第8章 弯曲变形

力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即
上述两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
第8章 弯曲变形
使8用.3规.2范说剪明力图和弯矩图

一般以梁的左端为原点建立直角坐标系，以横坐标轴x轴表示梁
的横截面位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩的数值，按一
定的比例将正的剪力或弯矩画在x轴上方，负的剪力或弯矩画在x轴下
第8章 弯曲变形
图8-5
第8章 弯曲变形
使8用.1规.2范说平明面弯曲的概念

梁的受力特点是：在轴线所在的平面内受到外力偶矩或在垂直于
梁轴线的方向受到外力的作用。

如图8-6所示，如果梁的橫截面具有对称轴（y轴），则梁的对称
轴（y轴）与梁的纵轴线所构成的平面称为梁的纵向对称面。

如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的
工程力学
第8章 弯曲变形
使8用.1规范梁说与明 平面弯曲的概念
8.1.1 梁的概念

工程实际中存在大量的受弯曲杆件，如桥式起重机大梁（图8-1
）、车刀（图8-2）、火车轮轴（图8-3）等。所谓的弯曲变形，是指
在外载荷作用下杆的轴线由直线变成曲线。以弯曲变形为主要变形的
杆件统称为梁。
图8-1
图8-2
面形状应是：用最小的截面面积（即用材料少），得到最大的抗弯截
面系数 Wz 。通常用比值 Wz/A来衡量截面的合理性和经济性，该比 值越大，截面就越经济合理。
几种常见截面的 Wz/A列入表8-4中。
第8章 弯曲变形
使8用.6规.3范说采明用变截面梁

对于等截面梁，其截面尺寸是由危险截面的最大弯矩 来设计的
布有以下特点：
（1）中性轴上的线应变为零，所以其正应力也为零。
（2）与中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律， 它们的正应力也必相等。
（3）如图8-18所示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为压应 力（即负值），中性轴下部各点正应力为拉应力（即正值）。弯曲变 形时，横截面上中性轴上下部分，正应力的方向相反。
使用规作范用说在明梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：
（1）集中载荷 当载荷的作用范围和梁的长度相比较很小时，可 以简化为作用于一点的力，称为集中载荷或集中力。
（2）集中力偶 当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度） 受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶
（3）分布载荷 即梁的全长或部分长度上连续分布的载荷，如图 8-5c所示梁上的载荷。如梁的自重，水坝受水的侧向压力等，均可视 为分布载荷。
表示
式中， σ——横截面上距中性轴为y的各点的正应力；

M——横截面上的弯矩；

y——所求点到中性轴的距离；

Iz ——横截面对中性轴z的惯性矩，它表示截面的几何性
质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何量，反映了截面的抗弯能
力，常用单位有m4 、mm4 。
第8章 弯曲变形

表8-3所示为几种常用截面梁的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
横截面上，只有弯矩M而无剪力FQ，梁在这段的弯曲称为纯弯曲。
第8章 弯曲变形
图8-15
第8章 弯曲变形
使8用.4规.2范说梁明纯弯曲时横截面上的正应力

在平面弯曲时，工程上近似地认为梁横截面上的弯矩是由截面上
的正应力形成的，而剪力则由截面上的切应力所形成。

1．实验观察

梁是由许多纵向纤维组成的，上面的纵向纤维因单向受压而缩短
（4）横截面上的正应力沿y轴呈线性分布，即 ，K为待定常数，如 图8-18所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上下边缘处。 正、负弯矩对应的应力分布规律如图8-19a、b所示。
第8章 弯曲变形
图8-18
图8-19
第8章 弯曲变形

3．梁纯弯曲时横截面上的正应力计算
使用规有范理说论可明证明，梁纯弯曲时横截面上正应力的计算公式可用下式
平衡。

求得

以上在截面 上求得的作用线平行于横截面的内力称为剪力，用
符号FQ表示；作用面垂直于横截面的内力偶的力偶矩称为弯矩，用符 号M表示。
第8章 弯曲变形
图8-7
第8章 弯曲变形

平面弯曲的梁，其橫截面上的内力有两个分量——使梁产生剪切
使变用形规的范剪力说F明Q和产生弯曲变形的弯矩M。具体计算如图8-8a、b所示
采用上、下不对称于中性轴的截面形状，其强度条件分别为
第8章 弯曲变形
使8用.6规范提说高明 梁强度的措施

在梁的强度设计中，常遇到如何根据工程实际情况来提高梁的
抗弯强度的问题。
8.6.1 合理布置梁的支座和载荷

在载荷不变的前提下，通过合理布置载荷和安排梁的支座位置，
可以降低梁的最大弯矩。
（1）使集中力远离简支梁的中点。
点对应的弯矩值，从而将这三点用光滑的曲线连接起来。
第8章 弯曲变形
使8用.4规范梁说弯明 曲时的正应力
8.4.1 纯弯曲与横力弯曲的概念

如图8-15a所示为火车轮轴力学模型的外伸梁。作出剪力图和弯
矩图，如图8-15b、c所示。可以看出，在AC、DB段的各横截面上既
有剪力FQ又有弯矩M，梁在这些段内发生弯曲变形的同时还会发生剪 切变形，这种变形称为剪切弯曲，又称横力弯曲。但在CD段内的各
轴线将弯曲成一条在纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称为平面
弯曲。

平面弯曲是最常见、最简单的弯曲变形。梁上的载荷和支承情况
一般比较复杂，为了便于分析和计算，在保证足够精度的前提下，需
要对梁进行力学简化。
第8章 弯曲变形
图8-6
第8章 弯曲变形
使8用.2规范梁说的明 内力——剪力与弯矩

如图8-7所示，假想将梁在截面 处截开，保留它的任一段（如
使用规范说明
表8-3 常用截面梁的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
第8章 弯曲变形
使8用.5规范梁说弯明 曲时的正应力强度计算

由于塑性材料的抗拉和抗压性能相同，即 [σ1 ] =[σy ] ，工程实
践中，为了充分发挥梁的抗弯能力，一般采用上、下对称于中性轴的
截面形状，其强度条件为

但对于抗拉和抗压性能不同的脆性材料，即 [σ1 ] ﹤[σy ] ，一般
使的用外规力范来计说算明，其结果不但数值相等，符号也是一样的，正负号具体
选取如表8-1所示。
表8-1 剪力和弯矩的正负号规定
第8章 弯曲变形
使8用.3规范剪说力明 图与弯矩图
8.3.1 剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力FQ和弯矩M随横截面位置的变化
而变化。设横截面沿梁轴线的位置用坐标x表示，则各个截面上的剪
（2）将载荷分散作用。
（3）合理安排支座位置。
第8章 弯曲变形
使8用.6规.2范说合明理选择梁的截面

从梁的弯曲强度条件可知，梁的抗弯截面系数 Wz越大，横截面
上的最大正应力就越小，梁的抗弯承载能力就越大。 Wz的值与截面
尺寸与截面形状有关，梁的截面面积A越大， Wz就越大，但消耗的
材料也会增加，在设计梁时，应采用合理的截面形状。因此合理的截

两点连曲线法：当悬臂梁作用均布载荷（如例8-4）时，其弯矩
图是抛物线的一部分（上升部分或下降部分），故可用先找到首尾两
点后，将这两点连成光滑曲线的方法作图。

三点连曲线法：如图8-14a所示的简支梁作用均布载荷时，其弯
矩图为二次抛物线。这时必须先画梁的剪力图，找到剪力为零的点的
位置，并求出该点的弯矩值——极值，再找到均布载荷作用的始末两
等强度梁的制造成本较高，一般不采用。摇臂钻的摇臂、鱼腹梁、阶
梯轴等都是变截面梁，可以认为是近似的等强度梁。
第8章 弯曲变形
使8用.7规范梁说的明 弯曲变形及刚度条件
8.7.1 梁的挠度和转角

如图8-25所示，悬臂梁在集中载荷F的作用下，由于弯曲而变形
，其轴线AB变形后弯成平面曲线AB1。轴线AB上的各点在y轴方向 上产生了垂直位移，该位移量（由于是小变形，水平方向的位移忽略
（3）画剪力图和弯矩图。
（4）其他注意事项与绘制轴力图相同。
第8章 弯曲变形
表8-2 不同载荷作用下剪力图与弯矩图的特点
第8章 弯曲变形

根据上述特点，可将剪力图和弯矩图的画法归纳为以下三种：
使用规两范点说连直明线法：所有的剪力图和除均布载荷作用下的弯矩图都是
直线构成的，都可以用求得两个关键点的坐标，从而两点连直线作图
左段）为研究对象，如图8-7c所示，由于整个梁是平衡的，所以左段
梁也应是平衡的。左段梁受向上的集中力F的作用，要使左段梁平衡
，在截面 上必定有一个作用线与外力F平行、等值、反向的内力FQ存 在。同时，集中力F对截面形心C的矩使左段梁有顺时针转动的趋势
，因而截面 上必定有一个在梁的纵向对称平面内的内力偶M与之保持
，除 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应
力均小于甚至远小于许用应力，高强度富裕，材料未得到充分利用。
为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，
这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若使变截面梁每个截
面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁。
，下面的纤维由于单向受拉而伸长，其间必有一层纤维既不伸长也不
缩短，保持原有的长度，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线
叫中性轴。
由理论可以证明：中性轴必通过截面的形心。
第8章 弯曲变形

2．梁纯弯曲时横截面上的正应力的分布规律
使用规由范上说述分明析可知，矩形截面梁在纯弯曲时，横截面上正应力的分
梁的轴线x轴的夹角。
第8章 弯曲变形
图8-25
第8章 弯曲变形
使8用.7规.2范说用明查表法和叠加法求梁变形

由于确定梁的挠曲线方程 比较复杂，工程中将在常用简单载荷
作用下的弯曲变形的挠曲线方程、挠度和转角的计算式列成表，以便
引用。用时在相关机械手册中查取。

通过查表确定梁变形值的方法称为查表法。如果梁同时受到几种
转角小于许用转角，即

以上两式称为梁的刚度条件。其中， [y ] 为弯曲梁的许用挠度
， [θ] 为弯曲梁的许用转角。其具体数值根据实际工作条件规定，可
参照有关手册确定。

在设计梁时，一般应使其先满足强度条件，再进行刚度条件校核
图8-3
第8章 弯曲变形

1．梁的简化
使用规为范了说研究明和绘图的方便，首先对梁本身进行简化，百度文库是用梁的轴
线来代替实际的梁。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为图8-4所
示的三种基本形式。
（1）简支梁 一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁 称为简支梁（图8-4a）。
（2）外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或 两端伸出支座以外，所以称为外伸梁（图8-4b）。
方，这样得出的曲线图分别称为剪力图和弯矩图。

在绘制剪力图和弯矩图时，常根据剪力方程和弯矩方程。利用剪
力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图的基本思路如下：
（1）求约束力。
（2）分段建立剪力方程和弯矩方程。分段的原则是：剪力图以相 邻外力的作用点来分；弯矩图以相邻外力的作用点、力偶的作用面和 均布载荷的两端点来分。
不计）称为挠度，用y表示，它的单位是mm。如图8-25中的CC1即为 C点截面处的挠度。一般规定，向上的挠度为正，向下的挠度为负。
在弯曲变形过程中，梁的横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度
称为该截面的转角，用 表示，它的单位是弧度（rad）。由于变形后
截面仍垂直于曲线，所以截面的转角 等于该截面处挠曲线的切线与
（3）悬臂梁 一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁（图8-4c）

以上三种梁的未知约束力最多只有三个，应用静力学平衡条件就
可以确定这三种形式梁的约束力。故这三种梁都是“静定梁”；凡约
束力的求得不仅需要考虑静力学平衡方程，还需考虑其变形的梁称为
“静不定梁”或“超静定梁”。
第8章 弯曲变形

2．梁所受的载荷分类
载荷联合作用而发生变形时，可先从表中查出每种载荷单独作用下的
弯曲变形，然后将它们叠加，求出梁的实际弯曲变形量，这种方法称
为叠加法。
第8章 弯曲变形
使8用.7规.3范说梁明的刚度条件

梁的变形计算，其目的主要是为了进行刚度计算。满足梁的刚度
要求，就是指梁在外力作用下，应保证最大挠度小于许用挠度，最大
（1）剪力FQ等于所求截面任一侧（左侧或右侧）所有外力的代 数和，即

剪力正负号选取：左上右下为正，左下右上为负。
（2）弯矩M等于所求截面任一侧（左侧或右侧）所有外力对截面 形心C点之矩的代数和，即

弯矩正负号选取：左顺右逆为正，左逆右顺为负。
第8章 弯曲变形
图8-8
第8章 弯曲变形

对于一个横截面上的剪力和弯矩，无论是以截面左段还是右段上