第四章分层随机抽样
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04-第四章_分层随机抽样
L
下面讨论估计量的期望与方差。 （1）对于一般分层抽样
ˆ ）也 对于一般的分层抽样，若 Y h 是 Y h 的无偏估计量，则 Y st （或 Y st
是 Y （或 Y ）的无偏估计：
Ù
Ù
E (Y st ) = å Wh E (Y h ) = Y
h =1
Ù
L
Ù
ˆst ) = NE (Y st ) = N Y = Y E (Y
L
2 L Sh S2 - å Wh2 h nh h =1 Nh
=å
简便公式
2 L Wh2 Sh W S2 -å h h nh N h =1 h =1
V ( y st ) = V (å Wh y h )
h =1
L
= å Wh2V ( y h )
h =1 L
L
= å Wh2
h =1
Sh2 (1 - f h ) nh
åN
h =1
L
h
=N。
Wh =
Nh 称为层权，它也是已知的。 N
以 Yhi 表示第 h 层总体的第 i 个单元的指标值，以 yhi 表示第 h 层样本的 第 i 个单元的指标值。
Yh =
1 Nh 1 nh
åY
i =1 nh i =1
Nh
hi
表示第 h 层的总体均值，
yh =
åy
hi
表示第 h 层的样本均值（其中 nh 是第 h 层的样本量） ，
h =1 h =1 h =1 L L Ù L Ù Ù
Ù
3
（2）对于分层随机抽样
Ù
特别对于分层随机抽样，Y h 一般均取为简单估计：层样本均值 y h ，因 此 Y 的简单估计为：
2-1-3分层抽样4
1 L yst = ∑ Wh yh (或 = ∑ N h yh ) 或 N h =1 h =1 ~ 的无偏估计可选为： 总体总和 Y 的无偏估计可选为：
L
(4.2)
% yst = N ⋅ yst = N ⋅ ∑ Wh yh = ∑ N h yh
h =1 h =1
L
L
(4.3)
的方差为： 估计量 y st 的方差为： L Var ( yst ) = Var ( ∑ Wh yh ) 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的，故各个 yh相互 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式，有
含义 的层权 抽样比 总体均值 样本均值
记号 公式
Yh
yh
2 Sh
2 sh
∑Y
i =1
Nh
hi
= N hYh
∑y
i =1
nh
hi
= nh yh
(Yhi − Yh )2 ∑
i =1
Nh
( yhi − yh )2 ∑
i =1
nh
Nh −1
nh − 1
代表的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 含义 总体总量 样本总量 总体方差 样本方差
h=1 i =1 L
h =1
L
(4.5)
(4.5)式两端各除以 －1)，假如各层的单元数 N h都很大，当 式两端各除以(N－ ， 都很大， 式两端各除以 近似认为： 近似认为： N h ≈ N h − 1 ≈ N h = W (4.6) h
N −1
N −1
N
因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： 因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： L 1 1 L 2 2 Var ( y ) = ( − ) ∑ Wh Sh + ∑ Wh (Yh − Y ) (4.7) n N h =1 h =1 (4.7)式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和，而第二 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和， 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较(4.4)和(4.7)， 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较 和 ， 那么易见(4.4)式变为 若取 nh n = Wh ，那么易见 式变为 1 1 L 2 Var ( yst ) = ( − )∑ Wh S h n N h =1
分层随机抽样
抽样均按简单随机抽样进行，求全市年 平均户收入的估计及其 90%的置信区间。
解： 计算层权： W1=N1/N=0.137, W2=N2/N=0.863。 (1) y st W1 y1 W2 y 2 0.137 15180 0.863 9856 10585.39
(2)求v( y st )
6 第 h 层抽样比为：
nh fh Nh
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值与总量的估计
（一）对总体均值与总量的估计 1 对一般分层抽样：
ˆ WY ˆ, Y hh st
h 1 L
ˆ Y ˆ Y st h
h 1
L
ˆ , 则： ˆ NY 如果每个Y h h h ˆ ˆ Y NY
s( y st ) v( y st ) 142.312 1 90%, 1.645 全市年户均收入Y 的90%的置信区间为 10585.39 1.645 142.312，即： [10351.29元， 10819.49元]
二、对总体比例（成数） 的估计
1 成数 P 或总数 A 的估计: 层比例 Ph=Ah/Nh , Qh=1－Ph 层样本比例 ph=ah/nh , qh=1－ph Ah 与 ah 是第 h 层总体及样本中具有 所研究特征的单元数。
st st
2 对一般的分层抽样：
ˆ 是Y 的无偏估计， 若Y h h ˆ (Y ˆ )也是Y (Y )的无偏估计： 则Y
st st
由于各层的抽样是相互独立的，因此： ˆ ) V( W Y ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y h h h st
h 1 h 1 L L
ˆ ) V (Y ˆ) V (Y st h
第4章__抽样调查
4.1.3抽样误差的确定
❖1）抽样误差的概念
❖2）影响抽样平均误差的因素
1、全及总体标志变异程度 2、样本容量 3、抽样组织方式 4、抽样方法
❖3）降低调查误差的途径
1、提高样本的代表性
2、注重样本量的控制
3、提高抽样设计的效率 4、重视抽样方案的审评
5、努力降低调查员的误差 6、努力调查被调查者的误差
❖ （4）如果这一地区街对面从第一号开始都没有住户，在第一号对面的街区转 一圈，并遵循右手法则。（即按顺时针方向在街区转一圈。）试着沿路线每 隔两户访问一户。
❖ （5）在起始门牌号对面邻近的街区绕过一圈后，如果你没有完成所需的访问， 就按顺时针方向到下一个街区访问。
❖ （6）如果第三个街区的住户数不够完成你的任务，就再做几个街区直到要求 的户数完成为止；这些区要按顺时针方向绕原有的街区来找。
❖5）简单随机抽样方式的优缺点
随机抽样方式的优点
方法简单直观，当总体名单完整时，可直接从中随机抽取样本。由于 抽取概率相同，计算抽样误差及对总体指标加以推断比较方便。
随机抽样方式的缺点
尽管简单随机抽样在理论上是最符合随机原则的，但是在实际应用中 有一定的局限性。第一，采用简单随机抽样，一般需对总体各单位加以 编码，而实际市场调查活动中所需调查总体往往是十分庞大的，单位非 常多，逐一编码几乎是不可能的；第二，对于某些事物无法使用简单随 机抽样，如对连续不断产生的大量产品进行质量检验，就不能对全部产 品进行编号抽样；第三，当总体的标志变异程度较大时，简单随机抽样 的代表性就不如经过分组后再抽样的代表性高；第四，由于抽出样本单 位较为分散，所以调查人力、物力、费用消耗较大。
2）抽样调查的特征
❖（1）抽取样本的客观性 ❖（2）抽样调查可以比较准确地推断总体
分层抽样要求
将相近的单位归为一层，且每一层必有若干 单位抽中，所以，避免了样本明显偏高或偏 低情况。
比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
分层抽样
L
ˆ) Wh 2V (Y h
h 1
性质2 对于分层随机抽样， Yst 是 Y 的无偏估计， Yst 的方差为： L L 1 fh 2 2 V yst Wh V yh Wh2 Sh
h 1 h 1
nh
2 2 2 L L W S W S 1 1 2 ( )Wh2 S h h h h h Nh nh N h 1 nh h 1 h 1 L
L
h 1
y st . ˆ Rc x st
对于分层随机抽样的联合比估计，若总样本量
n
比较大，则有 E ( y RC ) Y
MSE ( y RC ) V ( y RC ) Wh2 (1 f h ) 2 2 ( S yh R 2 S xh 2 R h S yh S xh ) nh h 1
i 1
nh
第h层总体方差
2 1 S Yhi Yh N h 1 i 1 2 h
Nh
nh 1 2 第h层样本方差： s 2 yhi yh h nh 1 i 1
简单估计量
一、总体均值的估计
在分层抽样中，对总体均值 Y 的估计是通过对各层的 Y h 的估计，按层权 W 加权平均得到的。公式为：
L
ˆ ) MSE (YRS ) V (Y RS
L
2 Nh (1 f h ) 2 2 2 ( S yh Rh S xh 2 Rh h S yh S xh ) nh h 1
2 2 S yh , S xh , h , Rh 分别为第h层指标Y和X的方差、相关系数以
及比率估计量。
证明：当 nh
比较大时，有
E ( y Rh ) Yh
分层抽样
２ ３
４００ ７５０
４ １５００
５０
３５
１５
０
20
３０
２５
１０
３０
２５
解: N = 200+400+750+1500=2580 nh =10( h=1,2,3,4) 各层的层权及抽样比为：
N1 200 W1 0.07018 N 2850 N 400 W2 2 0.14035 N 2850 N 750 W3 3 0.26316 N 2850 N 4 1500 W4 0.52632 N 2850
三、符号说明
关于第h层的记号如下：
第二节 估计量
一．总体均值的估计 (一)简单估计量的定义 对于分层样本,对总体均值Y 的估计是通过对各层的Yh 的估计, 按层权 Wh 加权平均得到的。 公式为:
1 ˆ ˆ Yst WhYh N h 1
L
ˆ N Y hh
h 1
L
如果得到的是分层随机样本,则总体均值 Y 的简单估 计为:
f1 n1 10 0.05 N1 200
n2 10 f2 0.025 N2 400 f3 f4 n3 10 0.013 3 N3 750 n4 10 0.006 7 N4 150 0
各层样本均值及样本方差为：
1 y1 y1i 39.5 n1 i 1 y2 105 y3 165 y4 24
y 15180 300 9856 250 / 550 1)简单估计量的定义 总体比例P的估计为:
L
pst Wh ph
h 1
(二)估计量的性质 如果定义 1, 第i个单元具有所考虑的特征 Yi , 其他 i=1,2 … N 0
第四章 抽样技术
• (五)多阶段抽样
– 含义：multistage sampling-----即先抽大的调 查单元，在大单元中抽小单元，再在小单元 中抽更小的单元。如：我国的城市职工家计 调查，采用三阶段抽样，先城市-基层单位调查户。
第四章 抽样技术
– 应用：在复杂、大规模的市场调查中。
• (六)抽样技术的选用原则
• (四)常用术语
– 1.总体(population)与样本(sample) – 2.总体指标和样本指标
• 总体指标-------反映总体数量特征的指标，有总 体平均数µ，总体比例P, 总体方差 σ 2
第四章 抽样技术
– 样本指标------又称样本估计量或统计量，用 以估计和推断相应总体指标的综合指标，有 样本平均数 x ,样本比例p ,样本方差S2。
第四章 抽样技术
• 成数------分总体成数与样本成数 • 含义------总体中具有某种特征的单位占全部单 位的比例，称总体成数(总体比例) • 如：产品的合格率，市场占有率等。 • 样本成数的抽样分布
– 当从总体中抽出一个容量为n的样本时，样本中具有 某种特征的单位数x服从二项分布，即有x~B(n, π),且 有E(x)=n π V(x)=n π(1- π). – 因而样本比例p=x/n也服从二项分布，且有： – E(p)=E(x/n)= π – V(p)=V(x/n)=1/n π(1- π)
第四章 抽样技术
第四章 抽样技术
第四章 抽样技术
本章要点
• 1.抽样调查的含义、特点与程序； • 2.随机抽样技术的类型及其各自的特点、 方法； • 3.非随机抽样技术的类型及其各自的特 点、方法； • 4.抽样误差的含义及其计算方法 。
第四章 抽样技术
第四章 抽样
• 3．设计抽样方案 • 4．制定抽样框
– 制定抽样框就是依据已经明确界定的总体范围，收集总体中全部抽样单位 的名单，并统一编号。
• 5．实际抽取样本 • 6．样本评估
– 样本评估就是对样本的质量和代表性进行检验，其目的是防止因样本的偏 差过大而导致的失误。
– 实际抽取样本就是在上述几个步骤的基础上，严格按照所选定的抽样方法， 从抽样框中抽取一个个的抽样单位，构成样本。
运用：
• 从侨光分校的7000位学生中，抽取100位学 生进行调查查，以研究学生对学校教学条 件的满意度。之前所做的普查表现出的对 学校教学条件的平均满意度为85％，现通 过抽查统计后的满意度为80％。 • 请说出本次抽查中的总体、样本、抽样元 素、抽样单位、抽样框、参数值、统计值、 抽样误差。
二、抽样的作用
• 分类抽样有着突出的优点： 第一，分类抽样能够克服简单随机抽样的缺 点，适用于总体内个体数目较多，结构较复杂， 内部差异较大的情况。 第二，精确度较高。 第三，便于对不同层面的问题进行探索。 第四，便于分工，使工作效率提高。 分类抽样的缺点是，如何分类通常由人们主 观判定，因此要求调查者具备较高的素质与能力， 并且必须事先对总体各单位的情况有较多的了解， 而它们在实际工作中有时难以完全实现，这就会 影响分类的科学性和精确性。
三、抽样的类型
• 概率抽样 • 非概率抽样
– 根据抽取对象的具体方式，人们把抽样分为许多不同 的类型。总的来说，各种抽样都可以归为概率抽样与 非概率抽样两大类。这是两种有着本质区别的抽样类 型。概率抽样是依据概率论的基本原理，按照随机原 则进行的抽样，因而它能够避免抽样过程中的人为误 差，保证样本的代表性；而非概率抽样则主要是依据 研究者的主观意愿、判断或是否方便等因素来抽取对 象，它不考虑抽样中的等概率原则，因而往往产生较 大的误差，难以保证样本的代表性。 概率抽样与非概率抽样又各自包括了许多具体类 型。分别适用于不同调查对象。联系实际认识概率抽 样的不同类型及其适用性是掌握抽样方法的关键。
第四章分层随机抽样
第四章分层随机抽样第一节分层随机抽样概述分层抽样也叫做类型抽样，它是实际工作中最常用的抽样技术之一。
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若干个层（组），后在各层内分别独立地进行抽样。
由此所抽得的样本称之为分层样本。
各层所抽的样本也是互相独立的。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做分层随机抽样。
由此所得到的样本称做分层随机样本。
从以上概念可以看出，分层抽样的实质是在各层间作全面调查，而在各层内作抽样调查。
因此，分层抽样的误差只与各层内的差异有关，而同各层间的差异无关。
所以，为了能有效地降低抽样误差，提高抽样效果，在分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大”的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的分界。
以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多的关注。
同简单随机抽样相比，分层抽样具有以下特点：①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。
但当对总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和层内方差两部分。
由于分层抽样的误差只与层内差异有关，而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精度。
③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内，所以其代表性也更好些。
④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中，而在层与层之间则是相互独立的。
⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大的总体。
因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。
抽样技术第4章分层抽样
4.7 事后分层
在实际当中，有时进行事先分层会存在 一定的困难。 1.各层的抽样框无法得到。 2.几个变量都适合于分层，而要进行事先的 多重交叉分层存在一定困难。 3.总体规模太大，事先分层太费事等。 在这种情况下，就可以考虑采用事后分层 技术。
事后分层的具体实施办法是：先采用简
单随机抽样的方法从总体中抽取一个样本
第四章 分层抽样
4.1 什么是分层抽样
在例2.4中我们用简单随机抽样估计每 个郡的平均农场面积。我们提到，即使我 们认真细致地产生了一个随机样本，还是 有一些地区被过分代表，而另一些则根本 没有代表。例4.1用分层抽样保持分层变量 在样本中的均衡，从而使得总体得到全面 的估计。
使用分层抽样的理由： 1.我们要防止得到一个很差的样本。
分层抽样比例
如我们在2.3中所观察到的一样，比例是取
值为0到1之间的一个变量的均值，为了得
到比例的推断，我们用等式（4.1）—
（4.5），其中
，
，
则有
估计总体单元的总数有一个特别相似的性质：
因此，总体单元的总数估计量是每层总数估
计量之和 。类似有
。
例4.3 美国团体学习委员会（ACLS）用分层随 机抽样在七门学科中选取ACLS中的团体研究出版 物格局和属于这些团体的学者使用电脑和图书馆 的情况。数据见表4.2.
单元数。这样第h层中第j个单元入样的概率
为
。因此，抽样权重只是抽样概率
的倒数：
（4.8）
抽样权重之和等于总体容量N，每个抽样单 元代表一特定数量的总体单元。因此，整 个样本代表整个总体。这个定义可以用于 检验权重变量是否正确：如果样本权重之 和是其它的数，而不是N，那么肯定有某个 地方出错了。 总体总数的估计量可以写成以下形式：
04第四节分层抽样
ˆ ) V ( y ) W 2V (Y V (Y h ˆh ) st st
L h
ˆ) V ( Y 式中 h 是第h层总体均值估计量的方差。
对于分层随机抽样，则有：
L 1 fh 2 1 1 2 S h Wh 2 ( V ( y st ) Wh )S h nh nh N h h h
hi
第 h 层的总体均值；
1 yh nh
2 h
y
hi
第 h 层的样本均值； 第 h 层的总体方差； 第 h 层的样本方差。
1 Nh 2 S ( Y Y ) hi h N h 1 i 1
1 nh s ( y hi yh ) 2 nh 1 i 1
2 h
L Nh
Y ＝ y hi 为总体总量；
Ph (1 Ph ) N h ( N h nh ) nh h
L
h
四、方差的估计量 按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应 事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知 的，此时，一般可用对应的各层样本方差替代，以对估计 量的方差作出估计。
此时：
l 1 fh 2 Wh sh 1 L 2 ˆ V ( yst ) Wh sh Wh sh nh nh N h h h L 2
h
L
为各层内成数方差的平均。
（二）最优分配 １、一般情形 在分层随机抽样中，在给定的费用条件下，使估计量的方 差达到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定条件下， 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配。 在分层随机抽样中，费用函数可能是简单线性的，也可能 是其它复杂形式，这里主要考虑简单线性的费用函数：
L h
ˆ) V ( Y 式中 h 是第h层总体均值估计量的方差。
对于分层随机抽样，则有：
L 1 fh 2 1 1 2 S h Wh 2 ( V ( y st ) Wh )S h nh nh N h h h
hi
第 h 层的总体均值；
1 yh nh
2 h
y
hi
第 h 层的样本均值； 第 h 层的总体方差； 第 h 层的样本方差。
1 Nh 2 S ( Y Y ) hi h N h 1 i 1
1 nh s ( y hi yh ) 2 nh 1 i 1
2 h
L Nh
Y ＝ y hi 为总体总量；
Ph (1 Ph ) N h ( N h nh ) nh h
L
h
四、方差的估计量 按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应 事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知 的，此时，一般可用对应的各层样本方差替代，以对估计 量的方差作出估计。
此时：
l 1 fh 2 Wh sh 1 L 2 ˆ V ( yst ) Wh sh Wh sh nh nh N h h h L 2
h
L
为各层内成数方差的平均。
（二）最优分配 １、一般情形 在分层随机抽样中，在给定的费用条件下，使估计量的方 差达到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定条件下， 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配。 在分层随机抽样中，费用函数可能是简单线性的，也可能 是其它复杂形式，这里主要考虑简单线性的费用函数：
分层抽样
《社会调查与统计分析》
第四章 抽样
知识点7 分层抽样
学习导航
分层抽样
分层抽样的定义 分层抽样的优点 分层的标准 按比例分层和不按比例分层
1. 分层抽样的定义
分层抽样又称类型抽样，它是先将总体中的 所有元素按照某种特征或标志（如性别、年 龄、职业或地域等）划分成若干类型或层次 ，然后再在各个类型或层次中采用简单随机 抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最 后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
2. 分层抽样的优点
优点2：便于了解总体内不同层次的情况，便于对总 体中不同层次进行单独研究，或者进行比较。
3. 分层的标准
已有明显层次区分的变量； 把分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准; 保证各层内部同质性强和各层之间的异质性强。
思考：在“大学生价值观念研究”层
例如，某工厂有工人500人，男性有450人，女性有 50人，男女比例为9：1，样本为100人。 按比例分层抽样，男性90人，女性10人。 不按比例的方法进行分层抽样，男性70人，女性30 人。
THE END
谢 谢 观 看！
专业、家庭背景
4. 按比例分层和不按比例分层
按比例分层是根据统一的比例来确定各层要抽取的 元素数。即通常用各类型组的元素数占总体元素数 的比例，来确定各层抽样的样本元素数。 不按比例分层就是不根据各类型组的元素数占总体 元素数的比例，来确定各层抽样的样本元素数。
4. 按比例分层和不按比例分层
例：某县共有农户30万户，其中纯务农户10万户、 兼业户15万户、纯务工户5万户，问如何使用按比例 分层抽样抽取3000户进行家庭状况调查？ N=300000户 n=3000户 统一的抽样比例为：n/N=3000/300000=1/100，按照 要求，三种农户类型分别抽取的样本元素数为： n1（纯农户）=100000×1%=1000（户） n2（兼业户）=150000×1%=1500（户） n3（纯务工户）=50000×1%=500（户）
第四章 抽样
知识点7 分层抽样
学习导航
分层抽样
分层抽样的定义 分层抽样的优点 分层的标准 按比例分层和不按比例分层
1. 分层抽样的定义
分层抽样又称类型抽样，它是先将总体中的 所有元素按照某种特征或标志（如性别、年 龄、职业或地域等）划分成若干类型或层次 ，然后再在各个类型或层次中采用简单随机 抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最 后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
2. 分层抽样的优点
优点2：便于了解总体内不同层次的情况，便于对总 体中不同层次进行单独研究，或者进行比较。
3. 分层的标准
已有明显层次区分的变量； 把分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准; 保证各层内部同质性强和各层之间的异质性强。
思考：在“大学生价值观念研究”层
例如，某工厂有工人500人，男性有450人，女性有 50人，男女比例为9：1，样本为100人。 按比例分层抽样，男性90人，女性10人。 不按比例的方法进行分层抽样，男性70人，女性30 人。
THE END
谢 谢 观 看！
专业、家庭背景
4. 按比例分层和不按比例分层
按比例分层是根据统一的比例来确定各层要抽取的 元素数。即通常用各类型组的元素数占总体元素数 的比例，来确定各层抽样的样本元素数。 不按比例分层就是不根据各类型组的元素数占总体 元素数的比例，来确定各层抽样的样本元素数。
4. 按比例分层和不按比例分层
例：某县共有农户30万户，其中纯务农户10万户、 兼业户15万户、纯务工户5万户，问如何使用按比例 分层抽样抽取3000户进行家庭状况调查？ N=300000户 n=3000户 统一的抽样比例为：n/N=3000/300000=1/100，按照 要求，三种农户类型分别抽取的样本元素数为： n1（纯农户）=100000×1%=1000（户） n2（兼业户）=150000×1%=1500（户） n3（纯务工户）=50000×1%=500（户）
第4章_分层抽样
是第h层总体及样本中具有所考虑特征的单元数， 是第 h 层总体及样本中具有所考虑特征的单元数 ，
则总体比例P的估计为： 则总体比例P的估计为：
pst = ∑ h P W h
h= 1
L
第二节
简单估计量及其性质
（二）估计量的性质 如果定义
, i 单 具 所 虑 特 1 第个 元 有 考 的 征 Yi = , i =1 ,2, , N 他 0, 其
L 2 h
第二节
简单估计量及其性质
为调查某地区住户的平均家庭成员数， 【例4.1】为调查某地区住户的平均家庭成员数，将该地区 分成城市和乡村2 每层按简单随机抽样抽取10 10户 分成城市和乡村2层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查所 获得的数据如表4 获得的数据如表4-1。请估计该地区住户的平均家庭成员数及 95%的置信区间。 其95%的置信区间。
( )
st
值得强调的是，在分层抽样中只要对各层估计是无偏的， 值得强调的是，在分层抽样中只要对各层估计是无偏的，则对 总体的估计也是无偏的。因此，各层可以采用不同的抽样方法， 总体的估计也是无偏的。因此，各层可以采用不同的抽样方法， 只要相应的估计量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。 只要相应的估计量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
st
Y
的无偏估计， 的无偏估计，
ˆ V Y = N2V Yst = ∑ Yh V ˆ
h=1 L L 2 2 h h 2 h
( ) ( ) ˆ ˆ = N ∑ V (Y ) = ∑N V (Y ) W
( )
L
h=1
h=1
h
第二节
简单估计量及其性质
性质 5
对于分层随机抽样， 的方差为： 对于分层随机抽样，Y 的方差为：
抽样调查第4章分层抽样
分层抽样的步骤
分层：将总(体 N)分成互不K个 相子 交总 的体
K
K
(N) (Ni) N N i
i1
i 1
抽样：从每层抽取一个样本构成总的样本
K
y i 1 ,y i2 , ,y iin ,i 1 ,2 , ,K n ni
i 1
采用分层抽样的理由
可同时对子总体进行参数估计 便于组织实施,可根据各层特点采用不同抽样方式
第四章 分层抽样
§4.1 估值法(一) §4.2 估值法(二)—— 组合比估计和回归估计 §4.3 样本量的分配 §4.4 与简单随机抽样之比较 §4.5 如何适当分层 §4.6 后分层估计和定额抽样
抽样调查第4章分层抽样
4.1 估值法(一)
分层抽样的提法 估值法(一)
抽样调查第4章分层抽样
分层抽样的提法 (Stratified sampling)
组合比估计 (Ratio combined)
组合比估计的含义
有辅助变量X用于估值分析的，先分别对各层进 行简单估计，再用比估值法获得目标指标量的估计
K
yst Wi yi i1
K
xst Wi xi i1
yRC
yst xst
X
rC X
组合比估计只体需的 X或 知 X,道 无总 需知道 Xi或Xi
抽样调查第4章分层抽样
组合比估计
估值定理
定理4.2.1 对分层抽样的组合比估计,有
| E(yRCY)| V(xst)
V(yRC)
| X|
其V中 (yR)C ， V(xs)t分别是 yR， Cx 估 s的 t 计 均量 .
抽样调查第4章分层抽样
组合比估计
当分层抽样 合 的 ,理 且 x样 st本 0(分 不配 依n赖 )时
04分层抽样
二、分层随机抽样
2. 估计 Y
L
估计量 Yˆst N yst Nh yh , 是 Y 的U.E. ；
h 1
L
方差 V (Yˆst ) Nh2V ( yh )
h 1
L h 1
Nh(Nh
nh )
Sh2 nh
；
方差的一个U.E.
v( yst )
L h 1
Nh(Nh
L h1
nh i 1
yhi (
y)
V ( yst )
L
Wh2
h1
1 fh nh
Sh2
L h1
nh n
1 f nh
Wh Sh2
1 n
f
L
Wh Sh2
h1
v( yst )
L
Wh2
h1
1 fh nh
sh2
1 n
f
L
Wh sh2
h1
一、比例配置
P 的估计
P Y
L Nh h1 N
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
L
WhPh ，其中 Ph
h1
1 Nh
Nh
Yhi 。
i 1
记第 h 层样本中具有属性C的单元所占比例为 Pˆh ，即
Pˆh
1 nh
nh i 1
yhi 。
4. 比例的估计
估计量
L
pst Wh ph , 是 P 的U.E.； h1
常见的分配方式：
(1) 随意配置 (2) 比例配置(proportional allocation) (3) 最优配置(optimal allocation)
第四章 抽样调查
p
p1 p
n
0.2 0.8 0.02 400
即：根据样本资料推断全部学生中戴眼镜的学 生所占的比重时，推断的平均误差为2%。
例： :
一批食品罐头共60000桶，随机抽查300桶，发 现有6桶不合格，求合格品率的抽样平均误差？
解: 已知 N 60000 n 300 n1 6
解：
x xf 12600 126件 f 100
s x x 2 f 4144 6.47件
f 1
99
x
s 2 1 n n N
6.472 1 100 0.614件
100 1000
x
通过例题可说明以下几点：
①样本平均数的平均数等于总体平均数。 ②抽样平均数的标准差仅为总体标准差的 1
n
③可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。
例：假定抽样单位数增加 2 倍、0.5倍时， 抽样平均误差怎样变化？
解：抽样单位数增加 2 倍，即为原来的 3 倍
则：
x
3n
1 0.577 3
二、抽样调查的特点
1、 是专门组织的一次性的非全面调查 2、 抽选样本单位遵循随机原则 3、 用样本指标数值去推断总体指标数值 （与重点调查的区别） 4、 抽样误差可计算并控制在一定范围内 （与典型调查的区别）
三、抽样调查的几个基本概念 （一） 全及总体和抽样总体
全及总体 指研究对象的全体。其单位数 （总体） 用N 表示。
即:当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均 体重时,抽样平均误差为1公斤。
例： 某厂生产一种新型灯泡共2000只，随机抽出 400只作耐用时间试验，测试结果平均使用寿 命为4800小时，样本标准差为300小时，求抽 样推断的平均误差？
第四章 分层抽样
-
如果得到是分层随机样本，则总体均值 Y的简单估计量为 1 yst Wh yh N h 1
L
N
h 1
L
h
yh
（二）估计量的性质
1.对于一般的分层抽样，如果Y h 是Y h 的无偏估计(h =1, , ,L) 2
Y st 是 Y 的无偏估计， st 的方差是 Y V (Y st ) Wh2V (Y h )
L 2 h L
1 f n
2 Wh S h h 1
L
p prop的方差为 1 f V ( p prop ) Nn
2 N h Ph Qh 1 f N 1 n h 1 h L
W P Q
h 1 h h
L
h
二、最优分配
• 在分层随机抽样中，如何将样本量分配到各层， 使得在总费用给定的条件下，估计量的方差达到 最小，或在给定估计量方差的条件下，使总费用 最小，能满足这个条件的样本量分配就是最优分 配。 • 考虑简单线性费用函数，总费用
h 1 L
（二）估计量的性质
如果定义 1, 第i个单位具有所考虑特征 Yi 2 0，其他（i=1，， ，N) 则对总体比例的估计类似对总体均值的估计, 这是pst 与Y st 具有同样的性质. 1.对于一般的分层抽样,如果ph 是Ph的无偏估计， 则pst 是P的无偏估计，pst的方差为 V ( pst ) Wh2V ( ph )
第四章 分层抽样
本章教学目的与要求
• 正确理解层与分层抽样的含义、特点及作 用； • 掌握分层抽样的估计量及其性质； • 掌握分层抽样样本量的确定方法； • 了解分层抽样的设计效果； • 了解分层抽样其他理论问题，包括层权偏 差、最优分配偏差、事后分层等。
如果得到是分层随机样本，则总体均值 Y的简单估计量为 1 yst Wh yh N h 1
L
N
h 1
L
h
yh
（二）估计量的性质
1.对于一般的分层抽样，如果Y h 是Y h 的无偏估计(h =1, , ,L) 2
Y st 是 Y 的无偏估计， st 的方差是 Y V (Y st ) Wh2V (Y h )
L 2 h L
1 f n
2 Wh S h h 1
L
p prop的方差为 1 f V ( p prop ) Nn
2 N h Ph Qh 1 f N 1 n h 1 h L
W P Q
h 1 h h
L
h
二、最优分配
• 在分层随机抽样中，如何将样本量分配到各层， 使得在总费用给定的条件下，估计量的方差达到 最小，或在给定估计量方差的条件下，使总费用 最小，能满足这个条件的样本量分配就是最优分 配。 • 考虑简单线性费用函数，总费用
h 1 L
（二）估计量的性质
如果定义 1, 第i个单位具有所考虑特征 Yi 2 0，其他（i=1，， ，N) 则对总体比例的估计类似对总体均值的估计, 这是pst 与Y st 具有同样的性质. 1.对于一般的分层抽样,如果ph 是Ph的无偏估计， 则pst 是P的无偏估计，pst的方差为 V ( pst ) Wh2V ( ph )
第四章 分层抽样
本章教学目的与要求
• 正确理解层与分层抽样的含义、特点及作 用； • 掌握分层抽样的估计量及其性质； • 掌握分层抽样样本量的确定方法； • 了解分层抽样的设计效果； • 了解分层抽样其他理论问题，包括层权偏 差、最优分配偏差、事后分层等。
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解： yst W1 y1 W2 y2
23560 15180 148420 9856 10585.39
171980
171980
3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计 设Ph的简单估计为ph，则
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
Sh2
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
•
Nh Nh 1
PhQh
10
层 居民
户总 数
1
样本户奶制品年消费支出 23456789
1 200 10 40 0 110 15 10 40 80 90 0 2 400 50 130 60 80 100 55 160 85 160 170 3 750 180 260 110 0 140 60 200 180 300 220 4 1500 50 35 15 0 20 30 25 10 30 25
4627
42
45岁以上
5366
50
总计
35050
320
试估计总体中会计算机者占的比例。
样本中会使 用计算机的
人数
24 12
22
11
4
解：
5
(1) pst Wh ph 0.2286
h1
(2)v( pst )
5
Wh2 (1
h1
fh)
ph (1 ph ) nh 1
0.000534
(3)P置信度为95%的置信区间为：
Vmin ( yst )
L Wh2Sh2
n h1
h
L Wh2Sh2 h1 N
L
( WhSh
h1
L
ch )( WhSh / h1
n
ch )
L
Wh Sh2
h1 N
特例：Neyman分配：
指每层抽取一个单元费用相同（ch c, h 1,, L）时的最优分配。
nh
n
Wh S h
L
, h 1,2,, L
L
6.45, n3 n
W3 s3
L
23.53
Wh sh
Wh sh
h 1
h 1
n4 n
W4 s4
L
7.23
Wh sh
h 1
各层样本量为3、6、24、7。
4.4 样本总量的确定
1.在分层随机抽样中，影响样本总量n的因素： （1）只讨论对总体参数的精度要求； （2）样本量的分配形式。 2.在估计总体均值时，若精度要求给定，样本总量n的确定公式：
u1 2
s
(
y
st
)
2.总体总和Y的估计：
Yˆ
L
Yˆh
L
NhYˆh L
Nh yh
h1
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
h1
L h1
N h 2V（yh）
L h1
Nh2
1 fh nh
Sh2
例4.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元， 根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽 取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出 及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出
4.1.2分层抽样的适用场合： （1）不仅需要估计总体参数，也需要估计各层
参数。 （2）便于管理，按现成的地理分布或行政划分
来分层。 （3）希望样本中能包含各个部分，以增加代表
性。 （4）把一个内部差异很大的总体分成几个内部
比较相似的子总体（层）进行分层抽样，可以 提高估计量的精度。如果有极端值，也可以把 它们分离出来形成一层。
解：
y1 39.5
各层样本均值及方差为：y2 105 y3 165
y4 24
s12 1624.722 s22 2166.667 s32 8205.556 s42 193.333
L
(1)Yˆ Nh yh h 1
200 39.5 400 105 750 165 1500 24
sh2
1 nh 1
nh
（yhi
i 1
yh）2
一、分层抽样中
若对任一层，假设为第h层，都有Yˆh NYˆh，
L
Y Yh
h1
(1)Yˆ L Yˆh L NhYˆh
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
L
N h 2V（Yˆh）
h1
h1
L
(2)Yˆst
Yˆh
h1
N
L h1
Nh N
Yˆh
Wh S h
h1
在Neyman分配下,Yˆ的方差达到最小值Vm（in yst）：
Vm（in yst）
1（ n
h
Wh
S
）2
h
1 N
Wh 2 S h 2
h
例.在例4.3中，样本量仍为n=550。
城镇居民23560户，农村居民148420户。
城镇居民与农村居民的年收入的标准差分别为 S1=3000元,S2=2500元。 对城镇居民与农村居民抽样平均每户的费用比 为1：2，
2166.667 6.5330
W3s3
750 2850
8205.556 23.8380
1500 W4s4 2850 193.333 7.3181
L
Whsh 40.51775 h 1
n1 n
W1s1
L
Wh sh
40 2.8286 2.79 40.51775
h1
n2 n
W2 s2
试求城镇与农村两层比例分配与最优分配的 样本量。
又若不考虑费用因素，那么最优分配的结果 如何？
例3.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元， 根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽 取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出 及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出
209650
(2)Yˆ的方差V (Yˆ)的估计：
v(Yˆ )
v(Nyst )
L h 1
Nh2
•
1
f nh
h
sh
2
5.39 108
s(Yˆ) v(Yˆ) 23208
（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的置信区间为
Yˆ
u1 2
s(Yˆ ), Yˆ
u1 2
s(Yˆ )
164162，255138
h1 N
对给定的n
，估计量的方差为
h
V
L h1
Wh
2
1
f nh
h
Sh2
L h1
Wh
2
(
1 nh
1 Nh
)
Sh
2
L Wh2Sh2 L WhSh2
n h1
h
h1 N
(
L h1
WhSh nh
2 L
)(
h 1
2
Chnh )
在最优分配中，Yˆ的方差达到最小值Vmin ( yst )：
yhi
y
1 f
n
l
Wh S h2
h1
1 n
f
l
S
2 w
,
其中S
2 w
Wh S h2为各层方差按层权的加权平均。
h1
例：假设某公司欲估计某类产品的用户的每年平均支出。企划人员 拟就整个潜在用户的名单，共8000户。
层
每层中的潜在用户
少用 中等 多用 总和
2000 4000 2000 N=8000
例4.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居 民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取 300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户， 调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差为 2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为 2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信 区间。
L WhYˆh
h1
方差V（Yˆst） L Wh2V (Yˆh ) h1
分层随机抽样, 则Yˆh的简单估计为yh
1.Y的无偏简单估计Yˆst为：yst L WhYˆh L Wh yh ,Yˆst记为yst
h1
h1
Y 的置信度为1 的置信区间为：
yst
u1 s( yst ), 2
yst
3
3
sw2 Whsh2 Wh phqh
h 1
h 1
48107 0.27 0.73 12419 0.18 0.82 6875 0.17 0.83
67401
67401
67401
0.182
s( pst )
v( pst )
1 f n
sw2
1 1500 67401 0.182 0.011 1500
L
C c0 chnh h1
1.比例分配：指按各层层权（各层单元数占总体单元数的比例）进行
分配。
nh n
Nh N
Wh
fh
nh Nh
n N
f
L
则：y prop Wh yh
h1
L h1
Nh N
•1 nh
nh i 1
yhi
L h1
nh n
•1 nh
nh i 1
yhi
1 n
L h1
nh i 1
每个县的户数 Nh
48107 12419 6875 N=67401
每个县被抽出 的户数nh
1071 276 153
n=1500
每个县的样本收 视率 ph
0.27 0.18 0.17