第一章 试验数据的误差分析
弗兰克赫兹实验的误差分析和实验总结
弗兰克赫兹实验的误差分析和实验总结弗兰克赫兹实验是一项重要的物理实验，它也被称为电子衰减实验，是由瑞士物理学家弗兰克赫兹发现的，并于1899年发表在《英国科学杂志》上。
它的目的是测量电子在不同材料中的衰减率。
在弗兰克赫兹实验中，电子被储存在一个微型试验筒中，然后从试验筒中用一定电压释放出来。
电子然后穿过一系列被称为屏蔽器的容器，同时被重力、磁场和外界影响所抗拒。
从每个屏蔽器中出来的电子数量用电子管来测量，并最终用来比较实验中得到的衰减值。
弗兰克赫兹实验的误差分析和实验总结非常重要。
为了得到实验的准确结果，必须将实验过程中的各种误差进行分析。
误差也可以分为系统性误差和随机误差。
系统性误差指的是把不同因素意识到的误差，如设备本身的误差，实验条件的变化，实验者的误差。
而随机误差指的是实验中不可预测的误差，如实验者的意外犯错，实验材料质量和环境条件等。
实验室为了准确分析实验中的误差，首先要确定实验者的偏移，即由实验者拿出的结果与实验数据的偏差。
这些问题一般可以通过计算技术、误差分析和估计的方法来解决，有时还需要用概率分布等技术来分析误差。
弗兰克赫兹实验的实验总结是对实验结果及其各种误差分析结果进行综合分析的过程。
它需要实验者把实验数据中各个方面的数值进行统计，并与实验预期结果进行比较。
记录实验结果，然后分析实验数据，查看实验数据中可能出现的各种误差，以及实验中可能存在的其他可能的异常结果。
分析实验的误差和进行实验总结对于弗兰克赫兹实验来说是十分重要的。
这可以帮助实验者评价和控制实验中可能出现的各种误差，以及提高实验精度，从而得出准确的实验结果。
误差分析和实验总结的重要性不可忽视，它是确认实验结果的关键步骤，也是实验质量的决定因素。
综上所述，弗兰克赫兹实验的误差分析和实验总结是实验成功与否的关键因素。
实验者需要对实验过程中的各种误差进行分析，确认误差来源，并最终得出准确的实验结果。
细集料筛分实验误差分析和对策
细集料筛分实验误差分析和对策
1、误差分析：影响细集料筛分的因素有很多，对试验数据影响
较大的因素首先是取样位置对单粒级级配的影响，其次是试验操作对单粒级级配的影响，最后是计算过程中对试验数据的分析影响。
2、对策：
（1）首先分析从料堆上取样。
料堆上取样要求取样要均匀分布，在实际取样的过程中，细集料料堆的形状有几种分布状态。
在实际施工过程中，取样检测一定要按照装载机即将上料范围内检测，保证上料的级配与设计的级配基本一致，如果有差异及时查找原因，及时调整。
在皮带运输机上取样采用整段截取的方式取样，然后再四分取样进行试验。
汽车上取样要从材料表皮下挖30公分以后再上中下分别取样。
其它位置的取样都是采取与汽车检测方式一致。
（2）使用电子天平的过程中要随时校对电子天平的零点。
在进行细集料筛分试验的过程中，注意检查设备的稳定性、保持试验操作中的一致性，是保持实验数据数据复现性偏差小的关键。
（3）首先要注意数据的规范性。
按照规范要求的进行取值、读数。
如规范中要求准确烘干试样约500克，准确至0.5克。
试样质量只能填写499.5g、500.0g、500.5g，其余的填写方式都是错误数据;其次检查所有各筛的分计筛余量要与盘中剩余量的总质量与筛分前后试样总量相比其相差不得超过1%。
此条是检验操作是否正确，如果超出此条的要求，试验要求重新进行。
最
后在计算细集料细度模数的过程中。
要注意检查过程中。
如果是两次试验所得细度模一般都是计算程序进行计算，计算完毕，要将分级筛余的每个数据的小数快速累加，检查结果小数是否为0，如果为0，计算过程正确，否则要重新计算。
《试验设计与数据处理》第1章试验数据的误差分析
d p xp x (, n) s
则应将xp从该组试验值
中剔除。
7 10.52 0.066 10.52 0.119
8 10.82 0.366
x 10.45
x 10.40
s= 0.165
s= 0.078
从附录2查取。
(, n)
(1) s (0.05,8) 2.03 0.16 0.320.366 (2) (0.05,7) s 1.94 0.078 0.15220.119
※ 适用场合: 测定次数n >20
※测定次数n <10时，应采用其它准则。如：
格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等 21
(2) 格拉布斯(Grubbs)准则
序
第一次检验
第二次检验
※ 方法：
号 xi xi x xi xi x
1）计算包括可疑值在内
1 10.29 0.164 10.29 0.111
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性1）3 。
用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随 机误差合成的大小程度。
16
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
第1章_试验数据的误差分析
1 试验数据的误差分析
1.5 试验数据误差的统计假设检验 1.5.1 随机误差的检验 1.5.1.1 2 检验（ 2-test，卡方检验）
（1）目的： 在试验数据的总体方差2已知的情况下，对试验数据的
随机误差或精密度进行检验。
（2）检验步骤：
①计算统计量 2
若试验数据 x1, x2 , , xn 服从正态分布，则 服从自由度为 df n 1 的 2 分布
2
(n
1)s2
2
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1 试验数据的误差分析
②查临界值 2 (df ) ——显著性水平。一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率
③检验
◈双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ： 若
n
n
等精度试验值；
试验值服从正态分布。
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1 试验数据的误差分析
1.1.2 平均值(mean)
（2）加权平均值(weighted mean)：
n
xw
w1x1 w2 x2 wn xn w1 w2 wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
加权和 wi——权重
适合不同精度的试验值或可靠性不一致时的场合。
①真值未知，常将Δx与试验值
或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
x ER x
②可以估计出相对误差 的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
③相对误差常常表示为 百分数（%）或千分数 （‰）。
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1 试验数据的误差分析
例1-3 已知某样品质量的称量结果为：(58.7±0.2g），试 求其相对误差。
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理数据误差分析是首要的步骤，它通常包括以下几个方面：1.随机误差：随机误差是指在重复实验的过程中，由于个体差异等原因引起的测量结果的离散性。
随机误差是不可避免的，并且符合一定的统计规律。
通过进行多次重复测量，并计算平均值和标准差等统计指标，可以评估随机误差的大小。
2.系统误差：系统误差是由于仪器、测量方法或实验条件所引起的，使得测量结果与真实值的偏离。
系统误差可能是由于仪器刻度的不准确、环境温度的变化等原因导致的。
通过合理校准仪器、控制环境条件等方式可以减小系统误差。
在数据误差分析的基础上，进行数据处理是必不可少的步骤。
数据处理的目的是通过对实验结果的合理处理，得到更为准确的结论。
1.统计处理：统计方法是最常用的数据处理方法之一、通过使用统计学中的概率分布、假设检验、方差分析等方法，可以对实验数据进行科学、客观的分析和处理。
2.回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
通过对实验数据进行回归分析，可以确定变量之间的数学关系，并预测未知数据。
3.误差传递与不确定度评定：在实验中，不同参数之间的误差如何相互影响，以及这些误差如何传递到最终结果中，是一个重要的问题。
通过不确定度评定方法，可以定量评估各个参数的不确定度，并估计最终结果的不确定度。
4.数据可视化和图表展示：通过绘制合适的图表，可以更直观地展示实验数据的分布规律、趋势以及变化情况。
例如，折线图、散点图、柱状图等可以有效地展示数据的分布和相关关系。
综上所述，实验数据误差分析和数据处理是进行科学研究的重要环节。
准确评估和处理数据误差可以提高实验结果的可靠性和准确性，为研究结果的正确性提供基础。
通过合理选择和应用适当的数据处理方法，可以从实验数据中得出有意义的结论，并为进一步研究提供指导。
误差分析—误差的统计检验(试验设计与数据处理课件)
xp -x 10.82－10.45 0.37 0.32
故10.82这个测定值应该被剔除。
（2）检验10.52
剔除10.82之后，重新计算平均值及标准偏差s ，此时10.52偏差最大，故检验之。
x ' 10.40, s ' 0.078
查秩和临界值表： 根据显著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 。
检验： ➢ 如果R1＞T2 或R1 ＜T1，则认为两组数据有显著差异，若一组数据无系统误差，则另一
组数据有系统误差。 ➢ 如果T1＜R1＜T2，则两组数据无显著差异，若一组数据无系统误差，则另一组数据也无
系统误差。
（3）例1-12： 设甲、乙两组测定值为： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8 已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测定值是否有系统误差。（＝0.05）
该检验法适用于试验次数较多或要求不高时 3s为界时，要求n＞10； 2s为界时，要求n＞5
例1-13： 有一组分析测试数据：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，
0.142，0.145，0.148，0.167，问其中偏差较大的0.167这一数据是否应被舍 去? （＝0.01）
① 计算统计量： ❖ 两组数据的方差无显著差异时
t x1 x2 n1n2 s n1 n2
服从自由度 df n1 n2 2 的t分布
s——合并标准差，计算公式为 s (n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
❖ 两组数据的精密度或方差有显著差异时 t x1 x2 s12 s22 n1 n2
第一章 试验数据的误差分析
2
1.1.2 平均值 （1）算术平均值（arithmetic mean） 算术平均值是最常用的一种平均值。
1 n x xi n i1
x x 在同样的试验条件下，如果多次试验值服从正态 分布，则算术平均值是这组等精度试验值中的最佳 值或最可信赖值。
Monday, February 11, 2019
11
1.2.3 算术平均误差
• 设试验值xi与算术平均值之间的偏差（discrepancy） 为di，则算术平均误差（average discrepancy）定义 式为： n n
1 1 xi x d i n i1 n i1
0.22 0.22 0.141 5 1
21
标准误差s
Monday, February 11, 2019
• 无系统误差
精密度 ：A＞B＞C 正确度： A＝B＝C 准确度： A＞B＞C
Monday, February 11, 2019
22
• 有系统误差
精密度 ：A’＞B’＞C’ 正确度： A’＝B’＝C’ 准确度： A’＞B’＞C’
解：w1=1/0.12= 100，w2=1/0.022=2500
8.5 100 8. 53 2500 pH 100 2500 8.53
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6
（3）几何平均值（geometric mean） 若一组测定值，取对数后遵从正态分布，则称其遵 循对数正态分布。 此时，则宜使用几何平均值。 求 1, 10, 100的几何均值=？
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23
正确度与精密度的关系
第2节 试验数据的误差分析
加错 试剂
看错 砝码
过失误差
丢损
过
试液
失
记录 错误
除了上述两类误差外，往往 还可能由于工作上的粗枝大 叶，不遵守操作规程等而造 等等 成过失。 这不是误差，是责任事故，
应杜绝！ 消除方法：提高工作责任心
过失误差的检验
※ 试验数据中:
– 随机误差应要进行估计 – 系统误差要设法消除 – 不能含有过失误差
• 当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时， 宜采用几何平均值。
• 几何平均值≤算术平均值
（5）调和平均值（harmonic mean）
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 + 1 + ... + 1 n 1
1 = x1 x2
xn = i=1 xi
H
n
n
• 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 • 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
= i=1
= i=1
n
n
di —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
◼ 可以反映一组试验数据的误差大小
4、标准误差 (standard error)
• 当试验次数n无穷大时，总体标准差：
n
n
n
(xi − x)2
xi2 − ( xi )2 / n
= i=1
= i=1
i =1
• 样本方差（ s2 ） • 总体方差（σ2 ） • 方差↓，精密度↑
五、误差的表示
绝对误差和相对误差比较
例题：分析天平称量两物体的质量各为1.6380g和0.1637g，假 定两者的真实质量分别为1.6381g和0.1638g，计算其误差（绝 对误差、相对误差）？
《误差分析与处理》第一章 绪论
误差理论与数据处理 第一章 概述 引用误差（fiducial error of a measuring instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引 用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的， 故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
二、测量的分类
测量
非 等 权 测 量 非 电 量 测 量
直 接 测 量
间 接 测 量
静 态 测 量
动 态 测 量
等 权 测 量
电 量 测 量
精 密 测 量
工 程 测 量
1-11
误差理论与数据处理 第一章 概述
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过 量值的变换与计算。
(0.5 10l / m)μm =0.0006m，但用来测量 1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。
前者的相对误差为 r1 / l 0.6 106 / 0.01 0.6 104 后者的相对误差为 r2 / l 10.5106 /1 1.1105 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、 不同物理量等的准确度。
根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类
静态测量
指在测量过程中被测量可以认为 是固定不变的。因此，不需要考虑 时间因素对测量的影响
在日常测量中，大 多接触的是静态测 量。对于这种测量， 被测量和测量误差 可以当作一种随机 变量来处理
动态测量
指被测量在测量期间随时间（或 其他影响量）发生变化
第一章 试验数据的误差分析
第一章试验数据的误差分析（I）教学内容与要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法；（2）理解误差的基本概念及表示方法；（3）理解试验数据误差的来源及分类；（4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度；（5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则；（6）理解有效数字的含义、有效数字的运算；（7）掌握误差的传递的基本原理；（8）了解Excel在误差分析中的应用。
（II）教学重点可疑数据的取舍规则，误差的传递。
（III）教学难点误差的传递。
通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。
因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。
误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。
目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
1.1 实验数据的真值和平均值1.1.1真值真值是指某物理量客观存在的确定值。
对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。
在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值：(1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。
如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。
误差分析—数据的精准度(试验设计与数据处理课件)
①极差（range） R xmax xmin
R↓，精密度↑
②标准偏差（standard deviation，SD）
SE
n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
n
n
n
(xi x)2
xi2 ( xi )2 / n总体标准偏 i1i1i1
n
n
n
n
n
(xi x)2
xi2 ( xi )2 / n
2、 正确度（ Correctness ）
（2）正确度与精密度的关系：
（a）
（b）
（c）
说明：① 精密度高不意味着正确度也高。 ② 精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度
准确度
试验数据的精准度
3、 准确度（ Accuracy ）
精密度 正确度 准确度
（1）含义： ➢ 反映系统误差和随机误差的综合 。 ➢ 表示试验结果与真值的一致程度。
样本标准偏差 s i1
i1
i 1
n 1
n 1
标准差↓，精密度↑
③ 方差（variance）
——标准差的平方： ➢ 样本方差（ s2 ） ➢ 总体方差（σ2 ） ➢ 方差↓，精密度↑
2
μ：总体均值
④ 相对标准偏差（Relative standard deviation，RSD）
又叫变异系数（Coefficient of variation，简称CV）
3、 准确度（ Accuracy ）
（2）精密度、正确度和准确度的关系 ➢ 精密度反映随机误差的大小。 ➢ 正确度反映系统误差的大小。 ➢ 准确度反映系统误差和随机误差的综合 。
（3）三者关系图
无系统误差的试验
误差分析与数据处理
第一章 误差分析与数据处理1-1 误差分析的意义何在？1-2 误差有几种类型？总结系统误差与随机误差的异同点。
1-3 试验数据的准确度和精密度如何表示，它们之间有何关系？ 1-4 什么叫有效数字，有效数字的误差如何计算？ 1-5 数据有几种表示方法，各有何优缺点？ 1-6 可疑观测值的取舍有哪些方法？简述其步骤。
1-7 测得某三角块的三个角度之和为180º00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。
1-8 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50 mm ，已知其最大绝对误差为1 m ，试问该被测件的真实长度为多少?1-9 在测量某一长度时，读数值为2.31 m ，其最大绝对误差为20 m ，试求其最大相对误差。
1-10 使用凯特摆时，g 由公式2212/)(4T h h g +=π给定。
今测出长度(h 1+h 2)为(1.04230±0.00005) m ，振动时间T 为(2.0480±0.0005) s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果(h 1+h 2)测出为(1.04220±0.0005) m ，为了使g 的误差能小于0.001 m/s 2，T 的测量必须精确到多少?1-11 检定2.5级（即引用误差为2.5%）、量程为100 V 的电压表，发现50 V 刻度点的示值误差2 V 为最大误差，问该电压表是否合格?1-12 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用?1-13用两种方法测量L 1=50 mm ，L 2=80 mm ，测量结果为50.004 mm ，80.006 mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
1-14 多级弹导火箭的射程为10000 km 时，其射击偏离预定点不超过0.1 km ，优秀射手能在距离50 m 远处准确地射中直径为2 cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?1-15 测量某物体重量共8次，测得数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。
误差分析—有效数字和试验结果的表示(试验设计与数据处理课件)
拟舍弃数字的最左一位数字≥5，且其后跟有非零数字 ，进1位。
例如：10.503（修约到2位有效数字） ，为 11
拟舍弃数字的最左一位数字＝5，其右无数字或皆为0时，“尾留双”：
➢ 若所保留的末位数字为奇数则进1；
➢ 若所保留的末位数字为偶数则舍弃。
有效数字（Significance figure）
➢ 第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后的数字都
是有效数字。
例如： 29㎜ 和29.00㎜，有效数字位数分别是2位和4位。
➢ 第一位数字等于或大于8，则可以多计一位。
例如：9.99 可认为有4位有效数字
有效数字的运算
（1）加、减运算： 运算结果的位数与其中小数点后位数最少的相同。
例如：3.1415 → 3.142
1.366500 → 1.366
3.1445→3.144
3.1425→3.142
（2）乘、除运算：
运算结果的位数以各乘、除数中有效数字位数最少的为准。
（3）乘方、开方运算：
运算结果的位数与其底数的相同。
例如：2.42=5.8
6.8 = .
（4）对数运算：
与其真数的相同。 例如ln6.84＝1.92；lg0.00004＝－4
பைடு நூலகம்
有效数字的运算
（5）在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位。
（6）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始 数据如有
限制，则应服从原始数据。
（7）一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的。
例如，圆周率π、重力加速度g、、1/3等，可根据需要取有效数字
第1章_试验数据的误差分析
x 0.2 ER 3 10 3 或0.3% x 58.7
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1 试验数据的误差分析
例 1-4 已知由试验测得水在 20 ℃时的密度 ρ =997.9kg/m3, 又 已知其相对误差为0.05%，试求ρ 所在的范围。 解：
x 997.9 0.05% 0.5kg / m3 所以所在的范围： 997.4kg / m 998.4kg / m
②可以估计出相对误差 的大小范围：
ER
x x xt xt
max
相对误差限或相对误差上界
∴
xt x(1 ER )
③相对误差常常表示为 百分数（%）或千分数
（‰）。
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1 试验数据的误差分析
例 1-3 已知某样品质量的称量结果为： (58.7±0.2g ），试 求其相对误差。 解：依题意，称量的绝对误差为0.2g，所以相对误差为
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1 试验数据的误差分析
（3）精密度判断 ①极差（range）：
R xmax xmin
n 2 i n
R↓，精密度↑
②标准差（standard error）
( xi x)
i 1
n
2
n
2 ( x x ) i i 1 n
2 x ( x ) i /n i 1 i 1
（1）含义： ◈反映了随机误差大小的程度； ◈在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50 （2）说明： 可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的； 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的； 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求。
实验结果的系统性误差分析
实验结果的系统性误差分析实验结果的系统性误差是在进行科学实验时，由于某种因素的存在导致实验结果偏离真实值的一种偏差。
这种误差是可以通过仪器设备校准以及数据处理方法来进行分析和修正的。
本文将以实验结果的系统性误差分析为题，介绍常见的误差来源和分析方法。
一、实验结果的系统性误差来源1. 仪器设备误差：仪器设备的偏差会对实验结果产生直接影响。
这些误差可以分为系统误差和随机误差两类。
系统误差是由于仪器设备固有问题引起的，而随机误差则是由于测量条件和实验设备的不稳定性引起的。
2. 操作误差：操作误差是在实验过程中由操作人员的技术水平、经验以及主观判断等因素导致的误差。
常见的操作误差包括读数误差、操作步骤不准确等。
3. 环境因素：环境因素对实验结果也会产生一定的影响。
例如温度、湿度、气压等因素会导致实验条件的变化，从而影响实验结果的准确性。
二、实验结果的系统性误差分析方法1. 标定和校准：仪器设备的标定和校准是排除仪器误差的关键步骤。
通过与已知标准样品进行比对，可以了解仪器的准确性和稳定性，并进行相应的校正。
2. 多次重复实验：多次重复实验是排除随机误差，评估系统误差的有效方法。
通过反复实验可以获得更加准确的实验结果，并可以分析实验结果的稳定性和可靠性。
3. 数据处理和分析：在实验数据处理和分析过程中，可以使用统计方法和数学模型对实验结果进行系统性误差的修正和分析。
例如，可以通过线性回归分析得到实验数据的拟合曲线，并根据拟合曲线对实验数据进行修正。
4. 环境控制：在进行实验时，应尽量控制环境因素的影响，确保实验条件的稳定性。
例如可以采取恒温恒湿控制等措施来减小环境因素的干扰。
5. 有效样本数量的确定：在进行误差分析时，需要确定足够的有效样本数量，以保证分析结果的可靠性和准确性。
根据具体实验情况，可以使用合适的统计方法来确定有效样本数量。
三、实验结果的系统性误差分析案例为了更好地理解实验结果的系统性误差分析，下面以某实验室测量金属材料力学性能为例进行说明。
试验数据的误差分析
在生产过程中，误差分析可以帮助企业识别生产工艺的瓶颈和改进方向，提高生产 效率和产品质量。
在产品检测环节，误差分析有助于提高检测精度和可靠性，确保产品符合质量标准 和客户要求。
在科学实验中的应用
在科学实验中，误差分析是不可或缺的一部分。通过对实验数据的误差分 析，科学家可以更准确地评估实验结果的可信度和可靠性。
误差分析有助于发现实验设计、操作过程、数据处理等方面存在的问题， 进而改进实验方法，提高实验结果的准确性和可靠性。
在科学研究领域，误差分析对于推动学科发展、验证科学假设、促进科技 创新具有重要意义。
通过多次重复试验，计算平均值和标准差，以评 估数据的稳定性和可靠性。
识别并排除异常值，确保数据质量。
了解误差来源，如仪器误差、操作误差等，并采 取相应措施减小误差。
对比试验法
1
通过对比不同试验条件或不同试验方法，评估数 据的准确性和可靠性。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
对比已知标准物质或参考数据，验证试验数据的 准确性。
3
对比类似试验或实验室间的数据，评估实验室的 测量误差和偏差。
标准化操作法
01 制定标准操作规程，确保试验操作的规范性和一 致性。
02 对试验人员进行培训，确保他们掌握标准操作规 程并按照要求进行操作。
03 定期对试验设备进行校准和维护，确保设备的准 确性和可靠性。
04
误差的减小与修正
改进试验方法
选择更精确的试验设备
使用高精度、低误差的试 验设备，可以降低测量误
谢谢您的聆听
THANKS
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
南通大学《试验设计与数据处理》复习要点
《试验设计与数据处理》复习要点第一章误差分析一、真值与平均值1、真值：指在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。
2、平均值（1）算术平均值：x̅=x1+x2+⋯+x nn =∑x in同样试验条件下，多次试验值服从正态分布，算术平均值是这组等精度试验值中的最佳值或最可信赖值。
（2）加权平均值：x̅w=w1x1+w2x2+⋯+w n x nw1+w2+⋯+w n =∑w i x i∑w i（3）对数平均值：x̅L=x1−x2ln x1x2=x2−x1ln x2x1，试验数据的分布曲线具有对称性（4）几何平均值：lg x̅G=∑lg x̅in（5）调和平均值：H=n∑1x i二、误差的基本概念1、绝对误差=测得值-真值，结果可正可负。
2、相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值，结果可正可负。
3、算术平均误差∆=∑|x i−x̅|n4、标准误差（1）样本标准差s=√∑(x i−x̅)2n−1=√∑x i2−(∑x i)2/nn−1（2）总体标准差σ=√∑(x i−x̅)2n =√∑x i2−(∑x i)2/nn三、误差来源及分类根据误差的性质或产生原因，可分为随机误差、系统误差、粗大（过失）误差。
1、随机误差：在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差；2、系统误差：在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差；3、粗大（过失）误差：一种显然与事实不符的误差。
四、试验数据的精准度1、精密度：反映随机误差大小的程度，是指在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度或一致程度；2、正确度：指大量测试结果的（算术）平均值与真值或接受参照值之间的一致程度，反映了系统误差的大小，是指在一定的试验条件下，所有系统误差的综合；3、准确度：反映系统误差和随机误差的综合，表示了试验结果与真值或标准值的一致程度。
五、试验数据误差的统计检验1、随机误差的检验随机误差的大小可用试验数据的精密程度来反映，而精密度的好坏又可用方差来度量，所以对测试结果进行方差检验，即可判断随机误差之间的关系。
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Tuesday, February 23, 2016
3
（2）加权平均值（weighted mean） 如果某组试验值是用不同的方法获得，或由不同的 试验人员得到的，则这组数据中不同值的精度与可靠度 不一致，为了突出可靠性高的数值，则可采用加权平均
值。计算公式为
xw
wi xi
i 1 n
n
• 算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小， 但无法表达出各试验值间的彼此符合程度。
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12
Er
X 100% X
1.2.4 标准误差（standard error） 标准误差常用来表示试验值的精密度，也称作： ●均方根误差（mean-root-square error） ●标准偏差（standard discrepancy），简称为标 准差（standard deviation）。
14
随机误差是试验过程中一系列偶然因素造成的，
如无规则的温度变化，气压的起伏，电磁场的干扰， 电源电压的波动等，引起测量值的变化。这些因素 不可控制又无法预测和消除。 当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的
规律性，大多服从正态分布。因此，增加测量次数
可以减小随机误差，但不能完全消除。
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27
2 12 / 2 /2
2 12
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28
例1-5：已知仪器检修前总体方差为0.152，依 据仪器检修后所测的的7个试验数据，判断仪器检修 后稳定性是否有了显著变化，若有显著变化，是否显 著提高。 说明：属于双侧检验，若问稳定性是否有显著提 高，则应该用左侧检验。
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11
1.2.3 算术平均误差
• 设试验值xi与算术平均值之间的偏差（discrepancy） 为di，则算术平均误差（average discrepancy）定义 式为： n n
1 1 xi x d i n i1 n i1
绝对误差＝ 试验值－真值 △x＝x－xt
xt ＝x± |△x|
某测量结果为58.7±0.2g，则其所在范围为：
58.5<w<58.9。
若某压强表的精度为1.5级，最大量程为0.4MPa， 则该压强表的绝对误差为：0.4*1.5%=0.006MPa。
若某天平的最小刻度为0.1mg，则该天平的最大绝 Tuesday, February 23, 对误差为0.1mg。（有简单办法使读数精确到0.05吗？） 2016 10
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26
2
( n1) S 2 2
服从自由度为n 1的 2分布。
close all; x=0:0.001:50; hold on; grid on; y=chi2pdf(x,20); plot(x,y); xlabel('x'); ylabel('f(x)');
n
1 xi
x x
n
i 1
n
1 xi
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8
试比较算术均值、几何均值和调和均值间大小关系？ 对于两个数a和b，其算术均值、几何均值和调和均值各 为多少？
x x
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9
§1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差 （absolute error）
13
§1.3 试验数据误差的来源及分类
根据误差的性质和产生的原因，误差可分为三
类：系统误差、随机误差和过失误差。 1.3.1 随机误差 在相同测量条件下，以不可预知方式变化着的 误差称为随机误差。多次测量同一物理量时，绝对 误差时大时小、时正时负，也叫偶然误差。
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x x
wi
i 1
其中w（weight）为加权系数。
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4
例1-1：对于四组测量数据，假设各组测量结果的可 靠程度仅与测量次数成正比(每组平均值的权值为对应的 试验次数)，求各组的算术均值和测试结果的加权平均值。 解： 组 测量值 算术均值 1 2 3 4 100.357, 100.343, 100.351 100.360, 100.348 100.350,100.344,100.366,100.340,100.345 100.339, 100.350, 100.340 100.350 100.354 100.343 100.343
15
1.3.2系统误差 是指在相同试验条件下，由某个或某些因素按 照某一确定的规律起作用而形成的。系统误差的特 征是具有一定的规律性。 系统误差的来源具有以下几个方面： （1）仪器误差 它是由于仪器本身缺陷或没有按规定条件使用 仪器而造成的误差。（调水平？） （2）理论误差 它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性， 或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测 量方法不当等所引起的误差。（恒温恒湿？）
第一章 试验数据的误差分析
试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切
科学实验过程中。
●误差(error)：试验中获得的试验值与它的客观真 实值在数值上的不一致。 ●误差分析(error analysis)：对原始数据的可靠性进
行客观的评定。
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1
第一章 试验数据的误差分析
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23
正确度与精密度的关系
x2
x1
x3
x4
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精密度高 正确度低
精密度低 正确度高
精密度高 正确度高
图(A)
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图(B)
图 (C)
25
§1.5 试验数据误差的统计检验
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2
1.1.2 平均值 （1）算术平均值（arithmetic mean） 算术平均值是最常用的一种平均值。
1 n x xi n i1
x x 在同样的试验条件下，如果多次试验值服从正态 分布，则算术平均值是这组等精度试验值中的最佳 值或最可信赖值。
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例1-３: 有两组观测数据：
第一组 2.9、3.1、3.0、2.9、3.1
第二组 3.0、2.8、3.0、3.0、3.2
求平均值 x 、算术平均误差、标准误差，并 分析其准确度。 解：
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解：w1=1/0.12= 100，w2=1/0.022=2500
8.5 100 8. 53 2500 pH 100 2500 8.53
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6
（3）几何平均值（geometric mean） 若一组测定值，取对数后遵从正态分布，则称其遵 循对数正态分布。 此时，则宜使用几何平均值。 求 1, 10, 100的几何均值=？
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（3）个人误差
它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误 差。如有人用秒表测时间时，总是使之过快。 （4）环境误差 是外界环境性质（如光照、温度、湿度、电磁 场等）的影响而差生的误差。如环境温度升高或降 低，使测量值按一定规律变化。 产生系统误差的原因通常是可以被发现的，原 则上可以通过修正、改进加以排除或减小。
18
§1.4 试验数据的精准度
表示误差性质术语：精密度、正确度和准确度。 （1）精密度 反映随机误差大小。测量结果的重复性、测量数据的 离散程度。一般用极差、标准差或方差描述其高低。 （2）正确度 反映了系统误差大小。算术平均值偏离真值程度。 （3）准确度 反映系统误差和随机误差的综合。准确度高，测量数 据较集中在真值附近。
第一组
算术平均值 x 算术平均误差 标准误差s 3.0
0.1 0.1 0.0 0.1 0.1 0.08 5
0.12 0.12 0.02 0.12 0.12 0.1 5 1
第二组 算术平均值 x 算术平均误差 3.0
0 0.2 0 0 0.2 0.08 5
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• 1.3.3 过失误差
由于测量者过失，如操作失误，读错数值或 记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差， 不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态 度，过失误差是可以避免的。 在数据处理中要把含有粗大误差的异常数据加 以剔除。
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n 2 i 1 i
Sx
1 n 2 1 样本（ sample ）标准差： s x x i X X n 1 n 1 i1
当试验次数n无穷大时，称为总体（population ） 标准差： 1 n 2 x x i n i1
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§1.1 真值与平均值
1.1.1 真值 真值（true value）是指在某一时刻和某一状态下，某量 的客观值或实际值。 真值——无系统误差的情况下，观测次数无限多时所求 得的平均值。但实际测量量总是有限的，故用有限测量所求 得的平均值作为近似真值（或称最可信赖值）。 真值一般是未知的，但从相对的意义上来说，真值又是 已知的，如： （1）平面三角形内角和为1800； （2）国际上公认的计量值，如C的原子量为12； （3）国际标准器(国家级鉴定合格的标准器)作为真值。