与圆有关的阴影面积的计算

辅导材料：与圆有关的阴影面积的计算 准备阶段：

1. 圆的面积公式：S r

2.其中r 为圆的半径.

1

2. 半圆的面积公式：S 半圆-r 2. 2

2

3. 扇形的面积公式：S 扇形n

其中r 为扇形的半径,n 为扇形的半径. 360

1

4•扇形的面积公式（另）：S 扇形尹.其中r

为扇形的半径,> 为扇形的弧长. n r 180 n r 1 r — Ir . 180 2

5. 关于旋转：

（1） 复习旋转的性质•

（2） 会画出一个图形旋转后的图形.

（3） 旋转的作用：通过旋转，有时候我们可以把分散的几何条件集中起来，使题目 呈现出整体上的特点.

该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算•

6. 重点介绍：转化思想

在解决数学问题时，把复杂问题简单化，把一般问题特殊化，把抽象问题具体 化等的思想方法，叫做转化思想.

7•怎样求与圆有关的阴影的面积？

（1） 利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式•

2 r

,1 360

2 . n r 1 --S 扇形 360 2

（2）利用整体与部分之间的关系.

（3）采用整体思想求不规则图形的面积，一般将其转化为规则图形的和差来解决，具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化

实战阶段：

★ 1.（ 2015河南）如图（1）所示，在扇 形AOB 中，/ AOB=90，点C 为OA 的 中点,CE 丄OA 交弧AB 于点E.以点O 为圆心,OC 的长为半径作弧CD 交OB 于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为

解析：图（1）中阴影所在图形为不规 则图形,可以利用整体与部分之间的关 系的方法求解，即采用整体和差的方 法. 解:连结OE.

••• OA=OB=OE

v CE 丄 OA

•••△ COE 为直角三角形

v 点C 为OA 的中点

1 1 d

二 OC -OA -OE 1

2 2 •••在 Rt △ COE 中，/ CEO=30 •••/ EOC=60 vZ AOB=90 • / BOE=30 在Rt △ COE 中,由勾股定理得： CE ,OE 2 OC 2 . 22 12 3

S 阴影 S COE S 扇 形OBE S 扇形OCD 1 1 30 22 2 90 12 2 360 360 3 2 12 ★ 2. （2015.贵州遵义）如图（2）所示, 在圆心角为90°的扇形OAB 中半径 OA=2 cm,C 为弧AB 的中点，D 、E 分 别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分 的面积是 __________ .

解：连结0C,并作CM丄OA于点M. •••点C为弧AB的中点,/ AOB=90

1

•••/ AOC= / BOC=丄/ AOB=45

2

••• △ COM为等腰直角三角形••• OM=CM

■/ OC=2cm

二CM=OC sin 45 2 2 2 cm

2

v D、E分别是OA、OB的中点••• OD=OE=1 cm

••• DM=OM —OD=（.2 1）cm

(1)三角形全等的判定定理有哪些？

(2)全等三角形具有怎样的性质？

对于第二个问题，全等三角形的面积相等，我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.

B

图(3)

★ 3.（2015.开封二模）如图（3）所示，在

△ ABC 中,CA=CB, / ACB=90 ,AB=2. 点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ___ V/ ACB=90

•/ CDE + / 仁90°

v CA=CB,点D为AB的中点

•CD丄AB （等腰三角形三线合一”•/ CDE + / 2=90°

解析：本题问题的解决要用到三角形全等的知识，请复习：

1 • / DCN= — ACB=45

2

S阴影S扇形OBC S COM S CDM S DOE

2 、2解:连结CD.设DE与AC交于点M,DF 与BC交于点N.

1

2

1

2

扣m2.

注意：若题目对结果无特殊要求，则

结

B E

果保留，不取具体值.

•••/ DAM= / DCN

vZ ACB=90

1

二CD AB AD 1 2

••• DE=CD=1

在厶ADM和厶CDN中

DAM DCN

v AD CD

2 1

•••△ ADM ◎△ CDN(ASA) ADM =S△CDN

S 四边形DMCN =S^CDM +S A DCN

S^ ACD =S^ CDM +S^ ADM

.S 四边形DMCN = S A ACD

…S阴影S扇形DEF S四边形DMCN

S扇形DEF S ACD

90 12—

360 2

_ 1

4 2

B

E

在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要

大多数扇形的圆心角题目会直接第^ 5题.★ 4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示, 在扇形OAB 中，Z AOB=90 ,半径

OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在弧AB上点D处，折

痕交OA于点C,则图中阴影部分的面积为_____________ .

图（4）

解析•本题,S阴影S扇形OAB 2S BOC , 题目所给条件不难求出扇形OAB的

面积但△ BOC的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折，得OB=BD,从而OB=OD=BD,即厶BOD 为等边三角形•至此，问题便很容易解决•

解：连结OD.

•••OB=OD

•••△BOC BDC (由翻折可得)•••OB=BD, Z OBC = Z

DBC

给出，但有时却需要我们自己求解.见