离散频率—傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
u[n]的离散时间傅里叶变换
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u[n]的离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是信号处理中一项重要的数学工具，它可以将一个离散时间序列转换为频域表示。
傅里叶变换提供了一种分析信号频谱的方法，能够帮助我们更好地理解信号的特性和结构。
首先，让我们来了解一下什么是离散时间序列。
离散时间序列是由一系列离散时间点上的采样值组成的，例如我们可以通过在每个时间点上记录某个信号的幅值来获取离散时间序列。
离散时间傅里叶变换作为信号处理中的关键工具之一，通过将离散时间序列表示为一系列复数的和，将时间域的信息转换到频域。
这个变换过程可以将信号分解为不同频率的成分，进而揭示信号中隐藏的频谱分布。
离散时间傅里叶变换的数学表达式为：\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cdot e^{-i2\pi\frac{kn}{N}}\]其中，X(k)表示在频率k处的频率域采样值，x(n)是时间域的离散序列，N是序列的长度，e是自然对数的底数，i是虚数单位。
通过离散时间傅里叶变换，我们可以得到一个大小为N的频率域序列，其中每个频率点代表了原始离散序列中某个频率对应的振幅和相位信息。
这使得我们能够清楚地看到信号在不同频率上的能量分布情况。
离散时间傅里叶变换的应用范围非常广泛。
它可以用于语音信号处理、音频信号分析、图像处理、通信系统等领域。
在语音信号处理中，我们可以通过对声音信号进行离散时间傅里叶变换，分析不同频率成分对声音质量的影响；在图像处理中，我们可以将图像转换到频域，进而实现滤波、边缘检测等处理。
此外，离散时间傅里叶变换还有一种高效的计算方法，称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。
FFT算法利用了离散时间傅里叶变换的对称性质，将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大加快了计算速度，因此广泛应用于实时信号处理和大规模数据处理。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系
傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系
傅里叶变换和离散傅里叶变换都是将一个信号从时域转换到频域的方法。
它们之间的关系是离散傅里叶变换是傅里叶变换在数字信号处理中的离散化表示。
傅里叶变换是用于连续时间信号的频域分析方法，而离散傅里叶变换是用于离散时间信号的频域分析方法。
离散傅里叶变换将一个离散时间信号转换成一个离散频域信号，这个离散频域信号是由一系列复数表示的。
傅里叶变换是在连续时间域中计算的，需要对信号进行采样和离散化才能在计算机中使用。
离散傅里叶变换是在离散时间域中计算的，因此它更适用于数字信号处理。
在实践中，可以使用离散傅里叶变换来分析时间序列数据，比如声音、图像和其他信号。
由于离散傅里叶变换的计算速度很快，因此它非常适合在计算机上实现。
总之，离散傅里叶变换是傅里叶变换的数字化表示，用于对时间序列数据进行频域分析。
它们在数字信号处理中都有广泛的应用。
一般离散信号的傅里叶变换推导
一般离散信号的傅里叶变换推导离散信号的傅里叶变换是描述信号在频域中表示的一种方法。
在这篇文章中，我们将讨论离散信号的傅里叶变换的推导过程。
首先，让我们从连续信号的傅里叶变换开始讨论。
连续信号的傅里叶变换可以用以下公式表示：\[X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt\]其中，\(x(t)\)是连续函数，\(X(\omega)\)是信号的频域表示。
该公式表明，信号可以表示为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
然而，离散信号并不是连续函数，而是在离散时间点上采样得到的。
因此，我们需要将连续信号的傅里叶变换推广到离散信号的情况。
离散信号可以表示为以下形式的采样函数的和：\[x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT) \delta(n - k)\]其中，\(x[n]\)是离散信号，\(T\)是采样周期，\(\delta(n)\)是单位冲激函数。
这个公式表明，离散信号是连续信号在不同时间点上的采样值的加权和。
现在，让我们尝试将离散信号的傅里叶变换表示为离散频域上的加权和。
为此，我们可以使用欧拉公式将指数部分展开为正弦和余弦函数。
\[e^{-j\omega n} = \cos(\omega n) - j\sin(\omega n)\]然后，将采样函数的展开形式代入离散信号的傅里叶变换公式中：\[X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT) \delta(n - k) \right)\left( \cos(\omega n) - j\sin(\omega n) \right) \]由于离散信号的傅里叶变换是一个在频域上表示信号的函数，我们可以将其写为一个级数的形式：\[X(\omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(n - k) \left( \cos(\omega n) -j\sin(\omega n) \right) \]现在，让我们考虑在级数中的第二个求和项：\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(n - k)\left( \cos(\omega n) - j\sin(\omega n) \right)\]这个求和项实际上是单位冲激函数与正弦/余弦函数的乘积在离散时间点的加权和。
离散傅里叶变换的物理意义
离散傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的集中形式及应用傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系。
由于自变量时间和频率可以是连续的，也可以是离散的，因此可以组成几种不同的变换对非周期的连续时间，连续频率-----傅里叶变换正变换X(jΩ)={-?,+?}x(t)*exp^-jΩt dt反变换x(t)=1/2π{-?,+?} X(JΩ)*e^jΩt dt练习一:时域函数:连续时间矩形脉冲频域:连续频率的非周期函数周期的连续性，离散频率----傅里叶级数周期为T的时间信号x(t) 的傅里叶级数展开的系数为X(jkΩ),构成的傅里叶变换对如下: 00正变换X(jkΩ)= {-T/2,+T/2}x(t)*exp^-jkΩt dt 000反变换X(t)= ?k={-?,+?} X(jkΩ)*exp^jkΩt 00式中X(jkΩ)是以角频率Ω未见各的离散函数形成频域的离散频谱，Ω与时间信号的周期000之间的关系为Ω=2ΠF=2π/T.傅里叶级数展开将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率00为Ω整数倍的谐波，k为各次谐波序号。
0练习二时域:连续时间周期矩形脉冲频域:非周期的频域时域的周期性对应于频域的离散性非周期的离散时间、连续频率---序列的傅里叶变换非周期离散时间信号的傅里叶变换就是序列的傅里叶变换正变换X(e^jω)= ?n={-?,+?}x(n) e^jωn反变换x(n)=1/2π{-π,+π}X(e^jω) e^jωn dω式中，ω是数字频率如果序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为T,抽样频率为f=1/T,抽样角ssS频率为Ω=2π/T，由于数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为ω=ΩT，因此抽样数字频sss率ω=ΩT=2π，则上面的变换对也可写成 sss 正变换X(e^jΩT)= ?n={-?,+?}x(nT) e^jnΩT反变换x(nT)=1/Ω{-Ω/2,+ Ω/2}X(e^jΩT) e^jnΩT dΩ sss练习三时域:对连续时间矩形脉冲按照T为周期进行采样 s频域:以Ω为周期严拓 s时域的离散造成频域的周期严拓，时域的非周期性对应于频域的连续性离散时间，离散频率----离散傅里叶变换由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，而前面三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一个域是连续的，所以都不可以在计算机上进行运算和实现，因此对于数字信号处理，应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换，即离散傅里叶变换前面的讨论已经得出结论:时域的周期性导致频域的离散型，时域的连续函数在频域形成非周期频谱;而时域的离散型造成频域的周期延拓，时域的非周期性对应于频域的连续函数形式。
3.2 几种傅里叶变换的形式
时间函数
时间连续 时间连续 时间离散 时间离散
频率函数 频率连续 — 傅里叶变换
频率离散 — 傅里叶级数 频率连续 — 序列的傅里叶变换 频率离散 —离散傅里叶变换
一、连续时间非周期信号—傅里叶变换
时域连续函 数造成频域是非 周期的谱，而时 域的非周期造成 频域是连续的谱 密度函数。
二、连续时间周期信号—傅里叶级数
时域连续函 数造成频域是非 周期的谱，而频 域的离散对应时 域是周期函数。
三、离散时间非周期信号—序列的傅里叶变换
时域的离散 化造成频域的周 期延拓，而时域 的非周期对应于 频域的连续
四、离散时间周期信号—离散傅里叶变换
一个域的离散 造成另一个域的周 期延拓，因此离散 傅里叶变换的时域 和频域都是离散的 和周期的.
常见的傅里叶变换对
常见的傅里叶变换对傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种重要的数学分析工具，可以将信号从时域转换到频域，分析信号在频域中的特征。
在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的傅里叶变换对，下面就逐一介绍一下这些变换对。
一、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶级数（FS）离散傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种变换方式，它与傅里叶级数有着密切的联系。
傅里叶级数是将周期信号在周期内按照一定的权重展开成一组无穷级数，可以得到信号在频域中的谱线。
当周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以转换为傅里叶变换，展示信号在连续的频率域中的谱线。
因此，离散傅里叶变换与傅里叶级数是同一种变换的不同表现形式。
二、快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种高效的计算方法。
它利用了离散傅里叶变换的对称性和周期性，将计算时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系是，DFT是计算离散信号的频谱的一种方法，而FFT是DFT的一种高效算法。
三、短时傅里叶变换（STFT）与连续傅里叶变换（CFT）短时傅里叶变换是一种将非周期信号的时域信号转换为频域信号的方法。
与传统的傅里叶变换只能计算周期信号不同，短时傅里叶变换可以对非周期信号进行变换。
CFT是一种计算连续信号的傅里叶变换的方法，是对傅里叶变换的推广和扩展。
这两种变换方法都是将信号从时域转换为频域，但CFT适用于连续信号的处理，STFT适用于非周期信号的处理。
四、小波变换（WT）与傅里叶变换（FT）小波变换是一种分析信号在时间域上局部性质的变换方法。
与傅里叶变换只能分析信号在频域上的特征不同，小波变换可以分析信号在时间域上不同尺度的局部信息。
小波变换是一种时频分析方法，可以提供采样与频率同时抽取的加窄带效果，又较傅里叶分析提供更高分辨率。
离散信号傅里叶变换
离散信号傅里叶变换
离散信号傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散时间域信号转换到离散频率域信号的数学技术。
离散信号傅里叶变换广泛用于数字信号处理、图像处理等领域。
离散信号傅里叶变换将离散信号x[n]分解为一组基函数的加权和，这些基函数是正弦和余弦函数，其频率为信号的一组离散频率。
这样，我们可以知道信号在不同频率下的能量分布，从而用于周期性信号分析、滤波等应用。
DFT算法的核心是蝴蝶运算，即将一个复数序列分解为两个复数序列的加权和，这是一种基于分治思想的算法，可以通过递归实现，具有高效性和可扩展性。
离散信号傅里叶变换的逆变换也是存在的，可以将一组离散频率域的信号转换回离散时间域信号。
这种逆变换与正变换形式相同，只需对应的权重取相反数即可。
总之，离散信号傅里叶变换是一种非常有用的数学技术，可以用于数字信号处理、滤波、频率分析、压缩等领域。
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
离散傅里叶变换表
离散傅里叶变换表一、引言1.1 背景傅里叶变换是离散信号处理中一项重要的数学工具。
通过将信号分解为一组基本频率分量，傅里叶变换能够帮助我们理解信号的频谱性质以及对信号进行频域处理。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换在离散时序信号处理中的一种形式。
为了方便使用离散傅里叶变换，我们可以借助离散傅里叶变换表来进行相关计算。
1.2 目的本文旨在深入探讨离散傅里叶变换表的相关概念、原理及使用方法，帮助读者更好地理解和应用离散傅里叶变换。
二、离散傅里叶变换表的概念2.1 定义离散傅里叶变换表是一种用于记录离散信号傅里叶变换结果的表格。
表中的每个元素都代表了输入信号在不同频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换表通过提供离散信号的频谱信息，帮助我们理解信号的频域特征。
2.2 数据结构离散傅里叶变换表通常采用二维数组来表示。
其中，行代表频率，列代表离散信号序列的元素位置。
表中的每个元素都是一个复数，包含了频域幅度和相位信息。
通过查找表中的元素，我们可以得到离散信号在不同频率下的频谱表示。
三、离散傅里叶变换表的原理3.1 傅里叶变换公式离散傅里叶变换是由连续傅里叶变换演化而来的，它将连续信号的傅里叶变换拓展到了离散信号上。
离散傅里叶变换公式如下：其中，N代表离散信号长度，x[n]表示离散信号序列，X[k]表示离散信号的频域表示。
3.2 离散傅里叶变换表的生成方法离散傅里叶变换表可以通过计算离散信号在不同频率下的傅里叶变换结果得到。
常用的生成方法是使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法，该算法通过有效的计算方法减少了计算复杂度，提高了计算效率。
通过FFT算法，我们可以快速生成离散傅里叶变换表。
四、离散傅里叶变换表的使用方法4.1 查找频域信息离散傅里叶变换表中的元素代表了离散信号在不同频率下的频谱信息。
通过查找表中的元素，我们可以获取信号在某一频率下的幅度和相位信息。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法
傅里叶系数标号k ：0～N
数字频率ω：0～2π 模拟频率 f ：0～fs
0
N /2
0
0
fs /2
0
s /2
北京邮电大学信息与通信工程学院
N k (变换系数标号) 2 （弧度，数字频率） fs f （Hz，模拟频率） s （弧度/秒，模拟角频率）
24
DFS 定义：几点说明
频率成份
直流分量：
N 1
北京邮电大学信息与通信工程学院
11
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
1 W N 1 j 2 k(rm) N
e W 1W k0
N 1 k(rm)
离散傅里叶级数包含了 0 到 (N-1)fs/N 的频率，因而 N 个傅里叶级数的系 数位于从 0 直到接近取样频率的频率上。
N 1
当 k=0 时， X (0) x(n)WN 0n x(n) ，此时得到的傅里叶级数的系数
称为信号的直流分量（DnC0 Componenn0t）X，(0)/ N 是信号的平均值；
交流分量：
其它频率（k>0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为 信号的交流分量。
k=1 时的频率为信号的一次谐波，或基频，频率大小为 fs/N，时间为 NTs，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。
8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结：
形式
时间函数
频率函数
离散傅立叶变换
为了书写方便，常令符号
WN e
j 2 N
这样周期序列的傅里叶变换对可以写为： 正变换：
nk X (k ) DFS[ x(n)] x(n)WN N 1 n 0
k 0,1, 2,..., N 1
反变换：
1 N 1 nk x(n) IDFS[ X (k )] X (k )WN N n 0
n 0,1, 2,..., N 1
例 3-4 设 x(n) R5 (n)，将 x(n) 以N=10为周期作周期延拓， 得到周期信号 x(n) ，求 x(n) 的DFS。
nk 解： X (k ) DFS[ x(n)] x(n)W10 x(n)e n 0 n 0 9 9 j 2 nk 10
DFT的变换
总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。
X ( k ) x ( n) e
n 0 N 1
nk j 2N
(4.1.9) (4.1.10)
nk 1 N 1 j 2N x ( n) X ( k ) e N n 0
其中X (k ) X (e
nk j 2N
例如： x(n)是周期为N=8的序列，则有
x(8) x((8))8 x(0) x(9) x((9 1 1 8))8 x(1) x(4) x((4 4 1 8))8 x(4)
2.有限长序列的离散傅里叶变换(DFT) 有限长序列的傅里叶变换的定义： 正变换：
1.周期序列的离散傅里叶级数 若离散时间序列x(n)为周期序列，则一定满足： x(n)=x(n+rN) 其中N（正整数)为信号的周期，r为任意整数。为了和非 周期序列区分，周期序列记作：x(n)
傅里叶变换和离散傅里叶变换的区别
傅里叶变换和离散傅里叶变换的区别1. 引言嘿，大家好，今天咱们要聊聊傅里叶变换和离散傅里叶变换这对“兄弟”。
你可能在学校的时候听过这些名字，甚至在一些数学或信号处理的课程中遇到过它们。
但这俩玩意儿其实有点区别，像是兄弟俩性格不一样，一个爱浪荡，一个喜欢安分守己。
那咱们就来深挖一下它们之间的不同吧。
1.1 傅里叶变换的魅力首先，傅里叶变换就像是个魔法师，它能把时间信号变成频率信号。
想象一下，你在听一首歌，傅里叶变换就能把那首歌分解成不同的音符。
就好比你拆开一个汉堡，里面有生菜、番茄、牛肉等等，傅里叶变换把这些“成分”分得清清楚楚。
而且，这个变换是连续的，也就是说，它能处理任何时间段的数据，简直就是个通吃的角色！你要是把它比作一个乐队，它绝对是主唱，负责把每个声音都表现得淋漓尽致。
1.2 离散傅里叶变换的独特之处而离散傅里叶变换，嘿，它可就不是那么随心所欲了。
想象一下，你在吃汉堡的时候只吃得起半个，每个成分都得精挑细选。
这就是离散傅里叶变换的魅力所在：它只处理离散的信号，通常是定期采样的。
你可以把它看作是把乐队的主唱换成了一个DJ，专注于用采样的音符来创造音乐。
这样虽然不如傅里叶变换那么全面，但也很适合在数字世界里大显身手！2. 应用场景说到应用，这俩的场合可真不一样哦。
傅里叶变换常常在物理学、工程学等领域大展拳脚，比如分析波动、图像处理等等。
它的“连续性”使得它能够适用于很多实际问题，简直就是科学家们的好帮手。
相比之下，离散傅里叶变换主要是在数字信号处理的世界里发光发热，比如在音频压缩、图像处理和通信系统中。
它特别适合现代计算机，因为计算机处理的都是数字信号，离散傅里叶变换就像是数字世界的守护神。
2.1 频率分析另外，傅里叶变换和离散傅里叶变换在频率分析上也有些不同。
傅里叶变换能让你看清楚信号中所有频率成分的“模样”，就像是在用显微镜观察细胞。
而离散傅里叶变换则是把这些频率成分“剪切”成一个个小块，像是在拼图游戏中一块一块地放上去。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
离散傅里叶变换的特点
离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种数学变换技术，用于将时域离散信号转换为频域离散信号。
它是傅里叶变换在离散时间序列上的推广和离散信号处理中最重要的工具之一。
离散傅里叶变换具有以下几个特点：1. 离散性：离散傅里叶变换适用于离散时间序列的信号处理，它将连续时间信号转换为离散频率信号。
与连续傅里叶变换不同，离散傅里叶变换对信号进行采样和离散化处理，适用于数字信号处理领域。
2. 周期性：离散傅里叶变换是一种周期性变换，其输入信号在时域上必须是周期性的。
这是因为离散傅里叶变换假设信号是周期重复的，频域上的离散频率点也是周期性重复的。
3. 线性性：离散傅里叶变换具有线性性质，即对于输入信号的线性组合，其离散傅里叶变换等于各个信号的离散傅里叶变换的线性组合。
这使得离散傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用。
4. 对称性：离散傅里叶变换具有对称性质，即输入信号的离散傅里叶变换结果的实部和虚部具有对称性。
这个性质在信号处理中常常用于简化计算和减少存储空间。
5. 傅里叶变换和逆变换：离散傅里叶变换和逆变换是互逆的，即对一个信号进行离散傅里叶变换后再进行逆变换，可以恢复原始信号。
这使得离散傅里叶变换在信号压缩、滤波和频谱分析等方面具有重要应用。
离散傅里叶变换的特点使其在数字信号处理、通信系统、图像处理、音频处理等领域得到广泛应用。
在数字信号处理中，离散傅里叶变换可以用于信号的频谱分析和滤波。
通过计算信号的离散傅里叶变换，可以将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱信息。
频谱分析可以帮助我们了解信号的频率成分和能量分布，从而对信号进行特征提取、模式识别和信号分类等任务。
同时，通过对信号的频域信息进行滤波，可以实现信号的去噪、陷波和增强等处理。
在通信系统中，离散傅里叶变换可以用于信号的调制和解调。
调制是将基带信号转换为带通信号，而解调是将带通信号转换为基带信号。
离散傅里叶变换及快速算法
序列分解为N个谐波相关的复指数之和。将
j 2N nk
X (k ) x(n)e
, k 0,1,2,
（5-3）
称之为离散傅里叶级数DFS的k次谐波系数。是一个基波周 期为N的周期序列。
X (k ) X ( k N )
§5．离散傅里叶变换及快速算法
在DFS变换中引入复数
k
X ( jk0 )e jk0t
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp
时域信号 连续的 周期的
频域信号
非周期的
离散的
3.离散时间、连续频率的傅立叶变换 – DTFT（离散时间傅立叶 变换） X e 或 X (e ) x(nT) T
j jT
---T 0 T 2T
正 : X (e
WN e
j 2N
将DFS正反变换描述为
nk 正 : X (k ) DFSx (n) X (k ) x (n)WN n 0
N 1
1 N 1 反 : x (n) IDFS X (k ) x (n) X (k )WN nk N k 0
（5-5）
WN
的性质: 1 N 1 ( nm) k 1 n m lN 正交性: WN 0 n m lN N k 0
周期性:
W
k mN N
W
k N
l , m, N / 2, k / 2均为整数
共轭对称性（偶序列）: 可约性：
k N (WN )* WN k
k mk k 2 WN WmN WN // 2
§5．离散傅里叶变换及快速算法
2.离散傅里叶变换（DFT）
但对于数字系统，无论是Z 变换还是序列傅立叶变换的适用方面都存 在一些问题，重要是因为频率变量的连续性性质（DTFT变换出连续频 谱），不便于数字运算和储存。 参考DFS，可以采用类似DFS的分析方法解决以上问题。可以把有限 长非周期序列假设为一无限长周期序列的一个主值周期，即对有限长非 周期序列进行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS进行处理，即 采用复指数基频序列和此有限长时间序列取相关，得出每个主值在各频 率上的频谱分量以表示出这个“主值周期”的频谱信息。 由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时 又对区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带 有了周期性。另外，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所 以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样， 此时采样频率等于序列延拓后的 周期N，即主值序列的个数。
离散傅里叶变换和傅里叶变换
离散傅里叶变换和傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理和频谱分析中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解信号的频率成分，对信号进行频域分析，以及在数字信号处理中起到了非常重要的作用。
本篇文章将从简单到复杂，从浅入深地介绍离散傅里叶变换和傅里叶变换的概念和应用，帮助大家更深入地理解这两个概念。
一、离散傅里叶变换1. 概念概述离散傅里叶变换是傅里叶变换在离散域上的表示。
它将一个离散的信号转化为一组离散的频谱成分，用于分析信号的频域特性。
在许多数字信号处理的应用中，离散傅里叶变换被广泛应用，比如音频分析、图像处理等领域。
2. 计算公式离散傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$其中，$X_k$表示频谱分量，$x_n$表示输入信号的离散样本，而$e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$则是复指数函数。
3. 应用场景离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，包括语音处理、图像处理、通信系统等。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，对信号进行压缩、滤波等操作。
二、傅里叶变换1. 概念概述傅里叶变换是一种数学变换，将一个时域上的信号转化为频域上的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率成分，从而更好地理解信号的频谱特性。
2. 计算公式傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} dt$其中，$X(f)$表示频谱成分，$x(t)$表示输入信号，而$e^{-j2\pi ft}$则是复指数函数。
3. 应用场景傅里叶变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域都有着非常重要的应用。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，进行滤波、压缩等操作，同时也在图像处理中起到了重要作用。
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离散傅里叶变换的时域和 频域都是离散的和周期 的。主值区间的变换为 DFT变换
四种傅里叶变换形式的归纳
4
时间函数
频率函数
连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(T)和非周期 离散(T)和周期(T0)
非周期和连续
非周期和离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/T)和连续 周期(Ωs=2π/T)和离散 (Ω0=2π/T0)
O 2 4
离散傅里叶变换及其快速算法
4
演示实例1
0.2
X (0) 0.1
0.20
X (1) 0
-00..22
X (2) 0
x(0) x(1)
X (k)
1 N
N 1
x(n)WNnk
n0
x(2)
-00..22
X (3) 0
= -00..22
X (4) 0
-0.2 0.2
X (5) 0
1 1
1
1
x(3) x(4) WN
四种傅里叶变换形式的归纳
4
Demo四种变换关系
f t FT变换
F
E
E
2
t 2 0 2
O 2 4
DTFT
变换
F
IDTFT 变换 f t
E
O
2 2
2 0 2
t
IDFS变换
2 2
周期延拓
主值区间
周期延拓
2 2
DFT变换
主值区间
四种傅里叶变换形式的归纳
4
补充例周期延拓 (1)周期延拓：N=5时
4
演示实例2
离散傅里叶变换及其快速算法
4
演示实例3
匹配滤波器输入端信号及其ＦＦＴ频谱
匹配滤波器输出端信号及其ＦＦＴ频谱
4.1 Fourier变换的几种可能形式
4
时间函数
频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换（FT）
连续时间、离散频率—傅里叶级数（DFS） 离散时间、连续频率—离散时间信号(序列)
离散傅里叶变换及其快速算法
4
电气学里的名言“永远不要忘记傅里叶变换”
我们知道的东西是有限的，我们不知道的 东西则是无穷的-------拉普拉斯
离散傅里叶变换及其快速算法
4
傅里叶变换是将时域和频域联系起来
的工具，是时域内“信号”和频域内
“频谱函数”之间的某种变换关系。
f t
E
F
E
2
t
2 0 2
x(n) 3
2 1 1 0.5
3 2
x(n)
3 2
3 2
1 1 0.5 1 1 0.5 1 1 0.5
n
n
(2)周期延拓：N=6 时，补零加长
3
x(n)
2
3 2
3 2
1 1 0.5 1 1 0.5 1 1
n
四种傅里叶变换形式的归纳
4
周期延拓Matlab程序
subplot(1,1,1) % 画x((n+4))11的图 n = 0:10; x = 10*(0.8) .^ n; n1 = -11:21; x1 = [zeros(1,11), x, zeros(1,11)]; subplot(2,2,1); stem(n1,x1); title('初始序列 x(n)') axis([-10,17,-1,11]);text(18,-1,'n') x2 = [x, x, x]; subplot(2,2,3); stem(n1,x2); title('周期延伸') axis([-11,21,-1,11]);text(18,-1,'n')
1 N
1 1
WN1 WN2
WN2 WN4
W N 1 N
W 2( N 1) N
x(5)
1
W ( N 1) N
W 2( N 1) N
WN( N 1)(N 1)
-00..22
X (6) 0 -00..22
X (7) 0
x(6) x(7)
WNk
j 2 k
e N
-0.2
0
2
4
6
8
离散傅里叶变换及其快速算法
4.2.1 离散傅里叶级数的导出
4
对于一个周期为N 的周期序列 x%(n) ，
离散傅里叶级数形式为
正变换
X%(k)
DFS[x%(n)]
N 1
j 2 nk
x%(n)e N
N 1
x%(n)WNnk
n0
n0
反变换
x%(n)
IDFS[ X%(k)]
1 N
N
1
X%(
k
)e
第4章 离散傅里叶变换 及其快速算法
课程名称：数字信号处理 任课教师：张培珍 授课班级：信计1081-1082
1 4.1 傅里叶变换的几种形式 2 4.2 周期序列的离散傅里叶级数 3 4.3 离散傅里叶变换 4 4.4 离散傅里叶变换的性质 5 4.5 利用DFT对连续信号进行谱分析
6 4.6 快速傅里叶变换 7 4.7 FFT的应用 8 4.8 综合实例
的傅里叶变换（DTFT）
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换（DFT）
4.1.1 连续时间、连续频率—傅里叶变换 4 （连续非周期时间信号的傅里叶变换FT）
结 时域连续函数对应频域是非周期的谱，而时域的 论 非周期对应频域是连续的谱密度函数。
4.1.2 连续时间、离散频率—傅里叶变换 4 （连续周期时间信号的傅里叶变换DFS）
N 1
X%(k )WNnk
k 0
其中：
WN
j 2
e N
4.2.1 离散傅里叶级数的导出
4
X%(k )
N 1
j( 2π )kn
x%(n)e N
n0
X%(k) 序列呈周期性，且周期为N，即
X%(k
mN )
N 1
j2π (k mN )n
x%(n)e N
N 1
j2π kn
x%(n)e N
X%(k )
n0
n0
说明
时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然 是一个周期序列。
4.2.1 离散傅里叶级数的导出
4
对比
WN e j(2π / N )
X%(k)
DFS[x%(n)]
N 1
j( 2π )kn
x%(n)e N
N 1
x%(n)WNnk
n0
n0
四种傅里叶变换形式的归纳
4
4.2 周期序列的离散傅里叶级数
4
周期序列：x%(n) x%(n rN )
r为任意整数 N为周期
周期序列不能进行z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域 （不是绝对可和）。但是，正像连续时间周期 信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散 的傅氏级数来表示，也即用周期为N的复指数 序列来表示。
结 时域连续函数对应频域是非周期的谱， 论 而时域的周期性导致频域的离散。
4.1.3离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 4 （离散非周期时间信号的傅里叶变换DTFT）
结 时域的离散化造成频域的周期 延拓，而时域的非周期对应于
论 频域的连续。
4.1.4离散时间、离散频率—序列的傅里叶变换 4 离散周期时间信号的傅里叶变换DFS--DFT