量子力学 算符之间的对易关系

不对易，故Y lm 不是 L x , L y 的本征函数。
利用对易关系
[Ly,Lz]iLx
，则
Lx Yl*mLxYlmd
i1 Yl*mL yL zYlmd
Yl*mLz
L yYlm d
i1 Yl*mL y(L zYlm)d (L zYlm)*L yYlm d i1mYl*mL yYlm dmYl*mL yYlm d0
成完备系的共同的本征函数。 例如，角动量算符 [L2,Lz ] 0 ，所以它们有组成完备系的
共同的本征函数 Ylm(,) ，在 Ylm(,)态中，力学量 L2 , Lz
同时有确定值 l(l1)2及m 。
氢原子哈密顿算符
H
p2
U (r)
2
[H ,L2][2p2,L2][U(r),L2]0
Байду номын сангаас
（28）
所以，H, L2, Lz 对易，它们有组成完备系的共同的本征函
(FG)F(G)
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
FGGF0
（3）
n个相同算符F
的积定义为算符
F
的n次幂
例如
F
d
dx
则
F2
d2
dx 2
Fn
dn
dx n
为了运算上的方便，引入量子括号
F,G
FGGF
（5）
•若
F
,
G
0
（6）
•
称算符 F与 G 是不对易的（不能交换位置）
)l(l 1 ) 2 Y lm (,
)
L zYlm (,)m Y lm (,)
c2
L21 2 2
Lz
2
c3,1 4/9
L262
Lz 2
c2,2 2 4/9
L222
Lz
2
c1,1 1/9
L 2 1 2 2 4 6 2 4 2 2 17 4 2 9 9 99
44
1 11
Lz 2 ( )
xpxpxxi
x,
px
i
（14a）
但是
x,py0 x,pz0
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式
可概括为
xi
,
pj
ii
j
(14c)
其中 xi (i 1 ,2 ,3 ) (x ,y,z) pj(j1,2,3)(px,py,pz)
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其
n
），如果F 和G
有
一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
cnn
n
（23）
• 有 (FG G F ) cn(FG G F )n0则
n
FG G F0或[F,G ]0
（24）
这时才说
F
和
G
是对易的。这个结论可以推广到多个算
符，即
如果一组算符有共同的本征函数完备系
n
，则这组算符对易
例如 L 2Y m (, )l(l 1 ) 2 Y lm (, ) LzYm(,)m Ylm (,)
[L 2,L j]0, j(1 ,2 ,3 )(x,y,z)
（19）
(2) [L j,p 2 ] 0 , [L ,p 2 ] 0 , [L 2 ,p 2 ] 0 （20）
• （3）球坐标下L 是 , 的函数，若有径向函数算符U (r)
则
[L,U (r) ]0, [L 2,U (r) ]0
（21）
(4) [L i,r2]0, [L ,r2]0
（22）
• 2 共同本征函数完备系
2.1共同本征函数完备系带来算符对易
设两个算符
Fn an
F及和GGn有一b个n共，同即的在本 n征态函中数可以n 同，时则确必定有
这两个力学量的数值，那么
(F G G F )n (abab)n 0
这似乎提醒我们有 (FGGF)0，但下结论过早，因为
这只是针对某一个特殊函数（本征函数
(F)2
(G)2
K2
4
（34）
FG K 2
（35）
——不确定关系
• 两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值, 或者说，它们不能有共同本征函数。 对不确定关系 应着重掌握其物理意义
例如 x, pxi, K 所以
(x)2
(px)2
2 4
或
xpx
2
（36）
x 可见，若动量确定，px 0；则 x，即位置 完全不
它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系
[Lx,
x]
0,[Lx,
y]
iz,[Lx,
z]
iy
[Ly
,
x]
iz,[Ly
,
y]
0,[Ly,
z]
ix
(15)
[Lz,x]iy,[Lz, y]ix,[Lz,z]0
• 只证明其中一个，请注意证明方法
[Lx,y][ypzzpy,y][ypz,y][zpy,y]
（29）
K 是一个力学量算符或普通的数。首先定义
FFF, GG G
[F,G][F,G]iK
（30） （31）
•
注意， F
,
G
仍为厄米算符，若巧妙设计积分
I()|F i G |2d0
（32）
• 利用 F, G 的厄米性，可推出(课本p91)
I()(F)2K (G )20
（33）
• 最后得出不确定关系(代数中二次式理论)
• 例题一 任意态 3 2 Y 3 ,1 (, ) 3 2 Y 2 ,2(, ) 1 3 Y 1 , 1 (, )
解法一 求可以态看中出L2 , L是z 的L2可, L 能z 的值共、同概本率征及函L数2 ,所L z组成。，
列表对应求解：
Y 3 ,1
Y 2,2 Y 1, 1
L 2Y lm (,
y[pz,y][y,y]pzz[py,y][z,y]py
z[py,y]iz
• 记忆方法：从左至右以 x y z x依次循环指标为
正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[Lx,
px]0,[Lx,
py]ipz,[Lx,
pz]ipy
[Ly,
px]ipz,[Ly,
py]0,[Ly,
x ,y 0[ y ,z ] 0[ z ,x ] 0
动量算符是微分算符
因为 2 2 则
xy yx
（12）
p x,p y 0 p y,p z 0 p z,p x 0 （13）
坐标算符与动量算符：设 为任意函数
px
xpxixx
xi (x)iix
x
x
• 比较后可得
Fn nn
（25）
F (Gn)G (Fn)n(Gn)
（26）
可见G
n
也是算符
F
的属于本征值
n
的本征函数。已经
假定 n 非简并，所以对应 n 的两个本征函数 n 和 G n 最多
只能相差一个常数，所以
Gn nn
（27）
•
可见， n
同时也是G
的属于本征值
n 的本征函数。同
理，对 F 的其它本征函数也有此结论。所以，F 和G 有组
能唯一确定这一状态吗？
解：能。因为三个力学量对易，
n3,l1,m1
故共同本征态为
3( 1 r ,1 ,) R 3( r 1 ) Y 1(1 ,)
• 例题三 求粒子处于Ylm 时角动量x分量和 y分量的平均
值 Lx , Ly , L2x 。
解：首先应注意，Y lm
是
L2
,
Lz
的共同本征函数，而 Lx , Ly , Lz
共同本征态定理（逆包定括理）
不确定关系
力学量守恒定理
• 1 算符之间的对易关系
1.1 算符的基本运算关系
（1）算符之和：算符 F 与G 之和F G 定义为
(FG)FG
（1）
为任意函数
一般 FGGF，例如粒子的哈
密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U (r)之和
H
p2
U(r)TU(r)
2
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
有简并，则必定还存在独立于F , G 而又和 F , G 对易的其它
力学量 M ， F ,G, M 的共同的本征函数是否还有简并？
我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符，
如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全
确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。
在完全集中，力学量的数目一般称为体系的自由度。
pz]ipx
[Lz,px]ipy,[Lz,py]ipx,[Lz, pz]0
（16）
另外有
[ L x ,L y ] i L z [ L y ,L z ] i L x [ L z ,L x ] i L y（17）
LLiL
（18）
• 1.4 几个重要的推论
•
(1)
[L 2 ,L z] [L 2 x ,L z] [L 2 y ,L z] [L 2 z,L z] 0
• 同理
Ly 0
• 由于坐标 x与 y的对称性，可得 L2x L2y ，故
L 2 x 1 2 ( L 2 L 2 z ) 1 2 [ l( l 1 ) 2 m 2 2 ] 2 2 ( l2 l m 2 )
• 3 不确定关系
若算符 F 和G 不对易时，常记为
FGGF[F,G]iK
具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的
不确定范围可参见教材。
• 例题4
一维运动的粒子处在
(x) Ax xe
0
(0)
当 x0 当 x0
求 (x)2(px)2 ?
解：归一化后可得 A23/2利用
xne2xdx n!
0
(2)n1
有
x *xdxA 2 x3e2xd x43 33
0
即
FG GF
•若
F
,
G
0
（7）
•
称算符
F与
G
是对易的
即 FGGF
• 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
[F ,G ]
[G,
F]
(8)
[F,G
M]
[F,G][F,
M]
(9)
[F,GM] G[F, M][F,G]M
(10)
[FG,M] F[G,M][F,M]G
(11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
确定。试想，动量为 p的自由粒子以波长 的状态
p
（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？
• 反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为
(x) 1 eikrdk
(2)3
（37）
• 即位于 x点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面
波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？
总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子
数 RnYlm(,)，在该态中三者同时有确定值：En,l(l1)2,m
• 2.3 力学量完全集
有些情况下，力学量 F 的本征值是全部简并或部分简
并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 F的本
征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和F 独立且和
F
对易的其它力学量
G
。如果F , G
的共同的本征函数仍然
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系
• 讨论微观态中某一力学量 F时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同
力学量 F,G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 • 主要内容有：
一个关系：力学量算符之间的对易关系
三个定理:
即在
Ylm(,)
态中
L2
,
L
z
同时有确定值
l(l1)2及
m，所以
Ylm(,) 是L2 , L z 的共同的本征函数，并且是完备的，所以
[L2,Lz ] 0
• 2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备
系的共同的本征函数。
这里仅就非简并本征函数系加以证明
若算符 F和G 相互对易，对于 F 的本征函数 n ，有
0
84 2
x2 *x2dxA 2 x4e2xd x43 33
0
0
45 2
所以
( x)2x2x23 24 9 24 32
p
*
pdxiA2
x ex
d(x ex)dx
0
0
dx
i A 2 (xx2)e2xd x0 0
p2 0
* p2
dx2A2
x ex
0
dd22 x(x ex)dx
2 A 20 ( 2 x 2 x 2 ) e 2 x d x 2 A 2 2( 2 1 ) 2 2 ( 2 2 ) 3 2 2
• 所以
( p )2p2p22 2
( x )2( p x)2 4 3 2
2 2 3 2 1 2 44
满足不确定关系
作业:3.11、13
99
99
• 解法二 由 cn n*d 得 clm Y l* m (,)(,)d
由 Ylm(,) 正交归一性得
2
2
1
clm 3l,3m ,13l,2m ,23l,1m , 1
2
2
1
c3,13 c2,23 c1,13
• 例题二
在对某一状态进行测量时，同时得到能量
E n 1e s 2 8 2, L 22 2, L z