2011中考数学压轴题精选精析(1)

2011年中考数学压轴题精选精析（10例）

1、（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．

（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。

专题：综合题；分类讨论。

分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；

（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．

解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，

如图1，

∵点D在以AB为直径的半圆上，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AD，

在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=错误！未找到引用源。，

∵AE∥BF，

∴两条射线AE、BF所在直线的距离为错误！未找到引用源。．

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=错误！未找到引用源。或﹣1＜b＜1；

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜错误！未找到引用源。

（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2．

∵AMPQ四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的上方，

∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，

∴0＜PQ＜错误！未找到引用源。．

∵AM∥PQ且AM=PQ，

∴0＜AM＜错误！未找到引用源。

∴﹣2＜x＜﹣1，

②当点M不在弧AD上时，如图3，

∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的下方，

此时，不存在满足题意的平行四边形．

③当点M在弧BD上时，

设弧DB的中点为R，则OR∥BF，

当点M在弧DR上时，如图4，

过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．

∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，

∴0≤x＜错误！未找到引用源。．

当点M在弧RB上时，如图5，

直线PQ必在直线AM的下方，

此时不存在满足题意的平行四边形．

④当点M在射线BF上时，如图6，

直线PQ必在直线AM的下方，

此时，不存在满足题意的平行四边形．

综上，点M的横坐标x的取值范围是

﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜错误！未找到引用源。．

点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．

2、（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点

为A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．

（1）求c，b （用含t的代数式表示）：

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，错误！未找到引用源。；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；

（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，

②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；

（3）根据图形，即可直接求得答案．

解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，

再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，

∵t＞0，

∴b=﹣t；

（2）①不变．

如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），

∵tan∠AMP=1，

∴∠AMP=45°；

②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=错误！未找到引用源。（t﹣4）（4t﹣16）+错误！未找到引用源。[（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣错误！未找到引用源。（t﹣1）（t﹣1）=错误！未找到引用源。t2﹣错误！未找到引用源。t+6．

解错误！未找到引用源。t2﹣错误！未找到引用源。t+6=错误！未找到引用源。，

得：t1=错误！未找到引用源。，t2=错误！未找到引用源。，

∵4＜t ＜5，

∴t1=错误！未找到引用源。舍去， ∴t=错误！未找到引用源。．

（3）错误！未找到引用源。＜t ＜错误！未找到引用源。．

点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

3．（2011•江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型:设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x

=+＞． 探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1

(0)y x x x

=+

＞的图象性质．

４．填写下表，画出函数的图象：

x …… 14 13 12

1 2 3 4 …… y ……

……

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还

可以通过配方得到．请你通过配方求函数1

y x x

=+

(x ＞0)的最小值． 解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】 解:⑴① x ……

14 13 12

1 2 3 4 …… y …… 174 103 52 2

52 103 174

……

函数1

y x x

=+

(0)x >的图象如图． ②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数

1

y x x

=+

(0)x >的最小值为2． 1 x

y

O 1

3 4 5 2 2

3 5

4

－1

－1