与圆有关的阴影面积的计算

辅导材料：与圆有关的阴影面积的计算 准备阶段：1. 圆的面积公式：S r2.其中r 为圆的半径.12. 半圆的面积公式：S 半圆-r 2. 223. 扇形的面积公式：S 扇形n其中r 为扇形的半径,n 为扇形的半径. 36014•扇形的面积公式（另）：S 扇形尹.其中r为扇形的半径,> 为扇形的弧长. n r 180 n r 1 r — Ir . 180 25. 关于旋转：（1） 复习旋转的性质•（2） 会画出一个图形旋转后的图形.（3） 旋转的作用：通过旋转，有时候我们可以把分散的几何条件集中起来，使题目 呈现出整体上的特点.该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算•6. 重点介绍：转化思想在解决数学问题时，把复杂问题简单化，把一般问题特殊化，把抽象问题具体 化等的思想方法，叫做转化思想.7•怎样求与圆有关的阴影的面积？（1） 利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式•2 r,1 3602 . n r 1 --S 扇形 360 2（2）利用整体与部分之间的关系.（3）采用整体思想求不规则图形的面积，一般将其转化为规则图形的和差来解决，具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化实战阶段：★ 1.（ 2015河南）如图（1）所示，在扇 形AOB 中，/ AOB=90，点C 为OA 的 中点,CE 丄OA 交弧AB 于点E.以点O 为圆心,OC 的长为半径作弧CD 交OB 于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为解析：图（1）中阴影所在图形为不规 则图形,可以利用整体与部分之间的关 系的方法求解，即采用整体和差的方 法. 解:连结OE.••• OA=OB=OEv CE 丄 OA•••△ COE 为直角三角形v 点C 为OA 的中点1 1 d二 OC -OA -OE 12 2 •••在 Rt △ COE 中，/ CEO=30 •••/ EOC=60 vZ AOB=90 • / BOE=30 在Rt △ COE 中,由勾股定理得： CE ,OE 2 OC 2 . 22 12 3S 阴影 S COE S 扇 形OBE S 扇形OCD 1 1 30 22 2 90 12 2 360 360 3 2 12 ★ 2. （2015.贵州遵义）如图（2）所示, 在圆心角为90°的扇形OAB 中半径 OA=2 cm,C 为弧AB 的中点，D 、E 分 别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分 的面积是 __________ .解：连结0C,并作CM丄OA于点M. •••点C为弧AB的中点,/ AOB=901•••/ AOC= / BOC=丄/ AOB=452••• △ COM为等腰直角三角形••• OM=CM■/ OC=2cm二CM=OC sin 45 2 2 2 cm2v D、E分别是OA、OB的中点••• OD=OE=1 cm••• DM=OM —OD=（.2 1）cm(1)三角形全等的判定定理有哪些？(2)全等三角形具有怎样的性质？对于第二个问题，全等三角形的面积相等，我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.B图(3)★ 3.（2015.开封二模）如图（3）所示，在△ ABC 中,CA=CB, / ACB=90 ,AB=2. 点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ___ V/ ACB=90•/ CDE + / 仁90°v CA=CB,点D为AB的中点•CD丄AB （等腰三角形三线合一”•/ CDE + / 2=90°解析：本题问题的解决要用到三角形全等的知识，请复习：1 • / DCN= — ACB=452S阴影S扇形OBC S COM S CDM S DOE2 、2解:连结CD.设DE与AC交于点M,DF 与BC交于点N.1212扣m2.注意：若题目对结果无特殊要求，则结B E果保留，不取具体值.•••/ DAM= / DCNvZ ACB=901二CD AB AD 1 2••• DE=CD=1在厶ADM和厶CDN中DAM DCNv AD CD2 1•••△ ADM ◎△ CDN(ASA) ADM =S△CDNS 四边形DMCN =S^CDM +S A DCNS^ ACD =S^ CDM +S^ ADM.S 四边形DMCN = S A ACD…S阴影S扇形DEF S四边形DMCNS扇形DEF S ACD90 12—360 2_ 14 2BE在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要大多数扇形的圆心角题目会直接第^ 5题.★ 4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示, 在扇形OAB 中，Z AOB=90 ,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C,则图中阴影部分的面积为_____________ .图（4）解析•本题,S阴影S扇形OAB 2S BOC , 题目所给条件不难求出扇形OAB的面积但△ BOC的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折，得OB=BD,从而OB=OD=BD,即厶BOD 为等边三角形•至此，问题便很容易解决•解：连结OD.•••OB=OD•••△BOC BDC (由翻折可得)•••OB=BD, Z OBC = ZDBC给出，但有时却需要我们自己求解.见••• OB=OD=BD•••△ BOD 为等边三角形•••/ OBD=60•••/ OBC=Z DBC=30在 Rt △ BOC 中OBC=30 OC …tan OBC tan 30OB .OC 仝…6 3 •••OC=2 . 3 二S 阴影 S 扇形OAB 2S BOC9062 2 6 2 3 3602 9 12.3 ★ 5. （ 2015焦作一模）如图（5）所示, 在矩形 ABCD 中,AB= . 3 ,AD=1,把该 矩形绕点A 顺时针旋转 得到矩形 AB' C （点C 落在AB 的延长线上，则 图中阴影部分的面积是 _________________________ .解：在Rt △ ABC 中,由勾股定理得： AC . AB 2 BC 2 . （■ 3）2 12 2••• AC=2BC •••/ BAC=30 由旋转的性质得： =Z BAB ' =30° …S 阴影 S AB'C' S 扇形ABB ' S ABC S 扇形ABB ' ..3 1 30（ .. 3）2 2 360、、32 4★ 6. （2014河南）如图，在菱形ABCD 中,AB=1, Z DAB=60 .把菱形 ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB' C D', 其中点C 的运动路径为弧CC'，则图中阴影部分的面积为解：由题意可知:A 、D'、C 三点共线,A 、B 、C 三点共线,如图所示,设BC 与C D 相交于点E.设D'E=x,贝U BE= x,CD' = 2x （为什么?）••• CE=1 x在Rt△ D'CE中,由勾股定理得：D' E2 CE2 D'C22 x（1x）2（2x）2解之得:X1.3131（舍2?x2去）• D'E 313.3—,CE= —22S D'CE 1 1 3、.3 2.33 22 2 4由菱形的性质并结合勾股定理不难求得:AC= ,3 扇形的面积之间的关系为：S阴影S扇形OBD S扇形OAC A O图（7）解：在Rt △ AOB 中AOB=30•OB=2AB=2由勾股定理得：OA OB2 AB2. 22 12.. 3•S阴影S扇形OBD S扇形OAC90 2290 （、3）2360 36030 （J3）222后3360 44 2★ 7. （2015新乡一模）如图（7）所示, 在Rt △ AOB 中，/ AOB=30，/A=90° ,AB=1,将Rt △ AOB绕点O顺时针旋转90°得到Rt △ COD,则在旋转过程中线段AB扫过的面积为___________ .解析：本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的，阴影部分的面积与两个4★ 8. （2014.许昌一模）如图（8）所示, 在平面直角坐标系中，已知。

D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点的坐标为（0,2. 3）,OC与。

D相交于点C, / OCA=30 ,则图中阴影部分的面积为_____________ .解析：本题将圆的知识点与平面直角坐标系相结合，使得问题的解决更加灵活.实际上，平面直角坐标系是研究几• S阴影S扇形ACC ' 2S D'CE2 .,图（8）AOB=90••• AB 是。

D 的直径vZ OCA=30•••/ OBA=30v B （0,2、.3） ••• 0B=2 3设 0A= x ，则 AB= 2x在Rt △ AOB 中,由勾股定理得：OA 2 OB 2 AB 2x 2 （2、3）2 （2x ）2解之得:x i 2,x 2 2 （舍去）22 2 2、3 在求扇形的面积时确定扇形的半 径很重要 ★ 9•如图（9）所示,在扇形OAB 中， Z AOB=60，扇形半径为4,点C 在弧 AB 上,CD 丄OA,垂足为点。

,当厶OCD 的面积最大时，图中阴影部分的面积为 O D A 图（9） 解析：本题涉及到三角形面积最大的 问题.当直角厶COD 满足什么条件时 其面积最大，弄清楚这个问题是解决本 题问题的关键. 解：在Rt △ COD 中，由勾股定理得： OD 2 CD 2 OC 2 16 2 V （OD CD ）2 0 2 2 • OD 2 2OD CD CD 2 0OD 2 CD 2 2解:••• OA=2, AB=4S AOB显然，当OD=CD时，取=号，此时△COD2 .,11解：由题意可知： / ABB =0° / EBO =5°在Rt △ ABD 中,由勾股定理得：BD ，AD 2 AB 2. 22 222-2由正方形的性质得:OB= 2 二 S BO'B'12、212是等腰直角三角形，其面积最大，最大1值为 S COD - OD CD 4 2COD=4°--S 阴影 S 扇 形OAC S COD45 424360 2 4★ 10. （ 2015.郑州外国语中学）如图 （10）所示，在正方形ABCD 中,对角线 AC 、BD 相交于点 O, △ AOB 绕点B 逆时针旋转60°得到△ BO B',AB 与弧 OO 相交于点E,若AD=2,则图中阴影 部分的面积是 __________ . 二S 阴 影S 扇形BAB '6022 S 扇形BEO' S BO'B'15(•2)2 1236036012 ▲ 11（2013湖北潜江模拟）如图（11）,在 Rt △ AB C 中，/ C=90，/ A=30° ,AC=6 cm, CD 丄AB 于D,以C 为圆 心,CD 为半径画弧，交BC 于E,则图中阴影部分的面积为 【 】 (A) 3, 3 cm 224(B)\33cm 22 8(C )333 4 cm 2(D) 333 cm 28图（11）▲ 12.（2013.洛阳模拟）如图所示，AB是O O的切线,OA=1, Z AOB=60，则图中阴影部分的面积是【】(A)3 1(B).31633 131(C) 2 6(D)23▲ 13.（2015新乡二模）如图所示，在菱形ABCD 中,Z B=60° ,AB=2,扇形AEF 的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是________ .▲ 14. （2013郑州二模）如图所示，直径AB为6的半圆，将其绕A点旋转60°,此时点B到了点B'处,则图中阴影部分▲ 15.（2013.许昌一模）如图所示，在正方形ABCD中,AB=4,O为对角线BD的中点,分别以OB、OD为直径作O01、O 02,则图中阴影部分的面积为▲ 16. （2015自贡）如图,AB 是O O的直径,CD 丄AB, Z CDB=30 ,CD= 23 , 则阴影部分的面积为_______ .▲ 17.（2015.省实验中学）如图所示，在平行四边形ABCD中,AD=2, AB=4,Z A=30°，以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB 于点E,连结CE,则阴影 部分的面积是 _______ .（结果保留 ） ▲ 18.如图，在△ ABC 中,AB=BC=2,若/ ABC=90，则图中阴影部分的面积是▲ 19.如图所示,△ ABC 中,0A=0B=4, / A=30° ,AB 与。