《解析几何》第5讲 圆的最值与轨迹问题
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
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考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
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2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
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由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
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考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
抓住2个考点
高考专题复习 解析几何中与圆相关的综合问题(含解析)
专题解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22++=，点(2,0):(2)32C x yD，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点(0,2)A，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my =+与圆22(1)(1)4x y -+-=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当1m =时，求||AB ；（2）是否存在实数m ，使得OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题15 解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22:(2)32C x y ++=，点(2,0)D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP 于点Q ． （1）求点Q 的轨迹方程．（2）设点(0,2)A ，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A ．求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a ，b 即可．（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t 的值，则直线过直线MN 恒过点2(0,)3-．【解答】解：（1）点Q 在线段PD 的垂直平分线上，||||PQ PD ∴=．又||||||CP CQ QP =+=，||||||4CQ QD CD ∴+=>=．Q ∴的轨迹是以坐标原点为中心，(2,0)C -和(2,0)D 为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为222211x y a b+==，(0)a b >>．2c =，a =，2844b ∴=-=．∴点Q 的轨迹的方程为22184x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则2228y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(12)4280k x ktx t +++-=， 122412ktx x k +=-+，21222812t x x k -=+， 由AM AN ⊥，则0AM AN =，即221212(1)(2)()(2)0k x x k t x x t ++-++-=，则22222284(1)(2)()(2)01212t ktk k t t k k-+⨯+--+-=++， 整理得：23440t t --=，解得：2t =（舍去）或23t =-，则直线MN 的方程23y kx =-，则直线MN 恒过点2(0,)3-， 当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，综上可知：直线MN 过点2(0,)3-．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆1F 与圆2F 有公共点，再利用定义法得到P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，从而求出公共点P 的轨迹E 的方程；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入2121212212122(1)()2()()x x m x x m k k k k x x m x x m-++++=-++，整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，所以当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ，所以|4|2r r --，即12|4||||4|r r F F r r ---+，所以圆1F 与圆2F 有公共点，设两圆公共点为点P ，所以12||||44PF PF r r +=+-=， 所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，1c =，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设1(M x ，2)y ，2(N x ，2)y ， 联立方程22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，111y k x m =-，222y k x m=-， 22212121212211212122121212121212(1)(1)11(1)()(1)()2(1)()2()()()()()()()y y k x k x x x x x m x x m x x m x x m k k k k k k k k x m x m x m x m x m x m x m x m x x m x x m ------+---+++∴+=+=+=+==---------++， 将①式代入整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-0m <，∴当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值，故存在实数2m =-，使得12()k k k +为定值1-．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，由0AB >且0BC >求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A B C --总长的最短长度．【解答】解：（1）过Q 分别向AO 和1l 作垂线，垂足为H ，M ， 由题意可得，QOH θ∠=，20sin QH θ∴=，20cos OH θ=， 则3020cos AH MQ θ==-． 在直角三角形BMQ 中，3020cos tan tan QM BM θθθ-==． 3020cos 2030cos 20sin tan sin AB AM BM QH BM θθθθθ--∴=-=-=-=． 又70sin BC θ=，702030cos 9030cos (0)sin sin sin 2L BC AB θθπθθθθ--∴=+=+=<<． 0AB >且0BC >，∴2cos 3sin 0θθ⎧<⎪⎨⎪>⎩，令02cos 3θ=，则0(,)2πθθ∈．∴定义域为0(,)2πθ；（2）由9030cos ()sin L θθθ-=，得213cos ()30L sin θθθ-'=，0(,)2πθθ∈． 令()0L θ'=，得1cos 3θ=，1233<，∴当1cos 3θ=时，[()]min L θ= 故木栈道A B C --总长的最短长度为【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【分析】（1）利用P 点轨迹以及3PQ MQ =，表示出M 的轨迹方程即可；（2）设出过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求得||AB ，再由点到直线的距离公式求得O 到AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB ∆的面积最大时的m 值，则直线l 的方程可求 【解答】解：（1）设(,)P x y ，则(,0)Q x ，0(M x ，0)y 且0x x =又根据3PQ MQ =．可得(0，00)))y y y -=-=-，则0y =，所以2200)6x +=，整理可得M 的轨迹方程为2236x y +=； （2）设过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+， 联立整理得22(3)420m y my ++-=， 所以12243m y y m +=-+，1212223233y y y y m m ==-++，则2226||3m ABm ⨯==+，点O 到直线的距离d =，所以111||26222AOBS AB d ∆===⨯，212m+=时取“=”，此时1m=±，故直线方程为2x y=+或2x y=-+．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my=+与圆22(1)(1)4x y-+-=相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当1m=时，求||AB；（2）是否存在实数m，使得OA OB⊥，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用垂径定理直接求解即可；（2）假设存在满足条件的实数m，根据已知条件建立关于m的方程，由方程解的情况即可得出结论．【解答】解：圆22(1)(1)4x y-+-=的圆心为(1,1)，半径为2，（1）当1m=时，直线1x y=+即为10x y--=，圆心(1,1)到直线10x y--=的距离为d==∴||AB=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221(1)(1)4x myx y=+⎧⎨-+-=⎩可得22(1)230m y y+--=，且△0>恒成立，12122223,11y y y ym m-+==++，∴212122221(1)(1)1m mx x my mym-++=++=+，若存在实数m，使得OA OB⊥，则1212OA OB x x y y=+=，即222221m mm-+-=+，亦即210m m-+=，无解，故不存在实数m，使得OA OB⊥．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设(,)P x y ，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ==，PG =PA ==24(0)y x x =≠；（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y ay x =+⎧⎨=⎩，利用根与系数关系表示出2QS ，2QT ， 进而表示出2211||||QS QT +即可． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， 122GB GH ∴==，PG ∴=，又(PA =24(0)y x x =≠；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =，（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ， 根据题意可知直线l '的斜率必不为0，设其方程为11(0)x t y a t =+≠， 联立124x t y a y x =+⎧⎨=⎩，整理可得21440y t y a --=，1214y y t ∴+=-，124y y a =-，222212112112121()24216x x t y y a t ax x y y a ∴+=++=+==， 222222111111()()4(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222222222()()4(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222221122121212(42)(42)()(42)()22QS QT x a x a x a x a x x a x x x x a ∴+=+-+++-+=++-+-+22212121211()(42)22(42)(44)x x x x a x x a t a t =+++--+=+++， 22222116(1)QS QT a t =+，则22212222221211||||2(1)t a QS QT QS QT QS QT a t +++==+， 当2a =时，上式14=与1t 无关为定值， 所以存在(2,0)Q 使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值14． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆22:()(1)13()C x a y a R -+-=∈，点(3,3)P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 （1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程． 【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出a 的值． （2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的方程． 【解答】解：（1）由圆22:()(1)13()C x ay a R -+-=∈， 得到圆心坐标为(,0)a ， 点(3,3)P 在圆内，解得06a <<，由圆的弦的性质可知，点P与圆心的连线与弦垂直， 即点P为弦的中点时，过点P 的弦长最短．在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 ， 解得2a =或4，（符合06)a <<．（2）由（1）可知，2a =或4a =时，因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直，所以，点M 的轨迹为(,1)a所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=．3．（2019•全国）已知点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点P 满足1PA 与2PA 的斜率之积等于14-，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设过坐标原点的直线l 与C 交于M ，N 两点，且四边形12MA NA 的面积为l 的方程． 【分析】（1）设(,)P x y ，运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线l 方程为y kx =，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得121224PA PA y y k k x x ==-+-，化为221(2)4x y x +=≠±，可得C 的方程为221(2)4x y x +=≠±；（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为0x =，可得四边形12MA NA 的面积为14242⨯⨯=，不符题意，舍去；设直线l 方程为y kx =，代入方程2214x y +=，可得22414x k=+，222414k y k =+， 由M ，N 关于原点对称，可得四边形12MA NA 的面积为2122114||||24222214M N k y y A A k -==+， 解得12k =±，即有直线l 的方程为12y x =±．4．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设圆的方程为M 的方程为222()()(0)x a y a R R -+-=>，然后根据圆与直线20x +=相切和圆心到直线0x y +=的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为(,)x y ，然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为24y x =，然后根据抛物线的定义即可得到定点． 【解答】解：M 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中， 2221(||)2d AB R +=，即224R +=①又M 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴的半径为2或6；（2）线段AB 为M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+， 22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．5．（2020•4月份模拟）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【分析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得0x x =，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)， 则由432PQ MQ =，得4(0，00)y x x -=-，)y -， 0x x ∴=，0y y ， 代入圆22:9O x y +=，可得22198x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=．则1221689m y y m -+=+，1226489y y m -=+． 12124()my y y y ∴=+，则121212112121223(2)23(4)4AG BH k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++ 12112122124()22414()4482y y y y y y y y y y +-+===+++．6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1N x y -+=，圆心(1,0)N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN =，点P 的轨迹为曲线M ． （1）求曲线M 的方程．（2）过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．【分析】（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，求出向量的坐标代入NP NE EP EN =，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，对直线l 的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，||46AB =≠，不符合题意，当斜率存在时，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k 的值，从而得到直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -， 则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN =，得(1x -，)(2y -，)(1y x =+，0)(2，)y -，即22222x y x -++=+， 化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得||||2||4AC DB CD +==， 所以弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点(1,2)A ，(1,2)B -，此时||46AB =≠，不符合题意， ②当斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，∴12242x x k +=+，121x x =，显然△216(1)0k =+>恒成立， 由抛物线的定义可知，12||26AB x x =++=，∴2446k +=，解得：k = ∴直线l的方程为1)y x =-．7．（2020•福建二模）已知(1,0)F ，点P 在第一象限，以PF 为直径的圆与y 轴相切，动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ，直线PF 的斜率为2k ，求满足123k k +=的点P 的个数． 【分析】（1）设(,)P x y ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y ，由以PF 为直径的圆与y 轴相切得11||22x PF +=，化简即可得到曲线C 的方程； （2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，利用导数的几何意义得到102k y =，022044y k y =-，由123k k +=，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，利用导数得到函数()f x 在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足123k k +=的点P 的个数为2个． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，0x >，0y >， 又(1,0)F ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y， 因为以PF 为直径的圆与y 轴相切，所以11||22x PF +=，即12x +， 整理得C 的方程为：24(0)y x y =>，（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，设20(4y P ，00)(0)y y >，则102k y ==，002220004414y y k y y -==--，由123k k +=，即02004234y y y +=-，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，由2()912120f x x x '=--=得，23x =-，或2x =，因为当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又(0)80f=>，f（2）160=-<，f（4）560=>，()f x的图象连续不断，所以()f x在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足123k k+=的点P的个数为2个．。
数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案含解析
第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。
解析几何初步5
第5讲 │ 要点探究
1 如图 53－3 所示， 正方体 ABCD－A1B1C1 D1 的棱 长为 a，|BN|＝2|ND|，|CM|＝2|MD1|，求线段|MN|的长．
图 53－3
第5讲 │ 要点探究
[思路] 如图， 建立空间直角坐标系， 再求出各个点的坐 标，用空间两点间距离公式即可得解．
第5讲 │ 要点探究
第5讲 │ 要点探究
► 探究点2 空间直角坐标系的应用
例 2 正方体的棱长为 2a， 如图 53－2 建立空间直角坐标系， 点 P 在对角线 A1C 上，点 Q 在棱 D1D 上． (1)当 Q 为 D1D 的中点，点 P 在 A1C 上运动时，求|PQ|的 最小值； (2)当 P、Q 分别在 A1C、D1D 上运动时，求|PQ|的最小值．
第5讲 │ 空间直角坐标系
第5讲 空间直角坐标系
第5讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．空间直角坐标系 (1)以空间一点 O 为原点，建立三条互相垂直的数轴 x 轴、y 轴和 z 轴，这时我们说建立了一个______________， 空间直角坐标系 坐标轴 其中 O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和 z 轴叫做________，通 过每两个坐标轴的平面叫做________，分别称为________、 坐标平面 xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面 ________、________. (2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇 x 轴的正方向 y 轴的正方向 指指向____________，食指指向____________，如果中指指 向__________________，则称这个坐标系为___________． z 轴的正方向 右手直角坐标系
第5讲 │ 要点探究
1 点 P 在坐标平面 xOy 内， A 坐标为(－1， 点 2,4)， 问满足条件|PA|＝5 的点 P 的轨迹是什么？
与圆有关的最值与轨迹
与圆有关的最值与轨迹知识点：一、定点、定直线到圆的最大（小）距离221.14240y x x y x y =-++-+=（二星）求直线上的点到圆上的点的最近距离和最远距离.答案：最短距离1，最长距离1 2222123.:6210,:2410,.M C x y x y N C x y x y MN ++-+=++++=（二星）点在圆上点在圆上求的最大值答案：56．（2018全国3卷理）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A A ．[]26，B ．[]48，C． D．⎡⎣ 备注：到定直线的最大距离（15）设,P Q 分别是圆()2213x y +-=和椭圆2214x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是 .3二、利用几何意义求与圆有关的最值 知识精讲：22123.y bu x at ax by x y -=↔-=+↔↔涉及与圆有关的最值问题，利用数形结合与几何意义求解：（）形如转化为直线斜率；（）形如转化为直线截距；（）含有与的转化为两点间距离2222221.,4101(1)(2)(3)(4)(5)10144x y x y x y y y x x y x x y y x x +-+=--+-+--已知实数满足方程求下列各式的最大值与最小值：；；；；； 答案：（1）（2）22---+（3）7-+（4）22-+3sin 2..2cos xy x-=+（三星）求函数的值域备注：看做斜率的最值的问题答案：22⎡-+⎢⎣4.3cos 4sin 230,.k k k θθ--+=（三星）求使方程有解时的取值范围备注：椭圆上动点到定点连线的斜率答案：(]51,7⎡⎫-∞⋃-+∞⎪⎢⎣⎭，-23.21.y x x=+--（三星）求函数的值域备注：圆的参数方程的使用解：方法一：参数方程方法二：原函数可变形为2221(1)12211x x⋅+--+=+，这样2可视为动点2(,1)P x x-到直线x-y+2=0的距离.又P点的轨迹为半圆)+=≤≤22x y 1 (0y1,如图，过O点作直线x-y+2=0的垂线分别交半圆、直线于P、R，易求P22(,)22-, 由图形可以知221,,122210232.2122223.x xPR AH⎡⎤⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+=-==⎡⎤-⎣⎦当时，单调递减；当时，单调递增又，，故所求的函数的值域为，12.（三星）已知ABC∆的三个顶点A，B，C的坐标分别为()()()0,1,2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P满足1CP=uu r，则OA OB OP++uu r uu u r uu u r的最小值是（）A （A）31-（B）111-（C）31+（D）111+三、转化为函数最值问题221.230,40.x y P P x y x ++=+-=（三星）在直线上求一点使向圆所引得的切线长为最短备注：最短切线长的求法2222.()3,4,5.ABC AC BC AB P ABC PA PB PC ===++V V 三星已知中，，点是内切圆上一点，求的最大值与最小值备注：内切圆半径求法；用函数方法来求最值问题3.（四星）如图所示，已知圆C ：8)1(22=++y x ，定点A （1，0），C （-1，0），M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足,2→→=AP AM ,0=•→→AM NP 点N 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的方程；（2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点 G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足,→→=FH FG λ求λ的取值范围.备注：向量关系转化为横坐标或纵坐标的关系；将最值问题转化为函数问题来做16.（四星）在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知9CD=，16BD=，90 BDC∠=︒，4sin5A=，则对角线AC的最大值为．27备注：建系，用圆的参数方程方法二：以D为原点建立坐标系，写出过BDA的圆的方程为22(8)(6)100x y+++=，用参数方程做，最大值为27.四、与圆有关的轨迹问题5.（二星）已知⊙O的方程是x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P 向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是.备注：直接法求轨迹方程1.(,0),(,0),(0),.A cB c P A B a a P ->（二星）设为两定点动点到点的距离与到点的距离的比为定值求点的轨迹备注：直译法求轨迹222.,4,(1,1),90,.P Q x y B PBQ PQ +=∠=︒（三星）为圆上两动点求中点的轨迹方程备注：直接法或者几何法求轨迹方程答案：22113--222x y +=（）（）解：方法一：根据关系式12MB PQ =方法二：几何法：根据PQ 的垂径的关系式来做，过程如下：223.(8,0)21040,.(?)P x y x y -+-++=（三星）过点引圆的割线求被此圆截得的弦的中点的轨迹方程你想到多少不同的解法备注：点差法的典型应用答案：227553()()222x y +++=方法二：点差法.224.1,(1,0),,,,,,(),.3x y A B C A B C BOC O ABC G π+=∠=∆（三星）已知定点是圆上两个动点保持在圆上逆时针排列且为原点求重心的轨迹方程备注：参数方程法，注意圆的参数方程的使用。
解析几何轨迹与方程
?? x ? R ?cos? ? ? sin ? ?
? ?
y
?
R?sin ?
?
?
cos ?
?
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1
a 2 b2
第一种参数方程以角度 ?
为参数：?? ?
x y
? ?
a cos? bsin ?
, ???
?
?
?
?
?
?
? ? a b 2 ? a 2 t 2
ห้องสมุดไป่ตู้
其参数方程为 ? x ? 2Rcos? (1? cos? )
? ?
y
?
2Rsin ?
(1?
cos?
)
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从 圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成 的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）
其坐标式参数方程为
一、曲面的方程
定义 2.2.1 如果一个方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?与一个曲面
? 有着关系：
①满足方程 ? F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?的 ?x, y, z?是曲面 ?
上的点的坐标；
②曲面 ? 上的任何一点的坐标 ?x, y, z?满足方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?， 那么方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?就叫做曲面 ? 的方程，而曲 面 ? 叫做方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?的图形.
一一对应的关系叫做 柱坐标系，或称空间半极坐标系 ，并把有序
圆中的最值问题运动轨迹
圆中的最值问题运动轨迹圆中的最值问题运动轨迹引言：圆是一种几何学中常见的形状，它具有许多独特的性质和特点。
在数学中，研究圆的最值问题既有理论意义，又有实际应用。
本文将讨论圆中的最值问题，并探索与之相关的运动轨迹。
通过对这些问题的分析和求解，可以帮助我们更深入地理解圆的性质和运动规律。
一、圆的最值问题1. 最大面积问题圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。
那么，在给定周长的情况下，如何确定圆的半径以使其面积最大化？解法：根据周长公式C=2πr，可得r=C/(2π)，将该值代入面积公式得到S=π(C/(2π))²=(C²/(4π))π=(C²π/4π)=C²π/4。
所以，当给定周长时，圆的面积最大值为C²π/4。
2. 最小周长问题如果圆的面积是固定的，如何确定圆的半径以使其周长最小化？解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。
所以，当给定面积时，圆的周长最小值为2√(πS)。
3. 最大周长问题在给定面积的情况下，如何确定圆的半径以使其周长最大化？解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。
所以，当给定面积时，圆的周长最大值为2√(πS)。
二、圆的运动轨迹1. 圆的滚动轨迹当一个圆沿着另一个圆或者直线滚动时，滚动圆上一点的轨迹称为圆的滚动轨迹。
滚动轨迹通常是一条曲线，而滚动圆上的所有点都具有相似的运动特性。
2. 圆上的运动轨迹假设一个小球在一个固定大小的圆上运动，小球在圆上的位置随时间变化而改变。
小球在圆上的运动轨迹通常是一条曲线，其形状取决于小球在圆上的起始位置、运动速度和加速度等因素。
结论：圆中的最值问题涉及到圆的面积和周长，通过合理选择圆的半径，可以确定面积最大、周长最小或周长最大的圆。
培优提能课(五) 解析几何 2023高考数学二轮复习课件
由题意，Δ＝0，即[4k(y0－kx0)]2－4(1＋2k2)[2(y0－kx0)2－4]＝0 且 x02＋2y20
＝4， 整理得(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－2＝0.
3.
因为点 B，B′关于 x 轴对称，所以 B′－38＋34kk2，4
3k2－3 3＋4k2
3，
所以直线 PB′的方程为 y＝
3－4
3k2－3 3＋4k2
8 3k
3 x＋
3＝43kx＋
3，
3＋4k2
令
y＝0，得
x＝－4
33k，所以
M－4
33k，0.
令 y＝kx＋
3＝0，得
x＝－
k3，所以
N－
k3，0.
目录
02
提能2 隐圆问题
目录
隐圆问题在近几年各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难 度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目 中，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来 求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
目录
角度一 利用圆的定义(垂直)确定隐圆
所以|BM|＝
1＋2xy002x0（x204＋－42yy2020）＋x0
＝ x20＋8 4y20，
目录
|AM|＝
1＋－2xy002x0（x204＋－42yy2002）－x0
＝ 2x|02x＋0y40|y20，
即 S△ABM＝12|AM||BM|＝x820|＋x0y40y|02≤2， 当且仅当xx0202＝ ＋42yy2200， ＝4，即 x02＝38，y02＝23时取等号． 故△ABM面积的最大值为2.
2021中考数学专题05 瓜豆原理中最值问题
专题瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题【专题说明】动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。
如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？P QAB C【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．N C B AQP M【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°且AP =AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？CB AQ P【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．Q 2Q 1ABC【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角） M N ααP QAB CP 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ） M NααAB C【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B CDE F2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24πB ．22πC ．1D ．23、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．4、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．5、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B C DE F【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2G 1E DCB ACG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =， 所以CH =52，因此CG 的最小值为52． F HG 2G 1E DCB A 2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24B ．22C ．1D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=222，∠A=∠B=45°，∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ ，QF=22BQ ， ∴PE+QF=22（CQ+BQ ）=22BC=222， ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12（PE+QF ）=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C ．3、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】213【详解】ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +==22224652213AB BC +=+==故答案为：2134、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．【答案】62 【详解】解：如图，由题意可知点C 运动的路径为线段AC ′，点E 运动的路径为EE ′，由平移的性质可知AC ′=EE ′，在Rt △ABC ′中，易知AB =BC ′=6，∠ABC ′=90°，∴EE ′=AC 2266+2故答案为：625、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）27【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，在Rt △ACF 中， ∴CF=22AC AF +=()22423+=27，∴CD=CF=27.专题 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
高中数学与圆有关的轨迹问题与最值问题
b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ， （8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ， （10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，
《与圆有关的轨迹问题》课堂实录与课例点评
《与圆有关的轨迹问题》课堂实录与课例点评沙市中学这是湖北省沙市中学的一节随堂调研课。
时间：2011年9月18日，地点：高三(5)班，执教人：吕跃，参与听评课老师：张建功、郭秋、肖述友、镇祥平、熊炜、肖小权及本学科青年老师。
[教学实录]老师：同学们，解析几何主要研究两方面的问题：一是求曲线的方程；二是通过研究曲线的方程来进一步研究曲线的性质。
这节课，我们来一起探究一下与圆有关的点的轨迹方程的求法。
(点评：高屋建瓴，直接点题)教师：首先请一个同学回顾求曲线方程的基本步骤。
(板书)学生1：(1)建系，设点 (2)找等量关系(列式)(3)代换，化简 (4)证明完备性(检验)教师：说的非常好！在这四个步骤中较困难的是第(2)与第(4)步，下面我们以一些具体的例子来感受一下。
(点评：先回顾求曲线方程的基本步骤，有助于让学生在做后续的问题时，目标的明确化、思维的清晰化。
)(板书)例1、,135,6,︒=∠+∠=∆C B BC ABC 中求顶点A 的轨迹方程。
教师：(先让学生经过充分的思考)请一个同学说说你的思路。
学生2：(学生边说，教师边板书)先以线段BC 的中点为原点，BC 所连的直线为x 轴，建立坐标系。
再设点A 的坐标为(x,y)。
(学生显的有点紧张，在此处停顿下来)教师：以线段的中点为原点建立坐标系，这是很通常的建系方法，做的很不错，那么怎样寻找等量关系呢？(点评：先对学生的做法表示肯定，消除学生的紧张感，鼓励他继续往下做！)学生2：再根据直线AB 与AC 的夹角为45︒，用夹角公式建立方程。
教师：能给出具体的式子吗？学生2：(教师板书)|1|45tan AB AC ABAC K K K K ⋅+-=︒ 1|33133|=+⋅-++--⇒x y x y x y y y |9||6|22-+=⇒y x y学生3：两边平方，利用平方差公式变形(上台板书)0)6()9(2222=--+y y x0)96)(96(2222=--+-++∴y y x y y x0960962222=--+=-++∴y y x y y x 或教师：对这个结果有不同意见吗？学生3：变形是等价的，没问题(想了想)，要加上0≠y ，因为A 、B 、C 不共线。
圆中最值问题(解析版)
圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。
九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳
授课类型 T 能力( 圆最值 )授课日期及时段2019年教学内容（比一比！）动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧； 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ，连接 AP ，则 CP 的最小值________，AP 的最小值是_________.【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.T 能力——圆最值检测定位【变式2】如图，一根木棒AB 长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO 下滑，且 B 端沿直线OM 向右滑行，则木棒中点P 也随之运动，已知 A 端下滑到A′时，AA′)a，则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________．＝(323．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是________．4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是________．5．如图，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．定边对定角模型定弦定角当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
圆中最值问题的常见解法
分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.
与圆有关的最值问题
中学课程资源第17卷圆是高中数学中研究较多的一种曲线，学生在做与圆有关的数学题时，与圆有关的最值问题是常见的考点，而学生往往不善于对已知条件进行转化或利用所给式子的几何意义进行解题。
在研究圆的问题时，教师可以将与圆有关的最值问题分为七类：圆上一点到定点距离的最值问题，圆上一点到直线距离的最值问题，斜率型最值问题，截距型最值问题，距离型最值问题，弦长的最值问题及其他类最值问题。
教师要对与圆有关的七类最值问题进行总结，加强学生对圆的图象特征、基本知识、基本技能的应用，培养学生的数学核心素养。
一、圆上一点到定点距离的最值问题在与圆有关的最值问题中，与距离有关的有三类，分别为：圆上一点到定点距离的最值问题，圆上一点到直线距离的最值问题及距离型最值问题。
其中，圆上一点到定点距离的最值问题是最简单也是最常考的一类题。
教师可以以一道小题为例来讲解圆上一点到定点的最值问题。
例1：已知点P（x，y）是圆C（x-1）2+（y-2）2=1上的一点，求P到原点的最大、最小距离。
分析：对于圆上一点到定点的最值问题，只需将定点与圆心连接，所连直线与圆有两个交点，离定点近的交点为最小距离的点，反之为最大距离的点。
解：连接OC与圆交于A，延长OC与圆交于B，则dmax=OC+r=5+1，d min=OC-r=5-1.小结：圆上一点到定点的最值问题，其本质是两点间的距离，与圆相关的两点间的距离，可以转化为圆心与定点的距离问题。
二、圆上一点到直线距离的最值问题例2：圆C的方程为（x-1）2+（y-1）2=2，直线l的方程为x-y+4=0，求圆C上的点到直线l的最小距离为？分析：圆上一点到直线距离的最值问题，可转化为圆心到直线的距离加上半径为最大距离，减去半径为最小距离。
解：圆心C到直线l的距离为d=|1-1-4|12+(-1)2=22，则圆上的点到直线l的最小距离为d-r=22-2=2。
小结：圆上一点到直线的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题。
圆的最值问题求解四法
２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀圆的最值问题求解四法◉云南省普洱市孟连县第一中学㊀孙宝恩㊀㊀摘要:与圆有关的最值问题是近年来高考数学的热点之一,它着重考查数形结合与转化思想．求圆的最值问题 四化法 的基本思路是,利用平面几何知识,或利用圆的参数方程,或设圆上点的坐标,将其转化为函数的最值问题．关键词:化为斜率法;化为截距法;化为距离法;化为三角函数法㊀㊀与圆有关的最值问题,因为其代数式具有明显的几何意义,所以应优先考虑数形结合法．运用数形结合法求最值,既可以借助图形直观获得简捷解法,又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,还有利于沟通数学各个分支,深化思维,全面提高学生数学综合素质[１]．涉及与圆有关的最值问题,可借助圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想来求解．一般情况下,求形如t ＝y －bx －a的最值问题,可转化为动直线的斜率问题;求形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值问题,可转化为动直线的截距问题;求形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可转化为动点到定点的距离问题．另外,还可以通过建立目标函数求最值．与圆有关的最值问题,既是高中数学中的难点问题,又是近年来高考中的热点题型,因此有必要熟悉和掌握其常用的解题思路与方法．１化为斜率法例１㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求yx的最大值和最小值．解:原方程可化为(x －２)２＋y ２＝３,表示以(２,０)为圆心,３为半径的圆．yx 的几何意义是该圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k ,即y ＝k x ．图１当直线y ＝k x 与圆相切时,如图１,斜率k 取最大值或最小值,此时２k －０k ２＋１＝３,解得k ＝ʃ３所以yx的最大值为３,最小值为－３．思路与方法:本题中yx 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,两切线的斜率为其最值,可由２k －０k ２＋１＝３求切线的斜率,也可将y ＝k x 代入圆的方程,由Δȡ０,求解k 的范围．例２㊀求y ＝１＋s i n x２＋c o s x 的最值．图２解:将原函数式变形为y ＝s i n x －(－１)c o s x －(－２),其几何意义是在直角坐标系中,动点(c o s x ,s i n x )与定点P (－２,－１)连线的斜率．动点P 的轨迹为单位圆(如图２),由图可知,k P B 最小,k P C 最大．显然,k P B ＝０．由t a n θ＝O B P B ＝１２,得t a n øB P C ＝t a n２θ＝２t a n θ１－t a n ２θ＝４３,即k P C ＝４３．故y 的最小值为０,最大值为４３．思路与方法:从本题的解题思路可以归纳 形如f (x )－ag (x )－b 的函数式,可以将其看作点(g (x ),f (x ))与点(b ,a )连线的斜率,这也是最常见的解题方法．２化为截距法例３㊀在圆O :x ２＋y ２＝１上求一点P ,使得过点P 的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积最小．解法１:设P (x １,y １),则切线l 为x １x ＋y １y ＝１,即x １x １＋y １y １＝１,截距a ＝１x １,b ＝１y １．所以,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀b ＝１２１x １ １y １＝１２x １y １ȡ１x ２１＋y ２１＝１１＝１,当且仅当x １＝y １＝２２时,取等号,S 的最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．解法２:因为点P 在圆x ２＋y ２＝１上,可设P (c o s φ,s i n φ),所以切线l :x c o s φ＋y s i n φ＝１,其截距a ＝１c o s φ,b ＝１s i n φ．因此,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a b ＝１２１c o s φ １s i n φ＝１s i n ２φȡ１．当s i n ２φ＝ʃ１,即φ＝ʃπ４,ʃ３４π时,S 取最小值,且最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．思路与方法:本题的两种解法都是将与圆有关的求三角形的最值问题转化为直线与圆相切的截距型问题．通过设点P 的坐标,先求出截距,然后再根据三角形面积公式推出S әȡ１,最后确定点P 的位置．例４㊀设x ,y 满足y ＝－x ２－２x ,求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．图３解:y ＝－x ２－２x ＝１－(x ＋１)２,其图象为如图３所示的半圆O ᶄ,S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距的最大值与最小值．由A (－２,０),k A D ＝－１,得D (０,－２),即S m i n ＝－２．又O ᶄB ＝B C ＝１,所以O ᶄC ＝２,得O C ＝２－１＝O D ᶄ,则点D ᶄ的坐标为(０,２－１),即S m a x ＝２－１．故S 的最大值与最小值分别为２－１,－２．思路与方法:本题是将其转化㊁变形为截距型最值问题,并对半圆㊁直线截距的几何意义进行了由 隐 到 显 的挖掘,其中紧扣 S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距S的最大值与最小值 是关键．３化为距离法例５㊀在әA B C 中,øA ,øB ,øC 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝１０,c o s A c o s B ＝b a ＝４３,P 为әA B C的内切圆上的动点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值．解法１:由c o s A c o s B ＝b a ,得c o s A c o s B ＝s i n Bs i n A ,即s i n ２A ＝s i n２B ．在әA B C 中,因为A ʂB ,所以２A ＋２B ＝π,则A ＋B ＝π２,故әA B C 为直角三角形．图４由c ＝１０,b a ＝４３,可得a ＝６,b ＝８．建立如图４所示的平面直角坐标系,设әA B C 的内切圆圆心为O ᶄ,切点分别为D ,E ,F ,则|A D |＋|D B |＋|E C |＝１２(１０＋８＋６)＝１２,内切圆的半径r ＝|E C |＝１２－１０＝２,则内切圆O ᶄ方程为(x －２)２＋(y －２)２＝４．设圆O ᶄ上动点P 的坐标为(x ,y ),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(x －８)２＋y ２＋x ２＋(y －６)２＋x ２＋y ２＝３[(x －２)２＋(y －２)２]－４x ＋７６＝８８－４x ．由点P 在圆上,可知,０ɤx ɤ４,于是S 的最大值为８８,最小值为８８－４ˑ４＝７２．解法２:同解法１,得әA B C 是直角三角形,其内切圆半径r ＝２．设圆上动点P 的坐标为(２＋２c o s α,２＋２s i n α)(０ɤαɤ２π),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(２c o s α－６)２＋(２＋２s i n α)２＋(２＋２c o s α)２＋(２s i n α－４)２＋(２＋２c o s α)２＋(２＋２s i n α)２＝８０－８c o s α．因为０ɤαɤ２π,所以S 的最大值为＝８０＋８＝８８,最小值为＝８０－８＝７２．思路与方法:本题可转化为点到直线的距离型最值问题．解法１是由三角形的边㊁角关系推证出әA B C 为直角三角形,然后建立平角直角坐标系,通过设三角形内切圆,求三角形三边的长度获解;解法２在已知әA B C 为直角三角形的基础上,通过设动点坐标,利用三角函数求出最值．０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例６㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求x ２＋y ２的最大值和最小值．图５解:x ２＋y ２－４x ＋１＝０可化为(x －２)２＋y ２＝３,它表示以C (２,０)为圆心,３为半径的圆．如图５所示,x ２＋y ２表示圆上的一点与坐标原点距离的平方．由平面几何知识可知,在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心C 到原点的距离为２,所以x ２＋y ２的最大值是(２＋３)２＝７＋４３,x ２＋y ２的最小值是(２－３)２＝７－４３．思路与方法:本题中的x ２＋y ２可看作是圆上的点与原点距离的平方,所以可以借助平面几何知识,利用数形结合法快速求解．４化为三角函数法例７㊀已知圆C :(x －３)２＋(y －４)２＝１和两点A (－m ,０),B (m ,０)(m ＞０)．若圆C 上存在点P ,使得øA P B ＝９０ʎ,则m 的最大值为(㊀㊀)．A．７㊀㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀㊀C ．５㊀㊀㊀㊀D．４解:设点P (x ０,y ０),则x ０＝３＋c o s θ,y ０＝４＋s i n θ{(θ为参数)．由øA P B ＝９０ʎ,得A P ң B P ң＝０,即(x ０＋m )(x ０－m )＋y ２０＝０,则m ２＝x ２０＋y ２０＝２６＋６c o s θ＋８s i n θ＝２６＋１０s i n (θ＋φ)ɤ３６(其中t a n φ＝３４)．所以０＜m ɤ６,即m 的最大值为６．故选答案:B ．思路与方法:本题是通过建立目标函数来求最值．由于øA P B ＝９０ʎ,则点P 也在以A B 为直径的圆上,因此问题还可转化为两圆有公共点,求m 的最大值,即两圆内切时,m 有最大值６．例８㊀半圆O 的直径为２,A 为直径延长线上一点,O A ＝２,B 为半圆上任意一点,以A B 为一边作等边三角形A B C ．问点B 在什么位置时,四边形O A C B的面积最大,并求这个最大值．图６解:如图６,设øA O B ＝α(０＜α＜π),在әA O B 中,又O B ＝１,O A ＝２,由余弦定理,得A B ２＝O A ２＋O B ２－２O A O B c o s α＝５－４c o s α．设四边形O A C B 的面积为S ,则㊀㊀㊀S ＝１２O A O B s i n α＋３４A B ２＝s i n α＋３４(５－４c o s α)＝５３４＋(s i n α－３c o s α)＝５３４＋２s i n (α－π３),当且仅当s i n (α－π３)＝１,即α＝５π６时,四边形O A C B的面积最大,且最大值为５３４＋２．思路与方法:本题通过运用余弦定理,将与圆有关的四边形面积的最值问题,转化为三角函数问题来求解．从解题过程不难看出,对y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ,b ʂ０)引入辅角θ,则y ＝a ２＋b ２s i n (x ＋θ)(其中t a n θ＝ba),其最值一目了然．根据以上典例及 四化法 的运用情况,可以把与圆有关的最值问题大致归纳总结为以下几种类型:①定点与圆上的点的距离的最值题型,可将其转化为定点到圆心的距离ʃ半径 ;②定直线与圆上点的距离的最值题型,可将其转化为 圆心到直线的距离ʃ半径 ;③形如t ＝y －bx －a 的最值题型,可将其转化为动直线的斜率问题(切线处取得最值);④形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值题型,可将其转化为动直线的截距问题(切线处取得最值);⑤形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可将其转化为定点到圆上动点的最值问题．圆是一种很规则的图形,解答与圆有关的最值问题很适合采用数形结合法．运用 四化法 解题的关键,是在准确理解题意的基础上进行合理联想和类比,将代数式通过转化㊁变形㊁给予几何解释[２]．上述典型例题的解析可以帮助学生学会从 形 中觅 数 的思路与方法,掌握如何根据图形去寻求数量关系的技巧,能够娴熟地将几何问题代数化,通过不断加强这类题型的解题训练,最终达到触类旁通㊁举一反三㊁开阔思路㊁运用自如㊁综合提高的目的．参考文献:[１]杜超．例谈与圆有关的最值问题[J ]．理科考试研究,２０２１(９):１６Ｇ１８．[２]程会海．与圆有关的最值问题的解题策略例说[J ]．中学数学,２０２２(５):６４Ｇ６５．Z １８Copyright ©博看网. 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3.最值问题之辅助圆(轨迹)
几何最值问题之辅助圆（轨迹）最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P 就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的 确定共圆的方法有几种，①到定点的距离等于定长②共斜边的直角三角形，定角对定弦③对角互补的四边形 ④同侧内角相等的八字形1.如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．Alll一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．2.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．A'NMABCDA'NMABCDDCBA MN A'H A'N MA BCD3.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．ABCEFPABCEFPB4.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．5.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．Q ABC DEFPD'PFE DCBAQ二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．6.已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．【分析】由于E 、F 是动点，故P 点也是动点，因而存在PD 最小值这样的问题，那P 点轨迹如何确定？考虑BE =CF ，易证AE ⊥BF ，即在运动过程中，∠APB =90°，故P 点轨迹是以AB 为直径的圆．连接OC ，与圆的交点即为P 点，再通过勾股定理即可求出PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．ABEFABCDPF7.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．HGAB CDEFαααHGABCDE F8.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ， ∴∠P AB +∠PBA =90°， ∴∠APB =90°，∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．9.如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =5，AC =4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．PABCCCB当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．BB取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =−==．11.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．GF EDCB A重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．12.如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．AB C DE F GABCDE FP考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．F EDCBAB连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．BB若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．14.如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．EFCBAP60°EF CBAP所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°）当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．15.如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°ABCP【分析】由∠P AB =∠ACP ，可得∠APC =120°，后同上例题．16.在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．4ABC 60°17.如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C 、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧MCN ，其对应圆心角为∠MON ，半径为OM （或ON ）．再考虑E 点轨迹，考虑到CE 、AE 都是角平分线，所以连接BE ，BE 平分∠ABC ，可得：∠AEB =135°．考虑到∠AEB 是定角，其对边AB 是定线段，根据定边对定角，所以E 点轨迹是个圆，考虑到∠ADB =90°，所以D 点即为圆心，DA 为半径．E 点轨迹所对的圆心角为∠MDN ，是∠MON 的一半，所以C 、E 两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．ABAA。
立体几何中的轨迹与最值问题
立体几何中的轨迹与最值问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化。
对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题。
对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性。
立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题。
其一般方法有：1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值。
一、轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC .则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD .设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG 。
由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC .又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE . 另解：本题可用排除法快速求解。
B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC 。
评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。
不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型。
高中数学期末备考：解析几何05圆中的坐标方法含解析
5.圆中的坐标方法1.直线与圆位置关系：判定方法——代数法。
将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交；△＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切；△＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．2.弦长的一般形式设A(11,y x ),B(22,y x )弦长221221)()(y y x x AB =2122124)(1x x x x k =2122124)(11y y y y k二．典例分析例1．已知直线l 过定点 0,2，且与圆22:20C x x y 交于M 、N 两点．（1）求直线l 的斜率的取值范围．（2）若O 为坐标原点，直线OM 、ON 的斜率分别为1k 、2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解析：（2）设 11,M x y ， 22,N x y ，设直线l 的方程为2y kx ，将该直线的方程与圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可计算得出12k k 的值.（1）圆C 的标准方程为 2211x y ，圆心为 1,0C ，半径为1.若直线l 的斜率不存在，此时直线l 与圆C 相切，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx ，1，解得34k .因此，直线l 的斜率的取值范围是3,4 .（2）设 11,M x y ， 22,N x y ，设直线l 的方程为2y kx .联立22220y kx x x y，得 2214240k x k x ，其中34k ，所以122241k x x k ，12241x x k ， 1221121212122112121212122222kx x kx x kx x x x y y y x y x k k x x x x x x x x2224212212141kk k k k k ，所以12k k 为定值1.例2.已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线n 交圆C 于的M ，N 两点（点M ，N 异于A 点），若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标．解：（1）设圆的标准为222(3)x y r ，把(0,4)A 代入得=5r ，故圆的标准方程为22(3)25x y ．（2）证明：当直线n 斜率不存在时，设(,)M a b ， ,N a b ，∵直线AM ，AN 的斜率之积为2，(0,4)A ，442,0b b a a a ，即22162,0b a a ，∵点(,)M a b 在圆上， 22325a b ，联立2222162325b a a b ，04a b，舍去，当直线n 斜率存在时，设直线n ：y kx t ，1(M x ，1)kx t ，2(N x ，2)kx t ，22121212124422440AM AN kx t kx t k k k x x k t x x t x x ①联立方程22222126160325y kx t k x kt x t x y ，122261kt x x k ，2122161t x x k ，代入①，得 2222216426410k t kt k kt t k ，化简得26t k或4t ，若4t ，则直线n 过 0,4，与题设矛盾，舍. 直线n 的方程为：26t y x t ，所以(+1)20,+1=066x x t x y 且20x y 所以6,12x y .所以过定点(6,12) ．练习题已知圆C 过点 1,2,2,1A B ，且圆心C 在直线y x 上．P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于,M N 两点．（1）求圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为 0,3 ，求证：无论l 的位置如何变化PM PN 恒为定值；（3）对于（2）中的定值，使PM PN 恒为该定值的点P 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P 的集合（不必证明）．解析：（1）B 两点的中点为33,22 ，斜率为12121AB k ， AB 垂直平分线的斜率为1，垂直平分线的方程为：y =x ，联立方程y x y x，解得x =0，y =0， 圆心为（0,0），半径为r ，圆C 的方程为：225x y ；（2）如图：若MN 斜率不存在，则3PN ，3PM ，4PM PN ；若MN 斜率存在，设为k ，则MN 直线方程为y =kx -3，联立方程：2253x y y kx，解得： 221640k x kx ，设 1122,,,M x y N x y ，则12122264,11k x x x x k k，PM PN ， 21214PM PN k x x ，即不论MN 斜率是否存在4PM PN ，为定值4；（3）不妨设P （a ,b ），当MN 斜率不存在时，联立方程：225x y x a ，解得：y ，225PM PN b b a b ；若MN 斜率存在，设为k ，则直线MN 的方程为 y kx b ak ，联立方程： 225x y y kx b ak ，解得：2221250k x k b ak x b ak ， 212122225,11k b ak b ak x x x x k k ，2212121PM PN k x x a x x a 225a b ，即不论P 点在何处，MN 的斜率是否存在，225PM PN a b ，为定值；综上，圆C 的方程为225x y ，4PM PN ，P 点不唯一，其集合为 ,,P a b a b R .。
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平面解析几何
第4课时 圆的最值与轨迹问题
第八章
平面解析几何
2 2 例题1.实数x,y满足x +y -4x+1=0.
(1) 求y-x的最值．
(2) 求y/x的最值．
(3)求x2+y2的最值．
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第八章
平面解析几何
y －b (1) 形如 u＝ 型的最值问题， x－a 可转化为过点(a， b)和点(x， y)的直线的斜率． (2) 形如 t＝ax＋by 型的最值问题， 可转化为动直线的截距． (3) 形如(x－a) ＋(y－b) 型的最值问题， 可转化为动点到定点的距离平方．
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第八章
平面解析几何
解析：圆 x2＋ y2＋ 2x－4y＋ 1＝ 0 的圆心为(－1， 2)，半径 r ＝ 2. 因为直线被截得的弦长为 4，则圆心在直线 2ax－ by＋ 2＝ 0 上，所以－ 2a－2b＋ 2＝ 0，即 a＋ b＝ 1. a＋b 2 1 1 所以 ab≤ ( ) ＝ ，当且仅当 a＝ b＝ 时取等号． 2 4 2 1 故 (ab)max＝ . 4
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2
2
第八章
平面解析几何
例题2.已知点A(2,0)在圆x2＋y2＝4上， B(1,1)在圆内，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PQ 经过点B，求线段PQ中点 的轨迹方程． (3)若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点 的轨迹方程．
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第八章
平面解析几何
求与圆有关的轨迹常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的 关系式等．
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第八章
平面解析几何
弦长问题
(2013· 高考安徽卷)直线 x＋2y－5＋ 5＝ 0 被圆 x2＋ y2 － 2x－4y＝0 截得的弦长为( C ) A． 1 B．2 C． 4 D． 4 6
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第八章
平面解析几何
[解析 ]
依题意，圆的圆心为 (1，2)，半径 r＝ 5，圆心到直
|1＋ 4－ 5＋ 5| 线的距离 d＝ ＝ 1，所以结合图形可知弦长的 5 一半为 r2－ d2＝ 2，故弦长为 4.
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第八章
平面解析几何
2．直线 l 经过点 P(5， 5)，其斜率为 k(k∈R)，l 与圆 x2＋y2 ＝ 25 相交，交点分别为 A、 B.若 AB＝ 4 5，则 k 的值为 1 或2 ． ________ 2 解析：直线 l 的方程为 y－5＝k(x－5)， 即 kx－ y＋ 5(1－ k)＝ 0. 设圆 x2＋ y2＝25 的圆心 O(0， 0)到 l 的距离为 d，则 d＝ |5（ 1－ k） | ， 2 k ＋1 2 25 （ 1 － k ） 10 2k 2 2 ∴ AB＝ 2 r － d ＝ 2 25－ ＝ 2 . k2＋1 k ＋1
1 ∵ ＋1
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平面解析几何
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平面解析几何
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第八章
平面解析几何
本考题源于教材人教 A 版必修 2 P132 习题 A 组 T “求直线 l： 5 3x－y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2x－ 4y＝0 截得的弦 AB 的 长．”的变式．
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第八章
平面解析几何
1． (2014· 山东济宁高三质检)若直线 2ax－by＋ 2＝ 0(a>0， b<0) 被圆 x2＋ y2＋2x－ 4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则 ab 的最大 值是( A ) 1 A. 4 C． 2 1 B. 2 D． 4