2020届成都二诊文科数学试卷及答案

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2020届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测文科数学试题 word

2020届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测数学(文科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z 满足z(l+i)-2(i 为虚数单位)，则z 的虚部为(A)i (B) -i (C)-l (D)l2．设全集U=R ．集合M={x|x<l}，N={x|x>2}，则(C ∪M)∩N=(A){x|x>2} (B){x|x ≥l} (C){x|l<x<2} (D){x|x ≥2)3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中高中生恰有30人，则n 值为(A)20 (B) 50 (C)40 (D) 604．曲线y=x 3-x 在点(1，0)处的切线方程为(A)2x-y=0 (B)2x+y-2=0 (C)2x+y+2=0 (D)2x-y-2=05．已知锐角α满足2sin2α= l-cos2α，则tan α=(A) 21 (B)l (C)2 (D)4 6．函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在[1，1]的图象大致为7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(A)16 (B)48 (C)96 (D)1288．已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f 则函数f(x)的图象的对称轴方程为(A) Z k kx x ∈-=,4π (B) Z k kx x ∈+=,4π (C) Z k k x ∈=,21π (D) Z k k x ∈+=,421ππ 9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使B 1P ∥平面α，A 1Q ∥平面α若直线B 1D ∩平面α=M ，则11MB MD 的值为 (A) 41 (B) 31 (C) 21 (D) 32 10．如图，双曲线C: 2222by a x -=l(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F 1（-c ，0），F 2（c ，0)，直线abc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为 (A)2 (B) 324 (C) (D) 332 11已知EF 为圆(x-l)2+(y+1)2=l 的一条直径，点M(x ，y)的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅ 的取值范围为(A)[ 29,13] (B)[4,13] (C)[4,12] (D)[ 27,12] 12．已知函数x x x f ln )(=，g(x)=xe -x ，若存在x l ∈(0,+∞)，x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)=k(k<0)成立，则k e x x 212)(的最大值为 (A)e 2 (B)e (C)24e (D) 21e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．已知函数f(l)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,20,1x x x x 则f(f(x-1))= ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=3π，a=2，b=3，则△ABC 的面积为．15.设直线l ：y=x-l 与抛物线y2=2px （p>0）相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2，则p 的值为16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为____．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）已知{a n }是递增的等比数列，a 1=l ，且2a 2，23a 3，a 4成等差数列． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设2212log log 1++⋅=n n n a a b ，n ∈N*,求数列{bn}的前n 项和S n . 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为 AB ，BC 的中点．(I)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PE=3，求三棱锥B-PEM 的体积．19. (本小题满分12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：(I)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润；(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(I)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年将(I)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：20.（本小题满分12分）已知椭圆E: 12222=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点分别为F 1(-l ，0)，F 2(1，0)，点P(1，22)在椭圆E 上．(I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)设直线l ：x=my+1(m ∈R)与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2+y 2=a 2相交于C ，D 两点，当|AB|▪|CD|2的值为82 时，求直线x 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2-mx-mlnx ，其中m>0．(I)若m=l ，求函数，(l)的极值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)+mx ．若g(x)> x1在(1，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==m y m x 22（m 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ-ρcos θ+1=0.(I)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(Ⅱ)已知点P(2，1)，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求||1||1PN PM +的值 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|．(I)解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)设g(x)=-x 2+2ax ，其中a 为常数，若方程f(x)=g(x)在(0，+∞)上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，。

成都市2020级高中毕业班第二次诊断性检测文科数学参考答案

x ＋２)的图象如右图所示．
７分
１
．
２
９分
当x ∈ (
由f(
０,
２)时,
x ＋２)＝ f(
x)解得,
x＝
由图象可知不等式 f(
x ＋２)＞ f(
x)的解集为
１
( ,＋ ∞ )．
２
会
供
第
理
１０分
中
一
使
学
用
仅
数学(文科)“二诊”考试题参考答案第
t)＜０．
∴ 函数 h(
t)在 (
０,
e)上单调递增,在 (
e,＋ ∞ )上单调递减．
∵h(
e)＝０,
令 h(
t)＝l
n
t－
用
使
学
t
有唯一解t＝e．
∴ 方程
n
t中
＝l
e
一
e第
e
∴ 方程
＝x－al
n
x 有两个不等的实数解等价于方程 e＝
理
e
x
x
会
供
等价于方程
al
nx ＝x －１有两个不相等的实数解．
９
k２＋４)
x２＋１８
kx －２７＝０．
ïï ＋
＝１
４
î９
显然 Δ＝４３２(
３１x２＝－２
∴ x１＋x２＝２
．
９
k ＋４
９
k２＋４
∴
９分
１８
k
－２７
４＋９
k２)－２
k ＋３６＝０．
×(
×９
２
９

2020年四川省成都七中高考数学二诊试卷(文科)含答案

2020年四川省成都七中高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣6＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）设（1+i）•z＝1﹣i，则复数z的模等于（）A．B．2C．1D．3．（5分）已知α是第二象限的角，，则sin2α＝（）A．B．C．D．4．（5分）设a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a5．（5分）随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差6．（5分）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为（）A．B．16πC．D．7．（5分）设等比数列{a n}，则“a1+a3＜2a2”是“a1＜0”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．（5分）设x，y满足，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．29．（5分）设函数，则y＝f（x），x∈[﹣π，π]的大致图象大致是的（）A．B．C．D．10．（5分）对任意x∈R，不等式e x﹣kx≥0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[0，e）B．（0，e]C．[0，e]D．（﹣∞，e]11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，，，则sin C＝（）A．B．C．D．12．（5分）如图示，三棱椎P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，且P A＝PB＝AB＝，PC＝，则点C到面P AB的距离等于（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为．14．（5分）已知，，则与夹角的余弦值为．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．16．（5分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，A为椭圆Γ的上顶点，延长AF2交椭圆Γ于点B，若△ABF1为等腰三角形，则椭圆Γ的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）设数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，a1＝1．若a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（12分）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E 为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求证：平面ACD⊥平面BCE；（Ⅲ）若F为BD的中点，求四面体CDEF的体积．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为，A、B、C为椭圆上不同的三点，且满足，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线y＝x﹣1与椭圆交于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）若直线AB、OC的斜率都存在，求证：k AB•k OC为定值．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）a＝0时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的多数方程为，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求t的普通方程及C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点P到l距离的取值范围．23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x+a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）∀m∈（0，1），∃x0∈R，，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．90；14．；15．（﹣3，0）∪（3，+∞）；16．；三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差不为零d（d≠0），∵a1＝1，若a1，a2，a5成等比数列．∴，∴，∴a n＝2n﹣1，（Ⅱ∵b n＝＝＝．则数列{b n}的前n项和T n＝＝18．解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：（2）根据频率分布直方图得：该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：p＝（0.2+1.0+2.6+1）×0.1＝0.48．（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）＝0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为：（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）＝0.35，∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）＝47.45m3．19．解：（Ⅰ）证明：∵∠CBA＝∠CBD＝，∴AB⊥BC，BD⊥BC，∵AB∩BD＝B，∴BC⊥平面ABD，∵AD⊂平面ABD，∴AD⊥BC．（Ⅱ）证明：∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E为AD的中点．∴BE⊥AD，AC＝DC，∴CE⊥AD，∵BE∩CE＝E，∴AD⊥平面BCE，∵AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCE．（Ⅲ）解：∵F为BD的中点，在四棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E为AD的中点．∴EF＝＝1，DF＝＝1，DE＝＝，∴S△DEF＝＝．∴四面体CDEF的体积：V C﹣DEF＝＝＝．20．解：（Ⅰ）由题意可得b＝1，＝，a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：5x2﹣8x＝0，解得x＝0，或x＝，x＝0时，y＝﹣1，x＝时y＝，即M（0，﹣1），N（，），所以|MN|＝＝＝；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由++＝，可得C（﹣x1﹣x2，﹣y1﹣y2），因为直线AB、OC的斜率都存在，所以k AB＝，k OC＝＝，所以k AB•k OC＝，因为A，B在椭圆上，所以，所以+y12﹣y22＝0，即＝﹣，所以可证：k AB•k OC为定值﹣．21．解：（I）当a＝0时，f（x）＝e x﹣x﹣1，f′（x）＝e x﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝0时，函数取得最小值f（0）＝0，（II）f′（x）＝e x﹣2ax﹣1，令g（x）＝e x﹣2ax﹣1，x≥0，则g′（x）＝e x﹣2a，（i）当a时，g′（x）＞0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，即f′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝0，满足题意；（ii）当a＞时，由g′（x）＝0可得x＝ln（2a），当x∈（0，ln2a）时，g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（x）＜f（0）＝0不合题意，综上可得，a的范围（﹣]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数），消去参数t可得l的普通方程为．曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0，可得C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3＝0．（2）C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，圆心为C（2，0），半径为1，所以，圆心C到l的距离为，所以，点P到l的距离的取值范围是．23．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＝，∵f（x）＞4，∴或或，∴x＞2或x＜﹣2故不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣2）⋃（2，+∞）．（Ⅱ）f（x）＝|x﹣1|+|x+a|≥|（x+a）﹣（x﹣1）|＝|a+1|．∀m∈（0，1），＝（当时等号成立）依题意，∀m∈（0，1），∃x0∈R，有，则|a+1|＜9，∴﹣10＜a＜8，故实数a的取值范围是（﹣10，8）．。

20届高三文科数学二诊模拟考试试卷答案

成都七中高 2020 届高三二诊模拟考试数学文科
参考答案
一、选择题
题目
12
答案
D
C
34 DA
56 DD
78 AB
9 10 11 12 BCBC
二、填空题 13．90 三、解答题
14． 2 5 5
15． 3,0 (3,)
16． 3 3
17．解：(Ⅰ)设 an 的公差为 d ,依题意有
a1 a22
1 a1
省
川
四
供
仅
a5
a1 1
a1 d 2
a1
(a1
且d 4d)
0
da1
1 2
………4
分
所以 an 1 2n 1 2n 1
Sn
na1
2
an
n2
………6
分
(Ⅱ)因为
bn
1 an21 1
1
4nn 1
1 4
1 n
1 n 1
……8
分
所以 Tn
1 4
1
1 1 2 2
1 ... 1 3 n
n
1
m 1m m 1m 5 4m 1 m 1m m
5 2使用14mm
1 m m
9 （当 m
1 3
时等号成立）……8
分
学依题意， m (0,1中) ， x0
进
R ，有 1 m
4 1 m
f (x0 )
协德
则
a
1
9
树市
解之得 10 a 8
故实成数都a 的取值范围是 (10,8) ……10 分
1
1 1 1 4 n 1
18．（Ⅰ ）频率4(分nn布1直) …方…图…如…下学1图使2 所分用示：

2020届成都七中高三文科数学二诊模拟考试试卷答案

成都七中高2020届高三二诊模拟考试数学文科参考答案一、选择题二、填空题13．90 14．55215．()),3(0,3+∞- 16．33三、解答题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,依题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………4分所以()12121-=-+=n n a n ()212n a a n S n n =+=………6分 (Ⅱ)因为()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ……8分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11141n)1(4+=n n…………12分18．（Ⅰ ）频率分布直方图如下图所示： …4分（Ⅱ）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；…7分（Ⅲ）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…11分估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． …12分仅供四川省崇州市崇庆中学使用四川省崇州市崇庆中学使用仅供21．（Ⅰ）0=a 时，1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf 令0)(='x f 得0=x …2分当()0,∞-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在()0,∞-单调递减；当()+∞∈,0x ，0)(>'x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；…………4分所以0)0()(min ==f x f …5分（Ⅱ）12)(--='ax e x f x，注意到0)0(=f ，故0)(≥x f 的充分条件是012)(≥--='ax e x f x恒成立．令12)()(--='=ax e x f x h x，则a e x h x2)(-='即0)(≥x h 在[)+∞,0恒成立，又注意到0)0(=h ，则0)(≥x h 其必要条件是021)0(≥-='a h ，解得21≤a ．……10分事实上，21≤a 时，1)(2---=x ax e x f x 0112)(≥--≥--='x e ax e x f xx（由（Ⅰ）易知）即)(x f 在[)+∞,0单调递增，则0)0()(=≥f x f 恒成立．综上， a 的取值范围是]21,(-∞．……………12分22解 :(Ⅰ )直线l的参数方程为322t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，消去参数t 可得l0y -+=；曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=．……………5分仅供四川省崇州市崇庆中学使用（Ⅱ）C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ，半径为1，所以,圆心C 到l的距离为d ==所以,点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．……………10分 23、解： (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞ ；………………5分（Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[])1()141(141m m m m m m -+-+=-+m mm m -+-+=1145911425=-⋅-+≥mm m m （当31=m 时等号成立）……8分依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+则91<+a解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(- ……10分仅供四川省崇州市崇庆中学使用。

2020年四川成都高三二模数学试卷(文科)

2020年四川成都高三二模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）．A. B. C. D.2.设全集，集合，，则（）．A. B. C. D.3.某中学有高中生人，初中生人．为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为的样本．若样本中高中生恰有人，则的值为（）．A. B. C. D.4.曲线在点处的切线方程为（）．A.B.C.D.5.已知锐角满足，则（）．A.B.C.D.6.函数在的图象大致为（）．A.B.C.D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）．开始结束否是，输出（）A.B.C.D.8.已知函数，则函数的图象的对称轴方程为（）．A.B.C.D.9.在正方体中，点，分别为，的中点．在平面中，过的中点作平面的平行线交直线于，则的值为（）．A.B.C.D.10.如图，双曲线的左，右焦点分别是，，直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）．A.B.C.D.11.已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组，则的取值范围为（）．A.B.C.D.12.已知函数，，若存在，，使得：成立，则的最小值为（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13.已知函数，则．，，14.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为．15.设直线与抛物线相交于，两点，若弦的中点的横坐标为，则的值为．16.已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球的表面上．若球的表面积为，则该三棱柱的侧面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知是递增的等比数列，，且，，成等差数列．（1）（2）求数列的通项公式．设，，求数列的前项和．（1）（2）18.如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，，分别为，的中点．求证：平面平面．若，求三棱锥的体积．（1）（2）19.某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份年份代号利润（单位：亿元）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润．当统计表中某年年利润的实际值大于由（）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年．将（）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率．参考公式：，．（1）（2）20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．求椭圆的标准方程．【答案】解析:∵，∴，∴虚部为．故选．解析:∵，设直线与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，当的值为时，求直线的方程．（1）（2）21.已知函数，其中．若，求函数的极值．设．若在上恒成立，求实数的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1道，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程．已知点，设直线与曲线相交于，两点，求的值．（1）（2）23.已知函数．解不等式．设，其中为常数，若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．C1.A2.∴，∴．故选．解析:∵高中生初中生，∴，∴．故选．解析:∵，∴，∴时，，时，，∴，即．故选：．解析:∵，∴，∴，∴．故选：．解析:∵，B 3.D 4.C 5.B 6.∴为奇函数，排除、，又，∴选．解析:∵，，∴，，否，，，否，，，是，输出．故选.解析:由函数，令，，，故选：．解析:B 7.C 8.B 9.由图知，，而、分别为与中点，∴，故．又平面，平面，∴平面，故为中点，∴，故选．解析:∵渐近线方程为，∴时，，∴，故，，∴ ，∴．故选．解析:设圆心为，A 10.D 11.，，∴，到距离为，∴，，∴，故．故选．解析:首先，我们要得到函数和的图象如下图所示：将两个函数放入一个坐标系得：D 12.分析知，若出现满足题目条件的情况，则需，，又知，由知于上单调递增，则得：，那么，现令，则，则得：于递减，于递增，则，故选．解析:∵，∴时，∴．解析:∵，，，∴，，∴，13.，，14.（1），∴．解析:，即，又已知中点横坐标为，∴，∴．解析:∵，∴，设棱长为，∴，，，在中有，∴∴．解析:设数列的公比为，由题意及，知，∵，，成等差数列，∴，15.16.侧（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，即，解得或（舍去），∴，∴数列的通项公式为．∵，∴．解析:∵是正方形，∴．∵平面，平面，∴．∵，平面，且，∴平面．又平面，∴平面平面．设三棱锥的高为．∴．连接．∵平面，平面，∴．∵，，（1）证明见解析．（2）．18.（1）（2）（1）∴．∴．解析:根据表中数据，计算可得，，．又，∴．∵，∴．∴关于的线性回归方程为．将代入，∴（亿元）．∴该公司年的年利润的预测值为亿元．由（）可知年至年的年利润的估计值分别为，，，，，（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有年．故这年中，被评为级利润年的有年，分别记为，；评为级利润年的有年，分别记为，，，．从年至年中随机抽取年，总的情况分别为：，，，，，，，，，，，，，，．共计种情况．其中恰有一年为级利润年的情况分别为：，，，，，，，．共有种情况．记“从年至年这年的年利润中随机抽取年，恰有一年为级利润年”的概率为．故所求概率．解析:∵在椭圆上，（1）关于的线性回归方程为．该公司年的年利润的预测值为亿元．（2）．19.（1）所求椭圆的标准方程为．（2）所求直线的方程为或．20.（2）（1）∴，又，，∴，则，∵，，∴，故所求椭圆的标准方程为．设，，联立消去，得，∴，，，∴，设圆的圆心到直线的距离为，则，∴，∴，∵，∴，解得，经验证符合题意，故所求直线的方程为或．解析:当时，，则，，令，解得（舍去），，当时，，∴在上单调递减，当时，，（1）极小值为，无极大值．（2）．21.（2）∴在上单调递增，∴，无极大值．，若在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，，则，令，，∴，（）若，可知恒成立，∴在上单调递增，∴，①当，即时，在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立，∴满足条件；②当即时，∵，，∴存在唯一的，使得，当时，，即，∴在单调递减，∴，这与矛盾，（）若，由，可得（舍去），，易知在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立，∴在上单调递减，极小值（1）（2）（1）（2）∴在上恒成立，这与矛盾，综上，实数的取值范围为．解析:由，，可得直线的直角坐标方程为．由曲线的参数方程，消去参数，可得曲线的普通方程为．易知点在直线上，直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得，设，是方程的两根，则有，，∴．解析:原不等式即，①当时，化简得，解得；②当时，化简得，此时无解；③当时，化简得，解得，综上，原不等式的解集为．由题意，设方程两根为，，①当时，方程等价于方程，易知当，方程在上有两个不相等的实数根，此时方程在上无解，∴满足条件；②当时，方程等价于方程，此时方程在上显然没有两个不相等的实数根；（1），．（2）．22.（1）．（2）．23.③当时，易知当，方程在上有且只有一个实数根，此时方程在上也有一个实数根，∴满足条件，综上，实数的取值范围为．。

成都七中2020届高三二诊模拟考试数学(文)试题及答案

成都七中2020届高三二诊模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( ) A. {}32x x -<< B. {}22x x -<< C. {}62x x -<<D. {}12x x -<<2.设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A.2 B. 2 C. 1D.33.已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A.1225B. 1225-C.2425D. 2425-4.设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A. 1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B. 第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C. 8月是空气质量最好的一个月D. 6月份的空气质量最差.6.阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A.43π B. 16πC.163πD.323π 7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“10a <”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是( )A. 5-B. 2C. 3D. 没有最小值9.设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A. B.C. D.10.对任意x ∈R ，不等式0x e kx -≥恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A. [)0,eB. (]0,eC. []0,eD. (],e -∞ 11.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（） A.3B.217C.2112D.5712.如图所示，三棱椎P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ︒∠=，且2PA PB AB ===，3PC=，则点C到面PAB的距离等于( )A.13B.63C.33D.23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为__________.14.已知(1,2)a=r，(1,1)b=-r，则ar与a b+r r夹角的余弦值为________.15.已知()f x是定义在R上的奇函数，当0x>时，2()2f x x x=-，则不等式()f x x>的解集用区间表示为__________．16.已知椭圆Г：22221(0)x ya ba b+=>>，F1、F2是椭圆Г的左、右焦点，A为椭圆Г的上顶点，延长AF2交椭圆Г于点B，若1ABFV为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.设数列{}n a是公差不为零的等差数列，其前n项和为n S，11a=，若1a，2a，5a成等比数列. （Ⅰ）求n a及n S；（Ⅱ）设211(N*)1nnb na+=∈-，求数列{}nb的前n项和nT.18.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数 151310 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19.如图所示，在四棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =2CBA CBD π∠=∠=，点E 为AD的中点.（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅲ）若F 为BD的中点，求四面体CDEF 的体积.20.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点(0,1)，离心率为32，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线1y x =-与椭圆交于M ,N 两点，求MN ；（Ⅱ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ⋅为定值. 21.设函数()21xf x e ax x =--+，a R ∈.（Ⅰ）0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为323t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=. （1）求l普通方程及C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上点P 到l 距离的取值范围. 23.已知()1f x x x a =-++()a R ∈. （Ⅰ）若1a =，求不等式()4f x >的解集；（Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，014()1f x m m+>-，求实数a 的取值范围.成都七中高2020届高三二诊数学模拟考试（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( ) A. {}32x x -<< B. {}22x x -<< C. {}62x x -<< D. {}12x x -<<【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<. 故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 2.设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )A.B. 2C. 1D.【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】因为(1)1i z i +⋅=-,所以()()()211111i iz i i i i --===-++⋅-,由复数模的定义知,1z ==.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题. 3.已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A.1225B. 1225-C.2425D. 2425-【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-,所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.4.设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A【解析】【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2x y =的单调性即可求解. 【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=，因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A. 1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B. 第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C. 8月是空气质量最好的一个月D. 6月份的空气质量最差. 【答案】D 【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ．6.阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A.43π B. 16πC.163π D.323π 【答案】D 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表，所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“10a <”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断;【详解】因为22131,a a q a a q ==,所以若1322a a a +<成立，即21112a q q a a +<成立,整理可得,()2110a q -<成立, 因为1q =时,1322a a a +=, 所以1q ≠,即()210q ->, 所以可得10a <,即“1322a a a +<”是“10a <”的充分条件；若10a <成立,因为()210q -≥,所以可得()2110a q -≤,即1322a a a +≤成立, 即由10a <不能推出1322a a a +<,故“1322a a a +<”不是“10a <”的必要条件；综上可知,“1322a a a +<”是“10a <”的充分不必要条件. 故选: A【点睛】本题考查等比数列通项公式和充分条件与必要条件的判断;考查逻辑推理能力和运算求解能力;根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的通项公式是求解本题的关键;属于中档题.8.设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是( )A. 5-B. 2C. 3D. 没有最小值【答案】B 【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域,作出直线0:0l x y +=,根据目标函数z 的几何意义平移直线0l ,当直线:l z x y =+经过平面区域内的点A 时目标函数z 有最小值,联立方程求出点A 坐标，代入目标函数求解即可.【详解】根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示：作出直线0:0l x y +=,因为目标函数z 的几何意义为直线y x z =-+的纵截距，所以平移直线0l ,当直线:l z x y =+经过平面区域内的点A 时目标函数z 有最小值, 联立方程24220x y x y +=⎧⎨--=⎩,解得20x y =⎧⎨=⎩,所以点A 坐标为()2,0,把点A 的坐标代入目标函数z x y =+可得目标函数z 的最小值为2. 故选:B【点睛】本题考查简单的线性规划问题;考查数形结合思想和运算求解能力;理解目标函数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.9.设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D和选项C 即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 10.对任意x ∈R ，不等式0x e kx -≥恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A. [)0,e B. (]0,eC. []0,eD. (],e -∞ 【答案】C 【解析】【分析】由题意知,x e kx ≥对任意x ∈R 恒成立,设()g x kx =，则函数()g x 为过原点,斜率为k 的直线,求出直线()g x kx =与曲线x y e =相切时的k 值,利用数形结合即可求出实数k 的取值范围.【详解】由题意可知, x e kx ≥对任意x ∈R 恒成立, 设()g x kx =，则函数()g x 为过原点,斜率为k 的直线, 根据题意作图如下：易知0k ≥,由图可知,当直线()g x kx =与曲线xy e =相切时k 有最大值,因为xy e '=,设切点坐标为()00,x y ,由导数的几何意义知,000x x e k kx e⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01x k e =⎧⎨=⎩, 所以实数k 的取值范围为[]0,e . 故选:C【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率及不等式恒成立问题的求解;考查数形结合思想和转化与化归能力;把不等式恒成立问题转化为两函数图象所对函数值的大小问题是求解本题的关键;属于中档题. 11.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（） A.37B.217C.2112D.5719【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得3tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】31sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭Q ，即31sin sin sin cos sin sin22A B A B A B=-，即3sin sin3sin cosA B A A=，sin0A>Q，3sin3cosB B∴=，得3tan3B=，0BQπ<<，6Bπ∴=.由余弦定理得2232cos112212372b ac ac B=+-=+-⨯⨯⨯=，由正弦定理sin sinc bC B=，因此，123sin212sin77c BCb⨯===.故选：B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12.如图所示，三棱椎P ABC-的底面ABC是等腰直角三角形，90ACB︒∠=，且2PA PB AB===，3PC=，则点C到面PAB的距离等于( )A.13B.6C.3D.23【答案】C【解析】【分析】取AB的中点G,连接,PG CG,作CH PG⊥,垂足为H,利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PCG,由线面垂直的性质可得AB CH⊥,进而证得CH⊥平面PAB,在PCG∆中,利用余弦定理和同角三角函数的基本关系求出sin PGC∠,在Rt CHG∆中求出CH即可.【详解】取AB的中点G,连接,PG CG,作CH PG⊥,垂足为H,如图所示：因为2PA PB AB ===,所以PAB ∆为等边三角形, 因为G 为AB 中点,所以PG AB ⊥, 又ABC ∆为等腰直角三角形,90ACB ︒∠=, 所以CG AB ⊥,又PG CG G =I , 所以AB ⊥平面PCG ,又CH ⊂平面PCG , 所以AB CH ⊥,因为CH PG ⊥，PG AB G ⋂=, 所以CH ⊥平面PAB ,即CH 即为点C 到面PAB 的距离, 因为在等边PAB ∆中,362PG ==, 在ABC ∆为等腰直角三角形中,22CG ==, 在PCG ∆中,由余弦定理可得,2222226233cos 23622PG CG PCPGC PG CG +-+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⨯⨯,所以2236sin 1cos 133PGC PGC ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪ ⎪⎝⎭, 在Rt CHG ∆中,263sin 233CH CG CGP =⋅∠==, 所以点C 到面PAB 3故选:C【点睛】本题考查利用线面垂直的判定定理和性质定理求点到面的距离;考查数形结合思想和逻辑推理能力;灵活运用线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为__________. 【答案】90 【解析】【分析】利用分层抽样方法：利用频率、频数与样本容量的关系按比例抽取即可. 【详解】由题意知,全校共有学生人数为1350人,其中高二年级有450人, 设高二年级抽取的人数为x 人，根据分层抽样按比例抽取可得,270450901350x =⨯=.故答案为: 90【点睛】本题考查利用分层抽样按比例抽取样本;考查运算求解能力;属于基础题.14.已知(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，则a r 与a b +r r夹角的余弦值为________.【解析】【分析】根据题意,利用向量坐标的线性运算求出a b +r r 的坐标,分别求出,a a b +v v v ,()a b a +⋅r r r,代入夹角公式求解即可.【详解】由题意知,()0,3a b +=vv ,因为(1,2)a =r ，所以()01326a b a +⋅=⨯+⨯=v v v,由向量模的定义知,3a a b ==+==vv v ,由平面向量数量积的夹角公式可得,()cos a b a a a b θ+⋅===⋅+v v v v v v .故答案为【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算及平面向量数量积的坐标表示和夹角公式;考查运算求解能力;熟练掌握平面向量数量积的坐标表示和夹角公式是求解本题的关键;属于中档题.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________．【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞ 【解析】设0x ＜，则0x -＞，由题意可得222222f x f x x x x x f x x x -=-=---=+∴=--（）（）（）（），（），故当0x ＜时，22f x x x （）．=-- 由不等式f x x （）＞，可得20 2x x x x ⎧⎨-⎩＞＞，或202x x x x ⎧⎨--⎩＜，＞求得3x ＞，或30x -＜＜，故答案为（303，）（，）．-⋃+∞ 16.已知椭圆Г：22221(0)x y a b a b+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长AF 2交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.【答案】3【解析】【分析】由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设2BF t =，由题可得1BF 的长，在三角形1ABF 中，三角形12BF F 中由余弦定理可得1ABF ∠的值相等，可得,a c 的关系，从而求出椭圆的离心率【详解】如图，若1ABF ∆为等腰三角形，则|BF 1|=|AB |.设|BF 2|=t ，则|BF 1|=2a −t ，所以|AB |=a +t =|BF 1|=2a −t ，解得a =2t ，即|AB |=|BF 1|=3t ，|AF 1|=2t ，设∠BAO =θ，则∠BAF 1=2θ，所以Г的离心率e =22||||OF c a AF ==sin θ，结合余弦定理，易得在1ABF ∆中，21cos 212sin 3θθ==-，所以21sin 3θ=，即e =sin θ故答案为：3.【点睛】此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =，若1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设211(N*)1n n b n a +=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-，2n S n =；（Ⅱ）4(1)n nT n =+.【解析】【分析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，利用等比中项和等差数列通项公式得到关于1,a d 的方程,求出1,a d 代入公式即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出数列{}n b 的通项公式,利用裂项相消法求和即可. 【详解】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ,依题意有122151a a a a =⎧⎨=⋅⎩，即()()1211114a a d a a d =⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或11a d =⎧⎨=⎩（舍去），所以()12121n a n n =+-=-()122n n n a a S n +== ；（Ⅱ）因为()211111114141n n b a n n n n +⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭所以1111111...42231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭4(1)nn =+.【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式和前n 项和公式及裂项相消法求和;考查运算求解能力;利用等比中项和等差数列通项公式正确求出1,a d 是求解本题的关键;属于中档题.18.某家庭记录了未使用节水龙头50天日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水m，从而求得结果.多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.19.如图所示，在四棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =，2CBA CBD π∠=∠=，点E 为AD的中点.（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅲ）若F 为BD 的中点，求四面体CDEF 的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）6. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明CB ⊥平面ABD ,再由线面垂直的性质定理即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥BC ，由题可知,BE AD ⊥,利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面BCE ,再由面面垂直的判定定理即可得证;（Ⅲ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABD ,由此可得CB 即为点C 到平面ABD 的距离,利用三角形的面积公式求出DEF ∆的面积,代入三棱锥的体积公式求解即可.【详解】（Ⅰ）证明：因为2CBA CBD π∠=∠=，所以,BC BA BC BD ⊥⊥,又BA BD B =I ,由线面垂直的判定定理知,CB ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ,所以AD ⊥BC .（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知AD ⊥BC ,又AB BD =,点E 为AD 的中点，所以BE AD ⊥,因为BE BC B =I ,由线面垂直的判定知,AD ⊥平面BCE ，又AD ⊂平面ACD ，由面面垂直的判定定理知，平面ACD ⊥平面BCE .（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABD ,因为2,AB BD AD ===所以在ABD ∆中由余弦定理可得, (222222221cos 22222AB BD AD ABD AB BD +-+-∠===-⋅⨯⨯,所以120ABD ∠=o ,又EF 为ABD ∆的中位线，所以120EFD ∠=o , 所以13C DEF DEF V S CB -∆=⋅ 11(sin120)32EF FD CB ︒=⋅⋅⋅⋅11(11232=⋅⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查利用线面垂直的判定与性质证明线线垂直、面面垂直及三棱锥体积的求解;考查逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点(0,1)A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线1y x =-与椭圆交于M ,N 两点，求MN ；（Ⅱ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ⋅为定值.【答案】；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意知1b =,结合离心率和,,a b c 之间的关系求出椭圆方程,然后与直线1y x =-联立求出交点M ,N 两点的坐标,代入两点间的距离公式求解即可；（Ⅱ）设()11,A x y ，()11,B x y ，()33,C x y ，由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，利用平面向量坐标的线性运算求出123,,x x x 之间的关系和123,,y y y 之间的关系,把,A B 两点坐标代入椭圆方程利用点差法求解即可得证.【详解】（Ⅰ）解：依题有2221b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2241a b ⎧=⇒⎨=⎩ ，所以椭圆方程为2214x y +=，由122110114y x x x y y =-⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩，或228535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以MN ==（Ⅱ）证明：设()11,A x y ，()11,B x y ，()33,C x y ，则()123123,OA OB OC x x x y y y ++=++++u u u v u u u v u u u v ，由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r知,123123,x x x y y y +=-+=-，由()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ，所以()121212124AB y y x x k x x y y -+==--+，因为321321OC y y y k x x x +==+, 所以AB OC k k ⋅14=-为定值. 【点睛】本题考查椭圆的方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、点差法的运用、平面向量坐标的线性运算；考查运算求解能力和逻辑推理能力和知识的综合运用能力;属于中档题、常考题型.21.设函数()21x f x e ax x =--+，a R ∈. （Ⅰ）0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）214e a -≤. 【解析】【分析】（Ⅰ）对函数()f x 进行求导，利用导数判断函数()f x 的单调性求最值即可；（Ⅱ）由题知，()020f =>对任意a R ∈恒成立，当0x >时，()0f x ≥恒成立等价于210x e ax x --+≥对任意0x >恒成立，即21x e x a x -+≤对任意0x >恒成立，令()21x e x h x x -+=，0x >，对函数()h x 进行求导判断其单调性求()0,∞+上的最小值即可.【详解】（Ⅰ）0a =时，()1xf x e x =-+，则()1x f x e =-' ，令()0f x '=，得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增；所以()()min 02f x f ==；（Ⅱ）由题意知，()020f =>对任意a R ∈恒成立，当0x >时，()0f x ≥恒成立等价于210x e ax x --+≥对任意0x >恒成立，即21x e x a x-+≤对任意0x >恒成立，令()21x e x h x x -+=，0x >，则()()()'321x x e h x x-+=，所以当02x <<时，()'0h x <，函数()h x 单调递减；当2x >时，()'0h x >，函数()h x 单调递增，所以当2x =时函数()h x 有最小值为()2124e h -=，所以此时a 的取值范围为214e a -≤，综上可知所求a 的取值范围为214e a -≤. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求最值、利用构造函数法求解不等式的恒成立问题;考查运算求解能力、转化与化归的能力、逻辑推理能力；灵活运用函数的单调性与导数之间的关系是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【答案】（10y -+=，22430x y x +-+=.（2）1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）根据直线l的参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，即可求得的l 的普通方程，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，即可求得答案；（2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】（1）直线l参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t∴l 0y -+=.曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ∴C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.（2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1∴圆心C 到l 距离为d ==，∴点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23.已知()1f x x x a =-++()a R ∈.（Ⅰ）若1a =，求不等式()4f x >的解集；（Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，014()1f x m m+>-，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(,2)(2,)-∞-+∞U ；（Ⅱ）(10,8)-.【解析】【分析】（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数()f x 改写成分段函数的形式,分1,11,1x x x ≥-<<≤-三种情况分别解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值,利用均值不等式求出141m m +-的最小值,结合题意,只需()min min141f x m m ⎛⎫<+ ⎪-⎝⎭即可,解不等式即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，2,1()112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩，1()424x f x x ≥⎧>⇔⎨>⎩，或1124x -<<⎧⎨>⎩，或124x x ≤-⎧⎨->⎩ 2x ⇔>，或2x <-所以不等式()4f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞U ；（Ⅱ）因为()1()(1)1f x x x a x a x a =-++≥+--=+(0,1)m ∀∈，又[]1414()(1)11m m m m m m+=++--- 4151m m m m-=++-59≥+=（当13m =时等号成立），依题意，(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，有014()1f x m m+>-，则19a +<，解之得108a -<<，故实数a 的取值范围是(10,8)-.【点睛】本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.。