第十七章量子力学简介解答和分析

习题十七

17－1 计算电子经过V U 1001=和V U 100002=的电压加速后，它的德布罗意波长1λ和2λ分别是多少？

分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。 解：电子经电压U 加速后，其动能为eU E k =，因此电子的速度为：

m

2e v U = 根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为：

)(23

.12nm U emU h m h ==v ＝λ

若V U 1001=，则12301.＝λnm ；若V U 100002=，则012302.＝λnm 。

17－2 子弹质量m =40 g, 速率m/s 100=v ,试问:

(1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少?

(2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来?

分析 本题考察德布罗意波长的计算。

解：(1)子弹的动量

)s /m kg (410010403⋅=⨯⨯==-v m p

与子弹相联系的德布罗意波长

)m (1066.14

1063.63434

--⨯=⨯==p h λ (2) 由于子弹的物质波波长的数量级为m 10

34-, 比原子核的大小(约m 1014-)还小得多,

因此不能通过衍射效应显示出来.

17－3 电子和光子各具有波长0.2nm ，它们的动量和总能量各是多少？

分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。

解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为： )/(1032.3102.01063.624934

s m kg h

p ⋅⨯=⨯⨯==---λ 电子的总能量为：

)(1030.81420J hc

c m E e -⨯=+=λ

而光子的总能量为：

)(1095.916J hc

E -⨯==λ

17－4 试求下列两种情况下，电子速度的不确定量：（1）电视显像管中电子的加速电压为9kV ，电子枪枪口直径取0.10mm ；（2）原子中的电子，原子的线度为1010

－m 。

分析 本题考察的是海森堡不确定关系。

解：（1）由不确定关系可得： 2

≥∆⋅∆x p x 依题意此时的mm x 10.01=∆，因此有：

)/(6.021

s m x m m p x =∆≥∆=∆ x v 电子经过9kV 电压加速后，速度约为s m /1067⨯。由于x v v ∆>>，说明电视显像管内电子

的波动性是可以忽略的。

（2）同理，此时的m x 10210-=∆，因此有：

)/(102.1262

s m x m m p x ⨯=∆≥∆=∆ x v 此时v 和x v ∆有相同的数量级，说明原子内电子的波动性是十分显著的。

17－5 有一宽度为a 的一维无限深方势阱，试用不确定关系估算其中质量为m 的粒子的零点能量。并由此计算在直径1410－m 的核内质子的最小动能。

分析 本题考察的是海森堡不确定关系。根据位置坐标的变化范围来确定速度变化的范围，从而得到动能的最小值。 解：由不确定关系2

≥∆⋅∆x p x ，可得： x

m m p x ∆≥∆=∆2 x v 所以一维方势阱内粒子的零点能量为：

222208821ma

x m m E =∆≥∆=2x v 由上述公式，可得核内质子的最小动能为：

)(103.381422

J ma

E k -⨯==

17－6 如果一个电子处于原子某状态的时间为810－s ，试问该能态能量的最小不确定量为多少？设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV ，试确定所辐射光子的波长及该波长的最小不确定量。

分析 本题考察的是海森堡能量和时间的不确定关系。 解：根据能量和时间的不确定关系2

≥∆⋅∆t E ，有： )(103.5227J t

E -⨯=∆≥∆ 辐射光子的波长为：

)(367nm E

hc =＝λ 由上式可得波长的最小不确定量为： )(1059.362nm E E

hc -⨯=∆=∆λ 17－7 氦氖激光器发出波长为632.8nm 的光，谱线宽度nm 910－＝

λ∆，求这种光子沿x 方

向传播时，它的x 坐标的不确定量。

分析 本题考察的是海森堡不确定关系。 解：根据德布罗意关系λh p x =，等式两边同时取微分并只取其绝对值，此时有： λλ∆=∆2h

p x

根据不确定关系，可得：

)(1044252

2m p x x ⨯=∆≈∆=∆≈∆λ

λλπλ 17－8 一个细胞的线宽为310－m ，其中一粒子质量为1410－g ，按一维无限深方势阱计算，这个粒子当1001=n 和1101n =时的能级和它们的差各是多大？

分析 本题的考察是一维无限深方势阱中的能级分布问题。根据该势阱中的能级分布公式可求出不同能级之间的能量差。

解：对于一维无限深方势阱中的粒子而言，其能量为：

),3,2,1(,22

2

22 ==n ma n E n π 因此对于n ＝100能级，其能量为：

)(104.51002372222100J ma

E -⨯=⨯=π

类似的对于n ＝101能级，其能量为：

)(105.51012372222101J ma

E -⨯=⨯=π 两个能级之间的差为：

)(101.037100101J E E E -⨯=-=∆

17－9 一粒子被禁闭在长度为a 的一维箱中运动,其定态为驻波. 试根据德布罗意关系式和驻波条件证明: 该粒子定态动能是量子化的, 求出量子化能级和最小动能公式(不考虑相对论效应).

分析 本题考察德布罗意波长和定态的概念.

解 粒子在长度为a 的一维箱中运动,形成驻波条件为

2λ

n a = 即n

a 2=λ 由德布罗意关系式

a

nh h

p 2==λ 在非相对论条件下, 粒子动能和动量关系为

m

p E k 22

= 2

2

228)2(21ma h n a nh m E k == ,3,2,1=n 可见粒子的动能是量子化的, 1=n 时动能最小,

2

2

218)2(21ma h a nh m E k == 顺便指出,这些公式与严格求解量子力学方程所得结果完全相同.

17－10 若一个电子的动能等于它的静能,试求该电子的德布罗意波长.

分析 本题考察相对论能量和动量的关系及德布罗意关系.

解： 由题意知,电子

020E c m E k ==, 0202E c m E E k =+=

由相对论能量和动量关系可知

20222E c p E +=

)s /m kg (1073.4322020

2⋅⨯==-=-c m c E E p