统计学原理第七章 方差分析
梁前德《统计学》(第二版)学习指导与习题训练答案：07第七章 假设检验与方差分析 习题答案
旗开得胜1第七章 假设检验与方差分析 习题答案一、名词解释用规范性的语言解释统计学中的名词。
1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。
2. 原假设：又叫零假设或无效假设，是待检验的假设，表示为 H 0，总是含有等号。
3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。
4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。
5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。
6. 方差分析：是检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。
二、填空题根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。
1. u ，nx σμ0-，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞nz nz σσααY2. 参数检验，非参数检验3. 弃真，存伪4. 方差旗开得胜25. 卡方， F6. 方差分析7. t ，u8. nsx 0μ-，不拒绝9. 单侧，双侧10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r18. 正态，独立，方差齐三、单项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。
1．B 2．B 3. B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C四、多项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。
1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD五、判断改错对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。
1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。
( ×)样本量一定时2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t检验均可使用，且两者检验结果一致。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它能够帮助我们确定多个样本的均值是否存在显著差异，并进一步了解差异来自于哪些因素。
本文将介绍方差分析的原理和应用。
一、方差分析的背景在实际问题中，我们常常需要比较不同样本的均值，以了解它们之间是否存在差异。
例如，我们想要知道不同药物对治疗某种疾病的疗效是否有差别，或者不同教学方法对学生成绩是否有影响等。
这时候，我们需要用到方差分析这个统计工具。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异（Within-group variation）与组间变异（Between-group variation）的大小来判断多个样本的均值是否存在显著差异。
组内变异指的是同一组内个体（观察值）之间的差异，也可以看作是测量误差或个体内部差异。
组间变异指的是不同组之间的差异，也可以理解为组与组之间的差别。
我们的目标是判断组间变异是否显著大于组内变异。
统计学家通过构建方差分析的假设检验来实现这一目标。
假设检验的零假设（null hypothesis）是所有样本的均值相等，备择假设（alternative hypothesis）则是至少存在一个样本的均值与其他样本不同。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：定义零假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：通常为0.05，表示我们要找到的结论是在5%的显著水平下成立。
3. 收集数据：需要收集多个组别的数据，并记录下来。
4. 计算方差：通过计算组内变异和组间变异。
5. 计算F统计量：F统计量用于判断组间变异是否显著大于组内变异，可以通过计算组间均方与组内均方之比得到。
6. 判断：根据F统计量与给定显著性水平的临界值进行比较，如果F统计量大于临界值，则拒绝零假设，表示至少存在一个样本均值与其他不同。
7. 进行事后分析（post hoc analysis）：如果方差分析的结果是显著的，我们可以进行事后分析，以确定具体哪些组别之间存在差异。
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析统计学中的方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较不同样本均值之间差异的方法。
它是通过对观察数据的方差进行分解来实现的。
方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域，既可以用于科学研究的数据分析，也适用于质量管理、市场调查等应用场景。
一、什么是方差分析方差分析是一种用于对不同组之间差异进行比较的统计方法。
它的基本原理是通过将总体方差分解为组内方差和组间方差，来检验不同组均值之间是否存在显著差异。
方差分析可以用于比较两个以上组的均值差异，且可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
方差分析的基本假设包括：1. 总体是正态分布的；2. 不同组的方差相等（方差齐性）；3. 不同组之间相互独立。
二、单因素方差分析单因素方差分析是指只考虑一个自变量对因变量的影响。
它适用于比较一个因素（如不同调查方法、不同药物剂量等）对某个指标的影响是否存在显著差异。
单因素方差分析的结果主要包括组间均方（MSB）、组内均方（MSW）和F值。
组间均方（MSB）是各组均值与总体均值之间的差异的平方和除以自由度的比值；而组内均方（MSW）是各组内部个体与各组均值之间的差异的平方和除以自由度的比值。
F值则是组间均方与组内均方的比值。
当F值显著时，表明不同组均值之间存在显著差异。
三、多因素方差分析多因素方差分析是指考虑多个自变量对因变量的影响。
多因素方差分析通常会考虑两个以上的自变量，以及它们之间是否存在交互作用。
通过多因素方差分析，可以更全面地了解多个因素对研究对象的影响。
多因素方差分析的结果不仅包括组间均方、组内均方和F值，还包括每个自变量的主效应和交互效应。
主效应指的是每个自变量对因变量的独立影响，而交互效应则是不同自变量之间相互作用产生的影响。
四、方差分析的应用领域方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域。
在科学研究中，方差分析可以用于比较不同实验条件下的实验结果，验证研究假设的有效性。
统计学原理教案中的方差分析揭示学生如何使用方差分析来比较多个组之间的差异
统计学原理教案中的方差分析揭示学生如何使用方差分析来比较多个组之间的差异在统计学原理教案中，方差分析是一种重要的统计方法，用于比较多个组之间的差异。
它能够帮助学生有效地分析数据，并得出准确的结论。
本文将从方差分析的基本原理、应用步骤及实例等方面揭示学生如何运用方差分析来比较多个组之间的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析是一种通过比较组内和组间变异来推断组间差异是否显著的统计方法。
其基本原理是基于对总差异的分解，将总方差分解为组内方差和组间方差，通过计算组间方差和组内方差的比值F值，来判断组间差异是否显著。
二、方差分析的应用步骤1. 确定研究目的：首先需要明确研究目的，确定要比较的不同组别。
2. 收集数据：根据研究目的，收集各个组别的相关数据。
3. 建立假设：根据实际情况，建立相应的假设，如原假设（组间差异不显著）和备择假设（组间差异显著）。
4. 计算方差分析：通过计算总平方和、组间平方和和组内平方和，得出F值。
5. 判断显著性：根据给定的显著性水平和自由度，查表比较计算得到的F值，判断组间差异是否显著。
6. 提出结论：根据判断结果，给出相应的结论，并解释统计结果的实际意义。
三、方差分析的实例以某校学生英语成绩为例，我们希望比较三个班级之间的平均成绩是否存在差异。
我们先收集了三个班级的英语成绩数据，按照上述步骤进行方差分析。
1. 确定研究目的：比较三个班级之间的平均成绩差异。
2. 收集数据：收集了A班、B班和C班的英语成绩数据。
3. 建立假设：假设各班级之间的平均成绩没有显著差异（原假设），备择假设为各班级之间的平均成绩存在显著差异。
4. 计算方差分析：计算总平方和、组间平方和和组内平方和，得出F值。
5. 判断显著性：根据给定的显著性水平和自由度，查表比较计算得到的F值，判断组间差异是否显著。
6. 提出结论：根据统计结果，如果计算得到的F值大于临界值，即可推翻原假设，认为各班级之间的平均成绩存在显著差异；反之，我们无法推翻原假设，即认为各班级之间的平均成绩没有显著差异。
统计学之方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
统计学中的方差分析方差分解原理
统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组别之间的均值差异是否显著。
方差分析可以帮助我们确定自变量对因变量的影响力，同时也可以进行方差分解，从而解释观测数据中的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析基于总体均值模型，假设总体均值为μ，而其中的不同组别（A、B、C等）的均值分别为μA、μB、μC等。
我们的目标是确定组别之间的均值差异是否显著，即是否存在统计上的差异。
方差分析通过计算组内方差(SSE)和组间方差(SSA)来判断差异的显著性。
组内方差反映了组别内个体差异对总体差异的贡献，而组间方差则反映了不同组别均值之间的差异。
如果组间方差显著大于组内方差，则可以认为不同组别的均值差异是显著的。
二、方差分解原理方差分解是指将总体方差(总方差)分解为不同来源的方差组成部分。
在方差分析中，总方差可以分解为组内方差和组间方差，从而揭示组别之间的差异贡献。
1. 总方差总方差(SSTotal)表示了观测数据整体的离散程度。
它是每个观测数据与总体均值之差的平方和，即SSTotal = Σ(xi - X)^2，其中xi为第i个观测数据，X为总体均值。
2. 组内方差组内方差(SSE)表示了组别内个体之间的离散程度。
它是每个观测数据与所在组别均值之差的平方和的总和，即SSE = Σ(xi - X i)^2，其中xi为第i个观测数据，X i为第i个组别的均值。
3. 组间方差组间方差(SSA)表示了不同组别之间的离散程度。
它是每个组别均值与总体均值之差的平方和的总和，即SSA = Σ(ni * (X i - X)^2)，其中ni为第i个组别的样本量，X为总体均值，X i为第i个组别的均值。
通过对总方差的分解，我们可以得到方差分析的F值，用于判断组间方差是否显著大于组内方差。
如果F值大于临界值，即说明组别之间的均值差异是显著的。
三、方差分析的假设条件在进行方差分析时，需要满足以下假设条件，以保证结果的可靠性：1. 独立性：样本间相互独立，每个样本在分析过程中不会相互影响；2. 正态性：每个组别的样本符合正态分布；3. 方差齐次性：各组别的方差相等。
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法统计学是现代社会中最重要的学科之一，它基于大量的数据和数学模型，研究人类社会和自然环境中各种现象和规律。
其中，方差分析是统计学中最基本的分析方法之一，它常常被用来分析各种因素对某个变量的影响。
在本文中，我们将详细介绍方差分析方法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理方差分析是利用方差的性质分析多组数据之间的差异或相似性的方法。
它是以方差分解为基础的，通过对总方差、组间平方和和组内平方和的分解，来度量实验因素对实验变量的影响。
在具体的研究过程中，我们通常将所研究的因素分为不同的组别，并在每个组别中测量实验变量的值，随后运用方差分析方法来分析不同组别之间的差异。
在方差分析中，我们通常采用F检验法来判断差异的显著性。
通过计算F值并与临界值进行比较，得出数据是否符合研究假设的结果。
如果F值大于临界值，则说明差异是显著的，反之则说明差异不显著。
F检验法在实际应用中非常广泛，适用于大多数实验设计和数据类型。
二、方差分析的应用方差分析方法可以用于各种不同类型的数据分析，如一元方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析等等。
下面我们将分别介绍它们的应用。
1. 一元方差分析一元方差分析是指只有一个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说只有一个因素影响一个变量。
一元方差分析通常用于分析实验组与对照组之间的差异或者不同处理方式对实验结果的影响等。
例如，我们要研究不同肥料对作物产量的影响，我们可以将实验分成几组，每组采用不同的肥料，最后对产量进行测量。
接着通过方差分析法来比较每组之间产量的差异，最后确定哪种肥料更适合提高作物产量。
2. 双因素方差分析双因素方差分析是指有两个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说有两个因素对一个变量产生影响。
双因素方差分析通常用于研究两种或多种因素的交互效应。
例如，我们要研究不同机器和不同操作员对产品质量的影响，我们可以先在不同机器上制造同种产品，然后再让不同的操作员进行操作。
管理统计学第7章 方差分析
25
2）计算QA和QE：
1 k 1 m k QA ( xij ) 2 ( xij ) 2 mk i 1 j 1 i 1 k j 1
m
1 2 1 2 b a b a mk n
1 k QE ( xij ) 2 ( xij ) 2 c b i 1 j 1 i 1 k j 1
8
在方差分析中，为了数学上便于处理，总 是假定样本取自正态总体，且各个正态总 体的方差都相等。我们把每一个水平看成 一个总体，设对应于因素A的m个不同水平 Ai有总体xi~N(1,2)，即有：
xi i i 2 i ~ N (0, )
9
这里1=Ex1是xi的理论均值，1是随机误差， D1= 2，则方差分析所要解决的问题就变 成了检验假说
6
表7-1
7
从表7-1中数据可以看出，A1的平均寿命最长， A4的平均寿命最短，A2，A3的平均寿命介于其间， 我们是否由此可以得出灯泡寿命与灯丝材料不同 而有显著性差异的结论呢？不能，因为在灯泡制 作的过程中，除了工艺外，还有许多难以控制的 随机因素的影响，因此它们之间的差异可能是随 机误差所造成的。要正确地回答上述问题，在统 计学上可以采取显著性检验的方法来解决。
m
QE ( xij xi ) 2
j 1
m
k
5. 条件变差 i 1 （组间离差平方和）
Q A ( xi x ) 2
j 1
k
18
由于
m k i 1 j 1
QT ( xij x ) 2 ( xij xi ) ( xi x )
m k m k
统计学方差分析
统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。
它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。
通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。
方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。
在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。
每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。
而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。
方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。
方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。
方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。
均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。
通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。
F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。
在统计学中，F值与显著性水平相关。
当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。
否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。
方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。
多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
统计学原理-方差分析
第第7七章章 方方差差分分析析
14*/6
1. 单因素方差分析的数据结构
第第7七章章 方方差差分分析析
单因素方差分析的数据结构
观测值总个数n可表示为：
列均 值表示第i个总体的 样本均值：
不同水平下观测变量的观测次数相同则称为均衡数据，否 则称为非均衡数据
15*/6
1. 单因素方差分析的数据结构
组内均方MSE: 检验统计量
当H0为真时:
23*/6
2. 单因素方差分析的步骤
第第七7章章 方方差差分分析析
（3） 给定显著性水平，进行统计决策
在给定著性水平α下，通过查表可以得到F（m-1,n-m） 的临界值
给出拒绝域（小概率原理）:
• 当落入拒绝域说明小概率事件一次抽样发生了，
则有理由拒绝原假设H0
均衡 如果在试验中任一因素各水平在所有单元格中出现的次数 相同，且每个单元格内的元素数均相同，则该试验是均衡 的；否则，就是不均衡的。
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1. 方差分析的产生背景与基本概念
第第7七章章 方方差差分分析析
交互作用
如果一个因素的效应大小在另一个因素不同水平下明显 不同，则称为两因素间存在交互作用
值固定， 二是目标因素各个水平值确定的子总体中，控制因
素的的取值力求随机化，最大限度降低这些因素对
观测变量的影响。
剔除了控制因素的影响之后，观测变量的方差
目标因素
系统性方差
SSA
SSE
随机因素
随机方差
SSE
11*/6
2. 方差分析的基本原理
方差：
总方差=系统方差+随机方差
第第7七章章 方方差差分分析析
第七章 方差分析
生物统计学7-方差分析5-ok
一、多重比较的方法
1.最小显著差数法(Least Significant Difference , LSD法)
实质是两个平均数相比较的成组数据t检验，方法如下：
有时候固定因素与随机因素很难区分，除上述所讲的 原则外，还可以从另一个角度考虑： 固定因素是指因素的水平可以严格地人为控制，
在水平固定之后，它的效应值也是固定的。 随机因素的水平是不能严格地人为控制，在水平
确定之后，它的效应值并不固定。
五、平方和与自由度的分解
由于方差 = 平方和 / 自由度，表示变异的程度。
因为
所以
SST
SSA
SSe
an
SSe
( xij xi )2 ；
i1 j1
dfe a(n 1)
SSe是样本观测值与处理平均数的离差平方和，即反映处理 内变异（即误差引起的变异）的平方和，称为误差平方和、 处理内平方和、组内平方和；
误差项自由度：每一处理均有n-1个自由度，共有α个处理。
a
另一种是检验几个样本平均数的方差是否足够大。
如果样本平均数的方差足够大，远大于由随机误差所产生的方差，说明这几 个样本平均数之间的离散程度很高，除了误差效应外，必然还存在不同的处 理效应。我们可以推断抽出这几个样本的总体属于不同的总体，总体平均数 是不同的。
方差分析的基本思想是分析变异，也就是分解变异。 即：将数据总的变异分解为处理因素引起的变异和随
2.最小显著极差法(Least Significant ranges, LSR法)
是比较α个处理平均数的有序排列中两极端平均数间的差异 显著性。检验步骤如下：
方差分析
F
MSBetween MSWithin
~ F(1 , 2 )
F分布
方差分析的最终统计推断和假设检验均依靠F分 布，所以适当了解一下F分布的特点十分有益。
F分布是英国统计学 家Fisher和Snedecor(斯内德 克 )提出的。
为了表示对Fisher的尊重， Snedecor将其命名为F分布。
进行一次假设检验，犯第一类错误的概率：
进行多次(k)假设检验，犯第一类错误的概率：
1－(1－)k
组数为3, k=3, 1－(1－0.05)k=0.1426 组数为4, k=6, 1－(1－0.05)k=0.2649 组数为5, k=10, 1－(1－0.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1－(1－0.05)k=0.5400
方差分析
方差分析，又称变异数分析。 Analysis of Variance，简写为ANOVA。 由英国统计学家R.A.Fisher提出。 方差分析的起源。 F检验。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Fisher于Rothamste研究作物产量 时，完善了方差分析的思想
F 3.98
F(2,57)的F分布及界值
1
.8
.6
.4
.2
0.05
0
0
1
2
3
4
5
3.1588
完全随机设计资料的方差分析
1. H0: 1=2=3 ,即三总体均数相等； H1: 1, 2, 3 不等或不全相等。
＝0.05。 2. 计算检验统计量: F=3.98 >3.1588(界值) 3. 对应的概率: P=0.0241(p<0.05) 4. 结论: 在＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
方差分析-统计学原理
各部分变异的计算：
①总变异（全部试验数据间大小不等）用总离均
差平方和 SS总 来表示。
g ni
g ni
SS总 （Xij X )2
X
2 ij
C
X
2
C
i1 j1
i1 j1
其中
将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受 试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别 有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
• 该设计的特点：（1）该设计包含两个因素，一个 是区组因素，一个是处理因素；（2）各区组及处 理组的受试对象数相等，各处理组的受试对象生物 学特性较均衡，可减少试验误差，提高假设检验的 效率。
方差分析的应用条件
（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布； （2）各组总体方差相等，即方差齐性。
方差分析的用途
1 用于两个或多个均数间的比较 2 分析两个或多个因素的交互作用 3 回归方程的假设检验 4 方差齐性检验
第二节 单因素方差分析 完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计 完全随机设计是采用完全随机化的分组方法，
yij i ij , j 1, 2,..., mi , i 1, 2,..., r, 诸ij相互独立，且都服从N (0, 2 )
模型可以改写为
yij
ai
ij ,
j
1, 2,..., mi ,i
1, 2,..., r,
r
miai 0
将全部试验对象分配到g个处理组，各处理组分别 接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差 别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
方差分析的原理及依据
方差分析的原理及依据
方差分析是一种统计学方法，用于比较两个或多个组的平均值是否有显著差异。
方差分析的原理及依据是基于正态分布的假设，即每个组的数据符合正态分布，并且组间、组内的方差相等。
方差分析的原理：
方差分析的原理是通过比较组间方差与组内方差来判断不同组别之间是否有显著差异。
其中组间方差是指各组样本均值与总均值之间的差异，而组内方差则是指各样本值与对应组样本均值之间的差异。
在正态分布假设下，这两种方差是服从F分布的，因此可以通过计算组间方差与组内方差的比值F值，来确定不同组别之间是否有显著差异。
方差分析的依据：
方差分析的依据主要是基于以下假设：
1. 各组的数据是独立的。
2. 各组的数据符合正态分布。
3. 各组的方差相等。
基于这些假设，方差分析可以推导出各组均值之间的差异是否为随机变异的结果。
如果差异不是由随机变异引起的，而是由于不同组别之间确实存在差异，那么这些差异就是有意义的，需要对其进行进一步分析。
通过方差分析，可以找出不同组别之间的差异，并确定哪些因素对组别之间的差异产生了影响。
例如，在生产过程中，通过分析不同生产批次之间的质量差异，可以找出影响质量的因素，并进一步进行改进。
在医学研究中，通过比较不同药物治疗组之间的效果，可以找出哪种药物最为有效，并为临床应用提供依据。
总之，方差分析作为一种统计学方法，在各个领域都具有重要的应用价值。
通过对不同组别之间的差异进行分析，可以为相关领域的决策和实践提供有力的支持。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（ANOVA）是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上组的平均值是否存在显著差异。
它是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断组间差异是否显著。
方差分析可以用于不同实验设计和数据类型，是许多统计分析的基础。
首先，我们来了解一下方差分析的基本原理。
方差分析的核心思想是将总体的方差分解为组内变异和组间变异两部分。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。
通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断组间差异是否显著。
在进行方差分析时，我们需要计算F值来判断组间差异是否显著。
F值是组间均方与组内均方的比值，它反映了组间变异与组内变异的相对大小。
当F值大于1时，表示组间差异较大，我们可以拒绝原假设，认为组间差异显著。
方差分析有不同的类型，包括单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
在单因素方差分析中，我们只考虑一个自变量对因变量的影响；在双因素方差分析中，我们考虑两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们考虑多个自变量对因变量的影响。
除了了解方差分析的基本原理，我们还需要注意方差分析的假设条件。
方差分析的假设包括正态性假设、方差齐性假设和独立性假设。
正态性假设是指因变量在各组内呈正态分布；方差齐性假设是指各组的方差相等；独立性假设是指各组之间相互独立。
在进行方差分析前，我们需要对这些假设进行检验，以确保分析结果的可靠性。
在实际应用中，方差分析常常与其他统计方法结合使用，如回归分析、协方差分析等。
通过综合运用不同的统计方法，我们可以更全面地分析数据，得出更可靠的结论。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，它可以用于比较多个组的平均值是否存在显著差异。
通过了解方差分析的基本原理、假设条件和应用范围，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地分析数据，得出科学的结论。
统计学中的方差分析与假设检验
统计学中的方差分析与假设检验方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中一种常用的假设检验方法，用于比较两个或多个样本的均值是否存在显著差异。
方差分析通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值是否有统计学上的差异。
本文将介绍方差分析的基本原理和假设检验的步骤。
一、方差分析的基本原理方差分析是一种多个总体均值比较的方法，它通过计算组间离散度与组内离散度的比值来判断样本均值是否有显著差异。
方差分析的基本原理可以用以下公式表示：$$F=\frac{MS_{\text{between}}}{MS_{\text{within}}}$$其中，F为方差比值，$MS_{\text{between}}$为组间均方，$MS_{\text{within}}$为组内均方。
方差比值F的值越大，说明组间差异相对于组内差异的贡献越大，即样本均值之间的差异越显著。
通过查找F分布表，可以确定F值对应的显著性水平，从而判断样本均值是否有显著差异。
二、假设检验的步骤方差分析的假设检验可以分为以下几个步骤：1. 建立假设- 零假设（H0）：各组样本的均值相等，即$\mu_1=\mu_2=...=\mu_k$- 备择假设（H1）：至少有两个组样本的均值不相等，即$\mu_i\neq\mu_j$2. 计算组间均方- 组间均方$MS_{\text{between}}$的计算公式为：$MS_{\text{between}}=\frac{SS_{\text{between}}}{df_{\text{between}}}$ - 其中，$SS_{\text{between}}$为组间平方和，$df_{\text{between}}$为组间自由度。
3. 计算组内均方- 组内均方$MS_{\text{within}}$的计算公式为：$MS_{\text{within}}=\frac{SS_{\text{within}}}{df_{\text{within}}}$ - 其中，$SS_{\text{within}}$为组内平方和，$df_{\text{within}}$为组内自由度。
方差分析课件-PPT
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。
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三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
总计
24806
20
3.统计决策
从上表中可见 • 检验统计量F=12.11249， • Fα =3.196777, • 故:拒绝原假设，即品牌对空调销售额有显著 影响。 P值决策: • 若P＞α ，则不能拒绝原假设
上表中P-value 为根据样本数据计算的P值，为 0.000174 ，小于α =0.05，故拒绝原假设。得到同 样的结论。
SST 的自由度为n-1，n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为n-k
平方和
组内(误差项) 组间（水平） 总 SSE SSA SST
自由度
n-Ｋ K-1 n-１
方差
MSE MSA MST
将MSA和MSE进行对比，即得到检验统计量
自变量对因变量有显著影响
注意：备择假设并不意味着所有的均值都不相等
2.构造并计算检验统计量
• 均值：各水平的均值、全部观察值的均值
(xij xi )2 • 组内误差平方和：SSE
i 1 j 1
K
k
n i
n x • 组间误差平方和：SSA i x i
I 1
x x • 总误差平方和： SST ij
3.观测值 每个水平下的样本数据称为观测值。
本例不品牌的销售额就是观测值 。
4.总体 因素的每一个水平可以看做是一个总体。
如品牌A、品牌B等。
5.样本数据 调查得到的数据可以看做从总体中抽取的样本 数据。
本例各品牌的销售额即为样本数据。
• 二、方差分析的基本思想和原理
【例7-1】某市场调查公司为了研究品牌对空调销售额的影 响，对四个品牌空调的销售情况进行了调查，结果如下表。 试分析品牌对空调的销售额是否有显著影响。
差
两个误差的比值
1. 若品牌对空调销售额没有影响，则组间误差中
2. 若品牌对空调销售额有影响，在组间误差中除 3. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水
平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变 量有影响。 了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这 时它们之间的比值就会大于1； 只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间 误差与组内误差的比值就会接近1；
若F>F ，则拒绝H0 ，表明均值之间的差异是
显著的，所检验的因素对观察值有显著影响 若F<F ，则不拒绝H0 ，不能认为所检验的因 素对观察值有显著影响
F分布与拒绝域
如果均值相等， F=MSA/MSE1
不拒绝H0 0
拒绝H0
F
F(k-1,n-k) F 分布
例题分析
【例7-2】根据下表调查数据，试分析品牌对空调的销售额 是否有显著影响（显著性水平α=0.05）。
方差分析的有关术语
1.因素或因子 所要检验的对象称为因素或因子。 上例中，要分析品牌对销售额是否有影响，“品牌” 是所要检验的对象——因素或因子。 2.水平或处理 因素的不同表现称为水平或处理。
品牌A 、品牌B 、品牌 C 、品牌D 是“品牌”这一因素的具 体表现，称为水平或处理。本例有四个水平。
1 2 3 4 5 6 平均
品牌A
365 340 350 343 323 400 353.5
品牌B
345 330 363 368 340 349.2
品牌C
358 300 323 353 300 326.8
• • • •
要分析品牌对空调的销售额是否有显著差异，可以判断4 种品牌销售额的均值是否相等。 若它们的均值相等，就意味着不同品牌空调销售额无差 异，即“品牌”对“销售额”没有显著影响； 若均值不全相等，则意味着“品牌”对“销售额”有显 著影响。 但是这还不能提供充分的证据，因为平均销售额是根据 随机样本的数值计算的，均值的差异可能是由于抽样随 机性造成的。因此，需要有更准确的方法来检验这种差 异是否是显著，就需要进行方差分析。
Excel的应用
1.列出数据结构表； 2.工具－数据分析－单因素方差分 析－确定； 3.填写对话框；确定。
三、关系强度的测量
拒绝原假设表明因素(自变量)与观测值之间有关
系
自变量与因变量的关系强度如何测定？
变量间关系的强度用组间平方和 (SSA) 占总平方
和(SST)的比例大小记为R2来反映，即
• • • •
要分析品牌对空调的销售额是否有显著差异，可以判断4 种品牌销售额的均值是否相等。 若它们的均值相等，就意味着不同品牌空调销售额无差 异，即“品牌”对“销售额”没有显著影响； 若均值不全相等，则意味着“品牌”对“销售额”有显 著影响。 但是这还不能提供充分的证据，因为平均销售额是根据 随机样本的数值计算的，均值的差异可能是由于抽样随 机性造成的。因此，需要有更准确的方法来检验这种差 异是否是显著，就需要进行方差分析。
第七章 方差分析
主要内容
• • • • 一、方差分析及其有关术语 二、方差分析的基本思想和原理 三、单因素方差分析 四、双因素方差分析
• 第一节 方差分析的一般问题
一、 什么是方差分析
• 通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型 自变量对数值型因变量是否有显著的影响。 单因素方差分析：
只涉及一个分类型自变量对数值型因变量的影响
MSA F ~ F ( k 1 , n k ) MSE
当 H0 为真时， F 服从分子自由度（第一自由
度）为 k-1 、分母自由度（第二自由度）为 n-k 的 F 分布。
3.统计决策
根据给定的显著性水平 ，在 F 分布表中查找与第一自 由度（分子自由度）df1＝k-1、第二自由度（分母 自由度） df2=n-k 相应的临界值 F
不同品牌空调的销售额数据
品牌
万元 品牌D
288 290 280 270 280 281.6
观测值
1 2 3 4 5 6 平均
品牌A
365 340 350 343 323 400 353.5
品牌B
345 330 363 368 340 349.2
品牌C
358 300 323 353 300 326.8
关于误差
1. 组内误差（随机误差）
同一水平(总体)下样本各观察值之间的差异 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差
2. 组间误差（随机误差、系统误差）
不同水平(总体)下各观察值之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的 —— 随机 误差，也可能是由于品牌本身所造成的，称为系统误
349.2 326.8 281.6
方差
705.9
253.7 777.7 62.8
6
5 5 5
误差平方和、方差、检验统计量
差异源 组间 组内 SS 16899.7 7906.3 df 3 17 MS 5633.233 465.0765 F 12.11249 P-value 0.000174 F crit 3.196777
SSA (组间平方和 ) R SST (总平方和 )
2
它反映了自变量对因变量的影响效应占总影响
效应的比例。如例7-2的计算结果为：
2
SSA 16914 . 45 R 70 . 70 % SST 23922 . 95
表明品牌（自变量）对销售额（因变量）的影
响效应占总效应的70.70%，而残差效应则占 29.30％。
不同品牌空调的销售额数据
品牌 观测值 1 2 3 4 5 6 平均 品牌A 365 340 350 343 323 400 353.5 品牌B 345 330 363 368 340 349.2 品牌C 358 300 323 353 300 326.8 品牌D 288 290 280 270 280 281.6
从上表中可以看出，各品牌的平均销售 额不同，但这还不能提供充分的证据证 明品牌对销售额有显著的影响，因为这 种差异也可能是由于抽样的随机性所造 成的。 在判断均值之间是否有差异时需借助于 反映变异程度的指标 —— 方差，所以叫 方差分析。