放缩法证明不等式

不等式的证明

本文主要介绍用放缩法证明不等式的技巧。 一、项的添加与删除。

【例1】已知4,≥∈n N n ，求证：2

)

2)(1(2++>

n n n 。

证明：)12

)1(1()...1(2121++-++≥+++++=-n n n n C C C C n

n n n n n n

22324322++>

++=n n n n =2

)

2)(1(++n n 。 [练习1]

若N n x ∈>,0且1>n ，求证：nx x n

+>+1)1(。

二、利用分数的性质进行放缩。

【例2】若a , b , c , d ∈R +

，求证：21<+++++++++++<

c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a

证：记m =

c a

d d

b d

c c a c b b

d b a a +++

++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +

∴1=+++++++++++++++>

c

b a d d

b a d

c c a c b a b

d c b a a m

2=+++++++<

c

d d

d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立

【例3】求证：21

31211111232222<++++<+-n

n

证：∵

n n n n n

1

11)1(112

--=-< ∴2121113121211113121112

222<-=+-++-+-+<++++n n n n ∵1

11)1(112+-

=+>n n n n n ∴

11

23)111()3121(113121112

222+-

=+-++-+>++++n n n n 。 【例4】[1992年“三南”高考试题]求证：n n

21...31211<+

+++

。

【例5】求证：

1

21212...654321+<-∙∙∙∙n n

n 。

【例6】[1998年全国]求证：)(13)2

31

1(...)711)(41

1)(11(*3N n n n ∈+>-+

∙∙+++

点评：

利用分数的性质进行放缩有以下几种技巧： （Ⅰ）

,)1(112-

,)1(112

+>k k k 1

21-+

1

21++>

k k k

；

（Ⅱ）若a 、b 、m R +

∈，且a b >，有：

①真分数的性质；（越加越大。）

()0b m b b m

b m a m a a m -+<<->-+ ②假分数的性质：（越加越小。）()0a m a a m

b m b m b b m

+-<<->+-

[练习2]

[1995年上海]求证：)2,(2

1

2)121

1(...)711)(511)(31

1(*≥∈+>-+∙∙+++n N n n n 证明：设,1

22......5634)1211(...)711)(511)(311(-∙∙∙=-+

∙∙+++n n n

三、利用已知不等式进行放缩。

【例7】求证：2

)1()1(...4332212)1(2

+<

+⨯++⨯+⨯+⨯<+n n n n n 。

【例8】当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n

证：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴

2

22

2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12l o g 2

2

=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡ 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 四、利用函数的单调性进行放缩。

【例9】[2001年全国高考] 已知i , m , n 是正整数，且1i m n <≤<，求证：

(1)(1)n

m m n +>+。

五、利用函数的图象进行放缩。

【例10】在锐角三角形中，求证：2sin sin sin >++C B A 。