(完整版)第一章练习题及答案

第一章

一、单项选择题(每小题1分) 1．一维势箱解的量子化由来( d )

a. 人为假定

b. 求解微分方程的结果

c. 由势能函数决定的

d. 由微分方程的边界条件决定的。

2．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0→+

∞)( b )

a. sinx

b. e -x

c. 1/(x-1)

d. f(x) = e x

( 0≤ x ≤ 1); f(x) = 1 ( x > 1)

3.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是( c. ) a.薛定谔 b. 狄拉克 c. 海森堡 c.波恩

4．立方势箱中2

2

810ma h E <

时有多少种状态( c )

a. 11

b. 3

c. 7

d. 2

5.立方势箱在2

2

812ma h E ≤

的能量范围内，能级数和状态数为( c

)

a.5，20

b. 6，6

c. 5，11

d. 6，17

6．立方势箱中2

2

87ma h E <

时有多少种状态( c )

a. 11

b. 3

c. 4

d. 2

7．立方势箱中2

2

89ma h E <

时有多少种状态( c )

a. 11

b. 3

c. 4

d. 2

8.已知x

e 2是算符x P

ˆ的本征函数，相应的本征值为( d ) a.

i h 2

b.

i

h 4 c. 4ih d.

π

i h

9．已知2e 2x 是算符x

i ∂∂

-

的本征函数，相应的本征值为( d ) a. -2 b. -4i c. -4ih d. -ih/π 10.下列条件不是品优函数必备条件的是( c ) a. 连续 b. 单值 c. 归一 d. 有限或平方可积

11．一维谐振子的势能表达式为2

2

1kx V =，则该体系的定态

Schrodinger 方程中的哈密顿算符为( d ) a.

2

2

1kx b.

222212kx m +∇ c.

222212kx m -∇-

d.222

2

1

2kx m +∇- 二、多项选择题(每小题2分)

1. 下列哪些条件并非品优波函数的必备条件( a c )

a. 归一化

b. 连续

c.正交性

d. 单值

e. 平方可积 三、 填空题(每小题1分)

1.德布罗意关系式为___________。答案：p=h/λ

2.由于电子是全同粒子，同时电子波函数是_______(对称，反对称)的，因此多电子的波函数需用Slater 行列式波函数来描述。答案：反对称

3.一维势箱解的量子化由来是根据___________ 自然得到的。答案：微分方程的边界条件

4．合格波函数需满足的三个条件是：连续的、单值的和___________。答案：平方可积

5．德布罗意假设揭示了微观粒子具有_____________，因此微观

粒子具有测不准关系。 答案：波粒二象性

6.任何一个微观体系的运动状态都可用一个波函数来描述，体系中的粒子出现在空间某点(x ，y ，z)附近的几率与_________成正

比。 答案：

2

ψ

7.一维势箱的零点能为_______

2

2

8ml h _______。8．德布罗意波长

为0.15nm 的电子动量为___________,答案：4.42×10-24

9．三个导致“量子化”概念引入的著名实验：黑体辐射、_____________和氢原子光谱。 答案：光电效应

10.品优波函数三个条件是_________、单值、平方可积。答案：连续

11.立方势箱的零点能为

2

2

83ml h __。

12.立方势箱中2

2

814ma h E =

时有___6___种状态。

四、判断对错并说明理由(每小题2分) 1．立方势箱中能量最低的状态是E 100。 答案：错，立方势箱中能量最低的状态是E 111。 2. 一维势箱的能级越高，能级间隔越大。 答案：对，能级间隔为2n+1 3. 定态是指电子固定的状态。

答案：错，定态是指电子的几率密度不随时间而变的状态。 五、简答题(每小题5分) 1.合格波函数的条件是什么？

答案：连续(2分)、单值(2分)、有限(平方可积)(1

2.下列函数，哪些是

2

2

dx d 的本征函数？并求出相应的本征值。

a. e mx

b. sinx

c. x 2

+y 2

d.(a-x)e -x

答案：a. b.为本征函数(3分) mx

e 的本征值为m 2

(1分)sinx

本征值为-1(1分) 六、计算题(每小题5分)

1、将函数ψ＝N(4φ1＋3φ2)化为归一化的函数，其中φ1和φ2

是正交归一化的函数。 答案

：

据

⎰=*

1τψψd

1=

⎰*τψψd =N 2

⎰

++*

τφφφφd )34()34(2121

=N 2

[4

2

⎰*

τ

φφ

d 11

+3

2

τ

φφ

d ⎰*22

+12

⎰*

τ

φφ

d 21

+12

⎰*τ

φφ

d 12

]

=N 2[16+9+0+0]=25N 2

(2分)

N=

251

=5

1

)34(5

1

21φφψ

+=为归一化的函数 2、计算动能为300eV 的电子德布罗意波长(h=6.626×10-34

J.S, 1eV=1.602×10-19

J, m e =9.11×10-31

kg)

答案：m p

T

22

=

mT p 2=

因此m mT

h

p

h 111008.72-⨯===

λ

3、在一维势箱中电子从n=2跃迁到n=1能级时辐射波的能量是多少(l=5×10-10

m)？

答案：J ml

h E E E 19

2

2121023.783-⨯==-=∆

(3分)

171075.2-⨯=∆=

E

hc

λ

m 4、已知1,3丁二烯的C-C 键长为1.35×10-10

m ，试按一维势箱模型估算第一个吸收峰的位置。

答案：2

2

2385ml h E E E =

-=∆ (3分)

J 18

2

103123410*033.1)

10*35.1*3(*10*11.9*8)10*626.6(*5----= 2.192582==

h

c

ml λnm 5. 链型共轭分子CH 2CHCHCHCHCHCHCH 2(8C)在长波方向460nm 出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。

答

案：

2

2

4589ml h E E E =

-=∆

pm mc h l 1120892

1=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=λ

6、将函数ψ＝2φ1＋3φ2化为归一化的函数，其中

φ

1

和φ2是正交归一化的函数。 答

案

：据

⎰=*

1τψψd

1=

⎰

*

τψψd =N 2

⎰++*τφφφφd )32()32(2121 =N 2

[4

⎰*τ

φφd 11+3

2

τ

φφd ⎰*

22+6

⎰*

τ

φφd 21+6

⎰*

τ

φφd 12

=N 2

[4+9+0+0]

=13N 2

N=

13

1

)34(13

1

21φφψ+=

为归一化的函数 7、在(CH 3)2NCHCHCHCHCHCHCHN +

(CH 3)2共轭体系中将π电子运动简化为一维势箱模型，势箱长度约为1.30nm ，计算π电子跃迁时吸收光的波长。

答

案

：

J ml

h E E E 19

2

25610925.3811-⨯==-=∆ (3分) 4.506=∆=

E

hc

λ

nm (2分) (10个π电子，0

62

52

22

1...ψψψψ)

8、已知一维势箱的长度为0.1nm ，求n=1时箱中电子的德布罗意波长。