分数指数幂
分数指数幂的证明
分数指数幂的证明一切的开始都从分数指数幂的概念开始。
什么是分数指数幂？简单来说，它是一种表达式，用来表示一个数的乘方。
这些表达式可以用来计算许多数学问题，如多项式求和，求根，幂函数求值等等。
要证明分数指数幂的正确性，我们首先要了解其定义。
一个数字的分数指数幂是指它的指数是一个有理数，而不是一个整数。
例如，一个数的5/3 次方就是一个分数指数幂，而它的 5 次方就不是分数指数幂。
因此，当我们证明分数指数幂的正确性时，我们需要首先确定分数指数幂的定义，即指数是一个有理数，而不是一个整数。
一旦我们确定了分数指数幂的定义，我们就可以开始证明它的正确性。
首先，我们要证明分数指数幂的乘法法则，即：(a^m)(a^n)=(a^(m+n))例如，我们要证明 (2^(3/2))(2^(1/2))=(2^2)=4首先，我们要将分数指数幂转换成整数指数，即：2^(3/2)=2^1.5=2^3/2可以将分数指数幂转换成整数指数，即：2^(3/2)=2^1.5=(2^3)(2^(-1/2))同样，我们将另一个分数指数也转换成整数指数，即：2^(1/2)=(2^2)(2^(-1))现在，我们可以把两个分数指数幂的乘积表示为整数指数的乘积，即：(2^1.5)(2^0.5)=(2^3)(2^(-1/2))(2^2)(2^(-1))= (2^3)(2^2)(2^(-3/2))= (2^5)(2^(-3/2))= 2^2= 4这就证明了分数指数幂的乘法法则，即 (2^(3/2))(2^(1/2))=(2^2)=4。
接下来，我们要证明分数指数幂的除法法则，即：(a^m)/(a^n)=(a^(m-n))例如，我们要证明 (2^2)/(2^(-1))=(2^3)同样，我们将分数指数幂转换成整数指数，即：2^2=2^3/22^(-1)=2^(-2/2)将两个分数指数幂的除法表示成整数指数的除法，即：(2^2)/(2^(-1))=(2^3/2)/(2^(-2/2))=(2^3)(2^(2/2))/(2^(-2/2))= (2^5)/(2^(-2/2))= 2^3这就证明了分数指数幂的除法法则，即 (2^2)/(2^(-1))=(2^3)。
分数指数幂 课件
2
1.3 3
可化为(
)
A. 2
3 C. 9
B. 3 D． 9
[答案] C
[解析]
2
33
＝3 32＝3 9.
2．若 a>0，n，m 为实数，则下列各式中正确的是( )
A．am÷an＝amn
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
[答案] D [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确， 故选D.
3 a15÷
a－3 a－1.
2
[思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指 数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1165.
37 3 (2)原式＝ a2 a－2 ÷
8
a－3
15
a3
3 ÷
3
a－2
1
a－2
＝3 a2÷
7
a3
3 ÷
[思路分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式
化为分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
23
23
13
[解析] (1)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 ；
111
111
111
7
(2)原式＝[a·(a·a2 )2 ]2 ＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 ；
有条件的求值问题
已知
1
a2
＋a－12
＝3，求下列各式的值.
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3
a2
－a－32
(3) 1 a2
分数指数幂
分数指数幂
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。
分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号（a的m次幂）可以写成a的m/n次幂，（其中n是大于1的正整数，m是整数，a大于等于0）。
幂是指数值，如8的1/3次幂=2。
一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方。
根式与分数指数幂的互化：
根号左上角的数当分数指数幂的分母，根号里面各个因式或因数的指数当分数指数幂的分子，注意，各个因式（因数）如果指数不同，要分开写。
即是内做子，外做母，同母可不同子。
有理指数幂的运算和化简：
找同底数幂，调换位置时注意做到不重不漏，接着就是合并同类项，同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，相除的话就是底数不变，指数相减。
同底数幂相加减，能化简的合并化简，不能的按照降幂或升幂排列。
分数指数幂运算法则
分数指数幂运算法则
分数指数幂运算法则是数学中的基本运算法则之一。
该法则规定，当一个数的指数为分数时，它可以通过将该数化为一个根式来进行运算。
具体来说，如果一个数a的指数为m/n，其中m和n都是整数且n不等于0，那么a的m/n次方可以写成a的n次方的m次方的n次
方根，即a的m/n次方等于a的n次方的m次方根。
这个法则不仅适用于正数，还适用于负数和分数指数为负数的情况。
分数指数幂运算法则在各种数学问题中都有着广泛的应用，例如求根、求解方程和进行数值计算等。
- 1 -。
分数指数幂的意义与性质
【错解】
(1－a)[(a－ 1) (－ a)2]2
－1
－2
1 1
＝ (1－a)(a－ 1) (－a)4 ＝－(a－1)(a－ 1) (－ a)4＝－ (－a)4.
【错因】 (am)n＝ amn 只有在 a>0 时一定成立， 若 a<0， 且 m 为偶数，则需转化为(am)n＝ [(－ a)m]n＝ (－a)mn.
2.有理数指数幂的运算性质 a r＋ s ； (1)aras＝________ (2)(ar)s＝________ ； ars a rb r . (3)(ab)r＝_______ 3．无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个 无理数 ．有理数指数幂的运算性质对 __________ 于无理数指数幂同样适用．
D．x 3＝－
－
1
3
x(x≠0)
3.用分数指数幂表示下列各式： 3 2 3 b a ①a3· a2； ② a · b6(a>0，b>0)； ③ a b
－4
23
ab (a>0，b>0)．
2
(3)a 3 .②1.③a
11
－
11 4
6 b3.
根式、分数指数幂的综合运算
1 1 5 化简(1)a3b2· (－3a2b3)÷ a6b6 ； 3 2 1 1 1 1
（分数指数幂的意义与性质）
[问题 1]
3 6
判断下列运算是否正确？
12
(1) 2 ＝ 2 ＝2 ＝2 3 ； (2) 5 ＝ 5 ＝5 ＝5 6 .
18
3 6
4 3
4
12
3 6
3
18
[提示] 正确．
小学数学分数指数幂课件
运算优先级：在数学表达式中，分数指数幂的运算优先级高于乘方运算，低于乘除运算。
03
分数指数幂的运算
分数指数幂的加法运算
分数指数幂的加法运算规则： a^m * a^n = a^(m+n)
分数指数幂在数学建模中的应用
分数指数幂在解 决实际问题中的 应用
分数指数幂在数 学建模中的重要 地位
分数指数幂与其 他数学知识的结 合
分数指数幂在数 学建模中的发展 前景
分数指数幂在解决复杂数学问题中的应用
分数指数幂在代数方程求解中的应用 分数指数幂在几何图形计算中的应用 分数指数幂在概率统计问题中的应用 分数指数幂在微积分问题中的应用
分数指数幂的运算性质
分数指数幂的乘法规则：a^(m/n) * a^(m'/n') = a^(m/n + m'/n') 分数指数幂的除法规则：a^(m/n) / a^(m'/n') = a^(m/n - m'/n') 分数指数幂的幂运算规则：a^(m/n)^k = a^(m/n * k) 分数指数幂与整数指数幂的转换：a^(m/n) = (a^m)^(1/n)
拓展练习题
计算： (2^3)^4 = _______．
计算：a^(3/4) × a^(1/3) = _______．
计算：8^(2/3) × 2^(1/3) = _______．
计算：log₂(16) = _______．
综合练习题
计算(2^(-3))^(-2) 计算(1/2)^(-3) 计算(1/3)^(-2) 计算(2^3)^(-1/2)
分数指数幂证明
为了证明分数指数幂，我们可以利用指数的定义和分数的性质。
假设我们有一个分数a/b，其中 a 和 b 都是整数，并且 b 不等于0。
根据指数的定义，a 的 b 次方可以表示为a^b。
因此，我们可以将分数指数幂表示为(a/b)^c = (a^c) / (b^c)。
现在，我们可以利用分数的性质来简化这个表达式。
假设 c 是一个正整数，那么我们可以将a^c 表示为(a^b)^c = a^(bc)，类似地，b^c 表示为(b^a)^c = b^(ac)。
因此，我们可以将分数指数幂进一步简化为(a/b)^c = a^(bc) / b^(ac)。
通过这个证明，我们可以看到分数指数幂是可以通过指数的定义和分数的性质来计算的。
分数指数幂
分数指数幂在数学中，分数、指数和幂是常见的概念。
它们在代数中扮演着重要角色，为我们理解数学世界提供了基础。
本文将分别介绍分数、指数和幂，并深入探讨它们之间的关系和运算规则。
分数什么是分数分数是指一个整数除以另一个整数所得到的结果。
分数通常以$\\frac{a}{b}$ 的形式表示，其中a和b分别是分子和分母，b不等于 0。
分数可表示小于 1 的部分或整数之间的关系。
分数的基本运算分数的运算涉及加法、减法、乘法和除法。
加法和减法时，需要将分数通分，然后相应操作分子；乘法时，直接相乘分子和分母；除法时，转换为乘法的倒数操作。
指数什么是指数指数是表示数的乘积因子的数量的数字。
通常以a n的形式表示，其中a是底数，n是指数。
指数表明底数要乘以自身多少次。
指数的运算规则指数有一些重要的运算规则，包括同底数相乘时指数相加、同底数相除时指数相减、指数为 0 时结果等于 1、指数为负数时取倒数等规则。
幂什么是幂幂是指数的概念的拓展，表示为a m/n的形式，其中a是底数，m是分子，n 是分母。
这表示需要将底数乘以自身m次后再开n次方。
幂的运算规则幂的运算规则涉及指数和分数的运算法则结合，主要是将幂的指数看作一个整体，分别对底数和指数进行处理。
分数、指数、幂的联系分数、指数和幂之间并非独立存在，它们之间有着密切联系。
比如，可以将一个分数表示的小数转化为含有指数的形式，也可以对指数进行分数化简得到幂的形式。
这些概念在数学中是相互交织的。
总而言之，分数、指数和幂是代数学中的基本概念，它们贯穿于数学的方方面面，为我们解决问题提供了重要的工具。
通过深入理解它们之间的联系和运算规则，我们可以更好地掌握数学知识，进一步探索数学的奥秘。
愿读者能在本文的阐述下更进一步理解和应用分数指数幂的知识。
分数指数幂
1 2
1 4
1 8
a
2
111 2 4 8
a
5 6
7 8
8
a .
7
1 2
解:原式 =
a
a
1 2
a
2 3
a
2 3
a
6
a .
5
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
计算下列各式(式中字母都是正数).
124 . 27
1.分数指数概念
(1 ) a
(2) a
m n
n
a
m
;
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
1
n
m n
1 a
m n
a
m
;
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理指数幂运算性质
(1 ) a a a
r s
r s r
rs
rs
( a 0, r , s Q );
a
a
1 2
4
a
3 4
a
1
5
3 5
a
3
2 3
a
3
1
3
a
【2】用分数指数幂表示下列各式：
3
4
a
2
(a b ) (a b 0)
3
(a b ) 4
(m n)
(m n)
2
2 3
3
(m n)
4
2
(m n) (m n) p q ( p 0)
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
高中数学知识点精讲精析 分数指数幂
3.2.2 分数指数幂1.分数指数幂：①一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数n ，存在唯一的正实数b ，使得，我们把b 叫作a 的次幂，记作；②一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数m.n ，存在唯一的正实数b ，使得，我们把b 叫作a 的次幂，记作；此即正分数指数幂.③有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即④正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定：.⑤0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 说明：我们把正整数指数幂扩充到有理数指数幂时，应限制底a>0.正分数指数幂3.负分数指数幂4. （1）正数的正分数指数幂的定义：（2）负分数指数幂的意义：我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 5. 有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）[例1] 求值：（1） .a b n=n 1n1a b =mn a b=n m n ma b =0)m na a =>m,0a (a1anm nm >=-)1n ,N n >∈+nm nm a,a -)1,,,0(>∈>=+n N n m a a a nm nm 且)1,,,0(1>∈>=+-n N n m a a anm nm且()a a a m n N n m nm n =>∈>01，，，且*()a a a a m n N n m nm nmn-==>∈>1101，，，且*()a a a a r s Qr s r s ·，，=>∈+0()()a a a r s Qr srs =>∈0，，()()ab a b a b r Q rr r =>>∈00，，=+--+--414245.0081)21()4(5.7])43[(（2） .（3）.（4） .解:（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式[例2] 已知，则 .解: ∴∴ ∴∴ 原式[例3] 求值解：设设∴ ∴[例4] 试将下列数字由大到小排序=--+-⋅------10223)2(22)31(3)21(=⋅----3438583213124434181)27()16()3(z y x y x z y x =+-⋅-+---+--------111122222222)()(b a ab b b a a b a b a b a b a 3316151=+-+=20743521141278-=⋅-=++--=zz y x y x z y x 4814811465216113121=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---1)1()1(1)(222244224224+-⋅-+-+-+=b a b a b a b a b a b a 1)(11))(1(222222442222++-++-+-=b a b a b a b a b a b a 1112222=++=b a b a 32121=+-xx =++++--32222323x x x x 32121=+-xx 921=++-x x 71=+-x x 4722=+-x x 18)1)((121212323=-++=+---x x x x xx 52347218=++=3313251325-++B A =-=+3313251325B A x +=)(3333B A AB B A x +++=1033=+B A 352253-=-=AB x x 9103-=0)10)(1(2=++-x x x 1=x（1） （2）（3）解：（1）（2）（3）[例5]. 把根式表示成分数幂的形式.解析：原式＝令解：原式＝ 点评：两种解法风格不同，思考角度也不同，解法2更漂亮.[例6]. 化简下列各式：（1） （2）解析:（1）原式＝（2）原式＝＝－＝－2点评:解题时要从总体上把握代数式的结构特点，比如对于分式，应该想到对分子分母分解因式，然后约分.515251)56(,)56(,)52(---x x x x --∈5,5,5.0)0,1(331,,3)0,1(a a a a-∈↑==x x f y )56()(52510051)56()56()56(1)52()52(--->>==>xx x 515.05>>>-3133a a a>>x x x x 1615815214747212321)()(xxx x x x x x x xx x x ==⋅==⋅=⋅1615161814121161814121x xx x x x ==⋅⋅⋅+++))((21211x x x x x -++--323222323222-----------++yxy x yxy x 2323321321)()(x xx x-=---3232323323232332332)()()()(--3---------++yxy x yxy x ])()[()()(23232322322323232232--------++-+-=y yx x y yx x 32322--y x 32)(-xy。
分数幂的计算公式
分数幂的计算公式
分子为幂次，分母为根次。
a^(n/m)
a的n次幂开m次方
例如(12/7)的0.4次幂
先将0.4换成2/3原式就是将12/7先平方再开3次方,分子、分母分开做相应的平方开3次方最后再做除法.
再比如2的3/5次幂，就先算2的3次幂，再开5次方
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称。
分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式。
负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点。
am/n = ( am) 开n 次方，（a>0,m、n ∈Z且n>1）
证：
令( am) 开n 次方= b
两边取n次方，有
am = bn
am/n= am(1/n) = ( bn)(1/n) = b = am开n 次方
即am/n = ( am) 开n 次方
规定：正数的正分数指数幂的意义是——a的n分之m次方=n√a的m次方（a>0,m、n属于正整数，n>1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质
(1)ar×as=a(r+s) (a>0,r,s∈Q)
(2) (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)
(3) (ab)r=ar×br (a>0,b>0,r∈Q)。
指数分数指数幂经典实用
(3)(ab) ab r
rr
•指数(分数指数幂)
性质：(整数指数幂的运算性质对于有理指数 幂也同样适用）
aras ars (a0,r,sQ) (ar)s ars (a0,r,sQ) (ab)r aras (a0,b0,r Q )
•指数(分数指数幂)
m
规定：一般地，an n am（a0，m,n 均为正整数）。
•指数(分数指数幂)
分数指数幂：
1 问题探究:当根式有意义时,根式能否写成分数指数幂 的形式？，如：（设a>0,b>0,c>0)
5 a10 a2
10
a5
2
3 a2 a3
3 a12 a4 1
12
a3
b b2
5
4 c5 c4
即:当根式有意义时,根式都可以用正分数的指数幂表示
2 于是规定正数的正分数指数幂的意义是：
•指数(分数指数幂)
＊若2mn 6，22mn 12，则22nm
。
＊已知a2x 3，求ax ax 的值。
•指数(分数指数幂)
例2、求值
2
1
83 ; 252 ;
1 5;
16 4 3
2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3
a (2) a 2 3 a 2 (3)
三、无理数指数幂
•指数(分数指数幂)
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
•指数(分数指数幂)
巩固练习
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值
《分数指数幂》课件
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
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THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二
第2课时 分数指数幂
2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2． (2)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (3)立方和公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)． (4)立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)． (5)完全立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3．
二、有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝____a_r_＋_s(_a_＞__0_，__r_，__s_∈__Q_)_____； (2)(ar)s＝____a_rs_(a_＞__0_，__r_，__s_∈__Q__) ______； (3)(ab)r＝___a_r_b_r(_a_＞__0_，__b_＞__0_，__r_∈__Q_)________．
解 (1)因为x12 ＋x－21 ＝3，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＝47，所以原式＝477＋－37
＝4．
(2)因为(x12
＋x－
1 2
)2＝x＋x－1＋2＝5，所以x
1 2
＋x－21
＝
5.因为(x＋x－1)2＝x2＋x－2
＋2＝9，所以x2＋x－2＝7，所以xx221＋＋x－x2－＋12 3＝105．
[方法总结] (1)若ar＝as，则r＝s． (2)对于给值求值的问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代 换”或求值代换的方法求解．
[训练3] (1)已知x21 ＋x－12 ＝3，计算： xx2＋＋xx－－12＋－37； (2)已知x＋x－1＝3，求xx212＋＋x－x2－＋12 3的值．
∴a3＋a－3＝7×(47－1)＝322．
分数指数幂的运算
2 ，已 1知 a 0 5 0 ,1 0 b 02 ,求 2 a b 的 ？ 值
解 . 10 a0 5, 012a 050 又 1b0 2, 12a 0 b10 , 2 0 ab2
1
2,化简 2 x11 x11x 1 x3 x3 x31 x31 x31
引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样
的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的
结果：
1
2
(1)3 3 1=-1； (1)6 6 (1)2 61=1. 这就说明
分数指数幂在底数小于0时无意义.
在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大
2
于0，例如， 3 a2 a 3 (a>0)， 2
1
x3
3,已x知 1 2x1 25,求 x21的？ 值
x 23
化简与求值：
1
1
1
1
a2 b2 a2 b2
（1） 1
1 1
1
a2 b2 a2 b2
（2）( a 2 －2 + a －2 ) ÷( a 2 － a －2 )
（3）已知
1
1
x2 x 2
3，求
3
3
x 2 x 2 2 的值
若无a>0这个条件时， 3 a2 | a |3 ；同时，负
数开奇数次方根是有意义的，所以当奇数次根
式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号
外面去，然后再按规定化成分数指数幂，
例如：
5
(2)3
5
23
3
25
注意：以后当看到指数是分数时，如果没有特 别的说明，底数都表示正数.
中职教育数学《分数指数幂》课件
m
注意： a 0, a n 有意义
利用这个公式，2-23 1 23
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意 义.
负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是 负数,负号只是出现在指数上.
例1 将下列分数指数幂写成根式的形式
1
53
5
33
-
3
17
2017
-1 3
4
a7
3
b5
3
x 2
5
m 2
3
92
例2.将下列根式写成分数指数幂的形式
3 32
3 x2
5 53 1
4 63 3 12017
3 a4 3 m5 2 n4
m
a n n am
注意：
1.指数中的分母对应根指数，分子对应被开方数的指数； 2.m、n N*且n 1.当n为奇数时，a R； 当n为偶数时，a 0.
2
利用公式，我们可以将 33 转换成根式的形式：3 9
合作交流：
2、负分数指数幂如何转换成根式？你知道其中的
转换方法吗？
m
an
1man来自n1 am4.1.1分数指数幂
知识复习： 1、我们是怎样定义平方根和立方根、n次方根？ 如果一个数的平方等于a，那么a叫这个数的平方根。
2、负指数幂与零指数幂如何运算？ an
a0
4.1.1分数指数幂
学习目标： 1.学会分数指数幂与根式的互相转换方法； 2.能计算分数指数幂，会化简根式。
合作交流：
1、分数指数幂转换成根式是如何规定的？
根式与分数指数幂
探究点1 n次方根的概念
合作探究 思考: 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
探究点1 n次方根的概念
归纳：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况．
02
合作探究
探究点2 根式的运算性质
3. 运算策略：化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序.
合作探究 根式的运算性质：
归纳小结
n∈N，且n>1.
归纳小结
2.根式化简的技巧 ①熟记恒等式： ②注意整体思想、完全平方公式等的运用. ③含参数化简，若开偶次方根，要注意分类讨论.
知识点二 分数指数幂
1.分数指数幂：
(2) 正数的负分数指数幂的意义：
(3)规定0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂 .
51.42
51.5
51.4
结论：一般来说，无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
题后反思
方法总结：
1.当所求根式含有重根号时，要搞清被开方数，由里向外用 分数指数幂写出，然后再利用性质运算.
2.计算结果形式：不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求， 就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出 结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又 含有负指数.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法．
0
没有意义
2.有理数指数幂运算性质
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
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(a 0, m, n N *, n 1)
3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
例题
• 根数用式不分的能数被 被指开 根数方 指幂数数表的整示指除下列根式
m
即：a a (a0,m,nN ,n1) 时，根式是否也可以
4 写53成分数指数幂3的7形5
nm n
*
式 ？如：
5 a7 n xm (x 0, m, n N *,且n 1)
用根式表示下列分数指数幂
(1)a9\5
(2)b-13\6
2013职高（1）班
性质：
（1）当n是奇数时，
正数的n次方根是一个正数，记作：x
n
a
负数的n次方根是一个负数，记作：x n a
（2）当n是偶数时，
正数的n次方根有两个，它们互为相反数.
正的记作： x 负n 的a 记作：
x n a
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
ห้องสมุดไป่ตู้
(4)n an a
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整 除时，根式可以写成分数作为指数的形式， （分数指数幂形式）
分数指数幂
• 规定： 1、正数的正分数指数幂的意义为：
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
an
1 n am
5.n an a a 1、当 n 是奇数时，n n
2、当n 是偶数时，
a,a 0 n an a a, a 0
a 观察以下式子，并总结出规律： ＞0
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
8
a8 (a4)2 a4 a2
12
3 a12 3 a4 3 a4 a 3