初二数学经典习题十字相乘法及分组分解法(提高)巩固练习

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人教版数学八年级上册十字相乘法及分组分解法复习与巩固提高

十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】【高清课堂 400150 十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）【答案与解析】解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3）【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系21016x x -+2310x x --78x x x -=-()()78x x +-2810x x x --=-()()28x x --()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+-数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例1】【变式1】分解因式：（1）；（2）；（3）【答案】解：（1）（2）（3）【变式2】（2016秋·闵行区期末）因式分解：()()222812x x x x +-++.【答案】解：()()222812x xx x +-++=()()2226x x xx +-+-=()()()()1223x x x x -+-+.【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例1】2、将下列各式分解因式：（1）；（2）（3）；（4）.【思路点拨】（3）题可看成常数项，.（4）题可将看成一个整体来分解因式. 【答案与解析】解：（1）；（2）. （3）；1072++x x 822--x x 2718x x --+()()271025x x x x ++=++()()22842x x x x --=-+()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+22355x x +-25166x x ++22616x xy y --216y -21682,826y y y y y y -=-⨯-+=-()2x +22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2261682x xy y x y x y --=-+（4）因为所以：原式【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】解：（1）；（2）；（3）；（4）.3、将下列各式分解因式：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）因为所以：原式＝()()()25242292x x x -+-+=-+()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+21136x x -+251124a a --10722+-xy y x ()()342++-+b a b a 22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2271025x y xy xy xy -+=--()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-91019y y y +=()()2335y y ++（2）因为所以：原式＝【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数. 举一反三：【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）；【答案】解：（1）；（2）；（3）.类型二、分组分解法4、（2015春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ） =a （x+y ）+b （x+y ） =（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1 =（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】21183x x x -=()()2379x x +-2314x x +-2344x x --+2631105x x +-()()22314341311x x x x x x +-=-+=--()()223444432123x x x x x x --+=--=+-()()263110521537x x x x +-=+-解：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y =（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ） =（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2=45am 2﹣5a （4x 2﹣4xy+y 2）=5a[9m 2﹣（2x ﹣y ）2] =5a （3m ﹣2x+y ）（3m+2x ﹣y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1=（4a 2+4a+1）﹣b （4a 2+4a+1）=（2a+1）2（1﹣b ）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式.十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法22244a b ab c +--()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式：2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a 22(1)(6136)x a x a a ++--+【答案与解析】解：原式＝【总结升华】将视作常数，就以为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为所以：原式＝[－2][－12]＝＝【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：；【答案】解：原式3、分解下列因式()()()212332x a x a a ++---()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-a x 23345xy y x y ++--2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+()2a a -()()()22221214a a a a a a ----=--22(2)(12)a a a a ----()()()()1234a a a a +-+-222(3)2(3)8x x x x ----()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+--(1) (2)【答案与解析】解：（1）令，则原式（2）令，原式【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法4、分解因式：【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成，第4、5项→. 【答案与解析】解：原式【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例4】【变式1】分解因式：（1）（2）（3）【答案】解：（1）原式；（2）原式；22(1)(2)12x x x x ++++-22(33)(34)8x x x x +-++-21x x t ++=222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++-2(2)(1)(5)x x x x =+-++23x x m +=2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++222332x xy y x y -++-+2()x y -3()x y -2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+22a b ac bc -++225533a b a b --+23345xy y x y ++--()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()()()()()()225353553a ba b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-（3）原式.【变式2】（2016秋•昌江区校级期末）分解因式：2242244241a b c ab ac bc ++--+-．【答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+- =()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++- =()()()()222222211b a cb ac c -+-++-=()()222121b a c b a c -++-+-．类型三、拆项或添项分解因式5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2 =x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3] =（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x 2﹣4xy+3y 2=0化为（x ﹣ ）•（x ﹣ ）=0并直接写出y 与x 的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y 与x 的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x 2+2ax ﹣3a2=x 2+2ax+a 2﹣4a2 =（x+a ）2﹣4a 2=（x+a+2a ）（x+a ﹣2a ） =（x+3a ）（x ﹣a ）；（2）x 2﹣4xy+3y2=x 2﹣4xy+4y 2﹣y2 =（x ﹣2y ）2﹣y2233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-=（x ﹣2y+y ）（x ﹣2y ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣3y ）；x=y 或x=3y ；故答案为：y ；3y（3）原式===﹣，若x=y ，原式=﹣2；若x=3y ，原式=﹣．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．【巩固练习1】一.选择题1. 将因式分解，结果是( )A. B. C. D.2.（2016秋•西城区校级期中）下列因式分解结果正确的是（）A ．()3221510532a a a a a +=+B ． ()()2943434x x x -=+-C ． ()2210255a a a --=-D ． ()()231025a a a a --=+-3. 如果，那么等于( )A. B. C. D.4. 若，则的值为( )A.－9B.15C.－15D.95. 如果，则为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．66．把进行分组，其结果正确的是（）A. B. C. D.二.填空题7. 若，则＝ .2321016a a ++()()28a a -+()()28a a +-()()28a a ++()()28a a --()()2x px q x a x b -+=++p ab a b +ab -a b --()()236123x kx x x +-=-+k b 2222a b c bc --+222()(2)a c b bc ---222()2a b c bc --+222()(2)a b c bc ---222(2)a b bc c --+()()21336m m m a m b -+=++a b -8. 因式分解___________．9．（2016·潍坊三模）分解因式：3231215x x x --= ．10. 因式分解：＝_______________；11. 因式分解＝ .12.分解因式：＝________.三.解答题13.若多项式可以分解成两个一次因式的积，其中、均为整数，请你至少写出2个的值．14.（宣武区校级期末）因式分解：2x 2+x ﹣3．15.分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】D ；【解析】A 、()3221510532a a a a +=+，故此选项错误；B 、()()2943232x x x -=+-，故此选项错误；C 、21025a a --无法因式分解，故此选项错误；D 、()()231025a a a a --=+-，正确.3. 【答案】D ；【解析】，所以.4. 【答案】A ；【解析】.5. 【答案】B ；【解析】由题意.6. 【答案】D ；【解析】原式＝.二.填空题7. 【答案】±5；【解析】，所以或者.8. 【答案】；22a b ac bc -++ax bx cx ay by cy +++++()2064x x -+321a a a +--236x px ++()()x a x b ++a b p 268x x -+21024x x +-215238a a -+22568x xy y -++225533a b a b --+()()()2x a x b x a b x ab ++=+++a b p +=-()()2123936x x x x -+=--5306b b =-=-，()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+()()2133649m m m m -+=--9,4a b =-=-4,9a b =-=-()()a b a b c +-+【解析】. 9. 【答案】()()315x x x +-；【解析】()32231215345x x x x x x --=-+=()()315x x x +-．10.【答案】；【解析】原式 .11.【答案】；【解析】. 12.【答案】；【解析】. 三.解答题13.【解析】解：由题意得，则，由、均为整数，可写出满足要求的、，进而求得，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12)＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，所以可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个值即可．14.【解析】解：原式=（2x+3）（x ﹣1）．15.【解析】解：（1）；（2）；（3）（4）（5）原式. 【巩固练习2】一.选择题1. （2016秋·惠民县期末）如果多项式22mx nx --能因式分解为()()32x x p ++，那么22a b ac bc -++()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()a b c x y +++()()ax bx cx ay by cy =+++++()()x a b c y a b c =+++++()()a b c x y =+++()()164x x --()()()220642064164x x x x x x -+=-+=--()()211a a +-321a a a +--()()()()221111aa a a a =+-+=+-236()()x px x a xb ++=++2236()x px x a b x ab ++=+++36a b p ab +==，a b a b p p p ()()26824x x x x -+=--()()21024122x x x x +-=+-()()2152381581a a a a -+=--()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+-()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-下列结论正确的是 ( ).A.m ＝6B.n ＝1C.p ＝-2D.mnp ＝32. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.63. 将()()256x y x y +-+-因式分解的结果是( ).A.()()23x y x y +++-B. ()()23x y x y +-++C.()()61x y x y +-++D. ()()61x y x y +++-4．（滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a+1）（b+1）C ．（a+1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b+1）5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. 22(42)(93)x x y y ++--B. 22(49)(23)x y x y -+-C. 22(43)(29)x y x y -+-D. 22(423)9x x y y +--6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（）A. －9B.9C.－1D.1二.填空题7.（2016•黄冈模拟）分解因式：2242y xy x --+= ．8. 分解因式：224202536a ab b -+-= ．9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.12. 分解因式：（1）3)32(2-+-+k x k kx ；（2）mn m x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知0x y +=，31x y +=, 求2231213x xy y ++的值.14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a（2）32344xy xy x y x y -++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.（2015•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ）=x （a+b ）+y （a+b ）=（a+b ）（x+y ）2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--， ∴22,32p p n =-+=-，解得1n =.2. 【答案】B ；【解析】()()23065x x x x --=-+，由b a <，所以6b =-. 3. 【答案】C ；【解析】把()x y +看成一个整体，分解()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++. 4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得()()2323x y x y +-，与第二组有公因式23x y -可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当3x =-时，代数式为零，解得9m =-.二.填空题7. 【答案】()()22x y x y -+--．【解析】解：2242y xy x --+=()2224y xy x -+-=()24x y --=()()22x y x y -+--．8. 【答案】()()256256a b a b -+--；【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+-- 9. 【答案】()()()22111x x x x +--+；【解析】原式()()()()()()()23222321111111xx x x x x x x x =-+-=-+=+--+. 10.【答案】16；【解析】由题意当4x =时，代数式等于0，解得16a =.11.【答案】()()a b a b -+；【解析】()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+.12.【答案】()()31kx k x +-+；()()x m x m n --+；【解析】()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+； ()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦.三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++由0x y +=，31x y +=解得12y =所以，原式21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 14.【解析】解：（1）原式()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-；（2）原式()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦；（3）原式()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+；（4）.15.【解析】解：（1）原式=（a+b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a+b+1）；（2）原式= x 2﹣6x+9-16=（x-3）2﹣16=（x-3+4）（x-3-4）=（x+1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b2 = a 2+4ab+4b 2﹣9b2 = （a+2b ）2﹣9b2 =（a +2b ﹣3b ）（a+2b +3b ）=（a ﹣b ）（a+5b ）．()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+。

八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题及答案

八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1) 2236642821193x xy y x y ++--+(2) 22254251515403x y z xy yz xz ---+- (3) 22163812141115x xy y x y -+--- (4) 2227256491157x y z xy yz xz ++--+(5) 22218530192544x y z xy yz xz +-+-- (6) 26397a ab a b -+- (7) 222151015313130x y z xy yz xz +++-- (8) 222362130555774a b c ab bc ac +++-- (9) 227544265x xy x y +-+-(10) 2292310402816x xy y x y -++-+(11) 2471076p pq p q --++(12) 2272193273m mn n m n ----(13) 22221682782x y z xy yz xz +----(14) 223682867457m mn n m n +-+-+(15) 2221132431214x xy y x y -+-+-(16) 2264178132a ab b a b +---+(17) 2225155102824a b c ab bc ac ---++ (18) 2228324471715x xy y x y -++-+ (19) 227233019233x xy y x y +----(20) 221433182824x xy y x y ++--(21) 222181469821x y z xy yz xz -++-- (22) 2276123735m mn n m n -+-++ (23) 2262016312x xy y x y +--- (24) 2228354333331x y z xy yz xz ---++(25) 22254358723x y z xy yz xz +---+(26) 2235262m mn n m n --++(27) 22826649156x xy y x y -+-++(28) 22429672m mn n m n --++(29) 2262377152m mn n m n +++++(30) 2236121512268x xy y x y +-++-(31) 22214428614022a b c ab bc ac +++++(32) 22215612191727x y z xy yz xz ++--+(33) 22232155282228a b c ab bc ac -+-+-(34) 2228105181514x y z xy yz xz +++++(35) 223669301986x xy y x y ++--- (36) 22254645715x y z xy yz xz ++--+ (37) 224123827x xy x y -++- (38) 2227278713050x y z xy yz xz ++--+ (39) 2226653531x y z xy yz xz -+--+ (40) 2256282853512x xy y x y +-+++ (41) 223764104m mn n m n -----(42) 2272512214028x xy y x y --++- (43) 24030126x xy x y -+--(44) 22253416812x y z xy yz xz +++++(45) 222015529245x xy y x y +-+++(46) 2222875531239x y z xy yz xz +++++(47) 222721628511x y z xy yz xz +---+(48) 21052428x xy x y --++(49) 224131227618x xy y x y +-+-+(50) 22283525239x y z xy yz xz +--+-(51) 2212281532285x xy y x y ++--+(52) 222405235321x y z xy yz xz -++++(53) 2227216442023x y z xy yz xz --+-- (54) 229333035x xy y x y -++- (55) 222664152310x y z xy yz xz +---+ (56) 224233524320x xy y x y +-+++ (57) 22261825334525x y z xy yz xz --++- (58) 2279211220x xy x y -+-- (59) 22212355443216x y z xy yz xz ++-+- (60) 22316217156p pq q p q ++--- (61) 2283512453525a ab b a b -++-+(62) 222561012193434x y z xy yz xz --+++(63) 2235223201215p pq q p q -++--(64) 2224571544162x y z xy yz xz +---+(65) 221522523296p pq q p q +-+++(66) 22456624553810x xy y x y +++++(67) 22817212993828x xy y x y ++--+(68) 2223231820360x y z xy yz xz -+-+-(69) 2235622427618x xy y x y -++--(70) 22216153341214x y z xy yz xz -+--+(71) 222152045184x y z xy yz xz --++- (72) 22401030411310x xy y x y +-+++ (73) 22228202516x y z xy yz xz +--+- (74) 22242943931x y z xy yz xz -+--+ (75) 223362u uv u v -+--(76) 22813646314m mn n m n ++++ (77) 22263366124247x y z xy yz xz ----- (78) 22449161415p q p q ---+(79) 22728x xy y x y ---+(80) 2228330142134x y z xy yz xz +++++(81) 22754353234x xy y x y -+---(82) 2223542371526x y z xy yz xz -+-++(83) 221456543036x xy y x y ---++(84) 2224078273022x y z xy yz xz ---+-(85) 226349144320a ab b a b -----(86) 2254366752525x xy y x y -+-++(87) 222153550128a b c ab bc ac +++--(88) 2272751820328x xy y x y ++-+-(89) 22409947312x xy y x y +-+-+(90) 225228101415p pq q p q -+++- (91) 222116310624x xy y x y -+-+- (92) 222821522822a b c ab bc ac -+++-(93) 227633410x xy x y +--+(94) 222212812371048x y z xy yz xz -+-++ (95) 22218206462921a b c ab bc ac +++--(96) 222910820x xy y x y ++--(97) 222351412214632x y z xy yz xz --+--(98) 2224633038328x xy y x y +++++(99) 227302512204a ab b a b --++-(100) 2223144231513x y z xy yz xz ++--+八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(441)(973)x y x y+-+-(2)(653)(955)x y z x y z-++-(3)(835)(243)x y x y-+--(4)(956)(8)x y z x y z-+-+ (5)(955)(26)x y z x y z+++-(6)(91)(7)a a b+-(7)(353)(525)x y z x y z+-+-(8)(436)(975)a b c a b c+-+-(9)(91)(365)x x y++-(10)(954)(24)x y x y-+-+ (11)(476)(1)p q p---(12)(833)(9)m n m n--+(13)(724)(332)x y z x y z-+--(14)(447)(971)m n m n++-+ (15)(722)(37)x y x y-+--(16)(62)(71)a b a b--+-(17)(55)(35)a b c a b c+--+ (18)(73)(445)x y x y-+-+ (19)(961)(853)x y x y++--(20)(234)(76)x y x y+-+(21)(673)(322)x y z x y z+---(22)(67)(5)m n m n----(23)(4)(643)x y x y+--(24)(54)(87)x y z x y z-++-(25)(65)(97)x y z x y z-+--(26)(3)(22)m n m n+-+(27)(36)(821)x y x y----(28)(72)(631)m n m n+-+ (29)(32)(271)m n m n++++ (30)(634)(652)x y x y-++-(31)(764)(272)a b c a b c++++ (32)(534)(323)x y z x y z-+-+(33)(835)(45)a b c a b c+---(34)(455)(22)x y z x y z++++ (35)(453)(962)x y x y+-++ (36)(96)(6)x y z x y z-+-+ (37)(427)(61)x y x-+-(38)(872)(94)x y z x y z-+-+ (39)(6)(65)x y z x y z++-+ (40)(774)(843)x y x y++-+(41)(32)(322)m n m n--++ (42)(44)(737)x y x y-++-(43)(52)(863)x x y+--(44)(32)(52)x y z x y z++++ (45)(551)(45)x y x y++-+ (46)(475)(7)x y z x y z++++ (47)(32)(773)x y z x y z-+--(48)(24)(52)x y x---(49)(46)(433)x y x y++-+ (50)(8)(35)x y z x y z-+--(51)(235)(651)x y x y+-+-(52)(8)(552)x y z x y z-+++ (53)(84)(944)x y z x y z++--(54)(35)(361)x y x y--+ (55)(36)(24)x y z x y z---+ (56)(75)(454)x y x y++-+ (57)(65)(635)x y z x y z+--+ (58)(935)(34)x y x--+ (59)(675)(25)x y z x y z----(60)(372)(33)p q p q+++-(61)(45)(835)a b a b-+-+(62)(852)(726)x y z x y z+--+ (63)(55)(733)p q p q-+--(64)(53)(975)x y z x y z-+--(65)(56)(351)p q p q-+++ (66)(962)(545)x y x y++++ (67)(967)(924)x y x y+-+-(68)(436)(83)x y z x y z--+-(69)(743)(566)x y x y---+ (70)(833)(25)x y z x y z++-+ (71)(552)(342)x y z x y z-++-(72)(865)(552)x y x y-+++ (73)(45)(742)x y z x y z-+--(74)(734)(63)x y z x y z++-+ (75)(231)(2)u v u--+(76)(92)(927)m n m n+++ (77)(96)(766)x y z x y z++--(78)(273)(275)p q p q+---(79)(8)(91)x y x y-+-(80)(236)(45)x y z x y z++++ (81)(71)(754)x y x y---+ (82)(563)(77)x y z x y z-+++(83)(26)(766)x y x y+---(84)(872)(54)x y z x y z-++-(85)(925)(774)a b a b++--(86)(625)(935)x y x y----(87)(37)(55)a b c a b c+-+-(88)(834)(967)x y x y+++-(89)(833)(534)x y x y-+++ (90)(525)(43)p q p q---+ (91)(34)(736)x y x y---+(92)(43)(275)a b c a b c--+-(93)(32)(925)x x y-+-(94)(376)(742)x y z x y z-+++(95)(24)(956)a b c a b c+-+-(96)(24)(25)x y x y+-+(97)(772)(526)x y z x y z++--(98)(852)(364)x y x y++++(99)(52)(752)a b a b-++-(100)(32)(74)x y z x y z-+-+。

(完整版)十字相乘法因式分解练习题

十字相乘法因式分解练习题 1、=++232x x2、=+-672x x3、=--2142x x4、=-+1522x x 5、=++8624x x6、=++-+3)(4)(2b a b a7、=+-2223y xy x9、=++342x x10、=++1072a a11、=+-1272y y12=+-862q q13、=-+202x x14=-+1872m m15、=--3652p p16、=--822t t17、=--2024x x18、=-+8722ax x a 19、=+-22149b ab a20、=++221811y xy x21、=--222265x y x y x22、=+--a a a 1242323、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x26、=-+22865y xy x27、=++71522x x 28、=+-4832a a29、=-+6752x x30、=-+1023522ab b a 31、=+-222210173y x abxy b a32、=--22224954y y x y x33、=-+15442n n34、=-+3562l l35、=+-2222110y xy x36、=+-2215228n mn m一元二次方程的解法1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=-3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x 6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x8、432=-yy9、3072=--xx10、()()412=-+yy11、()()1314-=-xxx12、()025122=-+x反思：1.解一元二次方程时,如果方程能直接开平方,就采用直接开平方.其次考虑因式分解,因为这种方法最快接,再次考虑求根公式法,这种方法是万能的,能求所有的一元二次方程,当然大前提是有解.最后考虑用配方法,因为它较复杂,但这种方法常用于证明一个式子大于零或恒小于零。

北师大八年级数学下册十字相乘法分解因式的精品讲解+练习

十字相乘法分解因式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax^2 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ；=（x+3）（x+5）(2)2265y xy x +-．=（x-3y ）（x-2y ）例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ；=（-x+3）（-2x-1）例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；=（x-1）（x+1）（x-3）（x+3）(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；=[7(x+y)^2-5(x+y)-2](x+y)=(7x+7y-1)(x+y+2)(x+y)(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．=(a^2+8a+10)(a^2+8a+12)=(a^2+8a+10)(a+2)(a+6)例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．=(x^2+2x-18)(x^2+2x-9)例5 分解因式653856234++-+x x x x ．=(6x^4+5x^3-39x^2)+(x^2+5x+6)=x^2(6x^2+5x-39)+(x+2)(x+3)=x^2(x+3)(6x-13)+(x+2)(x+3)=(x+3)(6x^3-13x^2+x+2)=(x+3)(6x^3-13x^2+2x-x+2)=(x+3)[x(6x^2-13x+2)-(x-2)]=(x+3)[x(x-2)(6x-1)-(x-2)]=(x+3)[(x-2)(6x^2-x-1)]=(x+3)(x-2)(2x-1)(3x+1)例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．=(x^2-2xy+y^2)-5(x-y)-6=(x-y)^2-5(x-y)-6=[(x-y)-6][(x-y)+1]=(x-y-6)(x-y+1)例7、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++(2) 2384a a -+(3) 2576x x +-(4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +-(6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +-(9) 22483m mn n ++(10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x (x-2)(x+5)．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝，b ＝．9．=--3522x x (x －3)()．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ；(2)36524--x x ；(3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --；(5)234456a a a --；(6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --；(2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，x^3+y^3=36，求a 的值． x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x+y)^2-3xy]x+y=2,xy=a+4x^3+y^3=2*(4-3a-12)=36a=-26/3。

初中数学《运用十字相乘法分解因式》专项练习(含答案)

运用十字相乘法因式分解一、填空题（本大题共5小题）1.我们已经学过用面积来说明公式．如：（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用下图甲中的面积来说明．①请写出图乙的面积所说明的公式x2+（p+q）x+pq= ；②请利用①中得到的公式因式分解：x2﹣7x+10= ．2.如果二次三项式x2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为（只填写一个你认为正确的答案即可）．3.一个长方形的面积为m2+m﹣2（m＞1），其长为m+2，则宽为．4.分解因式：267x x+-=5.多项式x2+px+12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是（写出一个即可）．二、解答题（本大题共11小题）6.分解因式：⑴256x x++⑵256x x-+⑶276x x++⑷276x x-+7.分解因式：268x x++278x x+-8.分解因式：212x x+-2612x x-+-9.分解因式：22121115x xy y--=10.分解因式：42730x x+-2273320x x--11.分解因式：2214425x y xy+-22672x xy y-+12.分解因式：2383x x--25129x x+-13.已知221547280x xy y-+=，求xy的值14.分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-； ⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-15.分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+16.分解因式：257(1)6(1)a a ++-+运用十字相乘法因式分解答案解析一、填空题1.根据题意可知，①x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）；②∵（﹣2）×（﹣5）=10，（﹣2）+（﹣5）=﹣7∴x 2﹣7x+10=（x ﹣2）（x ﹣5）．2.根据题意，﹣a 是15分解成两个因数的和，15可以分解两个因数有几种，任意选取一种就可以．a=-8/8/16/-163.（m 2+m ﹣2）÷（m+2）=（m+2）（m ﹣1）÷（m+2）=4.(7)(1)x x +-5.12=（±2）×（±6）=（±3）×（±4）=（±1）×（±12），所以p=（±2）+（±6）=±8，或（±3）+（±4）=±7，或（±1）×（±12）=±13．∴整数p 的值是±7（或±8或±13）．二、解答题6.⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --7.268(2)(4)x x x x ++=++；278(8)(1)x x x x +-=+-8.221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+；22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+- 9.22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+10.4222730(3)(10)x x x x +-=-+；2273320(94)(35)x x x x --=+-11.2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--；22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--12.2383(31)(3)x x x x --=+-；25129(3)(53)x x x x +-=+-13.221547280(37)(54)0x xy y x y x y -+=⇒++=，∴370x y +=或540x y += 由题意可知:0y ≠，73xy =-或45x y =-14.⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.15.[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=---- 16.[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+。

完整版)十字相乘法因式分解练习题

完整版)十字相乘法因式分解练习题1、x^2+3x+2=02、x^2-7x+6=03、x^2-4x-21=04、x^2+2x-15=05、2x^4+6x^2+8=06、(a+b)-4(a+b)+3=07、x^2-11x+10=09、-3xy+2y^2=010、x^2+4x+3=011、y^2-7y+12=012、12q^2-6q+8=013、x^2-3x+2=014、m^2+7m-18=015、2p^2-5p-36=016、t^2-2t-8=018、a^2-22a+120=020、x^2+7ax-8=021、x^2+11xy+18y^2=022、-a^2+4a-4=023、3x^2+11x+10=024、2x^2-l=35=025、6x^2-7x-5=026、5x^2+6xy-8y^2=027、2x^2+15x+7=028、3a^2-7a-6=029、5x^2+7x-6=031、3a^2+7a-6=032、4x^2-6x+9=033、4n^2+4n-15=034、6l^2-4l-5=035、10x^2-21xy+2y^2=0解一元二次方程时，可以采用直接开平方、因式分解、求根公式法或配方法。

其中，直接开平方和因式分解法常用整体思想，求根公式法虽然万能，但不一定最简单，而配方法较为复杂，常用于证明一个式子大于或小于零。

一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程。

一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）。

解一元二次方程有四种方法：1）直接开平方法（适用于没有一次项的一元二次方程）2）因式分解法：包括提取公因式法、平方差公式、完全平方公式和十字相乘法（适用于左边能分解为两个一次式的积，右边是的方程）3）公式法（适用于任何一个一元二次方程）4）配方法（适用于二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程）在解一元二次方程时，首先需要将其化为一般式，即ax^2+bx+c=0.然后求出判别式的值，判别式的值大于或等于零时才有实数解。

十字相乘法分解因式经典例题和练习

十字相乘法培优知识点讲解:一、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式1、22215a b ab --2、422318a b a b --例2把下列各式因式分解：⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把下列各式因式分解：⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+-变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++3、2()6()16x y x y +++-4、2()7()30x y x y +++-例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+-⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+（2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习：1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。

十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义，则（） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可．【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意；故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可．【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意；故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±．故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可；（2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--；（3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法．（1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。

18十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解及其练习含答案

十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式：22(1)(6136)x a x a a++--+【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a++---()()()()23322332x a x ax a x a=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a视作常数，就以x为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y++--【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y=+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a-看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][－12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+--3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++- 【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事. 类型二、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -. 【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+ （3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-. 【变式2】（秋•昌江区校级期末）分解因式：2242244241a b c ab ac bc ++--+-．【答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+- =()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++- =()()()()222222211b a cb ac c -+-++-=()()222121b a c b a c -++-+-．类型三、拆项或添项分解因式5、（春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是又：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣8a2﹣a2=（x+a）2﹣9a2=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）•（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．【巩固练习】一.选择题1. （秋·惠民县期末）如果多项式22mx nx --能因式分解为()()32x x p ++，那么下列结论正确的是 ( ).A.m ＝6B.n ＝1C.p ＝-2D.mnp ＝3 2. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 将()()256x y x y +-+-因式分解的结果是( ).A.()()23x y x y +++-B. ()()23x y x y +-++C.()()61x y x y +-++D. ()()61x y x y +++-4．（滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（） A ．（a ﹣1）（b ﹣1） B ．（a+1）（b+1） C ．（a+1）（b ﹣1） D ．（a ﹣1）（b+1） 5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. 22(42)(93)x x y y ++-- B. 22(49)(23)x y x y -+- C. 22(43)(29)x y x y -+- D. 22(423)9x x y y +-- 6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（）A. －9B.9C.－1D.1 二.填空题7.（•黄冈模拟）分解因式：2242y xy x --+= ． 8. 分解因式：224202536a ab b -+-= ． 9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________. 10. 如果代数式有一因式，则a 的值为_________．11．若3223a ab ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________. 12. 分解因式：（1）3)32(2-+-+k x k kx ；（2）mn m x m n x -+-+22)2( 三.解答题13. 已知0x y +=，31x y +=, 求2231213x xy y ++的值.14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a（2）32344xy xy x y x y -++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.（•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ） =x （a+b ）+y （a+b ） =（a+b ）（x+y ） 2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1 =（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3 =x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2） =（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--，∴22,32p p n =-+=-，解得1n =.2. 【答案】B ；【解析】()()23065x x x x --=-+，由b a <，所以6b =-. 3. 【答案】C ；【解析】把()x y +看成一个整体，分解()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++. 4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ） =（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得()()2323x y x y +-，与第二组有公因式23x y-可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当3x =-时，代数式为零，解得9m =-. 二.填空题7. 【答案】()()22x y x y -+--．【解析】解：2242y xy x --+=()2224y xy x -+- =()24x y --=()()22x y x y -+--．8. 【答案】()()256256a b a b -+--；【解析】原式()224202536a ab b=-+-()()()22256256256a b a b a b =--=-+--9. 【答案】()()()22111x x x x +--+；【解析】原式()()()()()()()23222321111111xxx x x x x x x =-+-=-+=+--+.10.【答案】16；【解析】由题意当4x =时，代数式等于0，解得16a =. 11.【答案】()()a b a b -+；【解析】()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+.12.【答案】()()31kx k x +-+；()()x m x m n --+；【解析】()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+；()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦.三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++由0x y +=，31x y +=解得12y =所以，原式21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭.14.【解析】解：（1）原式()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-；（2）原式()()()()222244222xy y x xxy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦；（3）原式()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+；（4）()()()4322222626232a a a aaa a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a+b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a+b+1）；（2）原式= x 2﹣6x+9-16=（x-3）2﹣16 =（x-3+4）（x-3-4） =（x+1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b 2= a 2+4ab+4b 2﹣9b2 = （a+2b ）2﹣9b 2=（a +2b ﹣3b ）（a+2b +3b ）=（a﹣b）（a+5b）．11。

人教版八年级上数学十字相乘法及分组分解法(基础)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1. 将21016a a ++因式分解，结果是( )A.()()28a a -+B.()()28a a +-C.()()28a a ++D.()()28a a --2. 因式分解的结果是()()34x x --的多项式是( )A.2712x x --B. 2712x x -+C. 2712x x ++D. 2712x x +-3. 如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于( )A.abB.a b +C.ab -D.a b --4. 若()()236123x kx x x +-=-+，则k 的值为( )A.－9B.15C.－15D.95. 如果，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．66．把2222a b c bc --+进行分组，其结果正确的是（）A. 222()(2)a c b bc ---B. 222()2a b c bc --+C. 222()(2)a b c bc ---D. 222(2)a b bc c --+二.填空题7. 若()()21336m m m a m b -+=++，则a b -＝ .8. 因式分解22a b ac bc -++___________．9．多项式可分解为()()5x x b --，则a ,b 的值分别为_________. 10. 因式分解：ax bx cx ay by cy +++++＝_______________；11. 因式分解()2064x x -+＝ .12.分解因式：321a a a +--＝________.三.解答题13.若多项式236x px ++可以分解成两个一次因式()()x a x b ++的积，其中a 、b 均为整数，请你至少写出2个p 的值．14. 若二次三项式()232350kx x k +-≠能被 27x +整除，试求k 的值． 15.分解因式：（1）268x x -+；（2）21024x x +-；（3）215238a a -+；（4）22568x xy y -++；（5）225533a b a b --+.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】B ；【解析】用整式乘法检验.3. 【答案】D ；【解析】()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，所以a b p +=-.4. 【答案】A ；【解析】()()2123936x x x x -+=--.5. 【答案】B ；【解析】由题意5306b b =-=-，.6. 【答案】D ；【解析】原式＝()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+.二.填空题7. 【答案】 ±5；【解析】()()2133649m m m m -+=--，所以9,4a b =-=-或者4,9a b =-=-.8. 【答案】()()a b a b c +-+；【解析】22a b ac bc -++()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+. 9. 【答案】10,2a b =-=-；【解析】()()()2555x x b x b x b --=-++，所以53,2b b +==-，5,10a b a ==-.10.【答案】()()a b c x y +++；【解析】原式()()ax bx cx ay by cy =+++++()()x a b c y a b c =+++++()()a b c x y =+++.11.【答案】()()164x x --；【解析】()()()220642064164x x x x x x -+=-+=--.12.【答案】()()211a a +-；【解析】321a a a +--()()()()221111aa a a a =+-+=+-. 三.解答题13.【解析】解：由题意得236()()x px x a x b ++=++，则2236()x px x a b x ab ++=+++，36a b p ab +==，由a 、b 均为整数，可写出满足要求的a 、b ，进而求得p ，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12) ＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，所以p 可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个p 值即可．14.【解析】解：因为()232352752k kx x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭所以710322k -=，解得12k =. 15.【解析】解：（1）()()26824x x x x -+=--；（2）()()21024122x x x x +-=+-；（3）()()2152381581a a a a -+=-- （4）()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+- （5）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-.。

人教版八年级数学上册热点专题高分特训：第14章：分解因式(十字相乘法、分组分解法)

分解因式（十字相乘法、分组分解法）（人教版）
一、单选题(共14道，每道7分)
1.把分解因式，结果正确的是( )
A.(x+2)(x+3)
B.(x-2)(x-3)
C.(x+1)(x+6)
D.(x-1)(x-6)
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
2.把分解因式，结果正确的是( )
A.(x-2)(x+3)
B.(x+2)(x-3)
C.(x+1)(x-6)
D.(x-1)(x+6)
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
3.把分解因式，结果正确的是( )
A.(x-3)(x+4)
B.(x+3)(x-4)
C.-(x-3)(x+4)
D.-(x+3)(x-4)
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
4.把分解因式，结果正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
5.把分解因式，结果正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
6.把分解因式，结果正确的是( )
A. B. C. D.答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法。

人教版初二数学上册：十字相乘法及分组分解法(提高)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1. （2016秋·惠民县期末）如果多项式22mx nx --能因式分解为()()32x x p ++，那么下列结论正确的是 ( ).A.m ＝6B.n ＝1C.p ＝-2D.mnp ＝32. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ).A.5B.－6C.－5D.63. 将()()256x y x y +-+-因式分解的结果是( ).A.()()23x y x y +++-B. ()()23x y x y +-++C.()()61x y x y +-++D. ()()61x y x y +++-4．（滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a+1）（b+1）C ．（a+1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b+1）5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. 22(42)(93)x x y y ++--B. 22(49)(23)x y x y -+-C. 22(43)(29)x y x y -+-D. 22(423)9x x y y +--6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（） A. －9 B.9 C.－1 D.1二.填空题7.（2016•黄冈模拟）分解因式：2242y xy x --+= ．8. 分解因式：224202536a ab b -+-= ．9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.12. 分解因式：（1）3)32(2-+-+k x k kx ；（2）mn m x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知0x y +=，31x y +=, 求2231213x xy y ++的值.14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a（2）32344xy xy x y x y -++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.（2015•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ）=x （a+b ）+y （a+b ）=（a+b ）（x+y ）2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--， ∴22,32p p n =-+=-，解得1n =.2. 【答案】B ；【解析】()()23065x x x x --=-+，由b a <，所以6b =-. 3. 【答案】C ；【解析】把()x y +看成一个整体，分解()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++.4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得()()2323x y x y +-，与第二组有公因式23x y-可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当3x =-时，代数式为零，解得9m =-.二.填空题7. 【答案】()()22x y x y -+--．【解析】解：2242y xy x --+=()2224y xy x -+-=()24x y --=()()22x y x y -+--．8. 【答案】()()256256a b a b -+--；【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+-- 9. 【答案】()()()22111x x x x +--+；【解析】原式()()()()()()()23222321111111x x x x x x x x x =-+-=-+=+--+. 10.【答案】16；【解析】由题意当4x =时，代数式等于0，解得16a =.11.【答案】()()a b a b -+；【解析】()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+. 12.【答案】()()31kx k x +-+；()()x m x m n --+；【解析】()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+； ()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦.三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++由0x y +=，31x y +=解得12y =所以，原式21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 14.【解析】解：（1）原式()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-；（2）原式()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦；（3）原式()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+；（4）()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a+b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a+b+1）；（2）原式= x 2﹣6x+9-16=（x-3）2﹣16=（x-3+4）（x-3-4）=（x+1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b2 = a 2+4ab+4b 2﹣9b2 = （a+2b ）2﹣9b2 =（a +2b ﹣3b ）（a+2b +3b ）=（a ﹣b ）（a+5b ）．附录资料：【巩固练习】一、选择题1. （2016•长沙模拟）如图所示，△ABC ≌△DEC ，则不能得到的结论是（）A. AB ＝DEB. ∠A ＝∠DC. BC ＝CDD. ∠ACD ＝∠BCE2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. （2014秋•庆阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB=90°，∠A′CB=20°，则∠BCB′的度数为（）A.20°B.40°C.70°D.90°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7.（2014秋•安阳县校级期末）如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．8. （2016•成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___________.9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A ＝46°，则∠D ＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14. （2014秋•射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A 和D 、B 和E 是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；（2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】因为△ABC≌△DEC，可得：AB=DE，∠A=∠D，BC=EC，∠ACD=∠BCE，故选C．2. 【答案】B；【解析】AD与BC是对应边，全等三角形对应边相等.3. 【答案】C；【解析】③和④是正确的；4. 【答案】C；【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=70°．故选C．5. 【答案】A；【解析】EF边上的高＝1826 6⨯=；6. 【答案】C；【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解.二.填空题7. 【答案】∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD；【解析】解：∵△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，∴∠D=∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD，故答案为：∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD．8. 【答案】120°；【解析】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°．9. 【答案】4cm或9.5cm；【解析】DE＝DF＝9.5cm，EF＝4cm；10.【答案】AB＝DE、AC＝DF、BC＝EF、BE＝CF， 46°；11.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等；12.【答案】40°；【解析】见“比例”设k，用三角形内角和为180°求解.三.解答题13.【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B，又∠A＝30°，∠B＝50°，所以∠ACB＝100°.又因为△ABC≌△DEF，所以∠ACB＝∠DFE，BC＝EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）所以∠DFE＝100°EC＝EF－FC＝BC－FC＝BF＝2.14. 【解析】解：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE；（3）BC∥EF，AB∥DE，理由是：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，BC∥EF．15. 【解析】 AE＝DE ,且AE⊥DE证明：∵△ABE≌△ECD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠D，AE＝DE又∵AB⊥BC∴∠A＋∠AEB＝90°，即∠DEC＋∠AEB＝90°∴AE⊥DE∴AE与DE垂直且相等.。

(2021年整理)十字相乘法分解因式专题练习

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十字相乘法分解因式专题练习(基础部分）（1）432-+x x （2）432--x x （3）2082-+x x（4）2452--x x （5）27122++x x （6）1282+-x x（7）36152+-y y (8）24102-+m m （9）24102++m m(10)36132++y y （11)22187y xy x -+ （12）22183y xy x --(13)2212y xy x -- (14）22166y xy x -- （15)452---m m(16)x x x 7623+-- （17）601124+--x x (18）8224--a a(19)3422++ab b a （20)363524--y y (21)361324+-y y（22)24224-+a a （23)801122-+mn n m (24)22498y y x x -+（提高部分)（25）22273q pq p +- （26）35222+-xy y x （28）181322+-b b（29）42249134y y x x -+- (30）15)2(2)2(2----b a b a（31）4)2(5)2(222++++a a a a （32）42)()(222-+++x x x x(33)2222(1)4(1)4x x x x +-++ （34） 48)3(2)3(2-+-+b a b a(35)6)52()52(222----x x x x (36)3)23()23(22----y x y x(37)16)7)(3(++-a a (38）8)185(--x x （39))1(15)1(222---x x(40）90)6)(7(22---a a (41）222229)2(b a b a -+。

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（3） 4x4 y2 5x2 y2 9 y2
（4） 2a4 a3 6a2
15. 观察下列各式:1×2×3×4＋1＝ 52 ；2×3×4×5＋1＝112 ；3×4×5×6＋1＝192 ；
判断是否任意四个连续正整数之积与 1 的和都是某个正整数的平方,并说明理由.
【答案与解析】一.选择题 1. 【答案】B；
【解析】由题意当 x 3 时，代数式为零，解得 m 9 .
二.填空题
7. 【答案】 3aa 2ba c ；
【解析】原式 3a3 6a2b 3a2c 6abc
3a2 a 2b 3ac a 2b 3a a 2ba c
8. 【答案】 2a 5b 62a 5b 6 ；
完全平方公式（提高）巩固练习
【巩固练习】一.选择题
1. 多项式 x2 3xy ay2 可分解为 x 5y x by ，则 a、b 的值为( ).
A. a ＝10， b ＝－2 C. a ＝10， b ＝2
B. a ＝－10， b ＝－2 D. a ＝－10， b ＝2
2. 若 x2 a b x ab x2 x 30，且 b a ，则 b 的值为( ).
x2 (n 2m)x m2 mn x m x m n x mx m n .
三.解答题 13.【解析】
解： 3x2 12xy 13y2 3 x y x 3y 4y2
由 x y 0 ， x 3y 1 解得 y 1 2
所以，原式
3 0 1
4
1 2
2
1.
【解析】由题意当 x 4 时，代数式等于 0，解得 a 16 .
11.【答案】 a ba b ；
【解析】 a3 a2b ab2 b3 a2 a b b2 a b a b2 a b .
12.【答案】 kx k 3x 1 ； x m x m n；
【解析】 kx2 (2k 3)x k 3 kx k 3x 1；
A. －9
B.9
C.－1
D.1
二.填空题
7. 分解因式： 3a3 6a2b 3a2c 6abc ；
8. 分解因式： 4a2 20ab 25b2 36 ；
9． x5 x3 x2 1 分解因式的结果是__________.
10. 如果代数式
有一因式，则 a 的值为_________．
11．若 a3 a2b ab2 b3 有因式 a b ,则另外的因式是_________.
【解析】 x 5y x by x2 (5 b)xy 5by2 ，所以 5b a，5 b 3 .
2. 【答案】B；
【解析】 x2 x 30 x 6 x 5 ，由 b a ，所以 b 6 .
3. 【答案】C；
【解析】把 x y 看成一个整体，分解 x y2 5 x y 6 x y 6 x y 1 .
4. 【答案】A；
【解析】
＝ x y 42x 2y 5 .
5. 【答案】B；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第
一组可用平方差公式分解得 2x 3y2x 3y ，与第二组有公因式 2x 3y
பைடு நூலகம்
可提取，所以分组合理，C 与 D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理. 6. 【答案】A；
A.5
B.－6
C.－5
D.6
3. 将 x y2 5 x y 6 因式分解的结果是( ).
A. x y 2x y 3
B. x y 2x y 3
C. x y 6x y 1
D. x y 6x y 1
4．分解结果等于 x y 42x 2y 5 的多项式是 ( )
A．
14.【解析】
解：（1）原式 a2 a 2a2 a 6 a 1a 2a 2a 3 ；
（2）原式 xy
4 y2 4x x2
xy
x
2
2
y
2
xy
x
y
2
x
y
2
；
（3）原式 y2 4x4 5x2 9 y2 4x2 9 x2 1 y2 2x 32x 3 x2 1 ；
【解析】原式 4a2 20ab 25b2 36
2a 5b2 62 2a 5b 62a 5b 6
9. 【答案】 x 12 x 1 x2 x 1 ；
【解析】原式 x3 x2 1 x2 1 x2 1 x3 1 x 12 x 1 x2 x 1 .
10.【答案】16；
B．
C．
D．
5. 对 4x2 2x 9 y2 3y 运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )
A. (4x2 2x) (9 y2 3y)
B. (4x2 9 y2 ) (2x 3y)
C. (4x2 3y) (2x 9 y2 )
D. (4x2 2x 3y) 9 y2
6．如果 x3 3x2 3x m 有一个因式为 x 3 ，那么 m 的值是（）
（4） 2a4 a3 6a2 a2 2a2 a 6 a2 2a 3a 2 .
15.【解析】解：是，
理由： nn 1n 2n 3 1 n2 3nn2 3n 2 1
n2 3n 2 2 n2 3n 1 n2 3n 1 2 .
12. 分解因式：（1） kx2 (2k 3)x k 3 ；（2） x2 (n 2m)x m2 mn
三.解答题
13. 已知 x y 0 ， x 3y 1 , 求 3x2 12xy 13y2 的值.
14. 分解下列因式：
（1） a2 a 2 8 a2 a 12
（2） 4xy xy3 4x2 y x3 y