关于高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试

2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义

高职高专类

高等数学

经典方法及典型例题归纳

—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务

—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自

动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程

2013年5月17日星期五 曲天尧 编写

一、求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限1

1

lim 41--→x x x

【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1

)

1)(1)(1(lim

2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限

例2：求极限1

3lim 32

3+-∞→x x x x

【说明】

∞

∞

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3

11323=

+-=+-∞→∞→x x

x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→n

m b a n m n m b x b x b a x a x a n

n

m m m m n n n n x 0lim 01101

1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限)13(lim 22

+-

++∞

→x x x

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】

1

3)

13)(13(lim

)13(lim 2

2

22222

2+++++++-+=+-++∞

→+∞

→x x x x x x x x x x

例4：求极限3

sin 1tan 1lim

x

x

x x +-+→ 【解】x

x x x

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim

sin 1tan 1lim

3030

+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．

是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限

两个重要极限是1sin lim 0=→x

x

x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1

0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过

于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例5：求极限x

x x x ⎪⎭

⎫

⎝⎛-++∞→11lim

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X

1

+

，最后凑指数部分。 【解】22

21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x

x x x =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→

例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++∞

→x

x a x a x ，求a 。

5．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x

-,

()abx ax x x b

~11,2

1~

cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．

。 例7：求极限0ln(1)

lim

1cos x x x x →+=-

【解】 002

ln(1)lim lim 211cos 2

x x x x x x

x x →→+⋅==-.

例8：求极限x

x

x x 30tan sin lim -→

【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 22

2102030-=-==-=-=→→→x

x x x x x x x x x 6．用洛必达法则求极限

例9：求极限220)

sin 1ln(2cos ln lim x

x x x +-→ 【说明】

∞∞或0

型的极限,可通过罗必塔法则来求。 【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x

x x

x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→

【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解

例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim

⎰⎰--→x x

x dt

t x f x dt

t f t x

【解】 由于

⎰

⎰⎰

=-=

-=-0

)())(()(x

x

x

u t x du u f du u f dt t x f ,于是

⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→x

x

x

x x

x

x du

u f x dt

t tf dt t f x dt

t x f x dt

t f t x 00

)()()(lim

)()()(lim

=⎰

⎰+-+→x

x

x x xf du u f x xf x xf dt t f 0

)

()()

()()(lim

=⎰

⎰+→x x

x x xf du u f dt

t f 0

)

()()(lim