A B AB cos
B cosθ
A
两个矢量的标积是一个标量，其大小是第一个矢量的大小乘
以第二个矢量在第一个矢量上的投影。 是指这两个矢量的
夹角。
–标积 A B 随角度的不同可为正值、负值或零
1.1矢量的表示
符号表示： A ，MN ,印刷体 A
✓书写时在字母上方加一箭头代表矢量
✓印刷体符号用斜写的黑体字母表示矢
量
矢量几何表示：可用有方向的线段来表示矢量
✓线段的长度 表示该矢量的大小
✓箭头的方向 表示该矢量的方向
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1.2.有关矢量的定义
矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，矢量A的模表示为
• m>0: 与A同向; • m<0: 与A反向; • m=0: 零矢量 • m=-1: mA = -A,其中,-A表示一个与A大小相等方向相反的矢量
• 性质:
– 分配律:(associative law)
( )A A A (A B) A B
– 交换律:(commutative law)
B
28 . 31
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3.3矢量的矢积或叉乘（Vectorproduct）
A B C AB sin
两个矢量的矢积是一个矢量，
✓大小 C A B A B sin,规定 180 ✓方向按右手螺旋法则确定。
C矢量与A、B矢量构成的平面永远垂直！
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1) 当＝０或时 A B 0 A // B, 有 A A 0 2) ，A B， C A B 最大
–利用矢量的模和延矢量方向的单位矢量可将矢量A表示为
Α AA0=AA
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矢量由大小和其方向构成：
A A Ao AAo
Ao =
A A
A A
A =A 为大小， Ao 为其单位矢量，大小为1。
概念：单位矢量，模
负矢量：方向相反，大小相等。
A B A = B ,方向相反
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矢量 (VECTOR)
1 标量和矢量 Scalar quantity and vector quantity
标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从
普通的代数运算法则。
电压、温度、时间、质量等 所有实数 标量场
矢量：由大小(单位)及方向表示，其合
成服从平行四边形法则。
A
电场、磁场、力、速度等
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A ，MN ,印刷体 A ，或用斜体非粗体A
矢量相等(Equality of two vectors): 具有相同长度和相同方向
的两个矢量彼此相等。记为 B=C，注意矢量平移不变性
零矢量（zero vector)：
模等于零的矢量称为零矢量，记为 0 , 或者 0 零矢量的方向
是任意的。
单位矢量（unit vector)：若一个矢量的长度为1单位，则该 矢量称为单位矢量 A0,A,e
2、矢量加法（VECTOR ADDITION）
2.1两个矢量的加法：
定义
AB C
C是A ，B 的矢量和；A ，B是C 的分量
运算方法：平行四边形法则
B
B
C
平移
A A
简化为三角形法则：将B矢量的矢尾与A矢量的矢端相连，从 A的矢尾到B的矢端做矢量,则该矢量即为欲求的和矢量C
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2.2两矢量的减法：A B A (B) C
law): 结合律(associative
law):
AB B A
(A B) C A (B C)
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合矢量与分矢量
平行四边形法则
合矢量
大小 方向
C A2 B2 2ABcos
tan B sin A B cos
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3 矢量的乘法 (PRODUCTCTS OF VECTORS)