数列的概念及简单表示方法

§6.1 数列的概念及简单表示法

1．数列的定义

按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类

3．

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

5．已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1 (n ＝1)

S n －S n －1 (n ≥2)

.

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．

( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．

( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋1

2

.

( × )

(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1

2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何

一项．

( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为

( )

A ．15

B ．16

C ．49

D ．64 答案 A

解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.

3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( )

A ．1

B ．9

C ．10

D ．55

答案 A

解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.

4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1

3

，则{a n }的通项公式是a n ＝_____.

答案 (－2)n －1

解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝23

a n －2

3

a n －1，

故

a n a n －1

＝－2，故a n ＝(－2)n －1.

当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1. 综上，a n ＝(－2)n －1.

5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A

1，A 2，…，A n ，…和B 1，

B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，

且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1

＝1，

a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．

答案 a n ＝

3n －2

由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，

故a n ＝

3n －2.

题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9，…；

(2)12，34，78，1516，31

32，…； (3)－1，32，－13，34，－15，3

6，…；

(4)3,33,333,3 333，….

思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．

解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.

(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －1

2n .

(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)n

n

.

也可写为a n

＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－1

n ，n 为正奇数，3

n ，n 为正偶数.

(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 999

3，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102

－1,103－1,104－1，…，

所以a n ＝1

3

(10n －1)．

思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．

(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________.

(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，9

17，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.

答案 (1)(－1)n ·(6n －5) (2)2n ＋1

n 2＋1

解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．

(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1

n 2＋1.

题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项

例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：

(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .

思维启迪 当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；

当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1

＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.