命题及常用逻辑用语

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常用逻辑用语-知识点+习题+答案

常用逻辑用语知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．练习题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（）A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（） A 、51x ＝51yB 、51x <51yC 、51x ＝51y 且51x <51yD 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0 6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（） A 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝07、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（） A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根9、不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）A 、-1<x<3B 、0<x<3C 、-2<x<3D 、-2<x<110.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>511、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是12、:23A x -<, 2:2150B x x --<, 则A 是B 的_____ _条件。

高中数学常用逻辑用语

逆否命题：若 q 则 p
结论1：要写出一个命题的另外三个命
题关键是分清命题的题设和结论（即
把原命题写成“若p则q”的形式）
注意：三种命题中最难写的是否命题。高中数学常用逻辑用语
三、四种命题之间的关系
原命题
பைடு நூலகம்若p则q
互逆逆命题
若q则p
互
互
否
否
否命题
逆否命题
若﹁p则﹁q
互逆若﹁q则﹁p
高中数学常用逻辑用语
x∈N”是“x∈M∩N”的
B
A.充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要 D既不充分也不必要
注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
A
高中数学常用逻辑用语
练习5、
1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的___充__分_不__必__要_条__件__.
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的高中数结学常用论逻辑正用语确。
归谬结论
1.写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc“的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断他们的真假
2.写出命题“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题
充分非必要条件
2) 若A B且B A，则甲是乙的
必要非充分条件
3）若A B且B A，则甲是乙的
既不充分也不必要条件 4）若A=B ，则甲是高中乙数学的常用逻充辑用分语且必要条件。
注意点
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.

高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳

§．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或q ；p 且q ；非p5．四种命题的构成：原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则q”“若q 则p ” . 7．反证法：欲证“若p 则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p 则非q”为假，即“若p 则q”为真 .8．充分条件与必要条件：①pq ：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件； ②p q ：p 是q 的充要条件 . 9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“∀” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”；并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明p 的充要条件是q ；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一. 关键词是都是（全是） >（<）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是） ≤（≥）一个也没有至少有两个存在任意2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为：当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为：当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为,11⎪⎩⎪⎨⎧<-<-h b h a 所以,11⎩⎨⎧<-<-<-<-h b h h a h 两式相减得h b a h 22<-<- 故h b a 2<-即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于⎪⎩⎪⎨⎧<-<-hb h a 22 同理也可得h b a 2<-因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4] 已知命题甲：a+b ≠4, 命题乙:a 1≠且b 3≠，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因：对命题的否定不正确.a 1≠且b 3≠的否定是a=1或b=3.正解：当a+b ≠4时,可选取a=1,b=5，故此时a 1≠且b 3≠不成立( a=1).同样，a 1≠,且b 3≠时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a 1≠且b 3≠为真时，必须a 1≠,b 3≠同时成立.[例5] 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p ⇒r ⇒s ⇒q 但r 成立不能推出p 成立，所以q p ⇒,但q 成立不能推出p 成立，所以选A 解：选A[例6] 已知关于x 的一元二次方程 (m∈Z)① mx 2－4x ＋4＝0 ② x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是,04416≥⨯⨯-=∆m 解得m ≤1.方程②有实根的充要条件是0)544(41622≥---=∆m m m ，解得.45-≥m ,.145Z m m ∈≤≤-∴而故m =－1或m =0或m =1. 当m =－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m =1.反之，m =1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m =1.[例7] 用反证法证明：若a 、b 、c R ∈，且122+-=b a x ，122+-=c b y ，122+-=a c z ，则x 、y 、z 中至少有一个不小于0证明：假设x 、y 、z 均小于0，即：0122<+-=b a x ----① ；0122<+-=c b y ----② ；0122<+-=a c z ----③；①+②+③得0)1()1()1(222<-+-+-=++c b a z y x ，这与0)1()1()1(222≥-+-+-c b a 矛盾，则假设不成立， ∴x 、y 、z 中至少有一个不小于0[例8] 已知命题p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．分析：“p 或q ”为真，则命题p 、q 至少有一个为真，“p 且q ”为假，则命题p 、q 至少有一为假，因此，两命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. 解：若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得m ＞2，即命题p ：m ＞2若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0解得：1＜mq ：1＜m ＜3.因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以命题p 、q 至少有一为假，因此，命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或解得：m ≥3或1＜m ≤2.四、典型习题导练1．方程0122=++x mx 至少有一个负根，则（）A.10<<m 或0<mB.10<<mC.1<mD.1≤m2．“0232>+-x x ”是“1<x 或4>x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数,,a b c 不全为0的充要条件是（）A.,,a b c 都不是0.B.,,a b c 中至多一个是0.C.,,a b c 中只有一个是0.D.,,a b c 中至少一个不是0.4．由命题p :6是12的约数，q :6是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是：_ ___，“p 且q ”形式的命题是__ _，“非p ”形式的命题是__ _.5．若,a b R ∈，试从A.0ab =B.0a b +=C.220a b +=D.0ab >E.0a b +>F.220a b +> 中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使,a b 都为0的充分条件是；（2）使,a b 都不为0的充分条件是；（3）使,a b 中至少有一个为0的充要条件是；（4）使,a b 中至少有一个不为0的充要条件是．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p : 梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．（2）p : 1是方程0342=+-x x 的解；q ：3是方程0342=+-x x 的解．（3）p : 不等式0122>+-x x 解集为R ；q : 不等式1222≤+-x x 解集为． 7．命题：已知a 、b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．8．用反证法证明：若a 、b 、c 、d 均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x 、y 、z 、t 四个数中，至少有一个不大于1．。

(完整版)常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语—、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题•其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2、四种命题及其关系(1) 、四种命题(2) 、四种命题间的逆否关系(3) 、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.、充分条件与必要条件1、定义1 .如果p? q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.2•如果p? q, q? p，则p是q的充要条件.2、四种条件的判断1.如果若p则q ”为真，记为p q，如果若p则q ”为假，记为p q .2.若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法:p q p q(1 )定义法：①p是q的充分不必要条件p q ②p是q的必要不充分条件p qp q p q③p是q的充要条件q p ④p是q的既不充分也不必要条件p q(2)集合法：设P={p}, Q={q},①若P Q,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件②若P=Q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件).③若P g.Q且Q ^ P，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)逆否命题法：①q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件②q是p的必要不充分条件p是q的充分不必要条件③q是p的充分要条件p是q的充要条件④q是p的既不充分又不必要条件p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词⑴命题中的且”或”非”叫做逻辑联结词.①用联结词且”联结命题p和命题q,记作p A q,读作p且q”.②用联结词或”联结命题p和命题q,记作p V q,读作p或q”.③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作？p，读作非p”或p的否定(2)简单复合命题的真值表:*p A q：p、q有一假为假, *p V q：一真为真, .四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：任意一个” 一切”每一个”任给”所有的”等.(2)常见的存在量词有：存在一个”至少有一个”有些”有一个”某个”有的”等.(3)全称量词用符号?”表示；存在量词用符号? ”表示.2全称命题与特称命题(1) 含有全称量词的命题叫全称命题：对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为？x€ M, p(x),读作对任意x属于M，有p(x)成立”.(2) 含有存在量词的命题叫特称命题:存在M中的一个x o,使p(x o)成立"可用符号简记为？x o€ M , P(x o),读作存在M中的兀素x o，使p(x o)成立”3 命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p：x M , p(x) 的否定p：x M, p x ；全称命题的否定为存在命题存在命题p：x M, p x 的否定p：x M , p x ；存在命题的否定为全称命题其中p x p (x)是一个关于x的命题.(2) 含有逻辑连接词命题的否定“p 或q ”的否定：“ p 且q” ；p且q ”的否定：“ p或q”(3) “若p则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否对命题p的否定(即非p)是否定命题p所作的判断，而否命题”是若p则q ”。

高中数学：常用逻辑用语

常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。

其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。

2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。

（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。

3.一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件（1）充分条件：如果A 成立，那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。

（2）必要条件：如果A 成立，那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。

（3）充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是A 成立的重要条件，所以此时，A 、B 互为充要条件。

【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A ＝＞B ”的不同表达方法。

5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （¬p ）。

（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。

6.量词与命题量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命题表述形式原命题若p 则q 逆命题若q 则p 否命题若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p（2）全称命题与特称命题命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。

新教材高中数学第2章常用逻辑用语1命题定理定义2

判断下列各命题中p是q的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:t≠2,q:t2≠4; (3)p:0<x<3,q:|x-1|<2.
解析 (1)x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0, (x-2)(x-3)=0⇒x-2=0或x-3=0. ∴“x-2=0”是“(x-2)(x-3)=0”的充分不必要条件. (2)t≠2 t2≠4(当t=-2时,t2=4), t2≠4⇒t≠2且t≠-2. ∴“t≠2”是“t2≠4”的必要不充分条件. (3)令A={x|0<x<3},B={x||x-1|<2}={x|-1<x<3}. 易知A⫋B,∴p是q的充分不必要条件.
探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件或充分不必要条件.
求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实数根的充要条件. 思路点拨设两个方程的公共实数根为x0,列方程组求出k的值,再检验k取此值时两个方程是否有一个公共实数根,从而解决问题.
1 | 命题、定理、定义的概念 1.命题在数学中,我们将① 可判断真假的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p, 那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的② 条件 ,q叫作命题的③ 结论 . 2.定理在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理. 3.定义定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
2 | 充分条件、必要条件的证明与探求

常用逻辑用语.板块一.命题与四种命题.学生版

题型一：判断命题的真假【例1】判断下列语句是否是命题： ⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【例4】判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交；⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；⑶每一个周期函数都有最小正周期；⑷两个无理数的乘积一定是无理数；⑸若A B ，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根．⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+；⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例5】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个典例分析板块一.命题与四种命题【例6】命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（） A ．p 真q 真 B ． p 真q 假 C ． p 假q 真 D ． p 假q 假【例7】给出下列三个命题：①若1≥a b >-，则11≥a b a b++； ②若正整数m 和n 满足≤m n ()2n m n m -； ③设11()，P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以()，Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 与圆2O 相切；其中假命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例8】已知三个不等式：000，，c d ab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例9】已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例10】已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥．其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例11】已知三个不等式：0,0,0c d ab bc ad a b>->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【例12】下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象． ⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数．其中真命题的序号是．【例13】对于四面体ABCD ，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例14】设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【例15】若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________.【例16】设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换；w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线．其中真命题是（写出所有真命题的序号）【例17】设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)x f x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是 .【例18】关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【例19】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=；②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=；③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例20】设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．题型二：四种命题之间的关系【例21】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例22】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例23】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”；⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”；⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例24】写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”；⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”；⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”；⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【例25】如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④命题②、③、④与命题①有何关系？【例26】下列命题中正确的是（）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若3x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【例27】命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠【例28】命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（）A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x -B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【例29】已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【例30】有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例31】下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例32】有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例33】原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【例34】给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例35】命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【例36】有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例37】命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是．【例38】下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例39】 “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为；【例40】有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．【例41】命题“若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的逆否命题是 ;它是命题.【例42】写出命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.【例43】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列；⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【例44】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．。

常用逻辑用语

三、命题的否定 1．命题的否定非：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作 p，读作“非p”或“p的否定”．可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：
ð U A { x U | ( x A)} { x U | x A}
三、命题的否定
【注意】 (1)命题的否定只否结论，不否条件；
三、命题的否定【注意】常用的词语与它的否定词：
正面词大于语小于是都是都不是至少有一个至多有一个
否定不大于不小于不是不都是
至少有一个也没有(或至少有两个一个是者都没有）
四、充
总结
(2)命题的否定与原命题的关系是对立的，原命题是真命题，命题的否定一定是假命题；
(3) p p 成立，即双重否定等于肯定．
三、命题的否定【举例】 (1)命题p:3>2 ；命题 p : ______
(2)命题p:方程 x 2 2 x 3 0 有根；命题p : ________
复习
常用逻辑用语
思考：作业
一、命题 1．命题可以判断真假的语句是命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．【注意】
一、命题【练习】判断下列是否为命题，如果是并判断真假（1）空集是任何集合的子集（2）个位数是0的自然数能被5整除．（3）若m<-1，则x2+x-m=0有实根．（4）12>5 （5）x<2 （6）数学真好玩啊！（7）起立! （8）你是个很高的学生吗? （9）明天会下雨（10）外星人是存在的
(3)命题p:两条平行直线没有交点；命题 p : __________
三、命题的否定
三、命题的否定 2．全称量词与存在量词的否定全称命题的否定：全称命题p: x A ，p(x)；它的否定是p : x A , p( x )．将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．存在性命题的否定： q( x ) ．存在性命题q: x A ，q(x)；它的否定是 q : x A ，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．

常用逻辑用语知识点

常用逻辑用语知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.2. 逻辑联结词： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）.（3）复合命题的真假判断① “p 或q ”为有真为真，无真即假② “p 且q ”为同真为真，有假即假③“非p ”与p 的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：一是p 成立且q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 也成立。

可以类比于集合中“或”.（2）“或”“且”命题的否定形式：“p 或q ”的否定是“p 且q ”； “p 且q ” 的否定是“p 或q ”.知识点二：四种命题1. 四种命题形式：原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.2. 四种命题的关系①原命题逆否命题. ②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”。

知识点三：充分条件与必要条件1. 定义：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 必要条件；2. 理解认知：（1）在判断条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）建立与p 、q 相应的集合，即(){:p A x p x =成立}，(){:q B x q x =成立}．若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 成立的充分不必要条件；若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 成立的必要不充分条件；若A B =，则p 是q 成立的充要条件；若A ⊆/B 且B ⊇/A ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件．知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词：全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

命题及常用逻辑用语

• 5．命题的否定 • （1）存在性命题：p：∃x∈R , p（x）它的否定是非p： ∀ x∈A，非p （x） • （2）全称命题：q: ∀ x∈A,q(x),它的否定是非p：∃x∈A ，非p （x）； • (3)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
6．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．
(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(－a)+f(－b)，
则a+b<0，为真命题．
因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a+b≥0，∴a≥－b，b≥－a. 又∵f(x)在(－∞，+∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， ∴f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)．
3．(2011新课标全国卷· 理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
2π p1：|a＋b|>1⇔θ∈ 0， 3 2π p2：|a＋b|>1⇔θ∈ ，π 3 π p3：|a－b|>1⇔θ∈ 0， 3 π p4：|a－b|>1⇔θ∈ ，π 3
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B
• 2．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的( ) • A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 • C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 • 解析：∵x>0⇒|x|>0，|x|>0⇒x>0或 x<0. • 答案：A
解：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0，真命题．

高中数学知识点总结：常用逻辑用语

优选精品优选精品欢迎下载欢迎下载1 / 2高中数学知识点总结：常用逻辑用语高中学生在学习中或多或少有一些困惑，的编辑为大家总结了高中数学知识点总结：常用逻辑用语，各位考生可以参考。

常用逻辑用语：1、四种命题：⑴原命题：若p 则q;⑵逆命题：若q 则p;⑶否命题：若p;⑶否命题：若 p p 则 q;⑷逆否命题：若q;⑷逆否命题：若 q q 则 p注：注：11、原命题与逆否命题等价、原命题与逆否命题等价;;逆命题与否命题等价。

判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是 ; ; ;否否命题是命题是 . . .命题命题或的否定是且且的否定是或 . 3、逻辑联结词：⑴且⑴且(and) (and) (and) ：命题形式：命题形式：命题形式 p q; p q p q p q p p q; p q p q p q p⑵或⑵或(or)(or)(or)：命题形式：命题形式：命题形式 p q; p q; p q; 真真真真真假 ⑶非⑶非(not)(not)(not)：命题形式：命题形式：命题形式 p . p . p . 真真假假真假假真假真真假假假假真或命题的真假特点是一真即真，要假全假且命题的真假特点是一假即假，要真全真非命题的真假特点是一真一假4、充要条件优选精品优选精品欢迎下载欢迎下载2 / 2 由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件;;由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语有一个或有些或至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

假言命题逻辑联词大全

假言命题逻辑联词大全
1. 否定，表示命题的否定，常用符号为¬或~。

例如，¬P表示命题P的否定。

2. 合取，表示命题的合取（且），常用符号为∧或&。

例如，P∧Q表示命题P和Q同时成立。

3. 析取，表示命题的析取（或），常用符号为∨或|。

例如，P∨Q表示命题P或Q至少有一个成立。

4. 条件，表示命题的条件（如果...则...），常用符号为→。

例如，P→Q表示如果命题P成立，则命题Q也成立。

5. 双条件，表示命题的双条件（当且仅当），常用符号为↔。

例如，P↔Q表示命题P和Q同时成立或同时不成立。

6. 充分条件，表示命题的充分条件（如果...则...），常用符号为⇒。

例如，P⇒Q表示如果命题P成立，则命题Q也成立。

7. 必要条件，表示命题的必要条件（只有...才...），常用符
号为⇐。

例如，P⇐Q表示只有当命题Q成立时，命题P才成立。

8. 互斥，表示命题的互斥（不可能同时成立），常用符号为⊥。

例如，P⊥Q表示命题P和Q不可能同时成立。

以上是常见的假言命题逻辑联词，它们用于描述命题之间的逻
辑关系。

在逻辑推理和证明中，这些联词可以帮助我们分析和推导
命题之间的逻辑结构和关联性。

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。

在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。

下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。

一、假言命题1. 假言命题是由“如果……，则……”的句子构成的命题。

它表示的是一种条件关系。

2. 假言命题的充分条件和必要条件。

充分条件是指如果A成立，则B必定成立；必要条件是指B成立就必定是A成立。

3. 常用逻辑连接词：如果……，就……；只要……，就……；每当……，就……。

4. 示例：如果下雨，地面就会湿。

这就是一个假言命题，如果下雨是充分条件，地面湿是必要条件。

5. 常见的假言命题推理错误：偷换充分条件与必要条件；否定假设；无中生有。

二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是多个条件同时成立的关系。

2. 常用逻辑连接词：而且、又、且、还、除此之外还。

3. 示例：他不但聪明，而且还非常勤奋。

这就是一个联言命题，表示他既聪明又勤奋。

4. 常见的联言命题推理错误：谬误的联言；与联言条件无关；由联言推出联言分解。

三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是两个条件相互排斥的关系。

2. 常用逻辑连接词：但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。

3. 示例：他很有学识，但是思维缜密不足。

这就是一个析言命题，表示他虽然有学识，但思维缜密不足。

4. 常见的析言命题推理错误：非提出人之谬误；擅自坚持；不正当引用。

四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。

2. 常用逻辑连接词：如果……，就……；且；但是；不是；如果……则……；不是因为……而是因为……。

3. 示例：如果你努力学习，就一定会取得好成绩。

这就是一个复言命题，由假言命题构成。

5. 常见的复言命题推理错误：对联言的否定；混淆假言及联言；推而广之。

常用逻辑用语(命题及其关系,概念和例子)

逆命题:若f (x) 是周期函数,则f (x) 是正弦函数. （假）
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
观察命题(1)与(3)的条件和结论之间分别有什么关系？
1. 3.
若若ff((xx))是不正是弦正函弦数函，数p 则，则f(xf)(是x)周不期是函周数期；函q数.
┐p
┐q
常把条件p的否定和结论q的否定分别记作"┐p","┐q",
对所有x, 存在某x，对任何x，
成立不成立
不成立
存在某x，成立
所有的某些
三、作业：课本P8. 习题2：1，2，3
提高练习:
已知命题 P：lg(x 2 2x 2) ≥0 的解集是 A；命题 Q：x(4 x) ≤ 0 的解集不是 B.若 P 是真命题，Q 是假命题，求 A∩B.
解：由 lg(x 2 －2x－2)≥0,得 x 2 －2x－2≥1
下列语句是不是命题？
(1) 今天天气如何？ (3) 4>3。
(2) -2不是整数。 (4) x>4。
(1)不是（疑问句） (3)是（肯定陈述句）
(2)是（否定陈述句） (4)不是（开语句）
注意：(1)命题定义的核心是判断，判断结果可真可假，但真假必居其一。
(2)有些含有变量(又未给定变量的取值)的语句，无法确定真假。
原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是
探__究_1_：_ 如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是
真命题吗？例1.等边三角形的三个内角相等.
（真）
逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形. （真）
例2.若f (x) 是正弦函数,则f (x) 是周期函数. （真）

高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。

1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。

2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。

（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？（6）（6）x ≤3。

2. 推断下列语句是不是命题。

（1）矩形莫非不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（3）一个数不是合数就是质数。

（4）大角所对的边大于小角所对的边；（5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。

常用逻辑用语(讲义)

常用逻辑用语1.四种命题的形式（1）原命题：若p ，则q （2）逆命题：若q ，则p （3）否命题：若p ⌝，则q ⌝ （4）逆否命题：若q ⌝，则p ⌝2.四种命题之间的相互关系3.四种命题的真假关系（1）互为逆否的两个命题具有相同的真假性.（2）互逆或互否的两个命题真假性没有关系.4.充分条件与必要条件的判断方法（I ）定义法①若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的充分不必要条件 ②若q p ,p q ⇒⇒，则说p 是q 的必要不充分条件 ③若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的充分必要条件 ④若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的既不充分也不必要条件（II ）集合法对于集合}q x |x {B },p x |x {A 满足条件满足条件==，则①若B A ≠⊂，则说p 是q 的充分不必要条件②若A B ≠⊂，则说p 是q 的必要不充分条件 ③若B A =，则说p 是q 的充分必要条件④若A 与B 无包含关系，则说p 是q 的既不充分也不必要条件归纳总结：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围 . 小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件.(III)等价转换法把判断“p 是q 的什么条件”转化为判断“q ⌝ 是p ⌝的什么条件”(正难则反），这种方法特别适合以否定形式给出的命题.5.复合命题"p ","q p ","q p "⌝∧∨ 的真假性判断（1）当q ,p 中有一个为真时，则q p ∨为真；当q ,p 中有一个为假时，则q p ∧为假.（2）p 与p ⌝的真假性相反.6.全称命题与特称命题（1）全称命题的否定是特称命题；（2）特称命题的否定是全称命题基础巩固：1.下列命题中的真命题为( )(A)若1x =1y ,则x=y (B)若x 2=1,则x=1 (C)若x=y, (D)若x<y,则x 2<y 22.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( ) (A)若α≠π4,则tan α≠1 (B)若α=π4,则tan α≠1 (C)若tan α≠1,则α≠π4 (D)若tan α≠1,则α=π43.(1)命题“若x>1,则x>0”的否命题是( )(A)若x>1,则x ≤0 (B)若x ≤1,则x>0 (C)若x ≤1,则x ≤0 (D)若x<1,则x<0(2)命题“已知c>0,若a>b,则ac>bc ”的逆命题是________________________________.4.有以下命题:①“若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m ≤1,则x 2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A ∩B=B,则A ⊆B ”的逆否命题. 其中真命题为( )(A)①② (B)②③ (C)④ (D)①②③5.设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P 在直线l:x+y-1=0上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.“2x >”是“0)1x (log 2>+”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若p:x ≠1或y ≠2;q:x+y ≠3,则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件8.已知p:3x 1<<,q:02x 3x 2<+-,则 p ⌝是q ⌝的_____________条件.9.设命题p:函数y=sin 2x 的最小正周期为π2;命题q:函数y=cos x 的图象关于直线x=π2对称.则下列判断正确的是( )(A)p 为真 (B)⌝q 为假 (C)p ∧q 为假 (D)p ∨q 为真10. 若命题“p 且q ”为假,有“⌝p ”为假,则( )(A)“p 或q ”为假 (B)q 假 (C)q 真 (D)p 假11.命题“对任意x ∈R,都有x 2≥0”的否定为( )(A)对任意x ∈R,都有x 2<0 (B)不存在x ∈R,使得x 2<0(C)存在x 0∈R,使得20x ≥0 (D)存在x 0∈R,使得20x <0 12.若“m ≤a ”是“方程x 2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是_____________.13.(1)设n ∈N +,一元二次方程x 2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .(2)不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12,则m 的取值范围是___________. 14.若“∃x ∈R,x 2-ax+1≤0”为假命题,则a 的取值范围为______________. 例题讲解例1设p:2x 2-3x+1≤0,q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.变式训练：已知:p:-2≤x ≤10,q:x 2-2x+1-m 2≤0(m>0),且⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.例2 已知c>0,且c ≠1,设p:函数y=c x 在R 上单调递减;q:函数f(x)=x 2-2cx+1在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,若“p ∧q ”为假,“p ∨q ”为真,求实数c 的取值范围.变式训练：已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求m 的取值范围．课后作业：1.命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝02.已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则p 是q 的_________________条件．3. “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的_______________条件. 4. 已知p ：∀x ∈R ，cos x ≥1，则﹁p 是__________________________.5．命题p ：∀x ∈R ，3x >x ，命题q ：若函数y ＝f (x －3)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图像关于点(3，0)成中心对称，下列说法错误的是( )A ．p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为真命题C ．⌝q 为真命题D ．﹁p 为假命题6.已知命题:“∃x ∈[1,2],使x 2+2x+a ≥0”为真命题,则a 的取值范围是 .。

高中数学-常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句2.疑问句，祈使句，感叹句都不是命题3.真命题：判断为真的语句4.假命题：判断为假的语句5.一般用小写英文字母表示如p:∀x>0,x2+1>0二、量词1.全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等符号：∀2.存在量词存在、至少有、有一个、某个、某(有)些等符号：∃3.全称命题：含有全称量词的命题全称命题q:∀x∈A，q(x) 它的否定是⌝q:∃x∈A，⌝q(x) 4.存在性命题：含有存在量词的命题存在性命题p:∃x∈A，p(x) 它的否定是⌝p:∀x∈A，⌝p(x)三、“且”与“或”,“非”1. “且”（p∧q一假则假）“或”（p∨q一真则真）2. “非”（否定）互否互否互逆互逆四、推出与充分条件、必要条件 1.推出“如果p ，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p 可以推出q ；记作：p ⇒q 2.充分条件、必要条件如果p 可推出q ，则称：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件 3.充要条件如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则称 p 是q 的充分且必要条件（p 是q 的充要条件）五、命题的四种形式 1.若p ，则q原命题：若p ，则q 逆命题：若q ，则p 否命题：若非p ，则非q 逆否命题：若非q ，则非p 注：命题的否定（否结论）否命题（否条件，否结论）2.充分条件、必要条件的判定（一）（1）如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件（2）如果p ⇒q ，但q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件（3）如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件（4）如果q ⇒p ，但p ⇏q ，则p 是q 的必要不充分条件（5）如果p ⇏q ，且q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件原命题：若p ，则q逆否命题：若非q ，则非p否命题：若非p ，则非q逆命题：若q ，则p3.充分条件、必要条件的判定（二）若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现即A ＝{ x | p(x) }，B ＝{ x | q(x) }，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为（1）若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件（2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件（3）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件（4）若A B ，则p 是q 的充分不必要条件（5）若A B ，则p 是q 的必要不充分条件（6）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件 4.等价命题（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性①¬q 是¬p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件 ②¬q 是¬p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件 ③¬q 是¬p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件④¬q 是¬p 的既不充分也不必要条件⇔p 是q 的既不充分也不必要条件（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 5. 常见结论的否定形式≠⊂≠⊃。