曲线积分与曲面积分习题答案

第十一章 曲线积分与曲面积分

第三节 Green 公式及其应用

1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1)

⎰

-L

ydx x dy xy 2

2，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得

23

222230

81()22

L

D

xy dy x ydx x y dxdy d r dr ππ

θ-=+==

⎰

⎰⎰⎰⎰， 其中D 为2

2

9x y +≤。 (2)

⎰-++L

y y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得

()(2)(1)1y y y y L

D

D

e y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰。 *(3)

⎰

+-L

dy xy ydx x 2

2，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；

解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得

6cos 2222

22

320

3cos 44

4620()0

1515353cos 334442264

L

D

BA

x ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d π

θ

θ

π

θπθθπ-+=+-

-+=-=

=⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

*(4)

⎰

+-L

y

x xdy ydx 2

2，其中L 为正向圆周4)1(2

2=++y x . 解：因为222

22

()

x y P Q y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。作足够小的圆周l :222

x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得

22

0L l

ydx xdy

x y +-=+⎰

，故

22222

2

2

2

2

22

sin cos 2L

l

l

ydx xdy ydx xdy

ydx xdy

x y x y r r r d r π

θθ

θπ

---+=-=++--==-⎰

⎰⎰

⎰

—

2．计算下列对坐标的曲线积分：

⎰+-L

x x ydy e dx y e sin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧； 解：(12cos ),2sin x x

P e y Q e y =-=，

2sin x P Q

e y y x

∂∂==∂∂， 故积分与路径无关，取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径， 从而 原式=

(12cos )2sin 1x x

x AO

e y dx e

ydy e dx e ππ

-+=-=-⎰⎰。

*3．设函数)(u f 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有

⎰

=+L

xdy ydx xy f 0))((.

证明：

()()P Q

f xy xyf xy y x

∂∂'==+∂∂，记L 围成的闭区域为D, 由Green 公式，得()()00L

D

f xy ydx xdy dxdy +==⎰

⎰⎰.

第四节 对面积的曲面积分

1．填空题：

(1) 设∑为球面12

2

2

=++z y x ，则

=⎰⎰∑

dS 4π ；

(2) 面密度3),,(=z y x μ的光滑曲面∑的质量=M 3

dS ∑

⎰⎰ .

2．计算下列对面积的曲面积分： (1)

⎰⎰∑

++dS z y x )22(，其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限的部分；

解：{(,)|1,0,0}xy D x y x y x y =+≤>>，1z x y =--

，dS =

1

10

1

20(22(1(2)31()22xy

x

D x y x y dx y dy

x x dx -++--=-=--=

⎰⎰⎰

原式=

(2)

⎰⎰∑

zdS ，其中∑为)1()(2

122

≤+=

z y x z 的部分；

解：2

2

{(,)|2}{(,)|02}xy D x y x y r r θθπ=+≤=≤≤≤≤，

—

dS=

2

22

00

D

22

3/2

22

11

(

22

1)

2

2

)1)

215

xy

x y d

r

r dr

π

θ

π

ππ

=+=

=+-

=+=

⎰⎰⎰

原式

*(3) ⎰⎰

∑

+

+2)

1(y

x

dS

，其中∑为0

,0

,0

,1=

=

=

=

+

+z

y

x

z

y

x围成四面体的整个边界.

解：

1234

∑=+++

∑∑∑∑，其中

1

:1,:1,

xy

z x y D x y dS

=--+≤=

∑，

2

:0,:1,

yz

x D y z dS dzdy

=+≤=

∑，

3

:0,:1,

zx

y D x z dS dxdz

=+≤=

∑，

4

:0,:1,

xy

z D x y dS dxdy

=+≤=

∑。

1234

2

2222

111111

222

000000

11

2

00

(1)

(1)(1)(1)(1)

1)

(1)(1)(1)

111

1)()2

12(1)

xy yz zx xy

D D D D

x y x

dS

x y

dydz dxdz dxdy

x y y x x y

dy dy dx

dx dz dz

x y y x

y

dx d

x y

---

=+++

++

∑∑∑∑

=+++

++++++

=++

++++

-

=-+

++

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

原式

3

1)ln2

2

y

-

=+