动量定理和动能定理的应用

动量定理和动能定理的应用
在力学中，从力对时间的积累作用的角度来研究机械运动时，用动量来描写物体的运动状态；从力对空间的积累作用的角度来研究机械运动时，用动能来描写物体的运动状态．它们分别遵从动量定理和动能定理．实际上，物体做机械运动都是在一定的时间和空间中进行的．解决问题时，可从不同的角度（动量或动能），利用不同的规律（动量定理或动能定理）来进行研究．
解决问题的思路和方法是：
第一、明确物理过程，根据问题的要求和计算方便，确定研究对象． 第二、进行受力情况和运动过程的分析．
第三、描写研究对象的初动量（或初动能）和末动量（或末动能）． 第四、根据动量定理（或动能定理），列方程并求解．
例1．一个质量为m 的物体，带有电荷为+q 的小物体，可以在水平轨道ox 上运动．o 端有
一与轨道垂直的固定的墙，轨道处于匀强电场中，场强的大小为E ，方向与ox 轴的正方向相反，如图2—1所示，小物体以初速度0v 从0x 点沿ox 轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f 的作用，且qE f ＜；设小物体与墙壁碰撞时不损失机械能，且保持总电量不变，求它在停止运动前所通过的总路程S ．
分析：在离地面高h 处，将以小球以一定的初速度竖直上抛．小球与地面不断的碰撞，最终要停在地面上．如果将图2—1的“模型’逆时针旋转900．将小物体和小球类比，可以得到“小物体”最终要静止在墙根O 处．
解：取小物体为研究对象，电场力做正功并与路径无关，阻力做负功，大小为fs 。

根据动能定理，得：
22
00/mv fs x Eq -=-——————————————————（1） 解得：f /)mv Eqx (s 22200+=—————————————（2）
评析：面对新的物理问题，解题时要注意原型启发。

例2．在光滑绝缘的水平面上有一静止的带电体．加一水平向右匀强电场，作用一段时间后，
换成水平向左的匀强电场，作用相同的时间带电体恰好回到原处．
（1）设向右的电场的场强为1E ，向左的电场的场强为2E ，求21E E ．
图2—1
（2）求向右的电场与向左的电场对带电体做的功之比．
分析：带电体在电场力的作用下首先做匀加速运动，然后做匀减速运动．
解：（1）设带电体的质量为m ，电荷量为q ，1E 作用的时间为t ，带电体的速度为1v ，位移为s ；２E 又作用相同的时间t ，带电体的速度为2v ．取向右的方向为正方向，
根据动量定理，得：
）（111------------------------=mv qt E ）（2122---------------------=-mv mv qt E 根据动能定理，得：
）
（）（421213212
12222
11--------------------=------------------------=
m v m v qs E m v qs E 联立（1）——（4）解得：
）（5212----------------------------=v v 由（1）、（2）、（5）解得：
）
（63
1
21-----------------------------=E E （2）向右的电场力与向左的电场力对木块做的功之比为
）
（73
1
21----------------------------=qs E qs E
例3．一质量为m 的学生做摸高运动，从下蹲状态向上起跳经1t 时间，身体伸直并刚好离开
地面，又经时间2t 人体的重心上升到最大的高度．人在运动的过程中受到的阻力不计，试求：
（1）地面对学生的冲量． （2）地面对学生做的功．
分析：学生做摸高运动，在时间1t 内，受重力、支持力和人体之间的内力的作用做变速运动，地面对人体的支持力的作用点显然没有移动，对人体不做功。

在时间2t 内学生做竖直上抛运动。

解：（1）设地面对学生的冲量为I ，人离开地面时的速度为v ，取向上的方向为正方向，
根据动量定理，得：
）（101-----------------=-mv mgt I 根据上抛运动的规律，得：
）（22---------------------=gt v 联立(1)、(2)解得：
）
（321-----------------+=)t t (mg I （2）设地面对学生做的功为W ，地面对学生的支持力的位移0=s ，根据功的定义得：
）（40----------------------=W
评析：本题考查学生对动量定理和动能定理的正确运用能力，同时考查学生的功的概念
的理解。

人从下蹲到离开地面的两个状态的重力势能不变，并且地面没有对人体做功，人离开地面是通过人体肌肉做功将生物能转化为动能。

例4．如图2—2所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H ，上端套着一个细环．棒
和环的质量均为m ，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力)k (kmg 1＞．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失．棒在
整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度a ．
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程S ． （3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W ．
分析：断开细线后棒和细环一起做自由落体运动；棒与地面碰后保持速度的大小不变，向上做减速运动；环保持速度不变向下做减速运动；达共同速度后环和棒一起做自由落体运动；棒再次与地面碰撞，重复上面的运动。

解：（1）设棒第一次上升的过程中，环的加速度为环a ，受力如图2－
向为正方向，根据牛顿第二定律，得：
)1(------------------=-ma f mg
图2—2 图2－22
由题意：)2(---------------=kmg f 联立解得：)3()1------------=g k a （环 由题意1＞k 所以环的加速度竖直向上。

（2）棒与地面碰后受力如图2－23所示，棒第一次落地时的速度为1v ，落地后上升的最大高度为h ，根据动能定理：得：
)4(2
1
21------------------=
mv mgH )5(21
)(21----------------=+mv h f mg
联立（4）、（5）解得：
)6(11
------------------------+=
H k
h 棒运动的路程： ）（71
3
2-------------++=+=H k k H h s （3）设棒第一次弹起经过t 1时间，与环达到共同的速度1
v '，取向下的方向为正方向，根据动量定理。

对环： ）（）（8111----------------'=-mv v m t f mg 对棒： ）（）（9111-
--------------+'=+mv v m t f mg 设棒第一次弹起后到与环达到共同速度，棒的位移为1s ，环的位移为1s '。

根据动能定理。

对环： ）（）（）（1021
2121211
------------'='-mv v m s f mg
对棒： ）（）（）（1121
2121211------------'=+mv v m s f mg
由（8）、（9）解得：）（1211-----------------='k v
v
联立（10）、（11）、（12）解得：
）（）（132122
11----------------------+='g k v k s
)15(2)1(2
2
11----------------------=g
k v k s 环相对棒的位移：）（162
1111-------------=-'=kg
v s s x
mg f
图2－23
联立（4）、（13）解得：）（1721---------------=
k
H
x 设棒第二次落地速度的速度为v 2，对棒根据动能定理，得：
）（）（）（182
1
2121221-------------'-=
-v m mv s mg
联立（4）、（12）、（15）解得：）（192212
2
--------==k
gH k v v 同理，第二次环相对棒的位移： )20(222---------=k
H
x …… …… ……
）（212------------=
n
n k H
x 环相对棒的总位移：）（221
221-----=+⋯⋯++=k H
x x x x n n 对棒及环摩擦力做的总功为：）（231
2----------=k kmgH
W
评析：解答这道题要根据所给的物理情景，分析物体的受力情况和运动情况，尤其是摩擦力的方向的确定及相对位移的计算。

相对位移的计算要运用到数列的知识，有利于培养学生运用数学知识解决物理问题的能力。