命题及常用逻辑用语

，非q：B={x|-5≤x≤1}，
∴非p是非q的充分不必要条件．
【例2】 已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，a，b∈R， 对命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”． (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
4．命题“若a>b，则2a>2b-1”的否命题为________． 答案：若a≤b，则2a≤2b-1
• 5．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( • A．非p：∃x∈R，sin x≥1 ∀x∈R，sin x≥1 • C．非p：∃x∈R，sin x>1 ∀x∈R，sin x>1 •
) B．非p：
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B
• 2．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的( ) • A．充分而不必要条件 B．必要而不 充分条件 • C．充要条件 D．既不 充分也不必要条件 • 解析：∵x>0⇒|x|>0，|x|>0⇒x>0或 x<0. • 答案：A
2．(2010天津卷·理)命题“若f(x)是奇函数， 则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 【答案】B 【解析】否命题是既否定题设又否定结 论．因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数”．故选择B.
4：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件
A.充要 C充分不必要 B必要不充分 D不充分不必要
5.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0， 则┐p是┐q的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 6、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
解：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)， 则a+b≥0，真命题．
用反证法证明：假设a+b<0，则a<-b，b<-a.
∵f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，则f(a)<f(-b)，f(b)<f(-a)， ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．
3．给出命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab且cd，则
a+cb+d”． 对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命 题有( A．0个 ) B．1个 C．2个 D．4个
解析：ab且cd，可以推出a+c=b+d，从而原命题、逆
否命题均不成立， 又若a=b或c=d，a+c=b+d不一定成立，从而逆命题、否命题 均不成立． 答案：A
5、充要条件定义
如果既有p q，又有q p就记做p q
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
(也可以说成”p与q等价”) p与q互为充要条件
典型例题
1：填写“充分不必要，必要不充分，充要， 既不充分又不必要。
既不充分又不必要 1）sinA>sinB是A>B的____________条件。
充要条件
提示：从集合角度理解： ①p⇒q，相当于P⊆Q，即P Q或P=Q，如图，即要使x∈Q成 立，只要x∈P就足够了． ②p⇔q，相当于P=Q，如图：
基础自测
1．(2009重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数 ”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
记做:
pq
2、四种命题
条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非 Ｐ”。
原命题： 则q 若p 逆命题： 则p 若q
否命题：若 p 则 q
逆否命题：若 q 则 p
结论1：要写出一个命题的另外三个命 题关键是分清命题的题设和结论（即 把原命题写成“若P则Q”的形式） 注意：三种命题中最难写 的是否命题。 结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不 都”。
集合法与转化法
二。逻辑连接词
• 1．命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑 联结词． • 2．用来判断复合命题的真假的真值表
p
真 真 假 假
q
真 假 真 假
p∨q
真 真 真 假
p∧q
真 假 假 假
非p
. . . .
假 真
• 3. 全称量词与存在量词 • (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一 切”、“每一个”、“任给”、 “所有的” 等． 至少 • (2)常见的存在量词有：“存在一个”、 “ 有一个”、“有些”、“有一 • 个”、“某个”、“有的”等． ∀ • (3)全称量词用符号“ ”表示；存在量词 用符号“∃”表示． • 4．全称命题与特称命题 全称 • (1)含有 存在 量词的命题叫全称命题．
3．(2011新课标全国卷· 理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有 下列四个命题
2π p1：|a＋b|>1⇔θ∈ 0， 3 2π p2：|a＋b|>1⇔θ∈ ，π 3 π p3：|a－b|>1⇔θ∈ 0， 3 π p4：|a－b|>1⇔θ∈ ，π 3
3.
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6.
例1 (2011山东卷·文)已知a，b，c∈R，命题 “若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是 ( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 【解】由于一个命题的否命题既否定题设又 否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋ c≠3，则a2＋b2＋c2<3”． 故选择A.
【思考】 否命题是命题的否定吗？ 答案：不是．命题的否命题既否定命题的条件， 又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题 的结论．
7．充分条件 必要条件 充要条件 (1)条件p成立⇒结论q成立，则称条件p是结论q 的 充分条件 ； (2)结论q成立⇒条件p成立，则称条件p是结论q 的 必要条件 ； (3)条件p成立⇒结论q成立，且结论q成立⇒条件 p成立，则称条件p是结论q的 .
2．(2010山东卷·文)设{an}是首项大于零的等 比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列” 的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设{an}的首项为a1，公比为q，若 a1<a2，
n－1 n
例3 (2011高考福建卷·文)在整数集Z中，被5 除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为 [k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下 四个结沦： ①2 011∈[1]；②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2 ]∪[3]∪[4 ]； ④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件 是“a－b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
3、四种命题之间的关系
原命题
若p则q 互 否
互逆
逆命题
若q则p 互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
逆否命题
若﹁q则﹁p
4、命题真假性判断
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为 真。但其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为 真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
结论：
(1)原命题与逆否命题同真假。 (2)原命题的逆命题与否命题同真假。
D．非p：
解析：命题p是全称命题，全称命题的否定是特 称命题．
• 6．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真， p∧q为假”的充要条件是( • ) B．p、q中
A．p、q中至少有一个为真 至少有一个为假
•
C．p、q中有且只有一个为真 D．p为真、q为假
•
答案：C
【例1】 已知 p：|5x-2|>3，q：
• 5．命题的否定 • （1）存在性命题：p：∃x∈R , p（x）它的否 定是非p： ∀ x∈A，非p （x） • （2）全称命题：q: ∀ x∈A,q(x),它的否定是 非p：∃x∈A ，非p （x）； • (3)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为： 非p或非q.
6．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用 非p和非q分别表示p和q的否定．
命题及常用逻辑用语
知识点及经典例题习题
1、命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假 的语句称为假命题． 命题的形式：“若P, 则q”
也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做 命题的条件,q叫做结论.
巩固练习
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么”x∈M或 x∈N”是“x∈M∩N”的 B
A.充要条件
C充分不必要
B必要不充分条件
D不充分不Hale Waihona Puke Baidu要
注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是 A A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
3.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________. 注、等价法（转化为逆否命题）
1．(2011陕西卷)设a，b是向量，命题“若a ＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 【答案】D 【解析】只需将原命题的结论变为新命题的 条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即 可，即“若|a|＝|b|，则a＝－b”．故选择D.
(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(－a)+f(－b)，
则a+b<0，为真命题．
因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a+b≥0，∴a≥－b，b≥－a. 又∵f(x)在(－∞，+∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， ∴f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)．
所以逆否命题为真．
3【例】求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根的充要条件
为a≤0或a=1.
思维点拨：(1)注意讨论a的不同取值情况；
(2)利用根的判别式求a的取值范围．
证明：充分性： 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为x=－ ，方程只有一负
根．
当 a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x= －1.方程只有一负 根． 当a<0时，D=4(1-a)>0，方程有两个不相等的根，且 方程有一正一负根． <0，
2）在ΔABC中，sinA>sinB是 A>B的 ________条件。
充要条件
注、定义法（图形分析）
2、a＞b成立的充分不必要的条件是（ D ） A. ac＞bc B. a/c＞b/c C. a+c＞b+c D. ac2＞bc2 3.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的 解集为R的充要条件是( C ) (A)m＜0 (C)m＜1 (B)m≤0 (D)m≤1
>0，则非p是非q的什么条件？
思维点拨：(1)解绝对值不等式、一元二次不等式． (2)写出非p、非q. (3)判断非p⇒非q还是非q⇒非p. 解：由|5x-2|>3得：5x-2>3或5x-2<-3， 即x>1或x < 由 . >0 得：x2+4x-5>0 得：x>1或x<-5.
∴非p：A=
∵A⊂B，∴非p⇒非q且
必要性：
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根．
当a=0时，适合条件． 当a0时，方程ax2+2x+1=0有实根， 则D=4-4a≥0，∴a≤1， 当a=1时，方程有一负根x=－1.
若方程有且仅有一负根，则
∴a<0.
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或 a=1.
能力提升
其中的真命题是( A．p1，p 4 C．p2，p3
) B．p1，p 3 D．p2，p 4
【答案】A
【解析】由|a＋b|＝ a2＋2a· b＋b2 ＝ 2＋2cos θ>1， 1 2π 得 2＋2cos θ>1，∴cos θ>－ ，∴0≤θ< . 2 3 由|a－b|＝ a2－2a· b＋b2＝ 2－2cos θ>1， 1 π 得 2－2cos θ>1，∴cos θ< ，∴ <θ≤π. 2 3 ∴p1，p4 正确． 故选择 A.