六年级奥数工程问题(教师版)
学而思-小学六年级奥数教师讲义版-工程问题
六年级奥数第三讲工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内 容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量二工作效率X 工作时间，工作时间=工作量+工作效率，工作效率二工作量+工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成孑 工程的三分 之一表示为亍工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要， 可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位， 表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合 干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效 同理，乙队的工作效率是丄。
两队合干的工作效率是(点+占 150 100 150由澤工作量=工作效率x 工作时间-,刃天的工作量是 剰下的工作量是(l-|)c 由“工作时间=工作量+工作效率：剩下的工 作量由乙队干还需例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、 乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18天才完成任务。
率是歸 (而十X50 150 =25 （天）问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
黑「存⑹哙诗2 13_ = _x 20 = 12〔天）。
例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了【一E+命必］+召=3 （天）-例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
【精品原创】六年级奥数培优教程讲义第10讲-一般工程问题(教师版)
第10讲 工程问题了解工作量、工作时间及工作效率的意思；能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率；理解三者之间的关系，并用三者关系解题。
工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成12，工程的三分之一表示成13。
工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。
工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。
在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。
知识梳理教学目标考点一：用“组合法”解工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径例1、一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的7 30，乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130，从而求出甲队的工作效率。
学而思小学六年级奥数教师讲义版工程问题精编版.doc
例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？
分析与解： 这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，
例5一水池装有一个放水管和一个排水管， 单开放水管5时可将空池灌满， 单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池， 打开放水管1时后又打开排水管， 那么再过多长时间池内将积有半池水？
例6甲、乙二人同时从两地出发， 相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？
分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者
的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15
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分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。
1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？
2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？
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全国通用版 六年级春季奥数培优讲义 6-05-真题汇编-工程问题-教师专用
第5讲 工程问题【学习目标】1、复习工程问题；2、熟悉小升初的常见题型。
【知识梳理】1、基础公式：（1）工作量=工作效率×工作时间；（2）工作时间=工作量÷工作效率；（3）工作效率=工作量÷工作时间。
2、常用方法：（1）分工法；（2）比例法。
【典例精析】1、修一条公路，计划每天修60米，实际每天多修15米，结果提前4天修完，一共修了多少米？60×4÷15=16(天）(60+15)×16=1200(米）2、有一批零件由甲、乙两人合作完成，原计划甲比乙多做50个，结果乙实际做的比计划少70个，比甲实际做的总数的53多10个，这批零件共有多少个？ 70×2+50=190(个）(190+10)÷(1-53)=500(个） 500-190+500=810(个）3、一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。
现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过27天才完成。
甲休息了多少天？27-22=5(天）4、单独完成某路段维修工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起开工，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？5、加工一批零件，甲、乙两人合作需要12天完成，现在由甲先做3天，然后由乙做2天，还6、加工一批服装，原计划甲、乙两车间在25天合作完成，甲、乙合作10天后，甲单独做8天，接着乙又单独做14天，这样共完成全部任务的81%,已知甲比乙每天多做10套，求计划加工多少套服装？7、甲、乙、丙合作一项工程，4天干了整个工程的31,这4天内，除丙外，甲休息了2天，乙休息了3天，之后三人合作完成，甲的效率是丙的3倍，乙的效率是丙的2倍，问工程前后一共用了多少天？解：设丙的工效是x ，4+4=8(天）8、甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植1棵树的时间，乙可以植2棵树，丙可以植3棵树，他们先一起工作了5天，完成全部任务的31,然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。
六年级下册数学试题-奥数专题训练：工程问题人教版
工程问题一、概念（1）工作总量：工作的总量，一般抽象成单位“1”（2）工作时间：工作的时间（3）工作效率：工作的快慢程度，也就是单位时间内完成的工作量二、数量关系（1）工作总量=工作效率×工作时间（2）工作效率=工作总量÷工作时间（3）工作时间=工作总量÷工作效率三、解题技巧（1）一般算术法，涉及的思想方法可能有：代换法、比例法、列表法、方程法（2）方程法【例题1】某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合作多少天才可完成全部的工程？1. 1.【练习题1.1】某工程甲单独干20天完成，乙单独干5天完成，他们合作多少天才可完成全部的工程？2. 2.【练习题1.2】某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合作多少天才可完成工程的一半？3. 3.【练习题1.3】一条水渠，甲、乙两队合挖需10天完工。
已知乙单独挖需要30天，求问这条水渠由甲队单独挖需多少天？【例题2】一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。
现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天？1. 1.【练习题2.1】师徒二人加工一批零件，师傅单独加工要8小时完成，徒弟单独加工要10小时，师傅先加工2小时后，再与徒弟共同加工，还需多少小时？（答案请用分数表示，格式为A/B）2. 2.【练习题2.2】某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
3. 3.【练习题2.3】一项工程，甲独做75天完成，乙独做50天完成，在合做过程中，甲中途离开了一些天数，结果整个工程40天才完成。
甲中途离开了几天？【例题3】甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。
走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。
出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇？1.2. 1.【练习题3.1】甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。
六年级奥数第5、6次课：工程问题(教师版)
【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。
学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用！！！】工程问题一、考点、热点回顾1、顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可2、工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
3、工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
二、典型例题例1、单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效例2、某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
答：甲队干了12天。
例3、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 、一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
六年级奥数试题及答案：工程问题【三篇】
六年级奥数试题及答案：工程问题【三篇】天高鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩用好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举一反三。
以下是小编为大家整理的《六年级奥数试题及答案：工程问题【三篇】》供您查阅。
【第一篇】一项建筑工程，由甲建筑队单独承建要一年半，乙建筑队单独承建要一年零三个月，现在两队合作半年，剩下的由乙队继续完成还要()个月．（假设每月实际工作天数一样）考点：工程问题．分析：把这项工程看做“1”，则甲乙单独完成的工作效率分别是，于是可求出他们合作半年的工作量，也就能求剩余的工作量，进而可求剩余的工作时间．解：他们合作半年的工作量是；剩余的工作量是；剩余的工作时间是；故应填：4．点评：此题主要考查工作量、工作时间、工作效率之间的关系，关键是先求出剩余的工作量．【第二篇】甲、乙、丙三人合修一围墙．甲、乙合修6天修好围墙的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩下的三人又合修了5天才完成．共得工资_0元，按各人所完成的工作量的多少来合理分配，每人应得()元．分析：要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为；乙、丙合修2天修好余下的1/4，可得乙、丙工作效率之和：；甲的工作效率为；同理可求出乙的工作效率．然后求出各自的工作量．【第三篇】原计划用24个工人挖一定数量的土方，按计划工作5天后，因为调走6人，于是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务，原计划每人每天挖土()方．考点：工程问题．分析：方法一：调走6人还剩_人，那么_个人还干24个人的活，即3个人干4个人的活，每个人要多干原来的三分之一的活，而多三分之一就是要多挖1方土，所以每个人要挖3方土；方法二：假设每人每天挖_方，完成任务的天数为y天，那么共有24_y方土需要挖，5天内挖了24_5_方土，5天后剩下24_（y-5）方土没挖，这时只有24-6=_人了，则有24_（y-5）=_（_+1）_（y-5），解此不定方程即可．解：方法一：调走人后每人每天多干原来的几分之几：24÷（24-6）-1=1/3，原计划每人每天挖土的方数：1÷(1/3)=3（方）．方法二：设每人每天挖_方，完成任务的天数为y天，则共有24_y方土需要挖，5天内挖了24_5_方土，所以24_（y-5）=_（_+1）_（y-5），根据题意得出y必须大于5，所以24_=__+_，6_=_，_=3，答：原计划每人每天挖土3方．故答案为：3．点评：此题为工程问题，分析题干，从求调走人后每人每天多干原来的几分之几去思考，一步步解答，同时注意别陷入计算按计划工作5天后工作量的误区．六年级奥数试题及答案：工程问题【三篇】.到电脑，方便收藏和打印：。
六年级奥数第4讲：工程问题-教案
（ 六年级 ） 备课教员：×××第四讲 工程问题一、教学目标： 知识目标 1. 认识工程问题的结构特点。
2. 掌握它的数量关系、解题思路和解题方法。
3. 并能正确解答工程问题的基本题。
能力目标 1. 初步培养学生的分析概括能力和迁移类推能力。
2. 运用所学知识解决实际问题的能力。
情感目标 1. 通过课堂教学中引用国家发展建设中的图片， 渗透学生爱国思想，培养学生民族自豪感。
二、教学重点： 1. 工程问题的结构特点、解题思路和解题方法。
三、教学难点： 1. 理解用“单位1”表示工作总量，用单位时间完成工作总量的几分之一表示工作效率。
四、教学准备： PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：通过一组中国古代大型工程的图片和相关了解，渗透学生的爱国思想，培养学生民族自豪感。
再通过几个简单的问题，对工程问题的基本结构和解题思想做一个复习】师：这节课一开始，老师就想要考考大家。
同学们知道中国古代三大工程是什 么吗？生：长城、故宫……师：有的同学们猜到了，但是都没有完全猜对。
那老师给大家降低一些难度， 先给大家看图片，再由大家来猜，举手抢答哦！（出示PPT ，说出正确的名词后，再请一名同学或老师来读下面的介绍文字） 师：我们的古人是不是很厉害，很伟大？生：是。
师：但是在他们的伟大背后却付出了几代人甚至更多代人的努力，甚至付出生命的代价。
我们要学习这种艰苦奋斗的精神，好好学习，将来祖国的建设 需要你们。
那么回到我们的课堂，我们今天要来学习“工程问题”。
【板书课题：工程问题】师：我们再来看几个简单的问题？（出示PPT ）师：修完一段路需要5天，每天修这段路的多少？生：51。
师：每天修一段路的51，修完这段路需要多少天？生：5天。
师：都是怎么计算的？生：第一个问题是：1÷5＝51，第二个问题是：1÷51＝5（天）。
师：我们在做工程问题的时候经常把工作总量看作单位“1”，那么这里工作总量是？生：一段路。
小学奥数：6-3-3 工程问题(一).教师版
1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一． 工程问题的基本概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量 三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲知识精讲教学目标工程问题（一）模块一、工程问题基本题型【例1】一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的128，乙每天完成总量的121，两人合作每天能完成总量的111282112+=，所以两人合作的话，需要111212÷=天能够完成．【答案】12【例2】一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的130，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111123020-=，所以乙单独做112020÷=天能完成．【答案】20【巩固】一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的121，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111122128-=，所以乙单独做28天能完成．【答案】1 28【例3】甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30分钟打了A材料的14，乙40分钟打了B材料的27。
六年级《工程问题》奥数教案
（一）例题1：（10分）
一份工作，卡尔5小时先完成了 ，欧拉6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由卡尔、欧拉合作，还需要多少时间才能完成？
【讲解重点：把工作总量看作单位“1”。熟悉工程问题基本公式，会逐步利用公式解题】
师：老师刚才说了，我们一般把工作总量看作什么？
生：单位“1”。
师：对，多出了多少工作量？
生： 。
师：这是怎么造成的？
生：米德做了几天，并不是全都由阿博士来做。
师：也就是说多出来的工作量是由阿博士在米德的工作时间里比米德多做而造
成的。阿博士每天比米德多做多少工作量？生： 。师：这段时间有几天呢？
生： ÷（ － ）。
板书：
（ ×14－1）÷（ － ）＝5（天）
板书：
1小时20分钟＝ 小时，1小时15分钟＝ 小时
1÷（1÷ ＋1÷ －1÷1）＝ （小时）
答：灌满这一池需要 小时。
三、小结：（5分）
1.在解决工程问题时，一般把工作总量看作单位“1”，然后表示各个工作效
率。
2.工作总量＝工作效率×工作时间（1＝工作效率×工作时间）
工作效率＝工作总量÷工作时间（工作效率＝1÷工作时间）
工作时间＝工作总量÷工作效率；
工作总量＝工作时间×工作效率。
（若学生对此不是很了解，教师需在上面的问题中一点点引导学生）
师：非常棒，接下来就是考验大家的时候了！
【探究新知，引入新课：
我们已经学过了工程问题的基本题型，如修一条马路，已知一共有多少千米，每天修多少千米，求需要几天完成任务？这节课，我们遇到的工程问题将没有具体的工作总量和工作效率，这时候需要我们利用分数来解题。】
生：乙、丙合作的工作效率： 。
奥赛小学教育数学竞赛：工程问题二.教师版解题技巧培优易错难
工程问题（二）教课目的娴熟掌握工程问题的基本数目关系与一般解法；工程问题中常出现独自做，几人合作或轮番做，剖析时必定要学会分段办理；依据题目中的实质状况能够正确进行单位“1的”一致和变换；工程问题中的常看法题方法以及工程问题算术方法在其余种类题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教课中的要点，是分数应用题的引申与增补，是培育学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量当作单位“1”的应用题，它拥有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教课中，让学生成立正确观点是解决工程应用题的要点。
一．工程问题的基本观点定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间互相关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内达成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，一定做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如观点、性质、法例、公式等宽泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵巧运用；③学会画线段表示图．线段表示图能直观地揭露“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，能够帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行剖析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思虑问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化无常，单靠一致的思路模式有时很难找到正确解题方法．所以，在解题过程中，要擅长掌握对应、假定、转变等多种解题方法，不停地开辟解题思路．三、利用常有的数学思想方法：如代换法、比率法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数目关系，转变出与所求有关的工作效率，最后再利用先前的假定“把整个工程当作一个单位”，求得问题答案．一般状况下，工程问题求的是时间．例题精讲模块一、工程问题——变速问题【例1】甲打一篇文稿，打完一半后吃晚餐，晚餐后每分钟比晚餐前多打32个字．前后共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（）字．【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答、【要点词】走美杯，三年级，初赛，四年级【分析】由“前25分钟比后25分钟少打640个字”，可知：多打这640个字需要的时间是：640÷32=20（分钟），那么就知饭前用了30分钟，饭后用了20分钟，假如这640个字所有吃饭前的速度打，则需要10分钟，故可知饭前的速度是64个字每分钟，饭后的速度是96个字每分钟，则文稿一共有：64×30+96×20=3840个字。
小学奥数 工程问题(一).教师版
工程问题（一）教学目标1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲模块一、工程问题基本题型【例 1】一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的128，乙每天完成总量的121，两人合作每天能完成总量的111282112+=，所以两人合作的话，需要111212÷=天能够完成．【答案】12【例 2】一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的130，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111123020-=，所以乙单独做112020÷=天能完成．【答案】20【巩固】一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的121，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111122128-=，所以乙单独做28天能完成．【答案】128【例 3】甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30分钟打了A材料的14，乙40分钟打了B 材料的27。
最新小学六年级奥数教案—05工程问题一名师优秀教案
小学六年级奥数教案—05工程问题一小学六年级奥数教案—05工程问题一本教程共30讲工程问题(一)顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是:工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量?工作效率，工作效率=工作量?工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天,分析与解:以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问:甲队干了多少天,分析:将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天,”这样一来，问题就简单多了。
答:甲队干了12天。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问:甲队实际工作了几天,分析与解:乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个, 分析与解:这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。
六年级奥数工程问题(教师版)
六年级奥数工程问题(教师版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：工程问题一：基本类型工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。
模型一：工作效率（和）×工作时间=工作总量模型二：工作总量÷工作效率（和）=工作时间模型三：工作总量÷工作时间=工作效率（和）（一）先合作，后独作例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。
甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A）设乙x天（1/24+1/30）x+1/24*6=1 x=10例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。
现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。
乙队休息了几天？（B级）（二）丙先帮甲，再帮乙例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。
有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。
丙帮助甲搬运了几小时？（B级）（三）甲乙合作，中途有人休息例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。
现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。
这样一共用了几天时间？（B级）（四）独做化合做例5、甲乙合做一项工程，24天完成。
如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做完成任务各需多少天？（B级）（五）合做变独做例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。
小学数学6年级培优奥数讲义 第10讲-一般工程问题(教师版)
第10讲 工程问题了解工作量、工作时间及工作效率的意思；能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率；理解三者之间的关系,并用三者关系解题。
工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
然而其内容已不仅是工程方面的,还包括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间,且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少,它可以是全部工作量,一般用单位“1”表示；也可是部分工作量,常用分数表示。
例如,工程的一半表示成12,工程的三分之一表示成13。
工作效率指工作的快慢,也就是单位时间里所干的工作量。
工作效率的单位是一个复合单位,用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。
但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量,另一类是未给具体工作量。
在解答工程问题时,我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的,可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”,那么,参与这项工作的每个人(队)单独做的工作效率可用此人(队)单独做的工作时间的倒数表示。
考点一：用“组合法”解工程问题典例分析知识梳理教学目标在解答工程问题时,如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看,则难以找到明确的解题途径,若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合,使之成为一个新的基本单位,便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化,从而顺利找到解题途径例1、一项工程,甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天,乙队做3天,只能完成工程的730,乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115,只要求出甲队或乙队的工作效率,则问题可解,然而这正是本题的难点,用“组合法”将甲队独做5天,乙队独做3天,组合成甲、乙两队合作了3天后,甲队独做2天来考虑,就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130,从而求出甲队的工作效率。
六年级工程问题(综合)奥数教案
工程问题（综合）知识梳理教课重、难点作业达成状况典题研究例 1. 甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修 6 天达成了，乙、丙合修 2 天达成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修 5 天达成，现领薪资共 180 元，按工作量分派，甲、乙、丙应各领多少元？例 2. 一项工程，甲独自达成要30 天，乙独自达成要乙、丙三个合作达成此工程。
在工作过程中甲歇息了后把这项工程达成了。
问这项工程前后一共用了多少天？45 天，丙独自达成要90 天。
现由甲、2 天，乙歇息了 3 天，丙没有歇息，最例 3. 一项工程，乙队先独自做 4 天，既而甲、丙两队合做 6 天，剩下的工程甲队又独做 9 天才所有达成。
已知乙队达成的是甲队达成的，丙队达成的是乙队达成的 2 倍。
甲、乙、丙三队独做，各需要多少天达成？例 4. 一个水池装了一根进水管和 3 根粗细相同的出水管。
单开一根进水管注满，单开一根出水管 45 分钟可将水池的水放完。
此刻水池中有池水，多少分钟后水池的水还剩下？20 分钟可将水池4 根水管一同翻开，例 5. 2 个蟹将和 4 个虾兵能打扫龙宫的，8 个蟹将和10 虾兵在相同的时间里就能打扫完整部龙宫，假如单让蟹将去打扫与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完整部龙宫，虾兵比蟹将要多几个？例 6. 一批工人到甲、乙两上工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。
上午去甲工地人数是去乙工地人数的 3 倍，其余工人到乙工地，到夜晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 4 名工人再做一天。
那么这批工人有多少人？例 7. 一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需 5 分钟注满水池，单开乙管需 10 分钟注满水池，满池水假如单开排水管需要 6 分钟流尽。
某次池中无水，翻开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时翻开乙管。
又过了相同时间，水池的注了水。
假如持续注满水池，前后一共花了多少时间？例 8. 一件工作，甲做了 5 小时此后由乙来做，再做 3 小时能够达成。
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工程问题一：基本类型工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“ 1 ”，工作效率就用完成单位“ 1 ”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。
模型一：工作效率（和）^工作时间二工作总量模型二：工作总量+工作效率（和）二工作时间模型三：工作总量+工作时间二工作效率（和）（一）先合作，后独作例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。
甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A）设乙x 天（1/24+1/30 ）x+1/24*6=1 x=10例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。
现两队合修，中途甲队休息 2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。
乙队休息了几天？（B级）（二）丙先帮甲，再帮乙例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15 小时。
有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。
丙帮助甲搬运了几小时？（B级）（三）甲乙合作，中途有人休息例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。
现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天, 而丙一直工作到完工为止。
这样一共用了几天时间？（B级）（四）独做化合做例5、甲乙合做一项工程，24天完成。
如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5 ,两队单独做完成任务各需多少天？（B级）（五）合做变独做例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。
已知甲、乙工作效率的比是 2 : 3。
如果由乙单独做，需要多少天才能完成？（B）三：综合类型1、加工一批零件，甲独做需3天完成，乙独做需4天完成，两人同时加工，完成任务时，甲比乙多做24个，这批零件共有多少个？2、一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析：设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工作效率是1/12 , 乙丙合作的工作效率为1/15，甲丙合作的工作效率为1/20。
因此甲乙丙三队合作的工作效率的两倍为1/12 + 1/15 + 1/20 ,甲乙丙三队合作的工作效率为(1/12 + 1/15 + 1/20 ) -2 = 1/10。
因此三队合作完成这项工程的时间为1-1/10 = 10 (天)。
答：1 +[ (1/12 + 1/15 + 1/20 ) -2] = 1 -[1/5 -2] = 1 -1/10 = 10 (天)3、师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。
师傅先做5天后，因事外出，由徒弟来接着做3天，共完成任务的7/10。
如果每人单独做这批零件各需几天？分析：设这批零件为单位“ 1 ”。
其中6天完成任务，用1/6表示师徒的工作效率的和。
要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工作效率，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天，理解成两人先合作3天，然后师傅做2天。
答：师傅的工作效率是(7/10 —3X1/6 ) + (5 —3) = 1/10徒弟的工作效率是1/6 —1/10 = 1/15、所以师傅单独作需要 1 +1/10 = 10天徒弟单独做需要1 +1/15 = 15天。
4、一项工程，甲单独做12天可以完成.如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完.问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？答：甲单独做3天完成3/12=1/4 ，余下工程的1-1/4=3/4 得乙的工效是(3/4 ) /6=1/8若甲单独做6天，则完成1/2，余下工程的1/2则乙要做(1/2 ) / (1/8 ) =4天5、一条水渠，甲乙两队合挖30天完工.现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完.这条水渠由乙单独挖，需要多少天？答：由题意可知，甲乙两队的工效是1/30 ,合挖12天，完成2/5 , 剩下3/5 ,乙队用24天完成，得乙队工效是(3/5 ) /24=1/40 , 则乙队单独挖需要40天6、一项工程，甲乙两队合作6天完成5/6。
已知单独做，甲完成1/3 与乙完成1/2的时间相等。
问单独做，甲乙各需要多少天？解：由甲完成1/3与乙完成1/2的时间相等，可知当甲完成2份时，乙完成了3份，由甲乙两队合作6天完成5/6，得甲乙两队合作一天完成5/36，则甲完成2/36=1/18 ，甲单独做需要18天；则乙完成3/36=1/12 ，乙单独做需要12天。
7、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成.甲先做8 小时，乙接着做6小时也可以完成.如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？解：若由乙单独做共需几小时： 6 X3 + 12 = 30 （小时）.甲做3小时后乙接着做还需几小时：30 — 3 X3 = 21（小时）另解：若由甲单独做需几小时：8 + 6宁3 = 10 （小时）.甲先做3小时后乙接着做还需几小时：（10 — 3 ）X 3 = 21 （小时）.8、筑路队预计30天修一条公路.先由18人修12天只完成全部工程的1/3，如果想提前6天完工，还需增加多少人？分析：由18人修12天完成了全部工程的1/3，可通过18 X12求出用一天完成1/3工作量共需要的总人数，也可以通过18 X12求出用1人完成1/3工作量需要的总天数。
所以由1/3宁（18 X12 ）求出1 人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工作效率）。
解：①一人一天完成全部工程的几分之几（即一人的工作效率）：1/3 +（18 X12 ）= 1/648②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：（1 —1/3 ）+[1/648 X（30 —12 —6） ] =2/3 +12/648 = 36（人）③需要增加几人：36 —18 = 18 （人）9、一件工作，甲5小时先完成了1/4，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？分析这道题是工程问题与分数应用题的复合题.解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“ 1 ” （总工作量）的几分之几？解：甲工作效率：1/4 -5 = 1/20乙工作效率：（1 —1/4 ）X1/2 +6 = 1/16余下的任务：（1 —1/4 ）X（1 —1/2 ） = 3/8需要的时间：3/8 +（1/20 + 1/16 ） = 10/3 小时。
10、有一项工程，甲、乙两队合作6天能完成5/6，已知单独做, 甲完成1/3与乙完成1/2所需要的时间相等。
问单独做甲、乙各需多少天？答：根据“甲完成1 /3与乙完成1 /2所需要的时间相等”可以得出，甲、乙的工效比为： 1 /3: 1 /2 = 2 : 3因此，两队合作6天时，甲队完成了：（5/6）* 2/5 = 1 /3，乙队完成1 /2;甲队每天完成：（1 /3） /6 = 1 /18，完成全部工程需要18天；乙队每天完成：（1 /2）/ 6 = 1 /12，完成全部工程需要12天。
11、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？答：甲、丙合做5小时完成工作量：（1 / 20 + 1 /15 ） 5 = 7 / 12; 甲、乙合做的工作量：1 —7 /12 = 5 /12甲、乙合做的时间：（5/12）/（ 1 /20 + 1 /12 ）= 25 /8 天。
12、小和小同时开始制作同一种零件，每人每分钟能做一个零件，但小每制作3个零件要休息1分钟，小每制作4个零件要休息1.5分钟。
现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟？解：由题意知，包括休息时间，小每4分钟做3个，小每5.5分钟做4个。
所以每44分钟，小做33个，小做32个。
二人共做33 + 32 = 65 个。
由300 -H65 = 4...40推知，经过4个44分钟还剩下40个零件未完成。
这40个零件二人合做仍需要28分钟。
所以共需44 X4 + 28 = 204 分钟。
13、师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？分析：师傅加工一个零件用5分钟，每分钟加工1/5个零件；徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟加工1/9个零件。
师徒两人工作效率的比是1/5 : 1/9，由于两人的工作时间一定，根据工作量/工作效率=工作时间（一定），工作量与工作时间成正比例。
解法1 :设师傅加工x个，徒弟加工（168 —x）个。
x: （168 —x）= 1/5 : 1/9 x : （168 —x ）= 9 : 5 5x = 168 X9 —9x ,14x = 168 X9, x = 108 .168 —x= 168 —108 = 60 （个）.解法2 :由于师徒工作效率的比是1/5 : 1/9，那么他们工作量的比也是1/5 :1/9，因此师傅工作量是徒弟工作量的1/5 -1/9 = 9/5倍，徒弟的工作量是1。
徒弟加工的个数：168-(1/5 -1/9 + 1) = 168 -14/5 = 60个师傅加工的个数：60 x(1/5 -1/9 ) = 108个解法3 :师傅每分钟加工1/5个，徒弟每分钟加工1/9个，用相遇问题思考方法可求出两人各用多少分钟，然后用师徒每分钟做的零件个数乘540就是各自加工的个数。
共用的时间：168 -(1/5 + 1/9 ) = 540 (分)师傅加工的个数：540 X1/5 = 108 (个)徒弟加工的个数：540 X1/9 = 60 (个)。