八年级数学勾股定理与平方根
勾股定理与平方根的计算
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理用于确定直角三角形的边长关系 勾股定理在建筑设计中的应用 勾股定理在测量中的应用 勾股定理在解决实际问题中的应用
平方根在日常生活中的应用
建筑测量：在建筑行业中，平方根可以用于计算建筑物的面积和体积，以确保建筑物的 尺寸和比例符合要求。
科学实验：在科学实验中，平方根可以用于计算实验数据的平均值和标准差，以评估实 验结果的可靠性和准确性。
解析
勾股定理与平方根的练习题：提供了一些经典的练习题，帮助学生巩固所学知识。 解析过程：详细解释了每道练习题的解题思路和步骤，帮助学生理解解题方法。
题目难度：对每道练习题的难度进行了评估，方便学生根据自己的学习水平进行选择。 易错点分析：总结了解题过程中容易出现的错误，提醒学生注意避免类似错误的发生。
02 平方根的计算
平方根的定义
平方根是一个数的平方等 于给定值时的数
平方根有正负之分，因为 正负数的平方都是正数
平方根的表示方法是在数 前加根号，如√4=2
平方根的运算一个非负数a的平方根，记为√a，表示a的算术平方根。
性质：正数的平方根有两个值，互为相反数；0的平方根是0；负数没有实 数平方根。
平方根计算在勾股定理中的应用
勾股定理的证明需要用到平方根的概念。
平方根的计算可以帮助我们找到直角三角形斜边的长度，从而验证勾股定理。
在实际应用中，平方根的计算可以帮助我们解决一些与勾股定理相关的问题，例如建筑、航海 等领域的问题。
掌握平方根的计算方法对于理解和应用勾股定理至关重要。
04
勾股定理与平方根的实 际应用
勾股定理与平方根的 计算
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八年级上册的书数学
以下是八年级上册的数学书目录：
第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
1.2 勾股定理的应用
第二章实数
2.1 平方根
2.2 立方根
2.3 实数
第三章分式
3.1 分式的概念和性质
3.2 分式的运算
第四章一次函数
4.1 函数和一次函数
4.2 一次函数的图象和性质
4.3 一次函数的应用
第五章全等三角形
5.1 全等三角形的性质和判定方法5.2 直角三角形全等的特殊条件5.3 全等三角形的应用
第六章轴对称、平移和旋转
6.1 轴对称
6.2 平移和旋转
第七章因式分解
7.1 因式分解的概念和方法
7.2 因式分解的应用
第八章分式方程及其解法
8.1 分式方程的概念和解法
8.2 分式方程的应用
第九章二次根式及其运算
9.1 二次根式的概念和性质
9.2 二次根式的运算
9.3 二次根式的化简与求值
第十章数据的收集、整理与描述10.1 数据收集与整理的基本方法10.2 用统计图表描述数据
10.3 频数分布直方图。
八年级上册数学公式法
八年级上册数学公式法
1.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
公式：$a^2 + b^2 = c^2$
其中，$a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。
2.平方差公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
用于计算两个数的平方差。
3.完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和$(a-b)^2 = a^2 -
2ab + b^2$
用于计算一个数的平方，加上或减去两倍的该数与另一数的乘积，再加或减另一数的平方。
4.二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (其中$a
\geq 0, b \geq 0$)
用于计算两个非负数的平方根的乘积。
5.二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (其
中 $a \geq 0, b > 0$)
用于计算一个非负数的平方根除以另一个非负数的平方根。
6.分式的乘法法则：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
用于计算两个分式的乘积。
7.分式的除法法则：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times
\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$
用于计算一个分式除以另一个分式。
八年级数学(上)第二章 勾股定理与平方根 课时练习：第4课时 平方根(1)
八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第4课时平方根(一)（附答案）1．(1)因为32=9，(－3) 2=_________，所以3和－3都是_________的平方根；(2)2有_________个平方根，它们互为________数，记作________；(3)4的平方根是__________；(4)__________的平方根．2．若a、b分别是10的平方根，则a+b=________．3．(1)一个数的平方等于它本身，这个数是__________；(2)一个数的平方根等于它本身，这个数是_________．4．(1)16的平方根是________；0．25的平方根是________；1649的平方根是_________；(2)2．56的平方根是_________；(－2) 2的平方根是_________；10－2的平方根是_______．5．若4x+1的平方根是±5，则x=________．若x 2=16，则5－x的平方根是_________．6．一个正数n的两个平方根为m+1和m－3，则m=_________，n=__________．7．若式子13x-的平方根只有一个，则x的值是__________．8．下列说法正确的是( )A．116的平方根是14B．任何有理数都有平方根C．任何非负数都有两个平方根D．一个正数的两个平方根的和等于零9．下列各数中没有平方根的是( )A．216⎛⎫- ⎪⎝⎭B．216⎛⎫- ⎪⎝⎭C．216⎛⎫± ⎪⎝⎭D．1610．求下列各数的平方根：(1)144；(2)21；(3)116；(4)10－4；(5)(－3) 2．11．求下列各式中的x：(1)x2=36；(2)9－x2=0．12．下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由．(1)－64；(2)0；(3)(－4) 2；(4)10－2．13．求下列方程中的x：(1)x 2+9 2=41 2；(2)x 2=(－4) 2；(3)(1－x) 2=9 2；(4)(2x－3) 2－9=16．14．(1)一个正数的平方等于361，求这个正数．(2)一个负数的平方等于169，求这个负数．(3)一个数的平方等于121，求这个数．参考答案1．(1)9 9 (2)2 相反(3)±2 (4)5 2．0 3．(1)1，0 (2)04．(1)±4 ±0．547±(2)±1．6 ±2110±5．6 ±3或±1 6．1 4 7．1 38．D 9．B10．(1)±12 (2)(3)14±(4)±10－2(5)±311．(1)x=±6 (2)x=±312．(1)没有理由略(2)0 (3)±4 (4)±10－113．(1)x=±40 (2)x=±4 (3)x=－8或x =10 (4)x=4或x=－1 14．(1)19 (2)－13 (3)±11。
八年级数学上册知识要点总结
八年级数学上册知识要点总结八年级数学上册知识归纳一、算术平方根1.算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作√a。
0的算术平方根为0;2.平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
3.开平方：求一个数a的平方根的运算(与平方互为逆运算)4.平方根性质：正数有2个平方根(一正一负)，它们是互为相反数;负数没有平方根。
二、立方根1.立方根：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么数x就叫做a的立方根(或三次方根)。
2.开立方：求一个数a的立方根的运算(与立方互为逆运算)。
3.立方根性质：正数的立方根是正数;负数的立方根是负数。
0的立方根是0;三、实数1.无理数：无限不循环小数。
如：π、√2、√32.实数：有理数和无理数统称实数。
实数都可以用数轴上的点表示。
八年级数学知识总结一、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
性质：1、四条边都相等;2、四个角都是直角;3、正方形既是矩形，又是菱形。
判定定理：1、邻边相等的矩形是正方形。
2、有一个角是直角的菱形是正方形。
二、梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
1、直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形2、等腰梯形的定义：两腰相等的'梯形。
等腰梯形的性质：1、同一底边上的两个角相等;2、两条对角线相等;3、两腰相等;4、对称性：轴对称图形。
等腰梯形判定定理：1、两腰相等的梯形是等腰梯形;2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形;3、对角线相等的梯形是等腰梯形;八年级数学知识重点一、勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c22、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a2b2c2的三个正整数，称为勾股数。
二、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
初二上期末复习勾股定理与平方根
（二）勾股定理与平方根一、勾股定理、勾股数、勾股定理的应用 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子：∠C=900⇒222a b c +=2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形. 数学式子：222a b c +=⇒∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。
例1：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例2：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例3：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？Aa ED CB A DCBA例4：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。
（1） 如果剪4刀，应如何剪拼？（2） 少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？ 【巩固练习】1、Rt △ABC 中，∠C=900⑴如果BC=9，AC=12，那么AB= 。
⑵如果BC=8，AB =10，那么AC = 。
2、等腰三角形ABC 的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为多少？二、平方根、立方根1、平方根如果一个数的平方等于9，这个数是几？ ±3是9的平方根；9的平方根是±3。
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。
数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
勾股定理与平方根的数学知识点
勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理是描述直角三角形边的关系的定理，它由公式a²+b²=c²表示，其中a、b、c分别代表直角三角形的两个直角边和斜边。
这一定理源自古希腊的数学家毕达哥拉斯提出的观察和实验结果。
应用：勾股定理在几何学中的应用非常广泛，可以用于求解直角三角形的边长、计算三角形的面积等。
同时，它还有重要的应用于导出三角函数的定义和性质。
例如，我们可以通过勾股定理计算一个直角三角形的斜边长度。
如果已知两个直角边的长度分别是a=3和b=4，那么根据勾股定理，可以计算出斜边c的长度：c²=a²+b²c²=3²+4²c²=9+16c²=25c=√25c=5所以，直角三角形的斜边长度为5二、平方根平方根是一种运算，表示一个数的平方根。
对于非负实数x，它的平方根是一个非负实数y，满足y²=x。
平方根的正号由计算的上下文决定。
平方根的运算方法可以通过求解方程x²=y来实现。
实质上，平方根是指数运算的逆运算。
应用：平方根在代数学中的应用广泛，可用于求解方程、计算数值等。
它还在几何学中有重要的应用，例如计算直角三角形的斜边长度、计算圆的半径等。
在实际应用中，平方根的计算可以通过手算、计算器、计算机等方式进行。
一些常见的平方根的近似值也被广泛使用，例如√2≈1.414，√3≈1.732三、勾股定理与平方根的关系勾股定理和平方根的关系可以通过勾股定理的应用来理解。
当我们需要求解直角三角形的斜边长度时，可以使用平方根运算。
在勾股定理中，由于a²+b²=c²，所以有c=√(a²+b²)。
这个式子告诉我们，当已知两个直角边的长度时，我们可以通过平方根运算来计算斜边的长度。
例如，当已知两个直角边的长度分别为a=3和b=4时，根据勾股定理，我们可以计算出斜边c的长度为c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5这个例子展示了勾股定理和平方根的关系，它们在求解直角三角形边长时密切相关。
八年级数学(上)第二章 勾股定理与平方根 课时练习：第1课时 勾股定理(1)
八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第1课时勾股定理(一)（附答案）1．如图，网格中的正方形A、B、C的面积分别为________．A、B、C 面积之间的关系为__________．2．在R t△ABC中，∠C=90°,a、b、c是∠A、∠B、∠C所对的边，则三边a、b、c之间的关系是___________．3．如图，在下列横线上填上适当的值．x=__________；y=__________；z=__________．4．求出下列阴影部分的面积．5．如图，在下列横线上填上适当的值．x=_________；y=__________；S1=__________；S2=__________．6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，先将直角边AC沿AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=_____________．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．(1)已知a=6，b=8，求c；(2)已知a=40，c=41，求b；(3)已知c=15，b=9，求a；(4)已知∠A=45°，c=4，求a2．8．如图，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，AC=12，BD=4．求DC的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=9，BC=12．求CD的长．10．一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一边为8．求斜边的长．11．如图，在△ABC中，AB=AC．(1)点D为底边BC上的任意一点，试说明：AB2－AD2=DB·DC(2)若点D在底边BC的延长线上，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗?请说明理由．点D在CB的延长线上呢?若不成立，你能写出一个类似的结论吗?参考答案1．4、16、20 S A+S B=S C2．a2+b2=c23．(1)10 (2)16 (3)94．①1 ②81 ③4765．(1)2．5 (2)39 (3)225 (4)2256．3cm7．(1)10 (2)9 (3)12 (4)88．39．7．210．1011．(1)过A作AE垂直于BC (2)不成立AB2－AD2=－DB·DC。
初二数学平方根与勾股定理的运用
初二数学平方根与勾股定理的运用数学作为一门基础学科，在我们学习过程中，掌握好基本的数学知识是非常重要的。
而平方根与勾股定理作为数学中的重要概念，在初中阶段更是需要我们深入掌握和灵活运用。
本文将从数学原理、实际应用和解题技巧三个方面展开，为大家详细介绍初二数学平方根与勾股定理的运用。
一、数学原理1. 平方根的概念平方根是数学中的一个概念，用来表示一个数的算术平方根。
对于一个非负数a，如果有一个数b，使得b的平方等于a，那么b就被称为a的平方根，记作√a。
2. 勾股定理的定义勾股定理是一种表达直角三角形边长关系的定理，也被称为毕达哥拉斯定理。
定理表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即c^2 = a^2 + b^2。
二、实际应用1. 平方根的应用之开平方运算开平方运算是平方根的一种应用形式。
这在测量和计量中具有广泛的应用。
例如，在测量直角三角形的斜边时，我们可以通过求解斜边的平方根来得到其实际长度。
2. 勾股定理的应用之求解三角形的边长勾股定理可以帮助我们在已知两个边长的情况下，求解出直角三角形的第三个边长。
这在实际测量中有着广泛的应用。
例如，我们在测量建筑物高度时可以利用勾股定理来计算。
三、解题技巧1. 平方根的运算技巧在进行平方根运算时，我们可以利用一些技巧来简化计算。
例如，当求解√16时，可以发现16可以分解为4的平方，即16 = 4^2，因此√16 = √4^2 =4。
2. 勾股定理的解题方法在运用勾股定理解决问题时，我们需要注意找到直角形成的两条边，并利用定理进行计算。
同时，还需要注意边长的单位一致性，确保计算的准确性。
总结起来，初二数学中的平方根与勾股定理是我们学习中非常重要的内容。
通过深入理解数学原理、掌握实际应用和解题技巧，我们能够更好地运用这些知识，解决实际问题。
在今后的学习中，我们应该持续加强对平方根与勾股定理的研究和应用，提升自己的数学水平。
八年级数学上册知识点总结北师大版
八年级数学上册知识点总结北师大版一、勾股定理。
1. 勾股定理内容。
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。
例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) + 4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
例如，三角形三边为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144=169 = 13^2，所以这个三角形是直角三角形。
3. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。
二、实数。
1. 无理数的概念。
- 无限不循环小数叫做无理数。
例如√(2)，π等。
2. 实数的分类。
- 实数包括有理数和无理数。
有理数又分为整数和分数。
整数包括正整数、零和负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。
无理数就是无限不循环小数，如√(3)、π等。
3. 实数的运算。
- 实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。
如果有括号，先算括号里面的。
例如计算√(4)+2×3 - 5，先算√(4)=2，然后按照顺序计算2 + 2×3-5=2 + 6 - 5=3。
4. 平方根和立方根。
- 平方根：如果x^2=a(a≥slant0)，那么x叫做a的平方根，记作x=±√(a)。
例如，9的平方根是±3，因为(±3)^2=9。
- 立方根：如果x^3=a，那么x叫做a的立方根，记作x=sqrt[3]{a}。
例如，8的立方根是2，因为2^3=8。
三、位置与坐标。
1. 确定位置。
- 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。
例如在电影院中确定座位的位置，需要知道排数和列数这两个数据。
八年级数学上册复习第一二章
图1－1八年级数学上册复习第一二章（西区）第一章 勾股定理1．勾股定理： 。
2．勾股定理逆定理： 。
3. 勾股数 。
第二章 实数1．平方根的概念性质算术平方根的概念及其性质：2．立方根的概念及其性质：3．实数的概念及其分类：（1）概念：（2）分类：按定义分 按性质分（3） 叫无理数。
4．与实数有关的概念： 是一一对应的5．算术平方根的运算律：[基础训练]1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2．以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)6，7，8 (D)8，9，103．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到： 大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而 c 2＝ ＋ ．化简后即为 c 2＝ ．4，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC 于D ，求AD 的长。
D C B Ab c5 已知0)10(862=-+-+-z y x ,则以z y x ,,为三边的三角形是 三角形.6. 一直角三角形三边长分别为5,12,13,斜边延长x ,较长的直角边延长x +2,所得的仍是直角三角形,则x = .7．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm 2,则斜边长为（ ）（A ） 80cm (B) 30cm (C) 90cm (D) 120cm8如果ABC 的三角形三边长分别为,,a b c ，且满足222506810a b c a b c ++=++，判断ABC 的形状。
9 小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度是多少？[实数基础训练]1．9的平方根是 ；25的算术平方根是 ．．3、对角线长为2的正方形边长为 ；它的面积是 。
八年级数学(上)第二章 勾股定理与平方根 课时练习：第2课时 勾股定理(2)
八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第2课时勾股定理(二)（附答案）1．利用图①或图②两个图形中有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的数学表达式是__________．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．(1)若a=12，b=16，则c=_________；(2)若a=20，c=25，则b=_________；(3)若c=61，b=60，则a=_________．3．如图，直线l上有三个正方形a、b、c．若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为________．4．在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，则(1)若a=5，b=12，则c=__________；(2)若b=8，c=10，则a=__________；(3)若a：b=8：15，c=34，则a=__________，b=___________．5．如图，等腰△ABC的一条腰长是5，底边BC长是6，则它底边上的高为_______．6．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比可能为( ) A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：77．如图，美国第二十任总统加菲尔德利用该图完成了勾股定理的证明，那么证明过程中用到的面积相等的关系是( )A．S△EDA=S△CEB B．S△EDA +S△CEB=S△CDEC．S四边形CDAE=S四边形CDEB D．S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD8．已知直角三角形中斜边长为5 cm，周长为12 cm，则这个三角形的面积为( ) A．12 cm2B．6 cm2C．8 cm2 D．10 cm29．如图，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆。
设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则( )A．S1= S2B．S1< S2 C．S1> S2D．无法确定10．如图，是一个圆柱体饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的长度范围是( )A．12≤a≤13 B．12≤a≤15C．5≤a≤12 D．5≤a≤1311．意大利画家达·芬奇也对勾股定理进行验证，下图即是他的验证方法，请你仔细看图后，对验证方法加以说明．12．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10．求正方形A、B、C、D的面积之和．13．如图，小方格的面积为1，画出图中以格点为端点且长度为5的线段．参考答案1．勾股定理a2+b2=c2，2．(1)20 (2)15 (3)113．164．(1)13 (2)6 (3)16 305．46．C 7．D 8．B 9．A 10．A11．略12．10013．略。
新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结
新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结第一章勾股定理1 •勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即a2 b2 c2。
2 •勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法) 。
3 •勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a , b , c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。
满足a2 b2 c2的三个正整数称为勾股数。
常见勾股数：(3、4、5) (6、8、10) (5、12、13) (& 15、17)第二章实数1 •平方根和算术平方根的概念及其性质：(1)概念：如果x2 a，那么x是a的平方根，记作：.a ；其中,a叫做a的算术平方根。
(2)性质：①当a > 0时， > 0；当a vo时，a .a2a。
2 .立方根的概念及其性质：(1 )概念：若x3 a，那么x是a的立方根，记作：3 a ；(2 )性质：①需3a :②Va a :③旷=需3 .实数的概念及其分类：(1)概念：实数是有理数和无理数的统称；(2)分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4 .与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是----------- 对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
5•算术平方根的运算律：f ag. b , ag) ( a》0, b》0)；第三章图形的平移与旋转1 •平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
八年级数学第二章勾股定理与平方根知识梳理解读
初二年级数学学科第一单元知识点梳理第二章勾股定理与平方根江苏省数学特级教师张顺和二、典例分析例1 在△ABC 中，AB=17, AC=10,BC边上的高AD=8，则BC=_______. 分析已知三角形的两边与第三边上的高，这个三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，所以应分类考虑。
解如图1，当∠ACB 是锐角时，在Rt ⊿ABD 中，根据勾股定理，BD=AB 2-AD 2=2-82=15, 在 Rt⊿ACD 中, 根据勾股定理，CD=AC 2-AD 2=2-82=6 则BC=BD+CD=15+6=21如图2，当∠ACB 是钝角时， BC=BD-CD=15-6=9。
AA图1图2例2 已知｜x －1｜+（y+3）2+x +y +z =0.求x ，y ，z 的值.分析因为绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，而几个非负数的和为0，则每一个加数都为0，从而可得方程组，进而求得x 、y 、z 的值.解∵｜x －1｜≥0，（y+3）2≥0，x +y +z ≥0，又｜x －1｜+（y+3）2+x +y +z =0，⎧|x -1|=0⎧x -1=0⎪⎪2(y +3 =0即⎨⎨y +3=0⎪⎪x +y +z =0x +y +z =0⎩∴⎩⎧x =1⎪⎨y =-3⎪z =2∴⎩说明（1）到目前为止，我们学习了三种非负数：①绝对值｜a ｜，②平方数a 2，③算术平方根a （a ≥0）；（2）非负数+非负数=非负数；若几个非负数之和等于0，则这几个非负数一定都为0.例3 说明近似数1. 6与1. 60的区别。
解（1）精确度不同，近似数1. 6精确到十分位，而1. 60精确到百分位；（2）有效数字不同，近似数1. 6含有2个有效数字，分别是1、6，而1. 60含有3个有效数字，分别是1、6，0；（3）数轴上表示的范围不同，若设x ≈1. 6, y ≈1. 60，则有1. 55≤x <1. 65 ，1. 595≤y <1. 605。
八年级数学上册第三章勾股定理与平方根测试卷试题
创作；朱本晓 勾股定理与平方根一、选择题(每一小题3分，一共24分)1．1．假如一个数的平方根与这个数的立方根相等，那么这个数等于〔 〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕0或者1 〔D 〕－1 2．以下各组数中，互为相反数的一组是( ) A ．－2B．－2与C ．－2与12- D ．2-与－23．以下几组数中,不能作为直角三角形三边长度的是〔 〕 〔A 〕a=7, b=24, c=25〔B 〕 a=1.5, b=2, c=2.5〔C 〕 a=32, b=2, c=45〔D 〕 a=15, b=8, c=174．△ABC 在以下条件下不是直角三角形的是 ( ) A ．b 2=a 2－c 2B ．a 2：b 2：c 2=1：2：3 C ．∠A=∠B －∠C D ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：55．一个三角形的三边的长分别是3、4、5，那么这个三角形最长边上的高是( )A ．4B ．103C ．52D ．125创作；朱本晓6．假设一个直角三角形的一条直角边长为7 cm ，另一条直角边比斜边短1cm，那么斜边长为( ) A ．18 cm B ．20 cm C ．24 cm D ．25 cm 7．三角形的三边长为(a+b)2=c 2+2ab ，那么这个三角形是 ( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形8．一架25 m 的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7 m ，假如梯子顶部下滑4 m ，那么梯子底部滑动的间隔 是 ( ) A ．2 m B ．4 m C ．6 m D ．8 m二、填空题(每空2分，一共34分) 9．(1)()25- =_________；的算术平方根是______；144的平方根是10．3x －9的平方根是0，那么x= ；5+2y 的立方根是－3，那么y= ．11．()228100b c +-+-=，那么以a 、b 、c 为边的三角形是_______．12．__________的平方根和算术平方根相等；________的倒数和立方根相等． 13．直角三角形的两边分别为2和4，那么第三边长为________．创作；朱本晓14．以下图中所示的线段的长度或者正方形的面积为多少?(注：以下各图中的三角形均为直角三角形)答：A=_______，y=_________，B=________．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为10 cm 2，那么正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为________． 16．假如2m －1和5－m 是一个数a 的两个平方根，那么m= ，a= ． 17．如图，圆柱高8 cm ，底面半径2 cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行最短路程(π取3)是_______cm ．18．一个正方体的体积是棱长为3 cm 的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 _______cm 三、解答题(一共72分)19．(6分)8110a b +++=，求100a b 的值．21．(9分)如图，△ABC中，CD⊥AB于点D．(1)图中直角三角形有 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(2)假设AD=12，AC=13那么CD=________．(3)假设CD2=AD·DB，求证：△ABC是直角三角形．22．(5分)在方格纸上画出面积等于17的正方形．(每个小正方形的面积为1个单位面积)创作；朱本晓23．(7分)如图，CD=6 m，AD=8 m，∠ADC=90°，BC=24 m，AB=26 m．求图中阴影局部的面积．24．(10分)如图，一直立的标杆的上部被风从B处吹折，杆顶C着地处距杆底2 m，修好后又被风吹折了，因新折断处比前一次低0．5 m，故杆顶E着地处比前一次远1 m，求原标杆的高度．创作；朱本晓25．(8分)x－2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．26．〔10分〕如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．(1)试说明：AF=FC；(2)假如AB=3，BC=4，求AF的长．27．(2021·10分)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为 6 m 和8 m．如今要将绿地扩大成等腰三角形，且扩大局部是以8 m为直角边的直角三角形，求扩大后等腰三角形绿地的周长．创作；朱本晓励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
苏教科版初中数学八年级上册勾股定理、平方根、立方根
如 果 三 角 形 的 三 边 长 a、 b、 c 满 足
，那么这个三角形
是
.
3、如果
等于 a，那么这个数叫做的 a
,也称为二次方根.
4、一个正数 a 的平方根，记作
。
平方根的性质：
；
；
.
5、正数 a 有两个平方根,其中
,叫 a 的算术平方根.
6、如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的
，也称为三次方根.即
） B、7 是—49 的平方根
C、5 的平方根是 5
D、7 的平方根是 7
2、下列说法错误的是（
）
A、9 的算术平方根是 3
B、2 是 8 的立方根
C、7 的平方根是 7
D、7 的立方根是 3 7
二、填空题：
（ 1） 16 的 平 方 根 是
是
；
3 的平方根是
； 25 的 平 方 根 是
； 100 的 平 方 根
因为 23 8 ，所以 2 是 8 的立方根。也可以说 8 的立方根是 2，可以表示为 3 8 2 . 27 的立方根是 3，即 3 27 3 ， 64 的立方根是 4 ，即 3 64 4 ，10 的立方根是
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苏科版初中数学
3 10 .
一、选择题：
1、下列语句正确的是（ A、9 的平方根是—3
；5 的平方根是
；(-2)2 的平方根是
；
81 的平方根是
.
（2） 36 =
； 0.01
； 5 2
； 162
；
相信自己，就能走向成功的第一步
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教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维 可以让他们更理性地看待人生
勾股定理与平方根的数学知识点
勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
结论为：勾三股四弦五a2+b2=c21、如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
2、满足a+b=c的3个正整数a、b、c称为勾股数。
(例如，3、4、5是一组勾股数)。
利用勾股数可以构造直角三角形。
二、平方根1、定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。
也就是说，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。
2、一个正数有2个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
3、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
4、正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根。
例如：4的平方根是2，其中2叫做4的算术平方根，记作=2;2的平方根是其中2的算术平方根。
0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即三、立方根1、定义一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。
也就是说，如果x=a，那么x就叫做a的立方根，数a的立方根记作，读作三次根号a。
2、求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
四、实数1、无限不循环小数称为无理数。
2、有理数和无理数统称为实数。
3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。
五、近似数与有效数字1、例如，本册数学课本约有100千字，这里100是一个近似似数。
2、对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
初二数学勾股定理知识点勾股定理在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。
八年级数学(上)第二章 勾股定理与平方根 课时练习：第11课时 勾股定理的应用(2)
八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第11课时勾股定理的应用(二)（附答案）1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为36 cm2和64 cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为__________cm2．2．如图，在△ABC中，C D⊥AB于点D，且AD=BC=5，BD=3，则AC边的长为_________．3．如图，长方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，求△ABC的面积是多少?4．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，求其底边上的高．5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，BC=2AD，CD 求梯形的面积．6．一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( ) A．斜边长为25 B．三角形的周长为25C．斜边长为5 D．三角形面积为207．在R t△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为( ) A．2 B．4 C．8 D．168．底边长为16，底边上的高为6的等腰三角形的腰长为( )A．8 B．9 C．10 D 139．如图，A C⊥CE于点C，AD=BE=13，BC=5，DE=7．试求AC的长．10．已知一直角三角形的三边长都是正整数，其中斜边长为13，并且周长为30．求这个直角三角形的面积．11．如图，长方体底面的长和宽分别为4和3，长方体的高为12．求长方体对角线的长．12．如图，小明先向东走1 m，然后向南走4 m，再向西走2 m，再向南走4 m，最后再向东走7 m，如图所示，求出发点到终点的距离．13．如图，每个小方格的边长为1，求图中以格点为端点的四边形AB C D的面积．14．第七届国际数学教育大会会徽的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设第一个Rt△OA1A2是等腰直角三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A n－1A n=1(n 为正整数)．请你先把图中其他7条线段的长计算出来．观察计算结果，猜想OA n－1和OA n的长．15．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方125 km的B处，正以15 km／h的速度沿BC方向移动．(1)已知A市到BC的距离AD=35 km，求台风中心从B处移到D处所需的时间．(2)如果在距台风中心40 km的圆形区域内都将受台风影响，那么A市受影响的时间是多长?(精确到1 min)参考答案1．100 2 3．13 4．8 5．150 6．C 7．C 8．C 9．在Rt △BCE 中，BE 2=CE 2+BC 2，132=CE 2+52，CE=12．∴DC=5．∵BC=5，∴BC=DC ．又∵AD=BE ， ∴Rt △ACD ≌Rt △ECB ．∴AC=EC ．∴AC=12 10．30 11．13 12．10 m 13．12．514．计算略 猜想：1n OA -=n OA = 15．(1)在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，∴120BD =(km)．∴120÷15=8 h (2)以A 为圆心，40 km 为半径作圆，交BD 于点E ，交BD 延长线于点F ．在Rt △ADE 中，∠ADB=90°，∴19.365DE ==(km)．∴EF=38．73 km ．∴38．73÷15≈2．582 h ，2．582×60≈155 min ．∴A 市受影响时间约为155 min。
初二教案平方根与勾股定理的教学实施与反思
初二教案平方根与勾股定理的教学实施与反思在初中数学教学中，平方根与勾股定理是较为重要的数学概念和定理，对学生的数学思维能力培养具有重要意义。
本文将探讨初二教案平方根与勾股定理的教学实施与反思，并分享相关教学经验。
一、教学目标的确立和教材解读在教学开始前，我们首先要明确本节课的教学目标，并根据教材内容进行解读。
通过预习教材和准备教学材料，教师可以更好地理解并掌握本课的教学内容，从而更好地引导学生学习。
二、教学内容的呈现和讲解1. 平方根的引入：为了引起学生的兴趣，我们可以通过生活实例引入平方根的概念。
例如，可以提问学生：如果一个正方形的面积是16平方米，那么它的边长是多少米？让学生尝试运用逻辑思维，引导他们发现平方根的概念。
2. 平方根的计算：接下来，我们可以通过实例演算和解题讲解的方式，教授平方根的计算方法。
教师可以给出几个简单的平方根计算题目，帮助学生理解平方根的计算步骤。
3. 勾股定理的引入：引入勾股定理时，可以通过三角形的实例进行说明。
可以给学生一个直角三角形的例子，让学生观察三边的关系，引导他们提出猜想。
然后，通过演算和证明，引导学生理解和掌握勾股定理。
4. 勾股定理的应用：在讲解勾股定理的同时，应当结合实例进行讲解。
例如，可以通过解决直角三角形的边长问题，让学生应用勾股定理进行计算。
三、教学方法与教具的选择与运用1. 体验式学习：在教学过程中，我们可以采用一些体验式的教学方法，如让学生自己动手操作、解决问题、发现规律和总结定理等。
例如，可以准备一些平方根和勾股定理的实践题目，让学生在实践中理解和掌握知识。
2. 多媒体教具的运用：在教学中，适当运用多媒体教具（如电子课件、数学软件等）可以提高学生的学习兴趣，并增加教学效果。
通过多媒体教具的展示，学生可以更清晰地观察图形、了解计算步骤，并更好地理解与应用平方根和勾股定理。
四、学生参与与交流在教学过程中，充分调动学生的积极性和主动性，鼓励学生提问和参与讨论，可以有效地促进学生对知识的理解和掌握。
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二、知识整理
三、例题精讲
例1靠着墙放长为2.5米的梯子，梯子的底端距墙根0.7米．由于打滑，梯子的顶部下滑了40cm，试问梯子的底端将滑出多少？
例2计算 ．（结果精确到0.01）
四、 随堂练习（供选用）
1．选择
（1）如图，左边是一个正方形，则此正方形的面积是（ ）
A．1cm2B．3cm2C．6cm2D．9cm2
（2）以下各组数中，能组成直角三角形的是（）
A．2，3，4B．1.5，2，2.5C．6，7，8D．8，9，10
（3）下列说法中，正确的是（ ）．
A．8的立方根是±2 B．9的立方根是3
C．－0.001的立方根是－0.1D―2的立方根是―8（4）下列计算正确的是（ ）．
A． ≈0.066B． ≈30
3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．
4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．
5．了解近似数和有效数字的概念；在实际问题中会利用计算器进行计算，并按问题的要求对结果取近似值．
6．理解数的意义，能用多种方法来表示数；能在具体环境之中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法．
*6．与平方根、立方根的意义类似，如果xn＝a（n是大于1的整数），那么a就叫做x的n次幂，x就叫做a的n次方根．利用n次幂与n次方根互为逆运算，可以求某些数的n次方根．
①求81的四次方根和－32的五次方根．
②对照数的平方根与立方根的特征，请你谈谈对一个数a的n（n是大于1的整数）次方根的认识？
【回顾与反思】
第二章勾股定理与平方根小结与思考
【教学目标】（课标要求）
1．掌握勾股定理及直角三角形的判断条件（勾股定理的逆定理），并能利用上述知识解决一些简单的实际问题．
2．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的平方根，会求某些数的立方根．会用计算器求平方根和立方根．
（5）已知按一定规律排列一组数：1， ， ，… ， ，……，用计算器探索：如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选出个．
3．将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列：
4．在数轴上作出 对应的点．
5．如图，E是长方形ABCD边AD的中点，AD=2，AB=1，求ΔBCE的面积和周长.(结果精确到0.01)
【教学重难点】
形成自己的关于《勾股定理与平方根》的知识树状图，对本章内容有较为详细的了解．
【教学过程】
一、自我反思
（1）你能说出勾股定理吗？举例说明勾股定理在生活中的一些应用．
（2）举例说明:什么是一个数的平方根、算术平方根 、立方根？平方根和立方根有什么区别？
（3）开方运算和乘方运算有什么联系？任何实数总可以进行开方运算吗？
C． ≈60.4D． ≈96
（5）在实数范围内，下列说法正确的是（ ）．
A．有最小的实数B．有最大的实数
C．有绝对值最小的实数D．实数与数轴上的点不是一一对应的
2．填空
（1）9的平方根是， ＝．
（2）8的立方根是， ＝．
（3） 的相反数是，绝对值等于 的数是．
（4）写出一个有理数和无理数，使它们都是大于 的负数：．
你觉得在本章的学习中有什么要提醒你的好朋友的，编张小试卷送给他或她，希望他们在本章的学习中取得好成绩, 动手吧！（一定要有点水平啊！）