2011中考数学压轴题精选精析(1)
2011年各地中考数学压轴题精选11-20(解析版)(含详细解答)
2011年各地中考数学压轴题精选11-20解析版2011 福建三明22.解：∵抛物线y ＝ax 2－4ax ＋c 过A （0，－1），B （5，0）∴⎩⎨⎧c ＝－125a －20a ＋c ＝0 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15c ＝－1（2）∵直线AB 经过A （0，－1），B （5，0） ∴直线AB 的解析式为y ＝15x －1由（1）知抛物线的解析式为：y ＝15x 2－45x －1∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线上，点Q 在直线AB 上，PQ ⊥x 轴 ∴P （m ，15m 2－45m －1），Q （m ，15m －1） ∴S ＝PQ ＝（15m －1）－（15m 2－45m －1） 即S ＝－15m 2＋m （0＜m ＜5） （3）抛物线的对称轴l 为：x ＝2以PQ 为直径的圆与抛物线的对称轴l 的位置关系有： 相离、相切、相交三种关系相离时：0＜m ＜15－1452或 －5＋1052 ＜m ＜5； 相切时：m ＝15－1452 m ＝－5＋1052； 相交时：15－1452＜m ＜－5＋10522011 福建三明23.解：（1）在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AP ＝1，CD ＝AB ＝2，则PB ＝5． ∴∠ABP ＋∠APB ＝90° 又∵∠BPC ＝90° ∴∠APB ＋∠DPC ＝90° ∴∠ABP ＝∠DPC ∴△APB ∽△DCP∴AP CD ＝PB PC 即 12 ＝5PC ∴PC ＝2 5（2）tan ∠PEF 的值不变（第23题 图①）理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ， 则四边形ABFG 是矩形∴∠A ＝∠PFG ＝90°，GF ＝AB ＝2 ∴∠AEP ＋∠APE ＝90° 又∵∠EPF ＝90° ∴∠APE ＋∠GPF ＝90° ∴∠AEP ＝∠GPF ∴△APE ∽△GPF ∴PF PE ＝GF AP ＝21 ＝2∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF ＝PFPE ＝2 ∴tan ∠PEF 的值不变（3）线段EF 的中点经过的路线长为 5（第23题 图④）（第23题 图③）O 2O 1FPCDB AE2011福建宁德 25．（满分13分）解：⑴小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：…………3分小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：…………8分⑵①不能摆出等边“整数三角形”.理由如下： 设等边三角形的边长为a ，则等边三角形面积为243a . 因为，若边长a 为整数，那么面积243a 一定非整数. 所以不存在等边“整数三角形”.…………10分；②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：…………13分2011福建宁德 26．（满分13分）解：⑴①直线6-=x y 与坐标轴交点坐标是A （6，0），B （0，-6）；…………1分②如图1，四边形DCEF 即为四边形ABEF 沿EF 折叠后的图形；…………3分 ⑵∵四边形DCEF 与四边形ABEF 关于直线EF 对称， 又AB ∥EF ， ∴CD ∥EF .∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°， ∴∠BAO ＝45°. ∵AB ∥EF ， ∴∠AFE ＝135°. ∴∠DFE ＝∠AFE ＝135°.∴∠AFD ＝360°－2×135°＝90°，即DF ⊥x 轴. ∴DF ∥EH ，5图14 46 6图24 5121513图3∴四边形DHEF 为平行四边形. …………5分 要使□DHEF 为菱形， 只需EF ＝DF ，∵AB ∥EF ，∠FAB ＝∠EBA ， ∴FA ＝EB . ∴DF ＝FA ＝EB ＝t . 又∵OE ＝OF ＝6－t ， ∴EF ＝()t -62. ∴()t -62＝t . ∴2126+=t .∴当2126+=t 时，□DHEF 为菱形. …………7分⑶分两种情况讨论：①当0＜t ≤3时，…………8分四边形DCEF 落在第一象限内的图形是△DFG ,∴S ＝221t . ∵S ＝221t ，在t ＞0时，S 随t 增大而增大，∴t ＝3时，S 最大＝29；…………9分②当3＜t ＜6时，…………10分四边形DCEF 落在第一象限内的图形是四边形DHOF , ∴S 四边形DHOF ＝S △DGF —S △HGO . ∴S ＝()22622121--t t ＝1812232-+-t t ＝()64232+--t .∵a ＝23-＜0，∴S 有最大值.∴当t ＝4时，S 最大＝6.…………12分综上所述，当S ＝4时，S 最大值为6. …………13分2011 福建南平25、（2011•南平）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的性质。
2011中考数学压轴题100题精选及答案[1] - 副本
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【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．xyMCDPQOAB【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．【004】如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关AC BPQED图16t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【005】如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PM N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.A DB EO C F x y1l 2l （G ） （第4题）A D E BFC图4（备用）AD E BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EB FC P NM图3 A D EBFCPNM （第25题）【006】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
2011年广东中考数学压轴题
2011年广东中考数学压轴题1.（11年广东）22．如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.2.（11年广东茂名）25. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C （5，0），抛物线对称轴l 与x 轴相交于点M ．（1）求抛物线的解析式和对称轴;（3分）（2）设点P 为抛物线（5>x ）上的一点，若以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出．．．．点P 的坐标;（2分） （3）连接AC ．探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．（3分）3.（11年广东河源）21．如图9,已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点（P 不与A ，B 重合），分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD ．（1）当△APC 与△PBD 的面积之生取最小值时，AP=___________；（直接写结果）（2）连结AD 、BC ，相交于点Q ，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P 的移动面变化？请说明理由；（3）如图10，若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）4.（11年广东河源）22．如图11，已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于两点A 、B ，其顶点为C ． 第25题图(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.（11年广东广州）24.（14分）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD 的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。
2011年全国各地中考数学题分类汇编 压轴题(含答案)
2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x=交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．⑴求b 的值．⑵求x 1•x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．答案：24．解：⑴b =1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y kx y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得12x x =－4⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1•F 1N 1=－x 1•x 2=4，而FF 1=2，所以F 1M 1•F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．⑷存在，该直线为y=－1．理由如下： 直线y=－1即为直线M 1N 1．如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为214m ,计算知NN 1=2114m +，=2114m +，得NN 1=NF同理MM 1=MF ．那么MN=MM 1＋NN 1，作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，由中位线性质知PQ=12（MM 1＋NN 1）=12MN ，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．第22题图第22题解答用图．（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线C B 与⊙1O 交于另一点D 。
2011年中考数学压轴题汇编(含解题过程)
冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)（2009年北京）25.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为()6,0A-，()6,0B，(0,C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y kx b=+将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y kx b=+与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。
（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．26．解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°，1tan 2tan 212AE AD ADE BCD ∴=∠=⨯∠=⨯=． ∴(01)E ，． ····························································································· （1分） 设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠． 将点E 的坐标代入，得1c =．将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得42129310.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，······················································································ （2分） 解这个方程组，得56136a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故抛物线的解析式为2513166y x x =-++． ··················································· （3分） （2）2EF GO =成立． ············································································ （4分）26题图x点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65， ∴点M 的纵坐标为125． ··········································································· （5分） 设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠， 将点D M 、的坐标分别代入，得1122612.55k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． ∴DM 的解析式为132y x =-+． ······························································ （6分） ∴(03)F ，，2EF =． ·············································································· （7分） 过点D 作DK OC ⊥于点K ，则DA DK =．90ADK FDG ∠=∠=°， FDA GDK ∴∠=∠．又90FAD GKD ∠=∠=°， DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==． 1GO ∴=． ···························································································· （8分） 2EF GO ∴=． （3）点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，． ∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．①若PG PC =，则2222(1)2(3)2t t -+=-+，解得2t =．∴(22)P ，，此时点Q 与点P 重合． ∴(22)Q ，． ···························································································· （9分） ②若PG GC =，则22(1)22t 2-+=，解得 1t =，(12)P ∴，，此时GP x ⊥轴． GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73．∴713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，． ························································································ （10分）x③若PC GC =，则222(3)22t -+=，解得3t =，(32)P ∴，，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形． 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则QH GH =，设QH h =，(1)Q h h ∴+，．2513(1)(1)166h h h ∴-++++=．解得12725h h ==-，（舍去）．12755Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，． ····································· （12分） 综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即(22)Q ，或713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，或12755Q ⎛⎫⎪⎝⎭，．（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．*26．解：（1）抛物线2(1)0)y a x a =-+≠经过点(A -x093a a∴=+=-··············································································1分∴二次函数的解析式为：2333y x x=-++ ···········································3分（2）D为抛物线的顶点D∴过D作DN OB⊥于N，则DN=3660AN AD DAO=∴==∴∠=，° ············································4分OM AD∥①当AD OP=时，四边形DAOP是平行四边形66(s)OP t∴=∴=··········································5分②当DP OM⊥时，四边形DAOP是直角梯形过O作OH AD⊥于H，2AO=，则1AH=（如果没求出60DAO∠=°可由Rt RtOHA DNA△∽△求1AH=）55(s)OP DH t∴===················································································6分③当PD OA=时，四边形DAOP是等腰梯形26244(s)OP AD AH t∴=-=-=∴=综上所述：当6t=、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． ·7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB∠==°，，△是等边三角形则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t=====∴=-<<，，，过P作PE OQ⊥于E，则PE= ·······························································8分116(62)22BCPQS t∴=⨯⨯⨯-232t⎫-⎪⎝⎭···················································································9分当32t=时，BCPQS························································· 10分∴此时33393324444OQ OP OE QE PE==∴=-==，=，P图5PQ ∴===············································· 11分（2009年河北省）26．（本小题满分12分）如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t（1）当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．26．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC ，4BC ==， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB =， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．图16P图4P图3F（4）52t =或4514t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =． ②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.解.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx8=16a +4b得0=64a +8b解 得a =-12,b =4∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+4x …………………3分 （2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE =12AP =12t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+12t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12t ）=-18t 2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-(8-t )=-18t 2+t .∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t 1=163， t 2=4013，t 3． …………………11分(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．26．（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．（第26题）由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．········································································ （2分）由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ······························· （3分） ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·． ·················································· （4分） （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． ·········································································· （5分） 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ·········································································· （6分） ∴8448OE EF =-==，． ································································ （7分）（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++． （10分） （2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，（图3）（图1）（图2）图（1）A B CDEFM N求AMBN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）29．问题解决解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ···································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）ABCD EFMN 图（1-1）A BC EF M∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ········································· 3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=，222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．····························································· 5分 设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ····································································· 6分∴15AM BN =． ····················································································· 7分 方法二：同方法一，54BN =． ································································ 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==． 同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，．在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ························· ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ····················································· 6分 ∴15AM BN =． ··················································································· 7分 类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ ································································· 10分N 图（1-2）A B C DE FM G第23题图（1）第23题图（2）联系拓广2222211n m n n m -++ ······················································································ 12分评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分． 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】）23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.25．（1）如图1，过点E作EG BC⊥于点G． ····················1分∵E为AB的中点，∴122BE AB==．在Rt EBG△中，60B=︒∠，∴30BEG=︒∠．············2分∴112BG BE EG====，即点E到BC ·····································3分（2）①当点N在线段AD上运动时，PMN△的形状不发生改变．∵PM EF EG EF⊥⊥，，∴PM EG∥．∵EF BC∥，∴EP GM=，PM EG==同理4MN AB==．··················································································4分如图2，过点P作PH MN⊥于H，∵MN AB∥，∴6030NMC B PMH==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM==∴3cos302MH PM=︒=．则35422NH MN MH=-=-=．在Rt PNH△中，PN==∴PMN△的周长=4PM PN MN++=．·······································6分②当点N在线段DC上运动时，PMN△的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角A DEBFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）图1A DEBFCG图2A DEBFCPNGH形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan 301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 （2009年广东广州）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
2011中考数学压轴题选精选
10．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆 围成 ．已知墙长为 18 米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米． （1）若平行于墙的一边的长为 y 米，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时，试结合函数图像，直接写出 x 的取值范围． 18 米 墙 苗圃园
a A O
20 40 80
t(h)
7．小华观察钟面（图 1） ，了解到钟面上的分针每小时旋转 360 度，时针毎小时旋转 30 度．他为了进一步 探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午 2 : 00 开始对钟面进行了一个小时的观察．为了探究方便，他 将分针与分针起始位置 OP（图 2）的夹角记为 y1，时针与 OP 的夹角记为 y2 度（夹角是指不大于平角的 角） ，旋转时间记为 t 分钟．观察结束后，利用获得的数据绘制成图象（图 3） ，并求出 y1 与 t 的函数关系 式：
少要留够 0.5 米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（1）中 S 取得最值时，请问这个设计是否可 行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由． 围墙 A O1 B O2 C D
14．王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为 a 米， 由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2 米． （1）请用 a 表示第三条边长； （2）问第一条边长可以为 7 米吗？请说明理由，并求出 a 的取值范围； （3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说 明理由． 15．李明在小岛上的 A 处，上午 8 时测得在 A 的北偏东 60º的 D 处有一艘轮船，9 时 20 分测得该船航行 到北偏西 60º的 C 处，9 时 40 分测得该船到达位于 A 正西方 5 千米的港口 B 处，如果该船始终保持匀速 直线运动，求： 北 （1）A、C 之间的距离； （2）轮船的航行速度． D
2011中考数学压轴题含答案(17套).
中考数学压轴题汇编（7套）1、按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当p ＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x －h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。
（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）当P=12时，y=x ＋()11002x -,即y=1502x +。
∴y 随着x 的增大而增大，即P=12时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y=1100502⨯+=100。
而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12时，这种变换满足要求；……6分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。
若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y=()220a x k -+,……8分∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a ×802＋k=100 ②由①②解得116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()212060160y x =-+。
………14分 2、已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由(1)2(33)m m -=+，得m =-k = ····· 2分（2）如图1，作B E x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =，因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意． ····························· 3分 当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF mm =>，则1AF =，12AD m =，由点(1A--，，得点11(1)D m --，．因此11(1)(23)m --+=解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形． ······ 5分如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH m m =>，则2DH =，22CD m = 由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此22(1)3m m -+=．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形． ········ 7分 如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，同理可得，点(2D -，，四边形ABCD 是梯形． ·············· 9分综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或D 10分图1图23、如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-=………2分（2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，…………5分把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-………6分 215466y x x ∴=-++…………………………………………7分（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ． 过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =，5.5AN =，52BM =① ········································································································· 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ················· 8分在1Rt ANP △中，1PN ====152P ⎛∴ ⎝⎭， ························· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．在2Rt BMP △中，22MP ====10分25822P ⎛∴ ⎝⎭， ························11分 ③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = ··············· 13分3(2.51)P ∴-， ··························· 14分注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分． 4、如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）.∵ 点A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 ,∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1，∵ 点C 在双曲线上，当y = 8时，x = 1∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON . S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 . S △AOC = S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图12-2，过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8y x=上，当y = 8时，x = 1 . ∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点C 、A 都在双曲线8y x=上 , ∴ S △COE = S △AOF = 4 。
2011年全国各地中考数学压轴题专集答案
2011年全国各地中考数学专集答案三、反比例函数1．解：（1）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，设AM交OB于点E则S△AOM＝S△BON∴S△AOE＝S梯形BEMN，∴S△AOB＝S梯形BAMN由题意知，A（a，－4a），B（2a，－2a）∴AM＝－4a，BN＝－2a，MN＝－a∴S△AOB＝12(－4a－2a)(－a)＝3 ·······································································4分（2）作BE⊥x轴于E∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°∴∠BCE＋∠OCD＝90°又∠BCE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠OCD∴Rt△EBC≌Rt△OCD，∴BE＝CO又A（a，－4a），B（2a，－2a），点C在x轴上，点D在y轴上∴C（a，0），D（0，－2a），∴－2a＝－a分2又∵点P在反比例函数＝－2x（x＜0）图象上，且纵坐标为53∴P（－65，53）把x＝－65代入y＝x＋2，得y＝45，∴EM＝45S△EOF＝S△AOF－S△AOE＝12×2×53－12×2×45＝1315 ··················································4分（2）以AE、EF、BF为边的三角形是直角三角形理由如下：由题意知△AOB 是等腰直角三角形，则△AME 又－2＜a ＜0，0＜b ＜2，AM ＝2－(－a)＝2＋a∴AE 2＝(2AM)2＝2a2＋8a ＋8而BN ＝2－b ，∴BF 2＝(2BN)2＝2b2－8b ＋8PE ＝PM －EM ＝PM －AM ＝b －(2＋a)＝b －a －2又ab ＝－2，∴EF 2＝(2PE)2＝2a2＋2b2＋8a －8b ∵|a|≠|b|，∴AE ≠BF又(2a2＋8a ＋8 )＋(2b2－8b ＋8)＝2a 2＋2b2＋8a －8∴AE 2＋BF 2＝EF 2故以AE 、EF 、BF 为边的三角形是直角三角形 ···················································· 9分3．解：（1）∵y ＝3，∴3＝63x∴x ＝2 3∴a ＝33＋23＝5 3 ···················································································· 2分 （2）①∵tan ∠AOB ＝333＝33，∴∠AOB ＝30° 又∵OA ＝OB ，∴当α＝30°时，点B 的坐标为（－33，－3）∴k ＝(－33)(－3)＝9 3 ················································································ 4分 ②能 ··········································································································· 5分 ∵A （－33，3），OA ＝OB ，∴OB ＝OA 将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α由①知反比例函数为y ＝93 x，若点B 在则(－6cos α)(－6sin α)＝93，即sin αcos α∵0°＜α＜90°，sin α1－sin 2α＝34整理得：16sin 4α－16sin 2α＋3＝0，∴sin 2α∴sin α＝1 2或sin α＝ 32，∴α＝30°或α＝当α＝30°时，点A 在x 轴上，舍去当α＝60°时，点A 坐标为（－33，－3）∴α＝60° ········································图34．解：（1）过点A 分别作AM ⊥y 轴于M ，AN ⊥x 轴于N ，如图1∵△AOB 是等腰直角三角形，∴AM ＝AN ∴设点A 的坐标为（a ，a ）∵点A 在直线y ＝3x －4上，∴a ＝3a －4，解得a ＝2 ∴A （2，2） ················································· 1分∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点A∴2＝k2，∴k ＝4 ············································ 2分∴反比例函数的解析式为y ＝4x·························· 3分（2）∵A （2，2），∴AO 2＝22＋22＝8把x ＝0代入y ＝3x －4，得y ＝－4 ∴C （0，－4），∴OC ＝4在Rt △COD 中，CD 2＝OC 2－OD 2 ① 在Rt △AOD 中，AD 2＝OA 2－OD 2 ②①－②，得CD 2－AD 2＝OC 2－OA 2＝16－8 ··········· 7分 （3）①若∠P AQ ＝90°，AP ＝AQ ，如图2连接BQ在△AOP 和△ABQ 中∵AO ＝AB ，∠OAP ＝∠BAQ ＝90°－∠P AB ，AP ＝AQ ∴△AOP ≌△ABQ ，∴∠ABQ ＝∠AOP ＝45° 又∠ABO ＝45°，∴∠OBQ ＝90°，即QB ⊥OB ∵A （2，2），∴B （4，0）把x ＝4代入y ＝4x，得y ＝1∴Q 1（4，1） ················································· 8分 ②若∠AQP ＝90°，AQ ＝PQ ，如图3过A 作AC ⊥x 轴于C ，过Q 分别作QD ⊥AC 于D ，QE ⊥x 轴于E 在Rt △ADQ 和Rt △PEQ 中∵AQ ＝PQ ，∠AQD ＝∠PQE ＝90°－∠DQP ∴Rt △ADQ ≌Rt △PEQ ，∴AD ＝PE ，DQ ＝EQ设Q （m ，4 m ），则OE ＝m ，CE ＝DQ ＝EQ ＝4m由OC ＋CE ＝OE ，得2＋ 4m＝m ，∴m ＝1± 5∵m ＞0，∴m ＝1－5 不合题意，舍去，∴m ＝1＋ 5 ∴Q 2（5＋1，5－1） ····································10分 ③若∠APQ ＝90°，P A ＝PQ ，如图4过A 作AC ⊥x 轴于C ，过Q 作QD ⊥x 轴于D在Rt △ACP 和Rt △PDQ 中∵P A ＝PQ ，∠APC ＝∠PQD ＝90°－∠DPQ∴Rt △ACP ≌Rt △PDQ ，∴AC ＝PD ，CP ＝DQ设Q （n ，4 n ），则OD ＝n ，CP ＝DQ ＝4n，PD ＝AC ＝2由OC ＋CP ＋PD ＝OD ，得2＋ 4n＋2＝n ，∴n ＝2±2 2∵n ＞0，∴n ＝2－22 不合题意，舍去，∴n ＝2＋2 2∴Q 3（22＋2，22－2） ······························································· 12分 综上所述，在反比例函数的图象上一共存在三个符合条件的点Q ，其坐标分别为： ∴Q 1（4，1），Q 2（5＋1，5－1），Q 3（22＋2，22－2）5．解：（1）∵反比例函数y ＝4－2mx（x ＞0）的图象在第四象限 ∴4－2m ＜0，∴m ＞2 ···································································· 2分 （2）∵点A （2，－4）在反比例函数y ＝4－2mx的图象上 ∴－4＝4－2m2，解得m ＝6 ····························································· 4分 ∴反比例函数为y ＝－8x过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ，BN ⊥OC 于点N ∴∠BNC ＝∠AMC ＝90°又∵∠BCN ＝∠ACM ，∴△BCN ∽△ACM ∴BNAM＝BCAC∵BCAB＝1 3，∴BCAC ＝ 1 4 ，即BNAM ＝1 4∵AM ＝4，∴BN ＝1∴点B 的纵坐标是－1 ············································∵点B 在反比例函数y ＝－8x的图象上，∴当y ＝－1时，x ＝8∴点B 的坐标是（8，－1）······························································ 7分 ∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点A （2，－4）、B （8，－1）∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－48k ＋b ＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－5∴一次函数的解析式是y ＝12x －5 ····················································· 8分（3）0＜x＜2或8＜x＜5＋41 ····························································· 10分6．解：（1）k ＝1×2＝2 ·················································································· 2分（2）当k ＞2时，如图1，点E 、F 分别在P 点的右侧和上方作EC ⊥x 轴于C ，作FD ⊥y 轴于D ，EC 与FD 相交于点G ，则四边形OCGD 为矩形 ∵PF ⊥PE∴S △PEF＝1 2 PE ·PF ＝ 1 2 ( k 2 －1)( k －2)＝ 14k 2－k＋1 ··············∵四边形PFGE 为矩形，∴S △GEF＝S △PEF S △OEF＝S 矩形OCGD－S △GEF－S △ODF－S △OCE＝k 2 ·k －(1 4 k 2－k ＋1)－k ＝ 1 4k2－1 ·························· 5分 ∵S △OEF ＝2S △PEF ，∴ 1 4 k 2－1＝2( 14k 2－k＋1)解得k ＝2或k ＝6∵k ＝2时，E 、F 重合，∴k ＝6∴E 点坐标为（3，2） ········································· 6分 （3）存在点E 及y 轴上的点M ，使得△MEF 与△PEF 全等①当k ＜2时，如图2，只可能△MEF ≌△PEF 作FH ⊥y 轴于H ，由△FHM ∽△MBE 得：BMHF＝EMMF∵HF ＝1，EM ＝EP ＝1－k2，MF ＝PF ＝2－k∴ BM 1 ＝ 1－k 22－k ，∴BM ＝12··································· 7分在Rt △BME 中，由勾股定理得：EM 2＝BE 2＋BM 2 ∴(1－k 2 )2＝(k 2)2＋(1 2)2，解得k ＝3 4此时E 点坐标为（38，2） ···································· 8分②当k ＞2时，如图3，只可能△MFE ≌△PEF 作FQ ⊥y 轴于Q ，由△FQM ∽△MBE 得：BMQF＝EMMF∵QF ＝1，EM ＝PF ＝k －2，MF ＝PE ＝k2－1BM 1＝ k －2k2－1，∴BM ＝2 ······································ 9分 在Rt △MBE 中，由勾股定理得：EM 2＝BE 2＋BM 2∴(k －2)2＝(k 2)2＋22，解得k ＝0（不合题意，舍去）或k ＝163此时E 点坐标为（83，2）综上所述，符合条件的E 点坐标为（3 8，2）和（83，2） ······················ 10分图37．解：（1）∵点B （2，1）在曲线y ＝mx（x ＞0）上∴m ＝1×2＝2 ··············································································· 1分 设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ∵直线l 经过点A （1，0），B （2，1）∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝02k ＋b ＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝－1 ∴直线l 的解析式为y ＝x －1 ··························································· 4分 （2）∵点P （p ，p －1)在直线y ＝2上∴p －1＝2，即p ＝3，∴P （3，2）把y ＝2分别代入y ＝2 x和y ＝－ 2x，得x ＝1和x ∴M （1，2），N （－1，2）∴PM ＝2，PN ＝4，P A ＝22，PB ＝ 2∴PMPN＝PBP A＝1 2，又∵∠BPM ＝∠APN ∴△PMB ∽△PNA ·····································（3）存在∵点P （p ，p －1)（p ＞1），∴点P 在直线l 上∵点P （p ，p －1)（p ＞1），∴M 、N 两点的纵坐标都为p －1 把y ＝p －1分别代入y ＝2 x和y ＝－ 2 x ，得x ＝2 p －1和x ＝－2 p －1∴M （2 p －1，p －1），N （－2p －1，p －1）∵S △AMN＝4S △APM，△AMN 和△APM 等高，∴①当1＜p＜2时，点P 在点M 的左侧MN ＝4p －1，PM ＝2p －1－p∴4p －1＝4(2p －1－p)整理得p2－p －1＝0，解得p ＝1±52∵1＜p＜2，∴p ＝1－52不合题意，舍去 ∴p ＝1＋52·············································②当p ＞2时，点P 在点M 的右侧 MN ＝4p －1，PM ＝p －2p －1∴4p －1＝4(p －2p －1)整理得p2－p －3＝0，解得p ＝1±132∵p＞2，∴p＝1－132不合题意，舍去∴p＝1＋132··············································································14分综上所述，存在实数p＝1＋52或p＝1＋132，使得S△AMN8．解：（1）点P在线段AB上，理由如下：∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°∴AB是⊙P的直径∴点P在线段AB上（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线故S△AOB＝12OA·OB＝12×2PP1·2PP2＝2PP1·PP2∵P是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上的任意一点∴PP1·PP2＝6∴S△AOB＝2PP1·PP2＝12（3）连接MN，则点Q在线段MN上，且S△MON＝S△AOB＝12∴OA·OB＝OM·ON，即OAOM＝ONOB又∵∠AON＝∠MOB，∴△AON∽△MOB ∴∠OAN＝∠OMB∴AN∥MB9．解：（1）∵点E、F在函数y＝kx（x＞0）的图象上，∴设E（x1，kx1）（x1＞0），F（x2，kx2）（x2＞0） ·································· 1分∴S1＝12·x1·kx1＝k2，S2＝12·x2·kx2＝k2 ··················∵S1＋S2＝2，∴k2＋k2＝2，∴k＝2 ·················· 4分（2）∵四边形OABC为矩形，OA＝2，OC＝4设E（k2，2)，F（4，k4） ······························· 5分∴BE＝4－k2，BF＝2－k4 ······························· 6分∴S△BEF＝12(4－k2)(2－k4)＝116k2－k＋4 ·········· 7分S△OCF＝12×4×k4＝k2，S矩形OABC＝2×4＝8 ········ 8分∴S四边形OAEF＝S矩形OABC－S△BEF－S△OCF＝8－(116k2－k ＋4)－k 2＝－1 16 k 2＋ k2 ＋4＝－ 116( k －4)2＋5 ···················· 9分 ∴当k ＝4时，S 四边形OAEF＝5，∴AE ＝2当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5 ······ 10分10．解：（1）∵y ＝(3－m)x2＋2(m －3)x ＋4m －m2＝(3－m)(x2－2x ＋1)＋4m －m2－3＋m＝(3－m)(x －1)2－m2＋5m －3∴A （1，－m2＋5m －3） ································································ 1分∵点A 在双曲线y ＝3x上，∴1×(－m2＋5m －3)＝3解得m ＝2或m ＝3∵二次项系数3－m ≠0，∴m ≠3∴m ＝2，A （1，3） ····································································· 2分 ∵直线y ＝mx ＋b 经过点A ，∴2×1＋b ＝3，∴b ＝1 ···························· 3分 ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋1 ····················································· 4分 （2）由y ＝2x ＋1，可得B （0，1），C （－1 2，0）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，得点B 的对应点为D （1，0），点C 的对应点为E （0，12）可得直线DE 的解析式为y ＝－1 2 x ＋12············································· 5分由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝－ 1 2 x ＋1 2得两直线交点为G （－ 1 5，3 5） ····························· 6分 可得DE ⊥BC ，BD ＝2，BG ＝55∴sin ∠BDE ＝BGBD＝OBAB＝1010······················································ 8分 （3）N 1（5，1），N 2（－3，1） ····················································· 10分 解答过程如下（本人添加，仅供参考）连接AF ，易得F （3，1），AF ＝22，∠AFB ＝MF ＝6＋1－3＝4，当点N 在点F 右侧时，则∠AFB ＝∠F AN ＋∠∵∠AMF ＋∠ANF ＝45°，∴∠F AN ＝∠AMF 又∠AFN ＝∠AFM ，∴△AFN ∽△MF A ∴AFNF＝MFAF，即22NF＝422，∴NF ＝2 ∴N 1（5，1）由抛物线的对称性可得，当点N 在点F11．解：（1）根据反比例函数图形的对称性可知点∵∠BAC ＝60°，AB ＝4，∴∠BON ＝∴在△BON 中，ON=OB cos60°＝1，∴点B 的坐标为（1，3），点A ∵点B 在直线y ＝mx 和双曲线y ＝k x∴m ＝31＝3，k ＝1×3＝ 3 （2）∵∠QON ＋∠NOP ＝90°，∠MOP ＋∴∠QON ＝∠MOP又∵∠OMP ＝∠ONQ ＝90°，∴△∴MPQN＝OMON，即xQN＝3 1，∴QN 在Rt △PCQ 中，PC ＝1－x ，QC ＝33x ∴L ＝PC 2＋QC 2＝43x 2＋4即L 与x 的函数关系式为L ＝43x 2＋4（－1≤x ≤1） （3）S △PQC＝1 2 PC ·QC ＝ 1 2 ( 1－x )(3 3 x ＋3)＝32整理得x2＋2x ＝0，解得x 1＝0或x 2＝－2此时点P 的坐标为（0，－3）或（－2，－3）12．解：（1）在y ＝ax ＋1中，令y ＝0，得x ＝－1a；令x ＝0，得y ＝1∴A （－1a，0），B （0，1）∴S △AOB＝1 2 ×|－1 a |×1＝32∴a ＝±33················································································ 1分 ①当a ＝33 时，直线的解析式为y ＝33x ＋1 ∵点C （－23，m ）为直线与双曲线在第三象限的交点 ∴k ＞0，m＜0，且k 、m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＝33×(－23)＋1m ＝k－23解得：⎩⎨⎧k ＝23m ＝－1∴a ＝33，m ＝－1，k ＝2 3 ·························································· 4分 ②当a ＝－33 时，直线y ＝－3 3 x ＋1经过一、二、四象限，与双曲线y ＝kx不可能在第三象限有交点∴a ＝－33不合题意，舍去 ···························································· 5分综上所述，a ＝33，m ＝－1，k ＝2 3 （2）由（1）知，A （－3，0），B （0，1∴OA ＝3，OB ＝1，∴∠OBA ＝60°由作图可知，点D 在y ①当点D 在y 轴负半轴上时作CE ⊥y 轴于E ，则E （0，－1），∴∵△BCD 为等边三角形，∴DE ＝BE ＝∴OD ＝3，∴D 1（0，－3） ············ 7②当点D 在第二象限时∵∠BCD ＝∠OBA ＝60°，∴DC ∥y 轴 ∴点D 的横坐标为－2 3∵B （0，1），C （－23，－1），∴BC ∴DC ＝4，∴点D 的纵坐标为3 ∴D 2（－23，3）综上所述，D 点的坐标为（0，－3）或（－23，3） ··························· 9分13．解：（1）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋8y ＝kx得2x2＋8x －k ＝0 ∴x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－k 2由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4x 1－x 2＝2 解得x 1＝－1，x 2＝－3 ∴k ＝－2x 1x 2＝－6 ······································································· 3分（2）由（1）知，反比例函数为y ＝－6x把x 1＝－1，x 2＝－3分别代入上式，得y 1＝6，y 2＝2 ∴A （－1，6），B （－3，2）设一次函数y ＝2x ＋8的图象与x 轴交于点C ，则C （－4，0）∴S △AOB＝S △AOC－S △BOC＝1 2 ×4×6－12×4×2 ＝8 ················································································ 6分（3）设过点A 且与OB 平行的直线与x 轴交于点D ，与抛物线交于点E分别过A 、B 、E 作x 轴的垂线，垂足分别为AA 1、BB 1、EE 1 ∵B （－3，2），∴OB ＝(－3)2＋22＝13∵AD ∥BO ，∴∠ADA 1＝∠BOB 1∴sin ∠BOB 1＝2 13 ，cos ∠BOB 1＝313∵AD ∥BO ，∴∠ADA 1＝∠BOB 1∴sin ∠ADA 1＝sin ∠BOB 1＝2 13 ，cos ∠ADA 1＝cos ∠BOB 1＝313∴AD ＝ AA 1sin ∠ADA 1＝313，A 1D ＝AD ·cos ∠ADA 1＝9由题意，AE ＝13，∴ED ＝213∴E 1D ＝ED ·cos ∠ADA 1＝6，EE 1＝ED ·sin ∠ADA 1＝4 OE 1＝A 1D －A 1O －E 1D ＝9－1－6＝2∴E （2，4） ··············································································· 8分 设所求抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，则： ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝69a －3b ＋c ＝24a ＋2b ＋c ＝4解得：a ＝－8 15，b ＝－2 15，c ＝32 5∴抛物线的解析式为y ＝－ 8 15x2－ 2 15 x ＋325······································ 10分14．解：（1）设直线得⎩⎨⎧b ＝232k ＋b ＝0 解得⎩⎨⎧k ＝－3b ＝23∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋23将D （－1，a ）代入y ＝－3x ＋23，得a ＝33∴D （－1，33），将D （－1，33）代入y ＝mx中，得m ＝－33∴反比例函数的解析式为y ＝－3 3x（2）解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋23y ＝－33x得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－ 3 ⎩⎨⎧x 2＝－1y 2＝33 ∴点C 坐标为（3，－3）过点C 作CH ⊥x 轴于点H 在Rt △OMC 中，CH ＝3，OH ＝3∴tan ∠COH ＝CHOH＝33，∴∠COH ＝30° 在Rt △AOB 中，tan ∠ABO ＝AOOB＝232＝3∴∠ACO ＝∠ABO －∠COH ＝30° （3）如图，∵OC ′⊥AB ，∠ACO ＝30°∴α＝∠COC ′＝90°－30°＝60°，∠BOB ′＝α＝60° ∴∠AOB ′＝90°－∠BOB ′＝30° ∵∠OAB ＝90°－∠ABO ＝30° ∴∠AOB ′＝∠OAB ，∴AB ′＝OB ′＝2故当α为60度时OC ′⊥AB ，此时线段AB ′的长为15．解：（1）∵E （2，4），∴k ＝2×4＝8∵点F 的横坐标为6，点F 的纵坐标为8 6＝43∴F （6，43）设经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝4 3解得a ＝－4 9，b ＝26 9∴所求抛物线的解析式为y ＝－ 4 9x2＋ 269x ·············· 3分（2）设直线EF 的解析式为y ＝kx ＋b 1∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝46k ＋b ＝4 3解得k ＝－2 3，b 1＝163∴直线EF 的解析式为y ＝－2 3x ＋16 3过O 作OP ∥EF ，交抛物线于点P ，则点P 即为所求的点 ∴直线OP 的解析式为y ＝－23x解方程组 ⎩⎨⎧y ＝－23x y ＝－ 4 9x2＋ 26 9x得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝0 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8y 2＝－16 3。
2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析杨浦25
例 2011年上海市杨浦区中考模拟第25题已知△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，AC ＞AB ，点D 为AC 边上一点，且DC ＝AB ，E 为BC 边的中点，联结DE ，设AD ＝x ．（1）当DE ⊥BC 时（如图1），求x 的值；（2）设ABEDC D ES y S ∆=四边形，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）取AD 的中点M ，联结EM 并延长交BA 的延长线于点P ，以A 为圆心AM 为半径作⊙A ，试问：当AD 的长改变时，点P 与⊙A 的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦25”，拖动点A 绕着点B 旋转，可以体验到，AB ＝BD ＝CD 保持不变，△APM 与△DEM 保持相似，⊙A 始终经过点P ． 请打开超级画板文件名“11杨浦25”，思路点拨1．第（1）题联结BD 是关键的一步，两个等腰三角形有公共的腰BD ．2．构造AC 边上的高，就可以把锐角三角形分割为有公共直角边的两个直角三角形，这是解三角形常见的构造辅助线的方法．3．第（2）题应用等底同高三角形的面积比相等，同高三角形的面积比等于底边的比． 4．第（2）题先画一个比较大的、比较准确的示意图，把点P 与⊙A 的位置关系观察出来，再进行论证．5．证明点P 在⊙A 上的思路是证明AP ＝AM ．满分解答（1）如图2，联结BD ，过点B 作BH ⊥AC 于H ． 因为DE 垂直平分BC ，所以DB ＝DC ． 又已知AB ＝DC ，所以AB ＝DB ． 因此AH ＝BH ＝12x ．在Rt △ABH 和Rt △CBH 中，AB 2－AH 2＝ BC 2－CH 2． 所以2216()36(4)22xx -=-+．解得x ＝1．（2）如图3，因为E 是BC 的中点，所以∴BD E C D E S S ∆∆=． 因此ABEDC D ES y S ∆=四边形1ABD BD EABD C D E C D ES S S S S ∆∆∆∆∆+==+．因为4ABD DBCS x S ∆∆=，所以24ABD C D ES x S ∆∆=，即2ABD C D ES x S ∆∆=．因此得到12x y =+．定义域为 0＜x ＜6．图2 图3 图4（3）如图4，点P 在⊙A 上． 证明：设AC 的中点为N ，联结EN ． 因为E 、N 分别为BC 、AC 的中点， 所以EN 是△ABC 的中位线，EN //AB ，EN ＝122A B =．所以AN ＝12A C ，A P N E A MN M=．已知M 是AD 的中点，所以1112222M N A N A M A C A D C D =-=-==．所以EN ＝MN ，AP ＝AM ．因此，点P 在以A 为圆心、AM 为半径的圆上．考点伸展图2中的点H 与图4中的点M 是什么关系？都是AD 的中点，点H 是确定的等腰三角形ABD 的中点，点M 是动态的等腰三角形ABD 的中点．第（2）题中的定义域0＜x ＜6是怎么确定的呢？当A 与D 重合时，四边形ABED 不存在，所以x ＞0；当点A 旋转到CB 的延长线上时，四边形ABED 、△CDE 都不存在了， 此时AC ＝AB ＋BC ＝10，x ＝AD ＝AC －DC ＝6．所以x 必须满足x ＜6．。
2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析静安25
例 2011年上海市静安区中考模拟第25题如图1，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB =90º，点C 是 A B 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC =x ，BD =y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD ＝31OB 时，求⊙O 1的半径；（3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11静安25”，拖动点C 在 A B 上运动，观察图形、图像和度量值，可以体验到，∠DCB 保持45°不变，y 随x 的增大而减小．双击按钮“OB ＝3BD ”，从度量值可以看到，AC ＝6．双击按钮“△DCB ∽△DOC ”，可以体验到，此时C 是 A B 的中点．请打开超级画板文件名“11静安25”，思路点拨1．综合考虑第（1）、（2）题，可以感悟到应用垂径定理构造辅助线．2．第（1）题求得的解析式容易折磨人的自信，第（2）题的计算更显得繁琐． 3．第（2）题⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，要考虑两种情况．4．第（3）题中，隐含了∠DCB 保持45°不变这个条件，不易觉察．满分解答（1）如图2，过圆心O 作OE ⊥AC ，垂足为E ，那么AE ＝x AC 2121=．在Rt △AOE 中，OE =2224125xAE AO -=-．由tan O E D O A AEAO==，得OE AO DO AE ⋅=⋅．所以(5)2x y =+．整理，得xxxy 510052--=．定义域为250<<x ．（2）如图3，当BD ＝31OB 时，35=y ．解方程xxx51005352--=，得x ＝6．此时，在Rt △AOE 中，OA ＝5，AE ＝3，所以OE ＝4． ①当点O 1在线段OE 上时，211=-=OO OE E O ， 在Rt △AO 1E 中，1332222211=+=+=AEE O A O ．②当点O 1在线段EO 的延长线上时，611=+=OO OE E O ， 在Rt △AO 1E 中，5336222211=+=+=AEEO A O ．综合①、②，⊙O 1的半径为13或53．图2 图3 图4（3）如图4，四边形AOBC 的内角和等于360°，其中∠AOB ＝90°，所以另外三个角的和为270°．由于OA ＝OB ＝OC ，所以∠OAC ＝∠OCA ，∠OBC ＝∠OCB ． 因此∠ACB ＝135°．所以∠DCB ＝45°，为定值． 所以当∠DOC ＝45°时，△DCB ∽△DOC ．此时C 为 A B 的中点．考点伸展在本题情境下，△BCD 能否成为等腰三角形？不可能的．这是因为，∠DCB ＝45°，∠D 总是小于45°． 为什么∠D 总是小于45°？在Rt △AOD 中，∠A 的大小由点C 来决定，当C 与B 重合时，∠A 取得最小值45°，而此时△BCD 不存在．。
2011年中考数学压轴题
2011中考数学压轴题姓名___________班级__________学号__________分数___________一、解答题1．（13999－2011湖北恩施州）宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便．恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A，B两种材料共50箱．已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨；不计箱子之间的空隙，设A 种材料进了x箱．(1)求厂家共有多少种进货方案(不要求列举方案)？(2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式(求函数解析式不取近似值)，确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．2．（14001－2011湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A．点C，且与x轴的另一交点为B(x0，0)，其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．(1)求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；(2)若△P AC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；(3)如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动(M不与端点C．O重合)，过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；(4)在(3)的条件下，当时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．(备用图图3)3．（14155－2011湖北黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝(万元)．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？4．（14156－2011湖北黄冈）如图所示，过点F(0，1)的直线y＝kx＋b与抛物线交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点(其中x1＜0，x2＞0)．(1)求b的值．(2)求x1•x2的值．(3)分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1和N1.判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．5．（14181－2011湖北黄石）已知二次函数2248y x mx m =-+- (1)当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围．(2)以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN (M ，N 两点在抛物线上)，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．(3)若抛物线2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值．6．（14096－2011湖北荆门）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME 、NF 与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i ＝1∶3.7，桥下水深OP ＝5米，水面宽度CD ＝24米．设半圆的圆心为O ，直径AB 在坡角顶点M 、N 的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N 点的最短路径长．(参考数据：π≈3，3≈1.7，tan 15°＝321+)7．（14098－2011湖北荆门）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．1)分别求1y 和2y 的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．8．（14099－2011湖北荆门）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边O C ．OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(O 、C ．F 三点在x 轴正半轴上)．若⊙P 过A ．B ．E 三点(圆心在x 轴上)，抛物线c bx x y ++=241经过A ．C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1. (1)求B 点坐标；(2)求证：ME 是⊙P 的切线；(3)设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点，①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ ＝t ，S △ACQ ＝s ，直接写出．．．．s 与t 之间的函数关系式．第21题图9．（14073－2011湖北荆州）如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4，2)，一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积，关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋k )x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值．10．（14074－2011湖北荆州）2011年长江中下游地区发生了特大早情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补的额度存在下表所示的函数对应关系．图甲图乙（备用图）y2＝湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC ACQ12．（14051－2011湖北潜江仙桃天门江汉油田）在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ． (1)直接填写：a ＝ ，b ＝ ，顶点C 的坐标为 ；(2)在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P 为x轴上方的抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．13．（13903－2011湖北十堰）如图，线段AD ＝5，⊙A 的半径为1，C 为⊙A 上一动点，CD 的垂直平分线分别交CD ，AD 于点E ，B ，连接BC ，AC ，构成△ABC ，设AB ＝x ． (1)求x 的取值范围；(2)若△ABC 为直角三角形，则x ＝____________； (3)设△ABC 的面积的平方为W ，求W 的最大值．14．（13904－2011湖北十堰）如图，己知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (1，0)和点 B ，与y 轴交丁点C (0，－3)． (1)求抛物线的解析式；(2)如图(1)，己知点H (0，－1)．问在抛物线上是否存在点G (点G 在y 轴的左侧)，使得S △GHC ＝S △GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：(3)如图(2)，抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(－2，0)，F是OC的中点，连接DF，P为线段BD 上的一点，若∠EPF＝∠BDF，求线段PE的长．15．（14130－2011湖北随州）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝(万元)．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？16．（14131－2011湖北随州）如图所示，过点F(0，1)的直线y＝kx＋b与抛物线交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点(其中x1＜0，x2＞0)．(1)求b的值．(2)求x1•x2的值．(3)分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1和N1.判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．17．（14024－2011湖北武汉）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．18．（14027－2011湖北武汉）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(－3，0)，B(－1，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M，直线y＝－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3)如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0，3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（13925－2011湖北咸宁）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元．为了支援我市抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶．(1)假设每桶柴油降价x元，每天销售这种柴油所获利润为y元，求y与x之间的函数关系式；(2)每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？20．（11613－2011湖北襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC，CD是⊙O′的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD＝，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A，B，C三点．(1)求证：∠CAD＝∠CAB；(2)①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．21．（13953－2011湖北孝感）如图(1)，矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为(m，0)，其中m＞0.(1)求点E、F的坐标(用含的式子表示)；(2)连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；(3)如图(2)，设抛物线y＝a(x－m－6)2＋h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．22．（13977－2011湖北宜昌）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n相交于两点，这两点的坐标分别是(0，21 )和(m －b ，m 2－mb ＋n )，其中a ，b ，c ，m ，n 为实数，且a ，m 不为0. (1)求c 的值；(2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点是(x 1，0)和(x 2，0)，求x 1x 2的值；(3)当－1≤x ≤1时，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上与x 轴距离最大的点为P (x o ，y o )，求这时｜y o ｜的最小值．第24题23．（14257－2011湖南常德）如图，已知抛物线过点A (0，6)，B (2，0)，C (7，)．(1)求抛物线的解析式；(2)若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE ＝∠AFE ；(3)在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有请求出所有和条件的点P 的坐标，若没有，请说明理由．24．（14462－2011湖南郴州）如图，在平面直角坐标系中，A ．B 两点的坐标分别是(0，1)和(1，0)，P 是线段AB 上的一动点(不与A ．B 重合)，坐标为(m ，1－m )(m 为常数)．(1)求经过O 、P 、B 三点的抛物线的解析式；(2)当P 点在线段AB 上移动时，过O 、P 、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着P 的移动而改变；(3)当P 移动到点()时，请你在过O 、P 、B 三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P 、B 两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．25．（14412－2011湖南衡阳）已知抛物线．(1)试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点．(2)如图，当抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A ．B 两点，并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得以C ．D ．M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．26．（14304－2011湖南怀化）已知：关于x 的方程2(13)210ax a x a --+-=．(1)当x 取何值时，二次函数2(13)21y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；(2)求证：a 取任何实数时，方程2(13)210ax a x a --+-=总有实数根．27．（14205－2011湖南娄底）如图，已知二次函数y ＝－x 2＋mx ＋4m 的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点(B 点在A 点的右边)，与y 轴的正半轴交于点C ，且(x 1＋x 2)－x 1x 2＝10.(1)求此二次函数的解析式．(2)写出B ，C 两点的坐标及抛物线顶点M 的坐标；(3)连接BM ，动点P 在线段BM 上运动(不含端点B ，M )，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，设OH 的长度为t ，四边形PCOH 的面积为S ．请探究：四边形PCOH 的面积S 有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．28．（14436－2011湖南邵阳）如图(十一)所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． (1)求∠ACB 的度数；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ．B 两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符D 的坐标；若不存在，请说明理由．29．（14338－2011湖南湘潭）如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A ．B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． x30．（14364－2011湖南湘西州）如图．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求点A．点B和点C的坐标．(2)求直线AC的解析式．(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB＝6，求点M的坐标．(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B，A重合)，同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？。
中考数学压轴题分析
中考数学压轴题分析 合肥市第五十中学 史晓辉中考数学压轴题是对学生所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力的全面考查，它具有很强的导向作用；由于压轴题的知识覆盖面广，综合性强，难度系数大，既考查基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，特别是注重发展学生的创造能力方面，有较大的区分度，因此，它是中考选拔功能的集中体现．压轴题具有以下一般特点：整合了丰富的数学知识，渗透了重要的数学思想方法，如配方法、换元法、待定系数法，方程与函数思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等，体现了较高的思维能力，如抽象概括、归纳类比，联想转化、分析综合等。
一、安徽省近三年中考压轴题分析：例1、（2011年）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h 123(000)h h h >>>，，． （1）求证：12h h =；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：22121()S h h h =++；（3）若12312h h +=，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．解：（1）证：设2AD l 与交于点E ，BC 与3l 交于点F ， 由已知BF ED BE FD ∥，∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF ∴=． 又12Rt Rt AB CD ABE CDF h h =∴∴=，△≌△，． （2）证：作44BG l DH l ⊥⊥，，垂足分别为G H 、， 在Rt Rt BGC CHD △和△中，1809090BCG DCH BCD CDH DCH ∠+∠=︒-∠=︒∠+∠=︒，．BCG CDH ∴∠=∠．又90BGC CHD BC CD ∠=∠=︒=，，2Rt Rt BGC CHD CG DH h ∴==△≌△，．l 1l 2 l 3 l 431第23题图ll l l 31又22222223232121()()BG h h BC BG CG h h h h h h =+∴=+=++=+，，222121()S BC h h h ∴==++．（3）解：1221331122h h h h +=∴=- ，， 2222121111355241124455S h h h h h h ⎛⎫⎛⎫∴=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1211320010023h h h h >>∴->∴<< ，，，．∴当1205h <<时，S 随1h 的增大而减小；当12253h <<时，S 随1h 的增大而增大．例2、（2010年）如图，已知111ABC A B C △∽△，相似比为k （k >1），且ABC △的三边长分别为a 、b 、c （a>b>c ），111A B C △的三边长分别为1a 、1b 、1c .（1）若c=a 1，求证：a=kc ；（2）若c=a 1，试给出符合条件的一对111ABC A B C △和△，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 都是正整数，并加以说明；（3）若b=a 1，c=b 1，是否存在111ABC A B C △和△使得k =2？请说明理由.解：（1）证：111ABC A B C △∽△，且相似比为11(1).ak k k a ka a >∴=∴=，， 又1.c a a kc =∴= ，（2）解：取11186443 2.a b c a b c ======，，，同时取，， 此时1111112a b cABC A B C a b c ===∴，△∽△且1.c a = 注：本题也是开放型的，只要给出的ABC △和111A B C △符合要求就相应赋分.A 1B 1C 1C ABabcc 1b 11 第23题图（3）解：不存在这样的ABC △和111A B C △.理由如下： 若2k =，则111222.a a b b c c ===，， 又1b a = ，1c b =， 112244a a b b c ∴====，2.b c ∴=24b c c c c a ∴+=+<=，而b c a +>，故不存在这样的ABC △和111A B C △，使得 2.k =注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下2k =的情况不可能即可.例3、（2009年）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量n （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．kg ）解：（1）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2）解：由题意得：5(2060)4(60)n n w n n ⎧=⎨>⎩≤≤图象如图所示．由图可知，资金金额满足240300w <≤时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果． ·············· 8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040n x =-当n ＞60时，x ＜6.5． 由题意，销售利润为2(4)(32040)40(4)(8)40[(6)4]y x x x x x =--=--=--+ 从而x ＝6时，160y =最大值．此时n ＝80．即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ， 当日可得最大利润160元．二、安徽省中考压轴题的特点：1、 近几年压轴题一般有3个小问，3个小问按从易到难的顺序设置，第一和第二个小问大部分学生都可以完成。
2011年中考数学试题汇编之压轴题【汇总】
(年山东省济宁市). （分）在平面直角坐标中，边长为的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.（）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.(第题)x.（）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，∴OA 旋转了045. ∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=.……………分 （）解：∵MN ∥AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒,45BNM BCA ∠=∠=︒.∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =.又∵BA BC =，∴AM CN =.又∵OA OC =,OAM OCN ∠=∠,∴OAM OCN ∆≅∆.∴AOM CON ∠=∠.∴1(90452AOM ∠=︒-︒)=22.5︒. ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒.……………………………………………分（）答：p 值无变化.证明：延长BA 交y 轴于E 点，则045AOE AOM ∠=-∠， 000904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴AOE CON ∠=∠.又∵OA OC =，0001809090OAE∠=-==∠∴OAE OCN ∆≅∆.∴,OE ON AE CN ==.又∵045MOE MON ∠=∠=,OM OM =,∴OME OMN ∆≅∆.∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+， ∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=.∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化. ……………分（第题） x（年北京）.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为()6,0A-，()6,0B，(0,C，延长到点,使12AC,过点作∥交的延长线于点.（）求点的坐标；（）作点关于直线的对称点,分别连结、，若过点的直线y kx b=+将四边形分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（）设为轴上一点，点从直线y kx b=+与轴的交点出发，先沿轴到达点，再沿到达点，若点在轴上运动的速度是它在直线上运动速度的倍，试确定点的位置，使点按照上述要求到达点所用的时间最短。
2011全国各省市中考数学压轴题精选精析
= 2( x
a 2 ) 4 a x
当
x
a a =0，即 x a 时，函数 y 2( x )( x＞0) 的最小值为 4 a ． x x
⑵当该矩形的长为 a 时，它的周长最小，最小值为 4 a ． 【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值． 【分析】⑴将 x 值代入函类数关系式求出 y 值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.
a x
1 ( x＞0) 的图象性质． x
y
5 4 3 2
1 4
1 3
－1 O －1 1 2 3 4 5
x
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还 可以通过配方得到．请你通过配方求函数 y x
2011 全国各省市中考数学压轴题精选精析
1、 （2011•北京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所组 成的图形叫作图形 C（注：不含 AB 线段） ．已知 A（﹣1，0） ，B（1，0） ，AE∥BF，且半圆与 y 轴的交 点 D 在射线 AE 的反向延长线上． （1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离； （2）当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围； 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围； （3）已知▱AMPQ（四个顶点 A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形 C 上，且不都在两条 射线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围．
②本题答案不唯一，下列解法供参考． 当 0 x 1 时， y 随 x 增大而减小；当 x 1 时, y 随 x 增大而增大；当 x 1 时函数 y x 小值为 2． ③ y x
2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析虹口25
例 2011年上海市虹口区中考模拟第25题如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF ＝90°．（1）求DE ∶DF 的值；（2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11虹口25”，拖动点E 在AB 上运动，观察△EFG 的三边的垂直平分线，可以体验到，点E 和点F 可以落在对边的垂直平分线上，点G 不可能．请打开超级画板文件名“11虹口24”，思路点拨1．本题中的直角三角形的三边比都是3∶4∶5，计算中反复用到．2．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求△DEF 的面积比较简便．3．探究等腰△EFG ，是一道非常规的等腰三角形的存在性问题，两种存在的情况各有各的算法．满分解答（1）如图2，因为∠BAC ＝90°，∠EDF ＝90°，AD ⊥BC ， 所以∠1与∠C 都是∠2的余角，∠3与∠4都是∠5的余角，3tan 4A D ABC C DA C∠===．所以∠1＝∠C ，∠3＝∠4． 所以△ADE ∽△CDF ．因此34D E A D D FC D==．图2 图3 图4（2）如图3，由△BDE ∽△ADF ，得34B E B D A FA D ==．所以4433A FB E x ==．如图4，在Rt △AEF 中，AE ＝3－x ，43A F x =，由勾股定理得2224(3)()3E F x x =-+225699x x =-+．由△DEF ∽△ABC ，得S △DEF ∶S △ABC ＝EF 2∶BC 2． 所以2262523654(69)25932525D EF y S x x x x ==-+=-+△．x 的取值范围为0≤x ≤3． （3）BE 的长为5425或35．考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：①如图5，当EF ＝EG 时，∠G ＝∠6．又∠1＝∠6，所以∠G ＝∠1．从而DA ＝DG ＝DF ． 于是可以得到AB ＝EF ．所以AB 2＝EF 2． 解方程2259699x x =-+，得5425x B E ==．②如图6，当FE ＝FG 时，∠G ＝∠AEF ．31tan 49935555D E D E D E D E G D GD F FGEF EFEF∠======++⨯． 443tan 33(3)xAFx AEF AE x x ∠===--． 解方程1433(3)x x =-，得35x B E ==．③不存在GE ＝GF 的可能．如图5，如图6，因为∠GEF 或∠GFE 总是钝角或者直角．图5 图6。
2011中考数学压轴题
★某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A 1A 2为第1根小棒） 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1.①θ=_________度；②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…）， 求出此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第一根小棒，且A 1A 2=AA 1.数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ 的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.★已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ．⑴如图1，当点D 在边BC 上时，求证：∠ADB =∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立；⑵如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；⑶如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，A 1A 2AB C图乙A 3 A 41θ2θ3θ A 1A 2 ABCA 3A 4A 5 A 6a 1a 2a 3图甲请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的等量关系．★某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果： 甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、________个大小不同的内接正方形.乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. 任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明（如图，设锐角△ABC 的三条边分别为,,,a b c 不妨设a b c >>，三条边上的对应高分别为,,a b c h h h ，内接正方形的边长分别为,,a b c x x x .若你对本小题证明有困难，可直接用“111abca hb hc h <<+++”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.AAAB BB C C C DD DEFFE第24题图图1图2 图31★图10是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三角形，四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1． （1）证明：△ABE ≌△CBD ；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）； （3）小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论； （4）求线段BD 的长．★如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合)，连结BP . 将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A 1B 1P ,连结AA 1，射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F .（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在 ▲ 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP =β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当α=60°时，点E 、F 与点B 重合. 已知AB =4，设DP =x ，△A 1BB 1的面 积为S ，求S 关于x 的函数关系式.ECDAM N图10B图1图2图3P B 1F AD E CBA 1PB 1FADECBA 1P B 1AD CBA 1。
2011中考考前16天数学预测压轴题(精选)
【预测题】1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。
解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。
【预测题】2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=，EF ∴设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，3EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=5==．又EF = ，∴5FN NM ME EF +++=，此时四边形MNFE 的周长最小值是5【预测题】3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
中考第二轮复习：中考数学压轴题旋转问题精选解析(一)
中考数学压轴题旋转问题精选解析(一)例1 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？解析：例2 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．（第1题）解析：（1）①当四边形EDBC 是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，根据三角形的外角性质，得α=∠EDB -∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC 是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC 是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC 是平行四边形．在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD 中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=B C ．又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形E DBC 是菱形．例3（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13． （2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．。
2011中考数学真题解析压轴题1(含答案)
2011全国中考真题解析压轴题1一、选择题1. （2011•台湾34，4分）如图1，有两全等的正三角形ABC ，DEF ，且D ，A 分别为△ABC ，△DEF 的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在上，如图2所示．求图1与图2中，两个三角形重迭区域的面积比为何（ ）A 、2：1B 、3：2C 、4：3D 、5：4考点：旋转的性质；等边三角形的性质。
分析：设三角形的边长是x ，则（1）中阴影部分是一个内角是60°的菱形，图（2）是个角是30°的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解． 解答：解：设三角形的边长是x ，则高长是x 23． 图（1）中，阴影部分是一个内角是60°的菱形，AD=×x 23=x 33． 另一条对角线长是：2×21×x 33sin30°=31x ． 则阴影部分的面积是：21×31x•63x=363x 2； 图（2）中，AD=×x 23=x 33． 是一个角是30°的直角三角形．则阴影部分的面积=21AD•sin30°•AD•cos30°=21×x•××x•23=363x 2． 两个三角形重迭区域的面积比为：363x 2：363x 2=4：3． 故选C ．点评：本题主要考查了三角形的重心的性质，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键．2. （2011台湾，34，4分）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分（ ）A ．3322B ．16＋πC ．18D ．19考点：解直角三角形的应用；钟面角。
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2011年中考数学压轴题精选精析（10例）1、（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。
专题：综合题；分类讨论。
分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1，∵点D在以AB为直径的半圆上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=错误！未找到引用源。
，∵AE∥BF，∴两条射线AE、BF所在直线的距离为错误！未找到引用源。
．（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=错误！未找到引用源。
或﹣1＜b＜1；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜错误！未找到引用源。
（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2．∵AMPQ四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的上方，∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，∴0＜PQ＜错误！未找到引用源。
．∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜错误！未找到引用源。
∴﹣2＜x＜﹣1，②当点M不在弧AD上时，如图3，∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF，当点M在弧DR上时，如图4，过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，∴0≤x＜错误！未找到引用源。
．当点M在弧RB上时，如图5，直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形．④当点M在射线BF上时，如图6，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜错误！未找到引用源。
．点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．2、（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．（1）求c，b （用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，错误！未找到引用源。
；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．考点：二次函数综合题。
分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；（3）根据图形，即可直接求得答案．解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=﹣t；（2）①不变．如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°；②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=错误！未找到引用源。
（t﹣4）（4t﹣16）+错误！未找到引用源。
[（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣错误！未找到引用源。
（t﹣1）（t﹣1）=错误！未找到引用源。
t2﹣错误！未找到引用源。
t+6．解错误！未找到引用源。
t2﹣错误！未找到引用源。
t+6=错误！未找到引用源。
，得：t1=错误！未找到引用源。
，t2=错误！未找到引用源。
，∵4＜t ＜5，∴t1=错误！未找到引用源。
舍去， ∴t=错误！未找到引用源。
．（3）错误！未找到引用源。
＜t ＜错误！未找到引用源。
．点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．3．（2011•江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x=+＞． 探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x=+＞的图象性质．４．填写下表，画出函数的图象：x …… 14 13 121 2 3 4 …… y …………②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1y x x=+(x ＞0)的最小值． 解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】 解:⑴① x ……14 13 121 2 3 4 …… y …… 174 103 52 252 103 174……函数1y x x=+(0)x >的图象如图． ②本题答案不唯一，下列解法供参考．当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1y x x=+(0)x >的最小值为2． 1 xyO 13 4 5 2 23 54－1－1③1y x x=+=221()()x x +=22111()()22x x x x x x +-⋅+⋅ =21()2x x-+ 当1x x -=0，即1x =时，函数1y x x=+(0)x >的最小值为2． ⑵仿⑴③2()ay x x=+=222()()a x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=222()()22a a a x x x x x x ⎡⎤+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦=22()4a x a x-+ 当a x x -=0，即x a =时，函数2()(0)ay x x x=+＞的最小值为4a ． ⑵当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a ． 【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值．【分析】⑴将x 值代入函类数关系式求出y 值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.⑵仿⑴③2()ay x x=+=222()()a x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=222()()22a a a x x x x x x ⎡⎤+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦=22()4a x a x-+ 所以, 当a x x -=0，即x a =时，函数2()(0)ay x x x=+＞的最小值为4a 4．（2011•江苏杨州）在ABC △中，90BAC AB AC M ∠=<°，，是BC 边的中点，MN BC ⊥交AC 于点N ．动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动，且始终保持MQ MP ⊥．设运动时间为t 秒（0t >）． （1）PBM △与QNM △相似吗？以图１为例说明理由；（2）若6043ABC AB ∠==°，厘米． ①求动点Q 的运动速度；②设APQ △的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；（3）探求22BP PQ CQ 2、、三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．【答案】解：（1）PBM QNM △∽△． 理由如下： 如图1，MQ MP MN BC ⊥⊥，，∴9090PMB PMN QMN PMN ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴PMB QMN ∠=．9090PBM C QNM C ∠+∠=∠+∠=°，°，∴PBM QNM ∠=∠． ∴PBM QNM △∽△．（2） 9060283BAC ABC BC AB ∠=∠=∴==°，°，cm ． 又 MN 垂直平分BC ，43BM CM ∴==cm ．3303C MN CM ∠=∴=°，＝4cm ． ①设Q 点的运动速度为v cm/s ．如图１，当04t <<时，由（1）知PBM QNM △∽△．NQ MNBP MB ∴=，即4133vt v t =∴=，． 如图2，易知当4t ≥时，1v =． 综上所述，Q 点运动速度为1 cm/s ． ② 1284cm AN AC NC =-=-=，∴如图1，当04t <<时，4334AP t AQ t =-=+，．ABP N QC M ABCNM 图1图2（备用图）∴12S AP =()()21343348322AQ t t t =-+=-+·． 如图2，当t ≥4时，343AP t =-,4AQ t =+,∴12S AP =()()21334348322AQ t t t =-+=-·． 综上所述，()()2238304238342t t S t t ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≥（ ）222PQ BP CQ =+ 理由如下：如图 ，延长QM 至D ，使MD MQ =，连结BD 、PDBC 、DQ 互相平分，∴四边形BDCQ 是平行四边形，∴BD CQ∥. 90BAC ∠=°，∴90PBD ∠=°，∴22222PD BP BD BP CQ =+=+． PM 垂直平分DQ ，∴PQ PD =．∴222PQ BP CQ =+【考点】相似三角形的判定,。