小船过河问题分析与题解

小船过河问题分析与题

解

Revised as of 23 November 2020

小船过河问题分析与题解

【问题概说】

（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

（2）三种速度:船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。

（3）三种情景：

①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。

②过河路径最短：在v

船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。

在v船

此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。最短航程确定如下:如图所示，以v水矢量末端为圆心，以v船矢量的大小为半径画弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。（下图中v1表船速，v2表水速）

③最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。

【典型题例】

两河岸平行，河宽d=100m ，水流速度v 1=3m/s ，求：（1）船在静水中的速度是4m/s 时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河最短时间是多少船的位移是多大

（2）船在静水中的速度是6m/s 时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河渡河时间多长

（3）船在静水中的速度为1.5m/s 时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河船的最小航程是多少

[思路分析]（1

t min =d/v 2=100/4=25s

合速度v=s m v v /

543222

221=+=+

船的位移大小s=v t min =125m

（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河

岸，设船的开行速度v 2与岸成θ角，则cos θ所以θ=600，合速度v=v 2sin600=3s m /3 t=

s v d 9

3

100= （3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v 时，渡河位移最小，

设船头与河岸夹角为β，如图所示：

cosβ=2

1

35.112==

v v 所以β=600

最小位移s min =

m d 20060

cos 100

cos 0

==β [答案](1) 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：t min =25s ，s =125m ； (2) 船头向上游转过一定角度, 与岸成600角航程最短，t=

s 9

3

100； (3) 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短，s min =m 200。

船渡河中极值问题，是运动合成与分解中典型问题，也是难点所在，准确理解并熟练掌握上述几条规律是解决此类问题的突破口。请试着完成以下几例类似题。

【练习反馈】

1、某河水流速度为5m/s ，一小船对静水的速度大小是4m/s ，要渡过此河，船头垂直河岸行驶，已知河宽为120m ，试分析计算： ①小船能否渡河直达正对岸 ②船需多少时间才能到达对岸

③此船登上对岸的地点离出发点的距离是多少

④若船行至正中间时，河水流速增大到8m/s ，则船渡河需要多少时间登岸地点如何变化

⑤此船过河的最短位移是多大

2、北风速度4m/s，大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大什么方向

3、有一船正在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水

域，若水流速度5m/s

对于静水的最小速度应是多大

4、玻璃生产线上，宽9 m 的成型玻璃板以2 m/s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为10 m/s ，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制切割一次的时间多长

【参考答案】

1、①不能；②30s ；③192m ；④30s ，在正对岸下游195m 处，登岸地点顺流下移；⑤150m 。

解析：④由运动的独立性可知，水流速度增大对于过河时间没有影响，只是沿河方向位移增大。

⑤如图，以v 水的矢尖为圆心、v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大。根据cos θ＝v 船/v 水，船头与河岸的夹角应为θ＝arccos v 船

/v 水，船漂下最短距离：x min ＝(v 水－v 船cos θ)t =L/cos θ。 此时渡河的最短位移：

s ＝ cos L

＝ 船水

v

Lv =120×5/4=150m

2、本题研究对象有北风、水流、乘客、烟；“烟柱是竖直的“说明人感觉不到风，那么轮船应该与风同速航行。轮船的实际航向正南，大小为4m/s ，由于河水流动，轮船应该有一个分速度：大小与v 水相等，方向与v 水相反，这样轮船才会朝正南方向行驶，如图所示: tan θ=

4

3

=

风

水v v 则θ=370， 即船头应该与上游河岸成530角航行。

且v 船=s m v v /5342222=+=+风水

答案：5m/s ，船头方向与上游河岸成530角航行。

3、设船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合速度方向如图所示，设合速度方向与河岸的夹角为α，则tan α=

4

3

4030=，α=370。船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知：当船对于静水的速度v 1垂直于合速度方

向时，v 1最小，v 1的最小值为v 1min =v 2sin α=3m/s ，这时v 1方向与河岸的夹角β=900-370=530，即从现在开始，船头指向与上游成530角，以相对于静水3m/s 的速度航行，在到达雷区前恰好靠岸。 答案：3m/s

4、解1：根据题意，金刚钻相对玻璃板的速度v 垂应垂直于玻璃板的运动速度v

板

，金刚钻的运动可分为随玻璃板的运动v 板和垂直于玻璃板的运动v 垂，如图所

示，由图可知：

cos θ==，则θ=，

v 船 θ

v 水

v 风

α

β

v 1

v

v 2